苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册 1.2 直线的方程 【同步教案】(解析版)

1.直线的五种形式的方程
形式 方程 局限
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直线
斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线
两点式 ＝ x1≠x2，y1≠y2
截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0 无
2.利用两点式求直线的方程
(1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，然后代入两点式．
(2) 若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．
3.求直线方程的基本思路:
(1 )用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在.
两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，在解题时，若采用截距式，注意分类讨论，判断截距是否为零
例题1
过点且倾斜角比直线的倾斜角小的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
例题2
过点且与直线垂直的直线方程是
A． B．
C． D．
训练1
经过点（，2），倾斜角为60°的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
训练2
下列四个结论：
①方程与方程可表示同一条直线；
②直线l过点，倾斜角为,则其方程为；
③直线l过点，斜率为0,则其方程为；
④所有直线都有点斜式和斜截式方程.
其中正确结论的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
直线的点斜式方程及其解析
例题1
过直线与直线的交点P，且与直线有相同纵截距的直线方程为
A． B． C． D．
例题2
下列命题中正确的是（　　）
A．经过点的直线都可以用方程表示
B．经过定点的直线都可以用方程表示
C．经过任意两个不同点的直线都可用方程表示
D．不经过原点的直线都可以用方程表示
训练1
已知直线：与直线：交于点，为坐标原点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
训练2
一条光线从处射到点后被轴反射，则反射光线所在直线的方程为
A． B． C． D．
直线一般式方程与其他形式之间的互化
例题1
直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2
斜率为，且在轴上截距为2的直线的一般方程是（ ）
A． B．
C． D．
训练1
已知直线的斜率是，在轴上的截距是，则此直线方程是（ ）
A． B． C． D．
训练2
点是直线Ax＋By＋C＝0上的点，则直线方程可表示为(　　)
A． B．
C． D．
一、单选题
1．直线过点，且与点的距离最远，则直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
2．经过与两点的直线的方程为
A． B． C． D．
3．已知两点A(3，0)，B(0，4)，动点P(x，y)在线段AB上运动，则xy的最大值为（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
4．已知直线的斜率为5，且，则该直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．经过点(－，2)，倾斜角是30°的直线的方程是（ ）
A．y＋(x－2) B．y＋2＝(x－)
C．y－2(x＋) D．y－2＝(x＋)
6．过点且倾斜角的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为（ ）
A．y＝x＋3 B．y＝－x＋1
C．y＝x＋2 D．y＝－x－2
二、多选题
8．下列说法中正确的是（ ）
A．平面上任一条直线都可以用一个关于的二元一次方程（不同时为0）表示
B．当时，方程（不同时为0）表示的直线过原点
C．当时，方程表示的直线与轴平行
D．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化
9．已知直线过点（1，2），且在横坐标与纵坐标上的截距的绝对值相等的直线方程可以是下列（ ）选项.
A．2x-y=0 B．x+y=3 C．x-2y=0 D．x-y+1=0
10．已知直线l过点，且与直线以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则下列结论中正确的是（ ）
A．直线l与直线的斜率互为相反数 B．直线l与直线的倾斜角互补
C．直线在y轴上的截距为 D．这样的直线l有两条
三、填空题
11．已知点P(x，y)在经过A(3，0)，B(0，2)两点的直线上，则的值是_______________________．
12．直线在两坐标轴上的截距之和为，则实数__________________________.
四、解答题
13．已知直线l的一般式方程为2x－3y＋6＝0，请把一般式方程写成为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距．
14．求经过下列两点的直线的两点式方程.
（1），；
（2），．
15．的三个顶点是，，，求：
（1）边BC上的中线所在直线的方程；
（2）边BC上的高所在直线的方程；
（3）边BC的垂直平分线的方程．
1.直线的五种形式的方程
形式 方程 局限
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直线
斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线
两点式 ＝ x1≠x2，y1≠y2
截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0 无
2.利用两点式求直线的方程
(1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，然后代入两点式．
(2) 若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．
3.求直线方程的基本思路:
(1 )用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在.
