(共10张PPT)
8.2.2离散型随机变量的数字特征（1）
学习目标
1.了解离散型随机变量的期望的意义
2.会根据离散型随机变量的分布列求出期望；
3.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的期望．
情景创设
情景：某商场要将单价分别为 18 元/kg, 24 元/kg, 36 元/kg 的 3 种糖果按 3:2:1 的比例混合销售
方案：按比例算得 1 kg 的混合糖果中,
18 元/kg 的占 kg,
24 元/kg 的占 kg,
36 元/kg 的占 kg.
价格
= 23 (元/kg)
占比
平均价
问题1：你认为混合后的定价应该是多少
问题2：随机抽取一颗的价格记为X,写出X的概率分布
X 18 24 36
P
= 23 (元/kg).
对应概率
随机变量取值
数学建构
一般地, 若离散型随机变量 X 的分布列为
pn
…
pi
…
p2
p1
P
xn
…
xi
…
x2
x1
X
x1 p1+ x2 p2 + …+ xi pi +…+ xn pn
则称
为随机变量 X 的均值或数学期望，记为E(X)或
E(X)= x1 p1+ x2 p2 + …+ xi pi +…+ xn pn
数学应用
数学应用
数学应用
数学应用
例4. 在篮球比赛中, 罚球命中 1 次得 1 分, 不中得 0 分. 如果运动员罚球命中的概率为 0.7, 那么他罚球 1 次的得分 X 的均值是多少
解:
由题意知 X 服从两点分布,
其取值范围是
{0, 1}.
因为 P(X=1)=0.7,
则 P(X=0)=
1-0.7=0.3.
所以 E(X)=1 P(X=1)+0 P(X=0)
=1 0.7+0 0.3
= 0.7.
问: 由此题你能得到一个什么结论
一般地, 如果随机变量 X 服从两点分布, 那么
E(X)=1 p+0 (1-p)=p.
于是有
若 X 服从两点分布, 则 E(X)=p.
课堂小结
问题. 在数学《必修第二册》中, 我们学习过样本平均数, 与这里的数学期望是相同概念吗 说说你的认识
样本平均数
数学期望
数据来源
实际统计数
规律数 (概率p)
计算公式
反映特征
实际意义
样本平均情况
变量平均情况
估计总体平均情况
推测结果平均情况
数学期望与样本平均数比较:
样本平均数
频率p
样本平均情况
估计总体平均情况
课堂达标
1. 若随机变量 X 的分布列如下表，且 E(X)=1, 求 a 和 b.
b
2
a
P
1
0
X
2. 现要发行 10000 张彩票, 其中中奖金额为 2 元的彩票 1000 张, 10 元的彩票 300 张, 50 元的彩票 100 张, 100 元的彩票 50 张, 1000 元的彩票 5 张, 1 张彩票可能中奖金额的均值是多少
课堂达标
1. 若随机变量 X 的分布列如下表，且 E(X)=1, 求 a 和 b.
b
2
a
P
1
0
X
解:
因为E(X) =
又
于是解得
2. 现要发行 10000 张彩票, 其中中奖金额为 2 元的彩票 1000 张, 10 元的彩票 300 张, 50 元的彩票 100 张, 100 元的彩票 50 张, 1000 元的彩票 5 张, 1 张彩票可能中奖金额的均值是多少
X 2 10 50 100 1000
P
0.1
0.03
0.01
0.005
0.0005
解:设中奖金额为 X, 其分布列如下:
E(X)=2 0.1+10 0.03+50 0.01+100 0.005+1000 0.0005=2.(共11张PPT)
8.2.4超几何分布
学习目标
1.理解超几何分布，与二项分布的区别；
2.超几何分布的简单应用；
3.超几何分布的均值与方差．
情景创设
情景1. 在含有 5 件次品的 100 件产品中, 从中有放回的抽取3件, 记次品数X，
求:取到的次品数 X 的分布列;
X~B(3, 0.05)，
情景2. 在含有 5 件次品的 100 件产品中, 从中无放回的抽取 3 件,记次品数X，
求:取到的次品数 X 的分布列;
分析:
根据古典概型, 在含有次品的 100 件产品中
任取 3 件 ,其中含有 k 件次品的概率为
P =
则随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P
X 0 1 2 3
P
数学建构
一般地, 在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件次品,则
即
…
…
P
m
1
0
X
其中 m=min{M, n}, 且 n≤N, M≤N, n, M, N N*.
