课件19张PPT。 §2.1.2指数函数及其性质柔石中学 潘鸿飞2005年十一月十九日一、问题引入问题一：我是计算机病毒,我的传播速度很快,我
可以由1个分裂成2个,由2个分裂成4个……我分
裂x次后得到的个数y与x之间的函数关系式是？？？引入细胞分裂过程细胞个数第一次2=21第二次4=22第三次8=23第x次………… ……细胞个数y关于分裂次数x的表达为一、问题引入 问题二、比较下列指数的异同，能不能把它们看成函数值？ ①、 ②、函数值？？什么函数？一、问题引入问题三、认真观察并回答下列问题： (1)、一张白纸对折一次得两层，对折两次得4层，对折3次得8层，问若对折 x 次所得层数为ｙ，则y与x 的函数关系是： (2)、一根1米长的绳子从中间剪一次剩下 米，再从中间剪一次剩下 米，若这条绳子剪x次剩下y米，则y与x的函数关系是：二、新 课 前面我们从两列指数和三个实例抽象得到两个函数：这两个函数有何特点? 1、定义： 函数y = ax(a?0，且a ?1)叫做指数函数，其中x是自变量 .函数的定义域是R .思考:为何规定a?0，且a?1?二、新 课思考:为何规定a?0，且a?1? 当a?0时，ax有些会没有意义，如(-2) ,0 等都没有意义；而当a=1时，函数值y恒等于1，没有研究的必要.▲关于指数函数的定义域： 回顾上一节的内容，我们发现指数 中p可以是有理数也可以是无理数，所以指数函数的定义域是R。函 数 图 象 特 征 1函 数 图 象 特 征思考：若不用描点法，
这两个函数的图象又该
如何作出呢？观察右边图象，回答下列问题：问题一：
图象分别在哪几个象限？问题二：
图象的上升、下降与底数a有联系吗？问题三：
图象中有哪些特殊的点？答：四个图象都在第＿＿＿＿象限Ⅰ、Ⅱ答：当底数＿＿时图象上升；当底数＿＿＿＿时图象下降．底数a由大变小时函数图像在第一象限内按＿＿＿＿ 时针方向旋转. 顺答：四个图象都经过点＿＿＿＿．2.指数函数的图象和性质1.图象全在x轴上方，与x轴无限接近。1.定义域为R，值域为(0,+?).2.图象过定点（0，1）2.当x=0时，y=13.自左向右图象逐渐上升3.自左向右图象逐渐下降3.在R上是增函数3.在R上是减函数4.图象分布在左下和右上两个区域内4.图象分布在左上和右下两个区域内4.当x>0时,y>1;当x<0时,0
0时, 01.二、新 课3、例 题：例1、求下列函数的定义域：解、①②③二、新 课例2、比较下列各组数的大小：解：①②、二、新 课解：③、④、小结比较指数大小的方法：①、构造函数法：要点是利用函数的单调性，数的特征是同底不同指（包括可以化为同底的），若底数是参变量要注意分类讨论。②、搭桥比较法：用别的数如0或1做桥。数的特征是不同底不同指。二、新 课4、练习：(1)、比较大小：解、①、②、三、小结1、指数函数概念； 函数y = ax(a?0，且a ?1)叫做指数函数，其中x是自变量 .函数的定义域是R . 2、指数比较大小的方法；①、构造函数法：要点是利用函数的单调性，数的特征是同底不同指（包括可以化为同底的），若底数是参变量要注意分类讨论。②、搭桥比较法：用别的数如0或1做桥。数的特征是不同底不同指。3、指数函数的性质：（1）定义域： 值 域：（2）函数的特殊值：（3）函数的单调性：◆方法指导:利用函数图像研究函数性质是一种直观而形象的方法，记忆指数函数性质时可以联想它的图像；2.指数函数的图象和性质1.图象全在x轴上方，与x轴无限接近。1.定义域为R，值域为(0,+?).2.图象过定点（0，1）2.当x=0时，y=13.自左向右图象逐渐上升3.自左向右图象逐渐下降3.在R上是增函数3.在R上是减函数4.图象分布在左下和右上两个区域内4.图象分布在左上和右下两个区域内4.当x>0时,y>1;当x<0时,00时, 01.P73,习题2.6 :1、2、3。四、作业课件19张PPT。 §2.1.2指数函数及其性质柔石中学 潘鸿飞2005年十一月十九日一、问题引入问题一：我是计算机病毒,我的传播速度很快,我
可以由1个分裂成2个,由2个分裂成4个……我分
裂x次后得到的个数y与x之间的函数关系式是？？？引入细胞分裂过程细胞个数第一次2=21第二次4=22第三次8=23第x次………… ……细胞个数y关于分裂次数x的表达为一、问题引入 问题二、比较下列指数的异同，能不能把它们看成函数值？ ①、 ②、函数值？？什么函数？一、问题引入问题三、认真观察并回答下列问题： (1)、一张白纸对折一次得两层，对折两次得4层，对折3次得8层，问若对折 x 次所得层数为ｙ，则y与x 的函数关系是： (2)、一根1米长的绳子从中间剪一次剩下 米，再从中间剪一次剩下 米，若这条绳子剪x次剩下y米，则y与x的函数关系是：二、新 课 前面我们从两列指数和三个实例抽象得到两个函数：这两个函数有何特点? 1、定义： 函数y = ax(a?0，且a ?1)叫做指数函数，其中x是自变量 .函数的定义域是R .思考:为何规定a?0，且a?1?二、新 课思考:为何规定a?0，且a?1? 当a?0时，ax有些会没有意义，如(-2) ,0 等都没有意义；而当a=1时，函数值y恒等于1，没有研究的必要.▲关于指数函数的定义域： 回顾上一节的内容，我们发现指数 中p可以是有理数也可以是无理数，所以指数函数的定义域是R。函 数 图 象 特 征 1函 数 图 象 特 征思考：若不用描点法，
这两个函数的图象又该
如何作出呢？观察右边图象，回答下列问题：问题一：
图象分别在哪几个象限？问题二：
图象的上升、下降与底数a有联系吗？问题三：
