方程与函数的思想方法 [上下学期通用]

(共15张PPT)
方程与函数的思想方法
特级教师 王建民
1．已知： （0< < ），求tan 的值．
解法1：设sin =y，cos =x
则
解之，
或
当 （0， ]时, sin +cos ≥1, 和已知矛盾．
故 （ ， ），应舍去第一组解
∴ ．
解法2：∵cos ≠0
∴ 原方程变形为 ．
即5(1+tan )=sec
平方得 25tan2 +50tan +25=1+tan2
∴ 12tan2 +25tan +12=0
∴ ，或 ．
由 知 ( , )且|sin |>|cos |
∴
．
解法3：设 ，则
∴ 3x2－5x－2=0
∴ x1=2 或
∵
，
∴
，
．
2．双曲线G满足
（1）抛物线 y2=2x+1的焦点与准线是G的一对对应焦点与准线；
（2）直线 y=x垂直平分G的弦AB，且
．
求G的方程 ．
解法1：
, 焦点O(0，0), 准线x =－1．
设G的方程为
①
直线AB方程为y=－x+m ②
①，②联立，消去y ：
(b2－a2)x2+2(b2c+a2m)x+b2c2－a2m2－a2b2=0 ③
设AB中点为M（x0，y0），
∵M在y=x上，
∴
于是 x1+x2=m
即
(a2+b2)m+2b2c=0 ④
又
即 (b2c+a2m)2－(b2－a2)(b2c2－a2m2－a2b2)
=(b2－a2)2 ⑤
∵ 中心为（－c，0）和准线是 x =－1
∴
⑥
且c2=a2+b2 ⑦
由⑥得　a2=c2－c， ⑧
由⑦得　b2=c ⑨
⑧,⑨代入④：得m =－2 ⑩
⑧ , ⑨ , ⑩代入⑤：得
∴
，
G的方程为
．
解法2：设G的方程为
，
即 (e2－1)x2－y2+2e2x+e2=0 ①
设AB方程为y =－x+m ②
①，②消去y，得
(e2－2)x2+2(m+e2)x+e2－m2=0 ③
设AB中点为M（x0，y0）
则 x0+y0=m 且x0=y0
∴
∴ m=－2 ④
④代入③，得(e2－2)x2+2(e2－2)x+e2－4=0
由 ，得
∴e=2 ．
于是G的方程为 3x2－y2+8x+4=0
即
．
解法3：设AB中点为M（x0，x0），
则A(x0－1，x0+1)，B(x0+1，x0－1)
于是
∴|x0|=|x0+2|，x0=－1
∴e=2 ．
故G的方程为
即 3x2－y2+8x+4=0．
3．对任意a [－1，1]，不等式x2+(a－4)x+4－2a>0恒成立，求x的取值范围．
解：把不等式整理为
(x－2)a+x2－4x+4>0
设f (a)=(x－2)a+x2－4x+4，于是
或
故x的取值范围是（－∞，1） （3，+∞）．
4. 已知f(x)=x2+bx+c, 方程f(x)－x=0的两实根为x1，x2且x2－x1>2．
（Ⅰ）求证：x1，x2是方程f [f (x)]=x的根；
（Ⅱ）若四次方程f[f(x)]=x另两个根为x3，x4，且x3>x4，试比较x1，x2，x3，x4的大小．
（Ⅰ）证：f (x1)=x1 f [f (x1)]=f (x1)=x1
∴ x1是f [f (x)]=x的根，
同理可证：x2也是f [f (x)] =x的根．
（Ⅱ）解∵ f (x)－x =0的根是x1，x2，
∴ f (x)－x =(x－x1)(x－x2) ①
即 f (x)=(x－x1)(x－x2)+x
∴ f (x)－x1=(x－x1)(x+1－x2) ②
f(x)－x2=(x－x2)(x+1－x1) ③
在①中，令f (x)代x，得
f [f (x)]－f (x)=[f (x)－x1]·[f (x)－x2]
∴ f [f (x)]－x
=(x－x1)(x－x2)(x+1－x2)·(x+1－x1)+f (x)－x
=(x－x1)(x－x2)[(x+1－x1)(x+1－x2)+1]
令g(x)=(x+1－x1)·（x+1－x2）+1
∵ g(x1)=x1－x2+2<0，
g(x2)=x2－x1+2>0，
∴ g(x)=0在(－∞，x1) 及 (x1，x2)内分别有一
个根，由于x3>x4
故 x4