两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，在解题时，若采用截距式，注意分类讨论，判断截距是否为零
例题1
过点且倾斜角比直线的倾斜角小的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由题意求出直线的倾斜角，再根据此直线过点，可得它的方程.
【详解】
直线的斜率为，倾斜角为，故比它的倾斜角小的直线的倾斜角为，
再根据此直线过点，故要求的直线的方程为.
故选：A.
【点睛】考查直线方程的求解，涉及直线的倾斜角的计算.
例题2
过点且与直线垂直的直线方程是
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求出所求直线的斜率，再写出直线的点斜式方程化简整理即得解.
【详解】
由题得直线的斜率为
所以直线的方程为，
即：
故选B
【点睛】考查相互垂直的直线的斜率关系，考查直线方程的求法.
训练1
经过点（，2），倾斜角为60°的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
求出直线的倾斜角的正切值即为直线的斜率，又直线过点，则由求出的斜率和点的坐标写出直线的方程即可
【详解】
由直线的倾斜角为，得到直线的斜率
又直线过点
则直线的方程为
故选
【点睛】考查了直线的倾斜角和斜率的关系，运用点斜式根据一点坐标和斜率写出直线的方程．
训练2
下列四个结论：
①方程与方程可表示同一条直线；
②直线l过点，倾斜角为,则其方程为；
③直线l过点，斜率为0,则其方程为；
④所有直线都有点斜式和斜截式方程.
其中正确结论的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】
方程k＝，表示不过的直线，故与方程y－2＝k(x＋1)表示不同直线．
直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为，则其斜率不存在，是垂直于x轴的直线．
显然正确的．④所有直线都有点斜式和斜截式方程，是不对的，比如斜率不存在的直线就没有点斜式方程．故①④不正确，②③正确．
故答案选B．
【点睛】考查了直线的点斜式方程的写法，点斜式方程的限制条件．方程的写法有点斜式方程，要求直线斜率存在才能写；截距式方程，要求直线的截距都不为0，一般式适用于各种直线，没有限制条件．
直线的点斜式方程及其解析
例题1
过直线与直线的交点P，且与直线有相同纵截距的直线方程为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先解方程组得点P，再根据两点式求直线方程.
【详解】
解方程组得交点．又直线的纵截距为3，即直线过点，所以由两点式得所求直线方程为，即．选C.
【点睛】考查两直线交点与直线方程.
例题2
下列命题中正确的是（　　）
A．经过点的直线都可以用方程表示
B．经过定点的直线都可以用方程表示
C．经过任意两个不同点的直线都可用方程表示
D．不经过原点的直线都可以用方程表示
【答案】C
【分析】
根据斜率不存在时不能用点斜式与斜截式表示、截距为零的直线不能用截距式表示，从而可得结果.
【详解】
因为直线与轴垂直时不能用点斜式与斜截式表示，所以选项不正确；
因为直线与坐标轴垂直时不能与截距式表示，所以选项不正确；
故选C.
【点睛】考查直线的方程，直线方程主要有五种形式，每种形式的 直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化为一般式.
训练1
已知直线：与直线：交于点，为坐标原点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
将两直线的一般式中的常数项均变为，验证，的坐标是否均满足该直线的方程即可判断.
【详解】
直线：，直线：，
两式相减可得.
因为点，的坐标都满足该直线的方程，故点，都在该直线上.
所以直线的方程为.
故选：.
【点睛】
本题考查了求过两点的直线方程，同时还需要求解两条直线的交点坐标，考查了转化思想和分析问题，解决问题的能力.
训练2
一条光线从处射到点后被轴反射，则反射光线所在直线的方程为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
试题分析：由反射定律可得点关于轴的对称点在反射光线所在的直线上，
再根据点也在反射光线所在的直线上，用两点式求得反射光线所在的直线方程为．故答案为 B．
考点：直线方程的两点式
直线一般式方程与其他形式之间的互化
例题1
直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据直线方程求出直线的斜率，求出斜率的取值范围，由斜率与倾斜角的关系即可求解
【详解】
直线的斜截式方程为y＝，
所以斜率，即，所以，
解得<α≤，即倾斜角的取值范围是.
故选：D.
【点睛】考查了直线的斜率与倾斜角以及正切函数的性质，需熟记直线的斜率与倾斜角的关系.