图象中有哪些特殊的点？答：四个图象都在第＿＿＿＿象限Ⅰ、Ⅱ答：当底数＿＿时图象上升；当底数＿＿＿＿时图象下降．底数a由大变小时函数图像在第一象限内按＿＿＿＿ 时针方向旋转. 顺答：四个图象都经过点＿＿＿＿．2.指数函数的图象和性质1.图象全在x轴上方，与x轴无限接近。1.定义域为R，值域为(0,+?).2.图象过定点（0，1）2.当x=0时，y=13.自左向右图象逐渐上升3.自左向右图象逐渐下降3.在R上是增函数3.在R上是减函数4.图象分布在左下和右上两个区域内4.图象分布在左上和右下两个区域内4.当x>0时,y>1;当x<0时,00时, 01.二、新 课3、例 题：例1、求下列函数的定义域：解、①②③二、新 课例2、比较下列各组数的大小：解：①②、二、新 课解：③、④、小结比较指数大小的方法：①、构造函数法：要点是利用函数的单调性，数的特征是同底不同指（包括可以化为同底的），若底数是参变量要注意分类讨论。②、搭桥比较法：用别的数如0或1做桥。数的特征是不同底不同指。二、新 课4、练习：(1)、比较大小：解、①、②、三、小结1、指数函数概念； 函数y = ax(a?0，且a ?1)叫做指数函数，其中x是自变量 .函数的定义域是R . 2、指数比较大小的方法；①、构造函数法：要点是利用函数的单调性，数的特征是同底不同指（包括可以化为同底的），若底数是参变量要注意分类讨论。②、搭桥比较法：用别的数如0或1做桥。数的特征是不同底不同指。3、指数函数的性质：（1）定义域： 值 域：（2）函数的特殊值：（3）函数的单调性：◆方法指导:利用函数图像研究函数性质是一种直观而形象的方法，记忆指数函数性质时可以联想它的图像；2.指数函数的图象和性质1.图象全在x轴上方，与x轴无限接近。1.定义域为R，值域为(0,+?).2.图象过定点（0，1）2.当x=0时，y=13.自左向右图象逐渐上升3.自左向右图象逐渐下降3.在R上是增函数3.在R上是减函数4.图象分布在左下和右上两个区域内4.图象分布在左上和右下两个区域内4.当x>0时,y>1;当x<0时,00时, 01.P73,习题2.6 :1、2、3。四、作业课件9张PPT。对数柔石中学 潘鸿飞 改革开放以来,我国经济保持了持续高速的增长.假设2004年我国国内生产总值为a亿元,如果每年平均增长8%.(2) 经过多少年国内生产总值是2004年的两倍？ (1)经过两年国内生产总值是多少?1.1664a亿元 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（Napier，1550年~1617年）。他在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，并于1614年在爱丁堡出版了《奇妙的对数定律说明书》，公布了他的发明。恩格斯把对数的发明与解析几何的创始，微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就。 对数的定义： 一般地，如果a 的b次幂等于N，
就是 ，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：其中a叫做对数的底数, N叫做真数。 底数指数对数幂真数由对数的定义知:(1) 负数和零没有对数;(2)(3)2. 两种特殊的对数常用对数自然对数例1．将下列指数式写成对数式： 例2．将下列对数式写成指数式： ???例3.求上面三个对数的值:小结：(1)对数的定义；
(2)指数式和对数式的互换；
(3)求值.作业：P84.习题2.7 1.(1)(3)(5)(7)
2.(1)(3)(5)练习. 已知求 的值.课件21张PPT。对数的运算 柔石中学 潘鸿飞一般地，如果 的b次幂等于N, 就是 ，那么数 b叫做以a为底 N的对数，记作 a叫做对数的底数，N叫做真数。定义：复习上节内容例如： 复习上节内容有关性质： ⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ） ⑵ ⑶对数恒等式复习上节内容⑷常用对数： 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。 为了简便,N的常用对数 简记作lgN。 ⑸自然对数： 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。 为了简便，N的自然对数 简记作lnN。 （6）底数a的取值范围： 真数N的取值范围 :复习上节内容新授内容： 积、商、幂的对数运算法则：如果 a > 0，a ? 1，M > 0， N > 0 有：为了证明以上公式，请同学们回顾一下指数运算法则 ：证明：①设 由对数的定义可以得： ∴MN= 即证得 证明：②设 由对数的定义可以得： ∴ 即证得 证明：③设 由对数的定义可以得： ∴即证得 上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数
式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；
然后再根据对数定义将指数式化成对数式。①简易语言表达：“积的对数 = 对数的和”……②有时逆向运用公式 ③真数的取值范围必须是 ④对公式容易错误记忆，要特别注意：其他重要公式1:证明：设 由对数的定义可以得： ∴即证得 其他重要公式2:证明：设 由对数的定义可以得： 即证得 这个公式叫做换底公式其他重要公式3:证明:由换底公式 取以b为底的对数得： 还可以变形,得 例1 计算（1） （2） 讲解范例 解 :=5+14=19解 :讲解范例 （3） 解 :=3例2 讲解范例 解（1） 解（2） 用 表示下列各式： （1） 例3计算： 讲解范例 解法一： 解法二： （2） 例3计算： 讲解范例 解： 练习 （1） （4） （3） （2） 1.求下列各式的值：2. 用lgｘ，lgｙ，lgｚ表示下列各式：练习 （1） （4） （3） （2） ＝lgｘ＋２lgｙ－lgｚ；＝lgｘ＋lgｙ＋lgｚ；＝lgｘ＋３lgｙ－ lgｚ； 小结 :积、商、幂的对数运算法则：如果 a > 0，a ? 1，M > 0， N > 0 有：其他重要公式:课件15张PPT。对数
函数其中a叫做对数的底数，N叫做真数。一般地，如果 的b次幂等于N, 就是 ，那么数 b叫做以a为底 N的对数，记作
定义：对数的概念底数对数真数幂指数底数的图象和性质： 指数函数的图象和性质1．对数函数的定义：函数 叫做对数函数； 它是指数函数 的反函数。 分析:观察图象知,有反函数所以反函数为:2．对数函数的图象3．对数函数的性质增减过点 即当【练习】 画出函数的图象， ,并且说明这两个函数的相同性质和不同性质.解：相同性质： 不同性质： 两图象都位于的图象是上升的曲线，在（0，+∞）上是增函数； 的图象是下降的曲线，在（0，+∞） 上是减函数.y轴右方，都经过点（1,0），
这说明两函数的定义域都是【例1】求下列函数的定义域：解: 解:（1） 由 得∴函数 的定义域是（2） 由 得 ∴函数 的定义域是（３）求解对数函数定义域问题的关键是要
求真数大于零，当真数为某一代数式
时，可将其看作一个整体单独提出来,
求其大于零的解集,即该函数的定义域.