这样的分布列称为随机变量 X 服从超几何分布,
记作：X~H(n, M, N)
数学应用
例1. 在含有 5 件次品的 100 件产品中, 任取 3 件, 求:
(1) 取到的次品数 X 的分布列; (2) 至少取到 1 件次品的概率.
解:
X~H(3, 5, 100), 则随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P
(1)
解:
至少取到一件次品的概率为
P(X ≥1).
由分布列得
P(X ≥1) = P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)
(2)
≈ 0.13906+0.00588+0.00006
= 0.144.
数学应用
例2. 在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏, 在一个口袋装有 10 个红球和 20 个白球, 这些球除颜色外完全相同. 一次从中摸出 5 个球, 至少摸到 3 个红球就中奖, 求中奖的概率.
解:
设摸出红球的个数为 X,
由题意得 X~H(5, 10, 30),
则中奖的概率为
P(X ≥3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)
≈0.15999+0.02947+0.00177
=0.19123.
数学应用
例3. 老师要从 10 篇课文中随机抽 3 篇让同学背诵,规定至少要背出其中 2 篇才能及格, 某同学只能背诵其中的 6 篇, 求:
(1)抽到他能背诵的课文的数量X的分布列;(2) 他能及格的概率; (3)求其期望值和方差 .
解:
(1)
设抽到某同学能背诵的篇数为 X,由题设知, X~H(3, 6, 10)
其分布列如下:
X 0 1 2 3
P
则恰抽到 k 篇能背诵的概率为
解:
(2)
及格的概率为
P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)
解:
(3)
课堂小结
超几何分布: X~H(n, M, N)
课堂达标
【答案】B
课堂达标
【答案】C
课堂达标
【答案】A
【答案】①②④
课堂达标(共14张PPT)
8.2.3二项分布
学习目标
1.理解n重伯努利试验；
2.理解二项分布；
3.会求二项分布均值与方差；
4.二项分布的简单应用．
情景创设
情景. 射击手射击1次，击中目标的概率为p(p>0), 那么下列结论正确的是（ ）
（1）未击中目标的概率是1-p ；
（2）设射击1次击中目标的次数为随机变量Y，Y服从于两点分布；
（3）如果射击手射击了3次，3 次中恰有 1 次击中的概率是3p(1-p)2
将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验称为n 重伯努利试验.
我们把只包含两个可能结果的试验叫作伯努利试验.
p (1-p) (1-p)
(1-p) p (1-p)
(1-p) (1-p) p
1次 2次 3次
中 不中 不中
1次 2次 3次
不中 中 不中
1次 2次 3次
不中 不中 中
= 3p(1-p)2
（4）记3 次射击中恰击中目标的次数为随机变量为X，写出X的概率分布表
X 0 1 2 3
P
在n重伯努利试验中，每次试验事件A发生的概率均为p(0
Pn(k)=Cnkpk(1-p)n-k, k=0, 1, 2, …, n.
一般地, 有 n 重伯努利试验中, 用 X 表示事件A 发生的次数, 设每次试验中事件 A 发生的概率为 p,则
P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k, k=0, 1, 2, …, n.
此时称随机变量 X 服从二项分布, 记作 X~B(n, p), 并称 p 为成功概率.
其分布为下表
X 0 1 2 ... n
P ...
数学建构
例1. 某射手每次射击击中目标的概率是 0.8, 求这名射手在 10 次射击中,
(1) 恰有 8 次击中目标的概率;
(2) 至少有 8 次击中目标的概率. (结果保留两个有效数字.)
解:
设击中目标的次数为 X, 则 X 服从二项分布, 即
射手各次是否击中目标相互独立.
X~B(10, 0.8).
(1)
射击 10 次恰有 8 次击中目标的概率为
P(X=8)
≈0.30.
(2)
射击 10 次至少有 8 次击中目标的概率为
P(X ≥ 8)
=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)
≈0.302+0.268+0.107
≈0.68.
数学应用
例2. 在一个盒子中装有相同型号的 3 个白球和 7 个黑球, 从中任取 3 个球.
