2022-2023学年福建省厦门市思明区松柏中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

2022-2023学年福建省厦门市思明区松柏中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
下列各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
点关于原点的对称点的坐标是( )
A. B. C. D.
已知的半径为，点在上，则的长可能是( )
A. B. C. D.
如图所示，在中，，则( )
A.
B.
C.
D.
平面上一点与的点的距离的最小值是，最大值是，则的直径是( )
A. 或 B. 或 C. D.
如图，已知线段交于点，且，点是上的一个动点，那么的最大值是( )
A.
B.
C.
D.
如图，是由绕点顺时针旋转后得到的图形，若点恰好落在上，且的度数为，则的度数是( )
A. B. C. D.
下列说法：
弧长相等的弧是等弧；三点确定一个圆；相等的圆心角所对的弧相等；垂直于半径的直线是圆的切线；三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．其中不正确的有个．( )
A. B. C. D.
某数学兴趣小组研究二次函数的图象时，得出如下四个结论：
甲：图象与轴的一个交点为；
乙：图象与轴的一个交点为；
丙：图象与轴的交点在原点两侧；
丁：图象的对称轴为过点，且平行于轴的直线；
若这四个结论中只有一个是不正确的，则该结论是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
如图，是的直径，，为的三等分点更靠近点，点是上个动点，取弦的中点，则线段的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
已知关于的方程的一个根是，则______．
如图，若，则______．
在半径为的中，圆心到弦的距离为，则弦的长是______．
如图，上三点，，，半径，，的切线交延长线于点，则的长为______．
在等边中，，点是上的定点，点是上的动点，绕点逆时针旋转恰好落在上，已知，则此时______．
如图，矩形中，是上一点，连接，将矩形沿翻折，使点落在边处，连接，在上取点，以为圆心，长为半径作与相切于点，若，，则下列结论：是的中点：的半径是；，其中正确的是______写序号
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
解方程：．
本小题分
小晗家客厅装有一种三位单极开关，分别控制着楼梯、客厅、走廊三盏灯，在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，因刚搬进新房不久，不熟悉情况．
若小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是______；
若任意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明．
本小题分
已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，求的取值范围．
本小题分
如图，在中，，平分求作，使得点在边上，且经过、两点；并证明与相切．尺规作图，保留作图痕迹，不写作法
本小题分
如图，中，，，是边上一点，将绕点逆时针旋转，点旋转后的对应点为．
Ⅰ画出旋转后的三角形；
Ⅱ连接，若，求的度数．
本小题分
某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价元，原计划以每桶元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量桶与每桶降价元之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
求与之间的函数关系式；
在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利元．这种消毒液每桶实际售价多少元？
本小题分
如图，内接于，是的直径，过点作平分，交于点，过点作交的延长线于点．
依据题意，补全图形；
判断直线与的位置关系并证明；
若，，求的长．
本小题分
如图，内接于，弦，垂足为，点、点关于对称，连结并延长交于点．
连结，求证：；
求证：点、点关于对称．
本小题分
已知抛物线的顶点为，与轴交于点，与直线交于点．
若点的横坐标为，点的坐标为．
求抛物线的解析式；
若当时，的最小值为，最大值为，求的取值范围；
若点在第一象限，且，过点作轴于，将抛物线平移，平移后的抛物线经过点、，与轴的另一个交点为，试探究四边形的形状，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：选项A、、均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的概念求解．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做图形的对称中心．
此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，将其绕对称中心旋转度后与原图重合．
2.【答案】
【解析】解：因为点关于原点的对称点的坐标特点：横纵坐标互为相反数，
所以对称点的坐标是，
故选：．
根据关于原点的对称点的坐标特点：横纵坐标互为相反数可得答案．
此题主要考查了关于原点的对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
3.【答案】
【解析】解：点在上，的半径为，
，
故选：．
根据点与圆的位置关系求解即可．
本题考查点与圆的位置关系，若圆的半径为，点到圆心的距离为，当点在圆外时，则；当点在圆上时，则；当点在圆内时，则．
4.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
．
故选：．
根据弧、弦和圆心角的关系，得，再由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可解决此题．
本题考查了弧、弦和圆心角的关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟悉在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：当点在圆内时，因为点与的点的距离的最小值是，最大值是，所以圆的直径为，
当点在圆外时，因为点与的点的距离的最小值是，最大值是，所以圆的直径为．
故选：．
点应分为位于圆的内部位于外部两种情况讨论．当点在圆内时，点到圆的最大距离与最小距离的和是直径；当点在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得出答案．
本题考查的是点与圆的位置关系，根据点到圆上各点的最大距离和最小距离，可以得到圆的直径．
6.【答案】
【解析】解：当与相切时，有最大值，连结，如图，
则，
，
，
．
故选：．
当与相切时，有最大值，连结，根据切线的性质得，由得，然后根据含度的直角三角形三边的关系即可得到此时的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了含度的直角三角形三边的关系．
7.【答案】
【解析】解：由题意得，，，又，
．
故选：．
根据旋转的性质求出和的度数，计算出的度数．