解:（1） 解:（2） 【例２】比较下列各组数中两个值的大小： （1） （2）考查对数函数 因为它的底数2>1，所以它在（0，+∞）上是增函数，于是 考查对数函数 因为它的底数0<0.3<1，所以它在（0，+∞）上是减函数，于是 解：（4） 解：（3）要比较两个数的大小，一般首先考虑用函数单调性，如不能用，则可先观察其正负，其次观察其与1的大小关系。
＜＜＞＞——————————＞＞ 小 结 :1．对数函数的定义：函数 叫做对数函数； 它是指数函数 的反函数。的定义域为 值域为 2、比较两个对数值的大小对数函数y=log a x (a>0, a≠1)(4) 0 x>1时, y>0(4) 00;
x>1时, y<0 (3) 过点(1,0), 即x=1 时, y=0 (1) 定义域： (0,+∞)(2) 值域：Rxyoo（1, 0)(5)在(0,+∞)上是减函数(5) 在(0,+∞)上是增函数对数函数的图象和性质That's all,thank you!课件11张PPT。对数函数主讲：潘鸿飞0(1,0)X=1y=㏒ax (a>1)提问：
1 什么样的函数是指数函数？2.怎样求指数函数y=4x的反函数？答：函数y=ax (a>0 a≠1) 叫指数函数解：由y=4x得x=㏒4y 所以指数函数y=4x(x∈R)的反函数是y=㏒4x(x>0)一. 对数函数的概念一般地,函数y=㏒ax(a>0 a≠1)是指数函数y=ax的反函数.因为y=ax的值域是(0, +∞),所以函数y=㏒ax的定义域是(0, +∞)定义：函数y=㏒ax(a>0 a≠1)叫对数函数，其中x是自变量,定义域是(0, +∞)
二. 对数函数的图象性质1.指数函数有什么性质?2.互为反函数的两个函数的图象有什么关系? 答: 关于直线y=x对称所以对数函数y=㏒ax的图象与指数函数y=ax的图象关于直线y=x对称yx0y=1(0,1)y=ax a>1(0,1)0
y=1y=ax 0 1. y=5x (x∈R) 2. y=0.3x (x∈R) 3. y=(21/2)x (x∈R)解1：由y=5x ，得x=㏒5y
所以指数函数y=5x (x∈R)的反函数是y=㏒5x(x>0)解2：由y=0.3x ，得x=㏒0.3y
所以指数函数y=0.3x (x∈R)的反函数是y=㏒0.3x(x>0)解3：由y= (21/2) x ，得x=㏒ (21/2) y
所以指数函数y= (21/2) x (x∈R)的反函数是y=㏒ (21/2) x(x>0)根据这一性质 画出y=2x的图象关于直线y=x对称的曲线可得到y=㏒2x的图象。xyy=xxyy=xy=2xy=㏒2xy=㏒(1/2)xy=(1/2)x
00同样画出y=(1/2)x的图象关于直线y=x对称的曲线可得到y=㏒（1/2）x的图象 对数函数的图象和性质如下表xy0x=1(1,0)y=㏒ax (a>1)xy0x=1(1,0)y=㏒ax (0 求下列函数的定义域
1. y=㏒ax2 2.y=㏒a(4-x) 3.y=㏒a(9-x2)解1.因为x2>0即x≠0所以函数y=㏒ax2的定义域是｛x︱x≠0 ｝解2.因为4-x>0即x<4所以函数y=㏒a(4-x)的定义域是｛x︱ x<4 ｝解3.因为9-x2>0即-32求下列函数的定义域:
(1).y=㏒5(1-x); (2).y=1/㏒2x;
(3) y=㏒7(1/1-3x); (4).y=(㏒3x) 1/20(1,0)y=㏒3xyxxy0(1,0)y=㏒(1/3)x解1：解2.(1) 因为 1-x>0 即 x<1 所以函数y=㏒5(1-x)的定义域是｛x ︱ x<1｝解2.(2) 因为x>0 ㏒2x≠0 即 x>0 且 x≠1所以函数y=1/㏒2x 的定义域是｛x ︱ x>0且 x≠1 ｝
解2.(3) 因为1/(1-3x)>0 即 x< 1/3 所以函数y=㏒7(1/1-3x) 的定义域是｛x ︱ x<1/3｝
解2.(4) 因为x>0 ㏒3x≧0 即 x≧ 1 所以函数y=(㏒3x) 1/2
的定义域是｛x ︱ x≧ 1 ｝
0(1,0)x=1㏒3x课堂练习3.求下列函数的定义域
(1) y=㏒(2x-1)(3x-2) (2) y=(㏒1/2(2x+1))1/2 (3) y=(㏒2(5x-1))1/3解(1)因为 ｛ 即时 ｛ 即x>2/3且x≠1 所以函数y=㏒(2x-1)(3x-2)的定义域是 ｛x︱ x>2/3且x≠1 ｝ 3x-2>0 2x-1>0 2x-1≠1X>2/3X>1/2x≠1解(2)因为 即时 即-1/22x+1>0 ㏒1/2(2x+1) ≧0 2x+1>0 0<2x+1≦1｛｛0(1,0)x=1y=㏒ax 0某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则 , y 都
有唯一确定的值与它对应，则称 y 是 x 的函数，x 叫做自
变量 ,一般用 y = f ( x )或 y = g ( x )表示。２。什么是函数的定义域？自变量 x 的取值范围。３。求下列函数的定义域：
（１）y = x2 y = x3 y = x ?
（２）y = x-1 y = x-2 y = x -1/2答案:（１）RR[ 0,+∞)（２）(-∞,０)∪(０,+∞)(-∞,０)∪(０,+∞)(０,+∞)
??幂 函 数一。幂函数的定义：形如 y = xa 的函数叫做幂函数，其中 a 是常数且 a ∈ R 。说明： y = k xa + b 不是幂函数。二。幂函数的定义域：使 x a 有意义的实数的集合。三。幂函数的图象和性质：请同学们在同一个坐标系中作出（１）的图象，再在
另一个坐标系中作出（２）的图象。
（１）y = x2 y = x3 y = x1/2
（２）y = x-1 y = x-2 y = x-1/2X y110y=x2y=x3y=x1/2X y110y=x-1y=x-2y=x-1/2a > 0a < 0 （1）图象都过（0，0）点和
（1，1）点；
（2）在第一象限内，函数值
随x 的增大而增大，即
在（0，+∞)上是增函
数。 （1）图象都过（1，1）点；
（2）在第一象限内，函数值随
x 的增大而减小，即在
（0，+∞）上是减函数。
（3）在第一象限，图象向上与
y 轴无限接近，向右与 x
轴无限接近。例一、 比较大小：
（1）1.53/5 1.73/5 （2）0.71.5 0.61.5
（3）2.2-2/3 1.8-2/3 （4）0.15-1.2 0.17-1.2
<<>>例二、求下列函数的定义域：
（1）y = (2x+5)1/2 （2）y = (x-3)-1/5(1)解:y =
x≥-5/2函数y = (2x+5)1/2 的
定义域为[ -5/2，+∞) .解：y = 解不等式 x – 3 ≠0得X ≠ 3 函数y=(x-3)-1/5的定
义域为(-∞,3)∪(3,+∞).解不等式2x+5≥0 得 练习： 1。判断下列函数哪些是幂函数：
（1）y =5x （2）y =2x （3）y =x0.3
（4）y =x+1 （5）y =1 / x4 （6）y =xxx
√Xxx√ 2。用不等式填空：
（1）0.24/5___0.54/5 （2）0.0125___0.0115
（3）7-5/2___6.9-5/2 （4）1.01-0.5___1.001-0.5
（5） ____ （6） ___ 3。求下列幂函数的定义域：
（1）y=x0 （2）y=x3/2
（3）y=x-2/3 （4）y=x0.2<><<>>x≠0x≠0
x≥0R ===x1/5=
课堂小结：1. 幂函数的定义2. 幂函数的定义域3. 幂函数的图象和性质课后作业：
1.比较大小：
（1）0.53/5——0.493/5 （2）8.1-1/5——8.01-1/5
（3）(3/5)- 5——(4/5)- 5 （4） ——
2.求下列函数的定义域：
（1） （2）1。幂函数的定义：形如 y = xa 的函数叫做幂函数，
其中 a 是常数且 a ∈ R 。2。幂函数的定义域：使 x a 有意义的实数的集合。X y110y=x2y=x3y=x1/2X y110y=x-1y=x-2y=x-1/2a > 0a < 0 （1）图象都过（0，0）点和
（1，1）点；
（2）在第一象限内，函数值
随x 的增大而增大，即
在（0，+∞)上是增函
数。 （1）图象都过（1，1）点；
（2）在第一象限内，函数值随
x 的增大而减小，即在
（0，+∞）上是减函数。
（3）在第一象限，图象向上与
y 轴无限接近，向右与 x
轴无限接近。
课堂小结：1. 幂函数的定义2. 幂函数的定义域3. 幂函数的图象和性质课后作业：
1.比较大小：
（1）0.53/5——0.493/5 （2）8.1-1/5——8.01-1/5
（3）(3/5)- 5——(4/5)- 5 （4） ——
2.求下列函数的定义域：
（1） （2）
课堂小结：1. 幂函数的定义2. 幂函数的定义域3. 幂函数的图象和性质课后作业：
1.比较大小：
（1）0.53/5——0.493/5 （2）8.1-1/5——8.01-1/5
（3）(3/5)- 5——(4/5)- 5 （4） ——
2.求下列函数的定义域：
（1） （2）课件19张PPT。幂函数的概念,图象与性质目标:1) 理解幂函数的概念和性质2) 会画出五种幂函数的图象难点和重点:学会数形结合的思想概括出五种幂函数的性质
我们先来看看几个具体的问题: (1)如果张红买了每千克1元的蔬菜W千克,那么她需要支付
__________
P=W 元(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积_____(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积___________
(4)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度___
_____________
p是w的函数S=a2 S 是a的函数V=a3 V是a的函数V=t?1 km/s V是t 的函数一 引入以上问题中的函数有什么共同特征？（1）都是函数；
（2）均是以自变量为底的幂；
（3）指数为常数；
（4）自变量前的系数为1;
（5）幂前的系数也为1。
上述问题中涉及的函数，都是形如y=xa的函数。从而我们归纳出幂函数的一般概念：一般地，函数y=xa叫做幂函数，其中x为自变量，a为常数。例1，判断下列函数哪几个是幂函数？答案（2）（6）函数图象的画法是：列表、描点、连线，那么幂函数也用此法。幂函数图象的画法 幂函数的图象和性质我们主要学习下列几种函数.