例题2
斜率为，且在轴上截距为2的直线的一般方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据直线在轴上的截距为2，得到直线经过点(2,0)，然后利用直线的点斜式方程写出直线的方程，并化简整理为一般形式，即可做出判定.
【详解】
直线在轴上的截距为2，直线经过点(2,0),又直线的斜率为，由直线的点斜式方程得直线的方程为,即,
故选：C.
【点睛】考查直线的方程的求法，一般的，直线的横截距为,斜率为,则直线的方程为,直线的纵截距为,斜率为,直线的方程为.
训练1
已知直线的斜率是，在轴上的截距是，则此直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】写出直线的斜截式方程，再化为一般方程即可.
【详解】
由题意可知，所求直线的斜截式方程为，即.
故选：A.
【点睛】考查直线方程的求解，要结合直线已知元素类型选择合适的方程来表示直线.
训练2
点是直线Ax＋By＋C＝0上的点，则直线方程可表示为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由点在直线上，得点满足直线方程．即，代入直线方程可得．
【详解】
由点在直线上得，得，代入直线方程Ax＋By＋C＝0，得．选A.
【点睛】考查点与直线关系与代数表达．
一、单选题
1．直线过点，且与点的距离最远，则直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知求得直线的斜率，再运用直线的点斜式可求得直线的方程.
【详解】
线过点且与点的距离最远，直线的斜率为：，
直线的方程为，即，
故选：C．
2．经过与两点的直线的方程为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知得，两点的纵坐标相等，所以，该直线的斜率为0，可得直线方程为
【详解】
由两点的坐标可知，直线与轴平行，所以直线的方程为.
【点睛】考查已知两点求直线方程
3．已知两点A(3，0)，B(0，4)，动点P(x，y)在线段AB上运动，则xy的最大值为（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】B
【分析】由已知求出直线方程，得出，代入即可求解.
【详解】
解析：可得直线AB的方程为，则可得，，
则，
当时，取得最大值为3.
故选：B.
4．已知直线的斜率为5，且，则该直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由已知可得从而可求出直线方程
【详解】
由题意得
所以所以直线方程为，
即.
故选：A
【点睛】考查直线方程的求法
5．经过点(－，2)，倾斜角是30°的直线的方程是（ ）
A．y＋(x－2) B．y＋2＝(x－)
C．y－2(x＋) D．y－2＝(x＋)
【答案】C
【分析】根据k=tan30°求出直线斜率，再利用点斜式即可求解.
【详解】
直线的斜率k=tan30°=，
由直线的点斜式方程可得y－2＝ (x＋)，
故选：C．
6．过点且倾斜角的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求得所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.
【详解】
所求直线的斜率为，因此，所求直线的方程为，即.
故选：B.
7．过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为（ ）
A．y＝x＋3 B．y＝－x＋1
C．y＝x＋2 D．y＝－x－2
【答案】A
【分析】利用直线的两点式有，整理即可得直线方程.
【详解】
由两点式得：直线方程，整理得y＝x＋3.
故选：A.
二、多选题
8．下列说法中正确的是（ ）
A．平面上任一条直线都可以用一个关于的二元一次方程（不同时为0）表示
B．当时，方程（不同时为0）表示的直线过原点
C．当时，方程表示的直线与轴平行
D．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化
【答案】ABC
【分析】
对于选项A，分和两种情况，将直线方程化为关于的二元一次方程（不同时为0），可知正确；
对于选项B，将原点代入方程，可知正确；
对于选项C，将方程化为，可知正确；
对于选项D，当时，方程不能化为斜截式，可知错误.
【详解】
对于选项A，在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角，
当时，直线的斜率存在，其方程可写成，
它可变形为，与比较，
可得，显然不同时为0，
当时，直线方程为，与比较，
可得，显然不同时为0，所以此说法是正确的.
对于选项B，当时，方程（不同时为0），
即，显然有，即直线过原点.故此说法正确.
对于选项C，当时，方程可化为，
它表示的直线与轴平行，故此说法正确.
对于选项D，当时，方程不能化为斜截式，故此说法错误.