(1) 求取得白球的个数 X 的分布列和数学期望;
(2) 如果每取得 1 个白球得 5 分, 但每抽取一次扣1 分. 求得分数 Y 的分布列和数学期望.
解:
(1)
从盒中抽一个球是白球的概率 p=0.3,
随机变量 X 服从二项分布 X~B(3, 0.3),
X 0 1 2 3
P
0.343
0.441
0.189
0.027
E(X)=0 0.343+1 0.441+2 0.189+3 0.027
=0.9.
解:
(2)
由题意得 Y=5X-1,
随机变量 Y 的分布列为
Y 0 1 2 3
P 0.343 0.441 0.189 0.027
E(Y)= -1 0.343+4 0.441+9 0.189+14 0.027
=3.5.
则 Y 的取值范围是
{-1, 4, 9, 14}
-1
4
9
14
则分布列为
= 3×0.3
=n×p
Y 是否服从二项分布？
猜想：E(X)=n×p
数学应用
数学应用
问题：如果随机变量 X 服从二项分布, 你能证明均值E(X)=np的猜想吗
X 0 1 … k … n
P …
证明：E(X)=
= np.
由二项式定理得
∴E(X)=np(p+1-p)n-1
于是有
若 X~B(n, p), 则 E(X)=np.
D(X)=np(1-p).
练. 一次单元测验由 20 个选择题构成, 每个选择题有 4 个选项, 其中仅有一个选项正确. 每题选对得 5 分, 不选或选错不得分, 满分100分. 学生甲选对任意一题的概率为 0.9, 学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个. 分别求学生甲和学生乙在这次测验中成绩的均值与方差.
解:
设学生甲选对的题数为 X1, 学生乙选对的题
数为 X2 ,
X1, X2 服从二项分布, 即
X1~B(20, 0.9),
X2~B(20, 0.25).
得
E(X1)=np1
=20 0.9
=18,
E(X2)=np2
=20 0.25
=5.
即学生甲选对题数的均值为 18 题, 学生乙选对题数的均值为 5 题.
D(X1)=np1
=20 0.9 0.1
=1.8,
D(X2)=np2
=20 0.25 0.75
=3.75
数学应用
数学应用
例3. 抛掷两枚骰子, 当至少有一枚 5 点或一枚 6 点出现时, 就说这次试验成功, 求在 30 次试验中成功次数 X 的均值.
解:
设抛掷一枚骰子出现的点数为 x ，
则抛掷两枚骰子成功的概率为
p = P(x1≥5)+P(x1<5)P(x2≥5)
因为成功次数 X 服从二项分布, 即
所为 E(X)=np
课堂小结
将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验称为n 重伯努利试验.
我们把只包含两个可能结果的试验叫作伯努利试验.
二项分布
X~B(n, p)
P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k, k=0, 1, 2, …, n.
E(X)=np
D(X)=np(1-p)
课堂达标
课堂达标
2. 某盏吊灯上并联着 3 个灯泡, 如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是 0.7, 那么在这段时间内吊灯能照明的概率是多少
解:
每个灯泡能否照明相互独立,
设能正常照明
的灯泡数为 X,
则 X 服从二项分布, 即 X~B(3, 0.7).
于是得吊灯能照明的概率为
P(X≥1)
=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)
= 0.189+0.441+0.343
= 0.973.
课堂达标
3. 一台机器在一天内发生故障的概率为 0.1. 若对台机器一周 5 个工作日不发生故障, 可获利 5 万元; 发生 1 次故障仍可获利 2.5 万元; 发生 2 次故障的利润为 0 元; 发生 3 次或 3 次以上故障要亏损 1 万元. 这台机器一周内可能获利的均值是多少
解:
设这台机器在 5 天内发生故障的次数为 X,
则X~B(5, 0.1),
那么 X 的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P
0.5905
0.3281
0.0729
0.0081
0.0004
0.00001
设所获利润为 Y, 则 Y 的分布列为
Y 5 2.5 0 -1
P
0.5905
0.3281
0.0729
0.0085
于是 E(Y) =
5 0.5905+2.5 0.3281+0 0.0729-1 0.0085
= 3.76425.
答: 这台机器一周内可能获利的均值是3.76425万元.