(1) y=x (2) y=x2 (3) y=x3
(4) y=x1/2 (5) y=x-1(1,1)
(0,0)(1,1)
(0,0)(1,1)
(0,0)(1,1)
(0,0)(1,1)观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表结合以上特征得幂函数的性质如下:所有的幂函数在 都有定义,并 且图象都通过点(1,1)?>0时,(1)图象都经过点（0，0）和（1，1）
(2)图象在第一象限,函数是增函数.
?<0时,(1)图象都经过点（1，1）；
(2)图象在第一象限是减函数;
(3)在第一象限内,图象向上与Y轴无限
地接近,向右与X轴无限地接近.
指数是偶数的幂函数是偶函数,指数是奇数的幂函数是奇函数 解:设f(x)=xa由题意得
练习： 已知幂函数的图象过点 ,试求出此函数的解析式.总结:
(1) 理解并掌握形如y=xa的形式就是幂函数的定义
(2) 充分理解并掌握幂函数的性质和特征幂函数的应用 证明: 任取x1 ,x2 ∈ ［0，+∞）,且x1< x2 则x1/ x2<1
所以
所以
所以
例2 证明幂函数f(x)= x1/2 在［0，+∞）上是增函数.(1)作差法:若给出的函数是有根号的式子,往往采用有理化的方式
(2)作比法:证明时要注意分子和分母均为正数,否则推不出
ｆ(Ｘ1)<ｆ(Ｘ2)小结与作业作业：P90 第9,10题小结：课件8张PPT。函数的应用举例(1)高一数学组问题 如图，有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等
腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD
的端点在圆周上。写出这个梯形周长y和腰长x间的函数式，
并求出它的定义域。解：如图，AB=2R，C、D在⊙O的半圆周上，
设腰长AD=BC=x，作DE⊥AB，垂足为E。
连接BD，那么∠ADB是直角。E由此,Rt △ADE∽Rt△ABD
∴ AD2=AE?AB，即 AE=x2/2R
∴ CD=AB－2AE=2R－x2/R
所以 周长y 满足关系式 y=2R+2x+（2R－x2/R）=－x2/R+2x+4R
即 周长y 和腰长x间的函数关系式为 y=－x2/R+2x+4R因为ABCD是圆内接梯形，所以AD＞0，AE＞0，CD＞0，即
x＞0，
x2/2R＞0
2R－x2/R＞0
解这个不等式组，得函数y的定义域为﹛x︱0＜x＜√2R﹜
探索研究：
将问题改成：求这个周长的最大值，如何求解？小结：解决本题所用的方法称为函数法，即通过求出或构造出函数，再应用函数解决具体问题应用举例
例1（课本例1）
利用归纳法探索：
第一期后的本利和 第一期后的本利和…第x期后的本利和
使用计算器计算幂值的方法？例2某林场现有木材3万立方米，如果每年平均增长5％，问大约经过多少年该林场木材量可增加到4万立方米？仿照例1得出x年后木材拥有量y＝3(1+5%)x依题意3(1+5%)x＝4 即1.05x＝4/3
∴x＝log1.054/3=(2lg2-lg3)/lg1.05≈6
答：大约经过6年该林场木材量可增加到4万立方米课堂练习
1.练习1、2
2.作业本9、11
3.由于电子技术发展迅速，计算机的成本不断降低，假设每5年价格降低1/3，则现价为8100元的机器经过15年可降为__________
2400元课堂小结实际问题函数模型函数模型的结果逻辑分析推理运算服务作业布置练习3、4.
习题2.9的1，2课件10张PPT。函数的应用举例数学模型
简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述解决应用性问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：一、有关增长率的数学模型例1
按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式。如果存入本金1000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少？ 在实际问题中，遇到有关增长率的问题，若原来产值的基础数为N，平均增长率为P%，则对时间X的总产值Y，则用
例2
某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，若该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，则X年后若人均一年占有Y千克粮食，求出函数Y关于X的解析式。
例3
用长为m的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为2X，求此框架的面积Y与X的函数关系式，并写出定义域。
数学实际应用题中的函数类型的理论依据：
一元一次函数，一元二次函数，分式函数等二、有关实际问题的数学模型解答应用题的步骤：
1.合理恰当假设。
2.抽象概括数量关系，并能用数学
语言表示
3.分析解决数学问题
4.数学问题的向实际问题的还原。
三、有关物理问题的数学模型例4
设在海拔x米处的大气压为Y帕，Y与X之间的函数关系
为 ,
其中c，k为常量。已知，某地某天在海平面的大气压为1.01＊10^5帕,1000米高空的大气压为0.9＊10^5帕，求600米高度的大气压。
例5
在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1，a2，???,an 共n个数据，规定所测量的物理量的最佳近似值a是这样一个值：与其他近似值比较，a与数据差的平方和最
小，依次规定从a1，a2，???an ，推出的a=————
课件25张PPT。问题1: y = 1 (x∈R)是函数吗?问题2: y = x与y = 是同一个函数吗?思考什么是函数?一.引入函数的概念2.能回忆起初中学过函数的定义吗? ⑴ y = 2x+3 ⑵ y = x2 ⑶ y = ⑴ y = 2x+3 ⑵ y = x2 ⑶ y = ⑴ y = 2x+3 ⑵ y = x2 ⑶ y = ⑴ y = 2x+3 ⑵ y = x2 ⑶ y =(2)任何函数都能作出对应关系图.
函数也可理解为两个数集间的一种对应.(3)集合B中的函数值是由集合A中元素和对应关系f得到的.二、形成函数的概念传统定义： 在一个变化过程中，有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，那么就说y是x的函数，x叫自变量. 近代定义： 设A、B都是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数。其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数y=f(x)的定义域，与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合C叫做函数的值域。记作y=f(x). x∈AC显然为B的子集．（1）.对照定义,请同学们思考下面问题:问题4: f (x)=x2与f (t)=t2是同一个函数吗?问题3: 是函数吗?(1)集合A、B与f一起称A到B的函数，而非对应关系f或集合A、B叫函数。(2)函数的三要素，定义域，对应关系f，值域。值域由对应关系f与定义域确定，所以判定两函数是否相同只需定义域与对应关系相同就行了。幻灯片 22(3)函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”。(4)f(x)不是f与x的乘积，是表示x经f变化后对应的函数值。所以若对应关系用g，G，F等表示，则函数就可用g(x)、F(x)、G(x)等表示。幻灯片 11注意点：三.巩固与反思（2）小结①传统定义与近代定义有什么区别?