故选：ABC.
【点睛】考查了直线方程一般式的概念，考查了直线方程的一般式与其它四种形式的互化.
9．已知直线过点（1，2），且在横坐标与纵坐标上的截距的绝对值相等的直线方程可以是下列（ ）选项.
A．2x-y=0 B．x+y=3 C．x-2y=0 D．x-y+1=0
【答案】ABD
【分析】由题意设所求直线的横截距为，分和两种情况讨论，结合直线的截距式方程即可求出答案．
【详解】
解：由题意设所求直线的横截距为，
（1）当时，由题意可设直线的方程为，将代入可得，
∴直线的方程为；
（2）当时，由截距式方程可得直线的方程为（截距相等）或（截距相反），将代入可得或，
∴直线的方程为或；
故选：ABD．
【点睛】考查直线的截距的应用，考查直线的截距式方程．
10．已知直线l过点，且与直线以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则下列结论中正确的是（ ）
A．直线l与直线的斜率互为相反数 B．直线l与直线的倾斜角互补
C．直线在y轴上的截距为 D．这样的直线l有两条
【答案】ABC
【分析】
根据题意，得到l与的倾斜角互补，斜率互为相反数，故选项，A，B均正确；由直线的点斜式方程，可得C选项正确；结合图象，可判定D选项错误．
【详解】
如图所示，因为直线l与及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，所以l与的倾斜角互补，斜率互为相反数，故选项，A，B均正确；
由直线的斜率为，所以直线的斜率为，
可得直线l的方程为，因此其在y轴上的截距为，故C选项正确；
结合图象，可得这样的直线l只有一条，故D选项错误．
故选：ABC.
【点睛】考查直线的倾斜角与斜率，以及直线的点斜式方程的应用，其中解答中熟记直线的倾斜角和斜率的关系，以及直线方程的形式是解答的关键.
三、填空题
11．已知点P(x，y)在经过A(3，0)，B(0，2)两点的直线上，则的值是________．
【答案】64
【分析】由截距式得出直线方程，代入可得所求.
【详解】
解析：由截距式得直线方程为，即2x＋3y＝6，
所以.
故答案为：64.
12．直线在两坐标轴上的截距之和为，则实数______.
【答案】12
【分析】求出横截距和纵截距，根据题设条件得到关于的方程，解方程后可得实数的值.
【详解】
令，则；令，则，
故，解得.
故答案为：.
【点睛】考查直线的截距，注意截距不是距离，横截距是直线与轴交点的横坐标，纵截距是直线与轴交点的纵坐标.
四、解答题
13．已知直线l的一般式方程为2x－3y＋6＝0，请把一般式方程写成为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距．
【答案】斜截式方程为：y＝x＋2；截距式方程为：＋＝1；直线的斜率为，在x轴、y轴上的截距分别为－3，2．
【分析】根据方程直接化简即可，进而可得出斜率和截距.
【详解】
由l的一般式方程2x－3y＋6＝0得斜截式方程为：．
截距式方程为：．
由此可知，直线的斜率为，在x轴、y轴上的截距分别为－3，2．
14．求经过下列两点的直线的两点式方程.
（1），；
（2），．
【答案】（1）；（2）；
【分析】根据直线的两点式方程求解即可.
【详解】
因为直线的两点式方程为：，
因为，，
所以直线的两点式方程：；
因为，，
所以直线的两点式方程：；
15．的三个顶点是，，，求：
（1）边BC上的中线所在直线的方程；
（2）边BC上的高所在直线的方程；
（3）边BC的垂直平分线的方程．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）求得BC的中点坐标，结合A点坐标，求得中线方程；
（2）求得BC的斜率，从而求得其上的高的斜率，且过，求得高的方程；
（3）由（1）知BC的中点坐标，由（2）知高的斜率为，写出垂直平分线的方程；
【详解】
（1）BC的中点坐标为
则边BC上的中线所在直线的方程为；
（2）边BC的斜率为，则其上的高的斜率为，且过，
则边BC上的高所在直线的方程为；
（3）由（1）知BC的中点坐标，由（2）知高的斜率为，
则边BC的垂直平分线的方程为.
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