课堂达标
课堂达标
5. 甲、乙两选手比赛, 假设每局比赛甲胜的概率为 0.6, 乙胜的概率为 0.4, 那么采用 3 局 2 胜制还是采用 5 局 3 胜制对甲更有利 你对局制长短的设置有何认识
解:
设甲胜的局数为 X, X 服从二项分布.
采用 3 局 2 胜制时, 需
甲前两局胜, 或前两局胜
1 局且第 3 局胜.
其概率为
p=0.62+
=0.648.
采用 5 局 3 胜制时, 需
甲前 3 局胜, 或前 3 局胜
2 局且第 4 局胜, 或前 4 局胜 2 局且第 5 局胜.
概率为
p=0.63+
=0.68256.
∵0.68256>0.648,
∴我们认为采用5局3胜制对甲更有利.
由此我们认为, 在比赛中, 对于实力较强的队来说, 局制越长越有利.(共12张PPT)
8.2.2离散型随机变量的数字特征（2）
学习目标
1.了解离散型随机变量的方差、标准差的意义
2.会根据离散型随机变量的分布列求出方差；
3.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的方差．
情景创设
样本平均数
数学期望
数据来源
实际统计数
规律数 (概率p)
计算公式
反映特征
实际意义
样本平均情况
变量平均情况
估计总体平均情况
推测结果平均情况
数学期望与样本平均数比较:
样本平均数
频率p
样本平均情况
估计总体平均情况
情景创设
情景. 根据两名同学以往参加射击比赛的成绩记录, 下面是他们各自中靶环数 X 的分布列
第一位同学中靶环数X1的分布列:
0.31
8
0.27
9
0.20
7
0.10
0.09
0.03
P
10
6
5
X1
第二位同学中靶环数X2的分布列:
0.41
8
0.33
9
0.20
7
0.05
0.01
P
6
5
X2
他们的成绩一样吗 如果要选派其中一人去参加比赛, 应该派谁较恰当
E(X1)=5 0.03+6 0.09+7 0.2+8 0.31+9 0.27+10 0.1
=8;
E(X2)=5 0.01+6 0.05+7 0.2+8 0.41+9 0.33
=8.
平均成绩相同，从平均成绩无法选派，怎么办？
稳定性:与平均数的偏移程度
数学探究
X1 5 6 7 8 9 10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
X2 5 6 7 8 9
P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
0.03个
|5-8|
0.09个
|6-8|
0.2个
|7-8|
0.31个
|8-8|
0.27个
|9-8|
0.03个
|10-8|
0.01个
|5-8|
0.05个
|6-8|
0.2个
|7-8|
0.41个
|8-8|
0.33个
|9-8|
0.09
0.18
0.2
0
0.27
0.06
0.03
0.1
0.2
0
0.33
与平均值的偏移程度
与平均值的
偏移程度
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=0.8.
=0.66.
X2 与均值的偏移程度要小些, 较集中于均值附近.
为了去掉绝对值符号, 改用平方:
数学建构
(x1-E(X))2 p1+ (x2-E(X))2 p2 + ……+ (xn-E(X))2pn
设离散型随机变量 X 的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则 (xi-E(X))2 描述了xi (i=1, 2, …, n) 相对于均值 E(X)的偏离程度,
故
刻画了随机变量X与其均值 E(X)的平均偏离程度,我们称其为方差，记为 D(X)
D(X)=(x1-E(X))2 p1+ (x2-E(X))2 p2 + ……+ (xn-E(X))2pn
数学应用
例1. 已知随机变量 X 的分布列为
0.40
0.44
0.16
P
3
1
-2
X
求 E(X), D(X),
解:
E(X)=(-2) 0.16+1 0.44+3 0.40
=1.32.
法二：E(2X+5)=2E(X)+5
=2 1.32+5
=7.64.
D(X)=(-2-1.32)2 0.16+(1-1.32)2 0.44
+(3-1.32)2 0.40
=2.9376.
≈1.7139.
变：E(2X+5) , D(2X+5)
D(2X+5)=22D(X)
=4×2.9376.
法一：已知随机变量 2X+5 的分布列为
0.40
0.44
0.16
P
11
7
1
2X+5
解：E(2X+5)=(1) 0.16+7 0.44+11 0.40
=7.64.