②符合“对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应”的对应有哪几种类型?不符合的又有哪几种?例1 下列各式是否表示y是x的函数?如果是,写出解析式;若不是,请说出理由:（1）2x+3y=2
（2）xy=5（x≠0）
（3）x2+y2=1例2 邮资标准 平邮邮费设一件x千克（0y是x的函数吗?实际上,这个函数的定义域为0＜x ≤ 5, 函数解析式为小结:对自变量不同取值，用不同的解析式 表示同一个函数关系,这种函数叫做分段函数(1)定义域是R，值域是R;
(2)定义域是R，当a>0时，值域是
当a<0时，值域是
(3)定义域是{y|y?0};值域是{y|y?0}.
拓广:你能归纳出以下一般型函数的定义域、值域？
(1)一次函数f (x)= ax+b(a?0)；
(2)二次函数f (x)= ax2+bx+c(a?0)；
(3)反比例函数f (x)= (k?0) ？例4 设f（x）= 求（1）f（a+1）与f（a）+1（2）f（b/a）与f（b）/f（a）（3）f〖f（x）〗与f2（x）试一试:（1）下列对应关系是函数关系吗?南极臭氧空洞.gsp
（2）已知:f（x）=x2－1,g（x）=2x＋1,
求f〖g（x）〗,g〖f（x）〗
四.小结与作业：
已知函数 ，求 ， ， 。 例如：幻灯片 11请体会数学符号的简洁美!下列函数中哪个与函数 是同一函数？例如
（3）y=√x2（4）y=x2/x幻灯片 11课后:1.只上到例3,而且给学生的时间很少
2.建议掉去例3及例4课件12张PPT。欢迎各位老师光临指导!函数的表示法例1 某种茶杯每个5元，买x（x∈{1,2,3,4}）个茶杯的钱数记为y（元），写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图象。问题：怎样画出它的图象？问题：函数的解析式是什么？y=5x, (x∈{1,2,3,4})小结：
1、对于一个函数，确定它的定义域是非常重要的， y=5x, x∈{1,2,3,4},是一个整体。
2、作图时一定要注意函数的定义域，函数图象可以是一些孤立的点。把两个变量的函数关系，用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。解析法列出表格表示两个变量的函数关系列表法用函数图象表示两个变量的关系图象法 返回 返回 返回 我国国内生产总值 单位亿元例2 邮资标准 平邮邮费设一件x千克（0出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图象。解：这个函数的定义域为0＜x ≤ 5, 函数解析式为它的图象是5条线段(不包括左端点),都平行于x轴,如图所示。小结：作图时需注意自变量的取值与函数值的对应。对分段函数的认识 : 对自变量不同取值，用不同的解析式 表示同一个函数关系，所以分段函数是一个函数而不是几个函数 .例3 北京市昌平区政府预想在2008年九龙游乐园建造一个直径为20m 的圆形喷水池，如图所示，计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离池中心4m处达到最高，高度为6m。另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷来的水柱在此处汇合。这个装饰物的高度应当如何设计？圆形喷水池的直径为20m,计划在喷水池的周边靠近 水面的位置安装一圈喷水头告诉我们了什么? 告诉了喷水头的位置喷水头距水池中心10m 其高度与水面一致“喷水池的水柱”其轨迹是什么类型？喷出的水柱轨迹为抛物线型“各方向喷来的水柱在装饰物处汇合”是什么意思？各方向喷出的水柱交汇在水池的中心线上（这条中心线实质上是过水池中心水面的垂线），关于水池中心各相对方向喷出的水柱也交汇在水池的中心线上。解：过水池的中心任意选取一个截面，如图所示。由物理学知识可知，喷出的水柱轨迹是抛物线型。建立如图所示的直角坐标系，由已知条件易知，水柱上任意一个点距中心的水平距离x(m)与此点的高度y(m)之间的函数关系是 小结 （1）学习了函数的三种表示方法；（3）学习了用函数知识解决实际问题。数学思想方法的小结知识性内容的小结 （2）函数的图象不仅可以是一段光滑的曲线还
可以是一些孤立的点还可以是若干条线段； 学习了数形结合的思想，分类讨论的思想，转化等思想。需要注意的问题应用数学知识解决实际问题，关键是将实际问题数学化，实际问题数学化就是要认真分析题意，将实际问题抽象，转化成数学问题。 作业 （一）巩固作业
1.阅读课本第54 例2
2.能否用其他方法解决例3
3.课本56页习题2.2 第5题 第6题 （二）数学小论文
根据本节课的学习，结合你的体会，写一篇题为?魅力无限的函数?的短文，格式不限课件16张PPT。指数函数一.引入
研究下面的问题:
某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个……
1个这样的细胞分裂X次后,得到的细胞个数y与x的函数
关系式为＿＿＿＿＿＿
这里指数x是自变量，底数２是常数
象这样形如 的函数，叫做
指数函数，定义域为Ｒ规定底数a大于0且不等于1的理由
1 若 ，当 时， 恒等于０
当 时， 无意义
２若 比如 ，这时对于 ……
等时，在实数范围内函数值不存在（不是函数了）
３若 ， 是一个常数，对它没有研究
的必要
为了避免出现 是一个常数或无意义等上述各种情况，
所以规定想一想下列函数是不是指数函数二.指数函数的图象0xy1--1122-2在同一坐标系中画出下列函数的图象(1)(2)(3)(4)三.性质(从图象中观察)底数互为倒数的的两个指数函数的图象关于Y轴对称R(0,+∞)
(0,1)即当x=0时,y=1
增减>00ax>1
底数越大,图象越接近X轴 底数越小,图象越接近X轴
0XY四.例题1.求函数的定义域2. 求函数的值域3.比较大小函数 恒过定点__________
函数 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3,
则a=_________(3,4)26 某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年剩留
的这种物质是原来的84%,画出这种物质的剩留量随时
间变化的图象,并从图象上求出经过多少年,剩留量是
原来的一半(保留一个有效数字)解:设这种物质最初的质量是1,经过x年,剩留量是y
经过1年,剩留量y=1×84%=0.841
经过2年,剩留量y=0.84×0.84=0.842
.............................................................
一般地,经过x年，剩留量y=0.84x 列表如下：1234560.20.40.60.81画出指数函数y=0.84x的图象．从图中可以看出
y=0.5 ,只需x≈４
答：约经过４年，剩留量是原来的一半小结
知识点: 理解指数函数的意义
重点掌握其图象的性质
能力点:函数的作图、分析、观察能力
类比研究能力
六.布置作业课件16张PPT。 §2.2.1对数与对数运算文昌中学 许天一 高中数学必修 ①2005年十月对数的运算一般地，如果 的b次幂等于N, 就是 ，那么数 b叫做以a为底 N的对数，记作 a叫做对数的底数，N叫做真数。定义：一、复习上节内容有关性质： ⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ） ⑵ ⑶对数恒等式⑷常用对数： 为了简便,N的常用对数 简记作lgN。 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。 一、复习上节内容⑸自然对数： 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为了简便，N的自然对数 简记作lnN。 （6）底数a的取值范围： 真数N的取值范围 :为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。 一、复习上节内容二、课前练习⑴给出四个等式:其中正确的是________1) ,2)43?证明：①设 由对数的定义可以得： ∴MN= 即证得 三、新课：对数的运算性质证明:两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差⑴⑵⑶语言表达:一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍如果 a > 0，a ? 1，M > 0， N > 0 有：三、新课：对数的运算性质例1 计算（1） （2） 三、新课：讲解范例 解 :=5+14=19解 :例2 解（1） 解（2） 用 表示下列各式： 三、新课：讲解范例 （1） 例3计算： 解法一： 解法二： 三、新课：讲解范例 1 ⑴ 若⑵ 的值为______⑶巩固练习:提高练习:2P75 练习1.2.3 四、新课：学生练习 解:原方程可化为检验:舍去四、新课：提高练习 说明:2) 有时可逆向运用公式3)真数的取值必须是(0,＋∞)4)注意≠≠⑴⑵⑶如果 a > 0，a ? 1，M > 0， N > 0 有：1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”……
五、课堂小结:对数的运算性质2、利用关系式1、p82习题2.2 第3.4.5题六、课后作业证明：证明：设 由对数的定义可以得： ∴即证得 证明:⑶七、补充证明证明：②设 由对数的定义可以得： ∴ 即证得 证明:⑵七、补充证明课件19张PPT。一 复习引入提问1:新的函数定义是什么？ 提问2:如何判断两个函数是同一个函数呢？ 二、新课问题1:什么叫解析法 ?它的优点是什么?解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表示.优点：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质。问题2：什么叫列表法？它的优点是什么？列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系。优点：不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值。，.
问题3：什么叫图象法？它的优点是什么？图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。优点：能直观形象地表示出函数的变化情况。典型例题例1 某种笔记本每个5元，买 （ ）个笔记本记为 （元）.试写出以 为自变量的函数 的解析式，并画出这个函数的图象. 解：这个函数的定义域是集合｛1，2，3，4｝，函数解析式为 y = 5x ，（x ∈｛1，2，3，4｝） 它的图象由4个孤立点组成，如图所示，这些点的坐标分别是 （1，5），（2，10） ，（3，15），（4， 20）设一封 （ ）的信函应付的邮资为 （单位：分），试写出以 为自变量的函数 的解析式，并画出这个函数的图象.
它的图象是6条线段（不包括左端点），都平行于x轴，如图所示。注：1 有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数。分段函数的表达式虽然不止一个，但它不是几个函数，而是一个函数。
2 函数图象不一定是光滑的曲线（直线），还可以是一些孤立的点，一些线段，一段曲线等。
解：过水池的中心任意选取一个截面，如图所示。由物理学知识可知。喷出的水柱轨迹是抛物线型。建立如图所示的直角坐标系，由已知条件易知，水柱上任意一个点距中心的水平距离x（m）与此电的高度y（m）之间的函数关系是
a1 （x + 4 ）2 + 6 （ - 10≤x＜ 0 ）
y =
a2 （x – 4 ）2 + 6 （0≤ x ≤ 10）
由x = -10，y = 0，得a1 = - 1/6；由x = 10，y = 0，得a2 = -1/6。
于是，所求函数解析式是
-1/6（x + 4 ）2 + 6 （ - 10≤x＜ 0 ）
y =
-1/6（x – 4 ）2 + 6 （0≤ x ≤ 10）
当x = 0 时，y =10/3。 所以装饰物的高度为10/3m 。课堂练习1.（口答）请举出几个生活中的函数实例，并用合适的方法表示它们.
2. 画出下列函数图象:
(1)
(2)
3. 画出下列函数的图象：
（1）
（2）
4.如图，把截面半径为25厘米的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为 ，面积为 ，把 表示为 的函数. 课堂小节 1. 本节主要学习了函数的三种表示方法：解析法、列表法和图象法的定义以及它们各自的优点.
2. 根据实际问题中的条件列出函数解析式,然后解决实际问题.
布置作业课本第56页，习题2.2 1.(2) 2.(2) 3. 4. 5. 6. 课件9张PPT。
在函数y= 中，对x?R的每一个确定的值，按照对
应法则：“平方”在非负实数集内都有唯一确定的值与它对
应。例如
x=2 y=4
x=-3 y=9
此时，我们就说y是x的函数。 实数集R是函数的定义
域，非负实数集是函数的值域.复习引入 分析：由此我们可以看到两个重要事实：
（1）通过对应法则把实数集中的数变到非负实数集中去
（2）对实数集中的每一个实数，在非负实数集中有且仅
有一个值与之对应。
可见：函数关系实质上是两个数集的元素之间按
照某种法则确定的一种对应关系
1)对于任何一个实数a，数轴上有唯一的点Ｐ和它对应a２）对于坐标平面内的任何一点Ａ，都有唯一的一个有序实数对（Ｘ，Ｙ）和它对应(x,y)3)对于任何一个三角形，都有唯一的面积和它对应４）本班每一个学生和教室内的座位对应５）本班每一个学生和班主任对应６）某学生和他的书对应一 对应9
4
1
3
-3
2
-2
1
-1AB开平方求正弦 阅读教材，观察下面的对应,哪些对应是从A到B的映射？映 射回顾函数的定义：设A、B都是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数。函数定义的推广：设A、B都是非空的集合，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素 y和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的一个映射。思考：下面六个对应，其中哪些是集合Ａ到Ｂ的映射?１
２
３
４
２
４
６
ＡＢ(2)ｆ：x 2ｘ－1
１
３
５
７
…
１
２
３
４
…ＡＢ(3)f: x 2x例1、以下对应是不是从集合A到集合B的映射？（1）A={P|P是数轴上的点}，B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）A={x|x是三角形}，B={x|x是圆} ，对应关系f：每个三角形都对应它的外接圆；（3）A={x|x是四中的现有班级}，B={x|x是四中的学生}，对应关系f：每个班级都对应班里的学生；（4）A={1，4，9}，B={1，-1，2，-2，3}，对应关系f：开方。-2
-1
0
1
2
…
1
2
3
4
5
…
例2、下面的对应是Ａ到Ｂ的映射吗？说明理由．ＡＢ理由：
集合A中元素0在集合B中没有对应的元素课件12张PPT。 函数的单调性欢迎进入多媒体教室教学设计、课件制作
柔石中学 潘鸿飞对于一般的函数 f(x)如何来描述单调性呢? 函数f (x)在给定区间上为增函数。 函数f (x)在给定区间上为减函数。增函数与减函数的定义如果对于属于定义域I内的某个区间上的任意两个自变量的值x1 、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜ f（x2），那么就说f（x） .在这个区间上是增函数如果对于属于定义域I内的某个区间上的任意两个自变量的值x1 、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）> f（x2），那么就说f（x） .在这个区间上是减函数例1:下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f（x）的图象，根据图象说出y＝f（x）的单调区间，以及在每一单调区间上， y＝f（x）是增函数还是减函数.解：y＝f（x）的单调区间有[－5，－2），[－2，1）[1，3），[3，5].其中y＝f(x)在[－5，－2)， [1，3)上是减函数，在[－2，1）， [3，5）上是增函数.作图是得出函数单调性的方法之一.单调递增区间：单调递减区间：证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）＜ f（x2）f（x1）－f（x2）＜0f（x1）＝3x1＋2f（x2）＝3x2＋2F(x1)－f ( x2 ) ＝ ( 3x1＋2 ) － ( 3x2＋2 ) ＝3 ( x1－x2 )由x1＜x2，得 x1－x2＜0??另证：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则3 x1＜3x2?3 x1+2＜3x2+2即f（x1）＜ f（x2）a＜b，c＞0 ?ac＜bc a＜b? a＋c＜b＋c证明：（设条件）（论证结果）（下结论）（求差）总结：
判定函数在某个区间上的单调性的方法与步骤:a、设条件：b、求 差：c、论证结果：d、下结论：证明：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则f（x）在定义域 上是减函数吗？
取x1=-1，x2=1 f（-1）=-1 f（1）=1 -1＜1 f（-1）＜f（1）思考:判断函数f（x）＝x2＋1在（0，＋∞）上
是增函数还是减函数？并给予证明。解：函数f（x）＝x2＋1在（0，＋∞）上是增函数.下面给予证明：设x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2∴函数f（x）＝x2＋1在（0，＋∞）上是增函数.小结：x1x2y1y2x2x1y1y2作业：课件21张PPT。1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大（小）值请观察函数y=x2与y=x3图象，回答下列问题：1、当x∈[0，+∞)，x增大时，图（1）中的y值 ；图（2）中的y值 。
2、当x∈(－∞，0)，x增大时，图（1）中的y值 ；图（2）中的y值 。增大增大增大减小3、分别指出图(1)、图(2)中，当x ∈[0，+∞)和x∈(－∞，0)时，函数图象是上升的还是下降的？
4、通过前面的讨论，你发现了什么？结论：若一个函数在某个区间内图象是上升的，则函数值y随x的增大而增大，反之亦真；
若一个函数在某个区间内图象是下降的，则函数值y随x的增大而减小，反之亦真。观察下列图象，
想一想：怎样给增函数和减函数下定义？设函数f(x)的定义域为I:
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2, 当x1＜x2时,都有f(x1)＜ f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数一、增函数 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这个区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做y=f(x)的单调区间.设函数f(x)的定义域为I:
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2, 当x1＜x2时,都有f(x1)＞ f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数二、减函数三、单调性与单调区间请问:
在单调区间上增函数的图象是__________,
减函数的图象是__________.