D(2X+5)=(1-7.64)2 0.16+(7-7.64)2 0.44
+(11-7.64)2 0.40
=11.7504
数学证明
证明：若 X 是随机变量, Y=aX+b (a, b是常数)也是随机变量, P(Y=axi+b)=P(X=xi)=pi, 则Y 的分布列为
Y ax1+b ax2+b … axi+b … axn+b
P p1 p2 … pi … pn
于是 E(Y)=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axi+b)pi+
…+(axn+b)pn
=a(x1p1+x2p2+…+xnpn)+b(p1+p2+…+Pn)
=aE(X)+b.
即
E(aX+b)=aE(X)+b.
一般地, 若 X 是随机变量, Y=aX+b (a, b是常数)也是随机变量, 则E(Y)=E(aX+b)=aE(X)，D(Y)=D(aX+b)=a2D(X)
数学应用
例2. 有甲乙两个单位都愿意聘用你, 而你能获得如下信息:
甲单位不同职位月工资X1/元 1200 1400 1600 1800
获得相应职位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1
乙单位不同职位月工资X2/元 1000 1400 1800 2200
获得相应职位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1
根据工资待遇的冲差异情况, 你愿意选择哪家单位
解:
求各单位的均值与方差.
E(X1)=1200 0.4+1400 0.3+1600 0.2+1800 0.1
=1400.
D(X1)=(1200-1400)2 0.4+(1400-1400)2 0.3
+(1600-1400)2 0.2+(1800-1400)2 0.1
=40000.
E(X2)=1000 0.4+1400 0.3+1800 0.2+2200 0.1
=1400.
D(X2)=(1000-1400)2 0.4+(1400-1400)2 0.3
+(1800-1400)2 0.2+(2200-1400)2 0.1
=160000.
数学应用
E(X1)=E(X2),
平均工资相等.
D(X1)第一家工资级差小于第二家.
如果希望工资差距小一些, 就选择第一家.
课堂达标
1、请计算两名同学射击环数的方差 D(X).
X1 5 6 7 8 9 10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
X2 5 6 7 8 9
P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
∵ E(X1)=E(X2)=8,
∴ D(X1) = (5-8)2 0.03+(6-8)2 0.09+…+(10-8)2 0.1
= 0.27+0.36+0.2+0+0.27+0.4
= 1.5.
D(X2) = (5-8)2 0.01+(6-8)2 0.05+…+(9-8)2 0.33
= 0.09+0.2+0.2+0+0.33
= 0.82.
D(X2)数学猜想
2. 甲、乙两名射手在同一条件下射击, 所得环数 X1, X2 的分布列为
0.18
0.1
0.42
0.14
0.16
P
10
9
8
7
6
X1
0.17
0.28
0.12
0.24
0.19
P
10
9
8
7
6
X2
根据环数的均值和方差比较这两名射手的射击水平.
解:
E(X1)=6 0.16+7 0.14+8 0.42+9 0.1+10 0.18
=8.
D(X1)=(6-8)2 0.16+(7-8)2 0.14+(8-8)2 0.42
+(9-8)2 0.1+(10-8)2 0.18
=1.6.
数学猜想
2. 甲、乙两名射手在同一条件下射击, 所得环数 X1, X2 的分布列为
0.18
0.1
0.42
0.14
0.16
P
10
9
8
7
6
X1
0.17
0.28
0.12
0.24
0.19
P
10
9
8
7
6
X2
根据环数的均值和方差比较这两名射手的射击水平.
解:
E(X1)=6 0.16+7 0.14+8 0.42+9 0.1+10 0.18
=8.
D(X1)=(6-8)2 0.16+(7-8)2 0.14+(8-8)2 0.42
+(9-8)2 0.1+(10-8)2 0.18
=1.6.
E(X2)=6 0.19+7 0.24+8 0.12+9 0.28+10 0.17
=8.
D(X2)=(6-8)2 0.19+(7-8)2 0.24+(8-8)2 0.12
+(9-8)2 0.28+(10-8)2 0.17
=1.96.
两名射手的平均成绩相同,
E(X1)=E(X2),
D(X1)第一名射手相对较为
稳定, 获得 8 环左右的把握性要大一些.