(填“上升的”或“下降的”)上升的下降的想一想 ：如何从一个函数的图象来判断这个函数在定义域内的某个单调区间上是增函数还是减函数？ 如果这个函数在某个单调区间上的图象是上升的，那么它在这个单调区间上就是增函数；如果图象是下降的，那么它在这个单调区间上就是减函数。例1.下图是定义在 闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象,根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在每个单调区间上, y=f(x)是增函数还是减函数?解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5],
其中y=f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数,
在区间[-2,1),[3,5]上是增函数.分析：按题意，只要证明函数在区间上是减函数
即可。探究：
画出反比例函数 的图象。
（1）这个函数的定义域I是什么？
（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明
你的结论。 通过观察图象，先对函数是否具有某种性质做
出猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确
性，是研究函数性质的一种常用方法。图象上有一个最低点（0,0），即对于任意的 ，
都有
图象没有最低点。一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在
实数M满足：
（1）对于任意的 ，都有 ；
（2）存在 ，使得
那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值
（maximum value）。四、函数的最大值你能给出函数最小值的定义吗？例1：“菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时
一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距
地面的高度hm与时间ts之间的关系为
，那么烟花冲出后什么时候是
它爆裂的最佳时刻？这时距地面的
高度是多少（精确到1m）？分析：由函数 的图象可知，函数
在区间[2,6]上递减.所以，函数在区间[2,6]的
两个端点上分别取得最大值和最小值。（一）创设情景，揭示课题．
画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？
① ②
③ ④1．函数最大（小）值定义最大值：一般地 ，设函数的定义域为I如果存在实数M满足：
（1）对于任意的 ，都有 ；
（2）存在 ，使得 ．
那么，称M是函数 的最大值．
思考：依照函数最大值的定义，结出函数 的最小值的定义．注意：
①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在 ，使得 ；②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的 ，
都有 ．
2．利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法．
①配方法 ②换元法 ③数形结合法例1：“菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时
一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距
地面的高度hm与时间ts之间的关系为
，那么烟花冲出后什么时候是
它爆裂的最佳时刻？这时距地面的
高度是多少（精确到1m）？例2．将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？
解：设利润为 元，每个售价为 元，则每个涨（ －50）元，从而销售量减少
∴ ＜100）
∴
∴答：为了赚取最大利润，售价应定为70元．例3．求函数 在区间[2，6] 上的
最大值和最小值．
例4．求函数 的最大值．课件16张PPT。函数的奇偶性柔石中学 执教者 ：潘鸿飞引例：1.已知函数f(x)=x2,求f(-2),f(2), f(-1),f(1),及f(-x) ,并画出它的图象。解:f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1
f(-x)=(-x)2=x22.已知f(x)=x3,画出它的图象,并求出f(-2),f(2),f(-1),f(1)及f(-x)解:f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1 f(-x)=(-x)3=-x3思考 : 通过练习,同学们发现了什么规律?f(-2)=f(2)
f(-1)=f(1)
f(-x)=f(x)f(-2)= - f(2)
f(-1)= - f(1)
f(-x)= - f(x)-xxf(-x)f(x)-xf(-x)xf(x)1.函数奇偶性的概念: 偶函数定义:
如果对于f(x)定义域内的任意一个x, 都有
f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数.奇函数定义:
如果对于f(x)定义域内的任意一个x, 都有
f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数.☆对奇函数、偶函数定义的说明:(1). 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。 （2）.奇、偶函数定义的逆命题也成立，即：
若f(x)为奇函数, 则f(-x)=－f(x)成立。
若f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。（3） 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x)
具有奇偶性。练习1. 说出下列函数的奇偶性:偶函数奇函数奇函数奇函数①f(x)=x4 ________ ④ f(x)= x -1 __________② f(x)=x ________奇函数⑤f(x)=x -2 __________偶函数③ f(x)=x5 __________⑥f(x)=x -3 _______________ 说明：对于形如 f(x)=x n 的函数，
若n为偶数，则它为偶函数。
若n为奇数，则它为奇函数。例1. 判断下列函数的奇偶性(1) f(x)=x3+2x (2) f(x)=2x4+3x2解:∵f(-x)=(-x)3+2(-x)= -x3-2x= -(x3+2x)即 f(-x)= - f(x)∴f(x)为奇函数 ∵f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2∴f(x)为偶函数定义域为R解:定义域为R即 f(-x)= f(x)-1≦x ≦1且x ≠0∴定义域为[-1,0) ∪(0,1]即f(-x)= - f(x)∴ f(x) 为奇函数. ⑴先求定义域，看是否关于原点对称;
⑵再判断f(－x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否成立。☆ 说明：用定义判断函数奇偶性的步骤:练习2. 判断下列函数的奇偶性(2) f(x)= - x2 +1∴f(x)为奇函数 ∵f(-x)= -(-x)2+1
= - x2+1∴f(x)为偶函数解：定义域为﹛x|x≠0﹜解：定义域为R即 f(-x)= - f(x)即 f(-x)= f(x)(3). f(x)=5 (4) f(x)=0解: (3) f(x)的定义域为R
∵ f(-x)=f(x)=5
∴f(x)为偶函数解: (4)定义域为R
∵ f(-x)=f(x)=0 又 f(-x)=-f(x)=0
∴f(x)为既奇又偶函数说明: 函数f(x)=0 (定义域关于原点对称），为既奇又偶函数。 (5). f(x)=x+1 (6). f(x)=x2 x∈[- 1 , 3]解: (5) ∵ f(-x)= -x+1
- f(x)= -x-1
∴f(-x)≠f(x)
且f(-x)≠ –f(x)
∴f(x)为非奇非偶函数解: （6）∵定义域不关于原点
对 称
∴f(x)为非奇非偶函数解: (8) 定义域为 [0 ,+∞)
∵ 定义域不关于原点对称
∴f(x)为非奇非偶函数 奇函数
说明：根据奇偶性, 偶函数
函数可划分为四类: 既奇又偶函数
非奇非偶函数奇函数的图象(如y=x3 )偶函数的图象(如y=x2)oaP/(-a ,f(-a))p(a ,f(a))-a(-a,-f(a))(-a,f(a))2.奇偶函数图象的性质: ⑴ 奇函数的图象关于原点对称.
反之,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数.⑵ 偶函数的图象关于y轴对称. 反之, 如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那 么这个函数是偶函数.注：奇偶函数图象的性质可用于：
①.简化函数图象的画法。
②.判断函数的奇偶性。oyx例3 已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如图，画出y=f(x)在 y轴左边的图象。解：画法略本课小结:1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x ,
如果都有f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数。
如果都有f(-x)= f(x) f(x)为偶函数。2.两个性质:
一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称。一个函数为偶函数 它的图象关于y 轴对称。思考题:3.设y=f(x)为R上的任一函数,判断下列函数的奇偶性:
(1). F(x)=f(x)+f(- x) (2).F(x)=f(x)-f(-x)1.已知y=f(x)是偶函数，且在(-∞，0）上是增函数，则
y=f(x)在(0,∞)上是 （ ）
A.增函数 B.减函数 C.非单调函数 D.单调性不确定2.已知偶函数y=f(x)在（0，4）上是增函数，试比较f(-2),f(-3),
f(1)的大小。课件20张PPT。指数函数(1) 引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，
2个分裂成4个，……. 1个这样的细胞分裂 x
次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是
什么？分裂次数：1，2，3，4，…，x
细胞个数：2，4，8，16，…，y由上面的对应关系可知，函数关系是.引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，
设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的
函数关系式为 在,中指数x是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量. 我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个
大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.指数函数的定义： 函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R。探究1：为什么要规定a>0,且a1呢？①若a=0，则当x>0时，=0；0时，无意义. 当x②若a<0，则对于x的某些数值，可使无意义. 如，这时对于x=，x=……等等，在实数范围内函数值不存在.③若a=1，则对于任何xR，=1，是一个常量，没有研究的必要性. 为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a?1。 在规定以后，对于任何xR，都有意义，且>0. 因此指数函数的定义域是R，值域是(0,+∞).探究2：函数是指数函数吗？指数函数的解析式y=中，的系数是1.有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如 (a>0且a1，kZ)； 有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如 因为它可以化为 指数函数的图象和性质：在同一坐标系中分别作出如下函数的图像： 列表如下：( )想看一般情况的图象?想了解变化规律吗?(可以点击我!)( )( )的图象和性质： 讲解范例： 例1某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年
剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留
量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，
剩量留是原来的一半（结果保留1个有效数字）。分析：通过恰当假设，将剩留量y表示成经过年数x的
函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求。解：设这种物质量初的质量是1，经过x年，剩留量是y。经过1年，剩留量经过2年，剩留量……一般地，经过x年，剩留量根据这个函数 可以列表如下： 用描点法画出指数函数 的图象: 从图上看出y=0.5
只需x≈4. 答：约经过4年，
剩留量是原来的
一半。例2 比较下列各题中两个值的大小：①，解① ：利用函数单调性与的底数是1.7，它们可以看成函数 y=因为1.7>1，所以函数y=在R上是增函数，而2.5<3，
所以，<；当x=2.5和3时的函数值； ②， 解② ：利用函数单调性与的底数是0.8，它们可以看成函数 y= 当x=-0.1和-0.2时的函数值； 因为0<0.8<1，所以函数y=在R是减函数， 而-0.1>-0.2，所以， < ③，解③ ：根据指数函数的性质，得且>从而有小结：对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单
调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的
两个函数值；对不同底数是幂的大小的比较可以与
中间值进行比较.练习：⑴比较大小： , 解：因为利用函数单调性练习：⑵已知下列不等式，试比较m、n的大小：⑶比较下列各数的大小： 小结： 函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R。1.指数函数的定义： 2.指数函数的的图象和性质：课后作业： P73 习题 2.6 1,2,3课件21张PPT。指数函数(2) 指数函数的定义： 函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R。复习上节内容探究1：为什么要规定a>0,且a1呢？①若a=0，则当x>0时，=0；0时，无意义. 当x②若a<0，则对于x的某些数值，可使无意义. 如，这时对于x=，x=……等等，在实数范围内函数值不存在.③若a=1，则对于任何xR，=1，是一个常量，没有研究的必要性. 为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a?1。 在规定以后，对于任何xR，都有意义，且>0. 因此指数函数的定义域是R，值域是(0,+∞).复习上节内容探究2：函数是指数函数吗？指数函数的解析式y=中，的系数是1.有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如 (a>0且a1，kZ)； 有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如 因为它可以化为 复习上节内容指数函数的图象和性质：在同一坐标系中分别作出如下函数的图像： 列表如下：复习上节内容再看一看般情况的图象?进一步加深理解其变化规律吗！点击我呀。复习上节内容的图象和性质： 复习上节内容讲解范例： 例1求下列函数的定义域、值域：分析：此题要利用指数函数的定义域、值域，并结合
指数函数的图象。注意指数函数的定义域就是使函数
表达式有意义的自变量x的取值范围。 解：（1）由x-1≠0得x≠1所以，所求函数定义域为
{x|x≠1}⑴ ⑵ ⑶由 ，得y≠1所以，所求函数值域为
{y|y>0且y≠1}说明：对于值域的求解，可以令考察指数函数y=并结合图象
直观地得到:函数值域为
{y|y>0且y≠1} ⑵解：（2）由5x-1≥0得所以，所求函数定义域为由 得y≥1所以，所求函数值域为{y|y≥1} ⑶解：（3）所求函数定义域为R由可得所以，所求函数值域为{y|y>1}例2在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出
它们与指数函数y= 的图象的关系，与与⑴⑵解：⑴列出函数数据表,作出图像比较函数y=、y=与y=的关系：的图象向左平行移动1个单位长度，的图象，的图象向左
平行移动2
个单位长度，
就得到函数
y=的图象。将指数函数y=就得到函数y=将指数函数y=解：⑵列出函数数据表,作出图像与⑵比较函数y=、y=与y=的关系：的图象向右平行移动1个单位长度，的图象，的图象向右
平行移动2
个单位长度，
就得到函数
y=的图象。将指数函数y=就得到函数y=将指数函数y=看一看一般情况小结：小结： 与 的关系：
当m>0时，将指数函数 的图象向右平行移动m个单位长度，就得到函数 的图象；
当m<0时，将指数函数 的图象向左平行移动m个单位长度，就得到函数 的图象。例2 已知函数 作出函数图像，求定义域、与图像的关系。值域，并探讨 解： 定义域：R 值域： 作出图象如下:关系： 该部分翻折到保留在y轴右侧的图像,y轴的左侧,这个关于y轴 对称的图形就是的图像 例3 已知函数 作出函数图像，求定义域、值域。解： 定义域：R
值域：对于有些复合函数的图象，则常用基本函数图象+变换方法作出：即把我们熟知的基本函数图象，通过平移、作其对称图等方法，得到我们所要求作的复合函数的图象，这种方法我们遇到的有以下几种形式：a>0时向左平移a个单位；a<0时向右平移|a|个单位.a>0时向上平移a个单位；a<0时向下平移|a|个单位.y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称.y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称.y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点轴对称.与y=f(x)的图象关于直线y=x对称.练习：
求下列函数的定义域和值域：⑴ ⑵解： ⑴要使函数有意义，必须 当时 , ； 当时 , ∵ ∴ ∴值域为 ⑵要使函数有意义，必须 ∵ ∴又∵ ∴值域为 课后作业：