本题考查的是旋转的性质，掌握旋转角、旋转方向和旋转中心的概念是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：弧长相等的弧是等弧，故该说法不正确；
不在同一直线的三点可以确定一个圆，故该说法不正确；
在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故该说法不正确；
经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故该说法不正确；
三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等，故该说法正确．
故选：．
根据圆、弧、三角形外心的定义和性质以及切线的判定条件即可获得答案．
根据圆、弧、三角形外心的定义和性质以及切线的判定条件等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
9.【答案】
【解析】解：若甲、乙成立，
，
图象的对称轴为过点，且平行于轴的直线，图象与轴的交点在原点右侧，故丁结论正确；
图象与轴的交点在原点右侧，故丙结论不正确，符合题意．
故选：．
假设甲、乙结论正确，再判定丙、丁结论正确与否即可．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数与轴的交点是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
10.【答案】
【解析】解：如图，连接，，
，
，
，
点的运动轨迹为以为直径的，连接，，
当点在的延长线上时，的值最大，
为的三等分点，
，
是等边三角形，
，
在中，，，，
，
，
，
的最大值为，
故选：．
如图，连接，，首先证明点的运动轨迹为以为直径的，连接，当点在的延长线上时，的值最大，利用勾股定理求出即可解决问题．
本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题．
11.【答案】
【解析】解：把代入方程可得：，
解得．
故答案为：．
已知是方程的根，把代入方程即可得到关于的方程，即可求得的值．
本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．
12.【答案】
【解析】解：由圆周角定理得，，
四边形是圆内接四边形，
，
故答案为：．
根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形的性质计算即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：连接．
在中，，．
由勾股定理得
．
．
连接根据勾股定理和垂径定理求解．
本题主要考查：垂径定理、勾股定理．
14.【答案】
【解析】解：连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理求出，进而求出，根据含角的直角三角形的性质解答即可．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理、含角的直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：如图，连接，过点作，
绕点逆时针旋转，
，，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，且，，
≌
，
，
，，，
，，
，
，
故答案为．
如图，连接，过点作，由旋转的性质可证是等边三角形，由“”可证≌，可得，可求，由直角三角形的性质和勾股定理可求的长．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质．
16.【答案】
【解析】解：是翻折而来，
，
矩形，则，
，
，
是中点；故正确；
如图，连接，
与相切于点，
，
，
，
∽，
，
设，则 ，
解得：，故正确；
中，，，
，
，，
，
；
，
，
，
，故错误；
故答案为：．
由勾股定理及折叠的性质，易求得、、的长度，即可判定；
连接，易证，根据平行线性质即可判定；
易证，即可判定．
本题属于综合题，考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，锐角三角函数的应用，本题中熟练运用上述考点是解题的关键．
17.【答案】解：，
，
则，
解得，
，．
【解析】本题考查了解一元二次方程配方法．
先利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程．
18.【答案】
【解析】解：小晗家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着楼梯、客厅、走廊三盏电灯，
小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是：；
画树状图得：
共有种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有种情况，
正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是：．
由小晗家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着楼梯、客厅、走廊三盏电灯，直接利用概率公式求解即可求得答案；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与正好客厅灯和走廊灯同时亮的情况，再利用概率公式即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键．
19.【答案】解：根据题意得，
解得．
即的取值范围为．
【解析】利用判别式的意义得到，然后解关于的不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
20.【答案】解：如图，为所作．
证明：连接，如图，
平分，
，
，
，
，
，
，
又，
，
即，
点是半径的外端点，
与相切．
【解析】作的垂直平分线交于，再以点为圆心，为半径作圆即可；接着证明得到，然后根据切线的判定定理可判断为的切线．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定．
21.【答案】解：旋转后的三角形如图所示：
由旋转可得，，，≌，
，，
，，
，
又，
，
．
【解析】将绕点逆时针旋转，点旋转后的对应点为，据此可得旋转后的三角形；
依据旋转的性质，即可得到，，≌，再根据等腰三角形的性质，即可得到的度数以及、，最后依据进行计算即可．
此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质的运用，利用图形旋转前后对应线段以及对应角相等得出的度数是解题关键．
22.【答案】解：设销售量与每桶降价之间的函数关系式为：，
将点、代入一次函数表达式得：，
解得：，
故与之间的函数关系式：；
由题意得：，
整理，得：．
解得：，舍去．
元．
答：这种消毒液每桶实际售价为元．
【解析】设与之间的函数表达式为，将点、代入一次函数表达式，即可求解；
根据利润等于每桶的利润乘以销售量得关于的一元二次方程，通过解方程即可求解．
本题主要考查了一元二次方程的应用以及用待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量每件的利润总利润得出一元二次方程是解题关键．
23.【答案】解：如图即为补全的图形．
直线是的切线．
理由如下：
证明：如图，连接，交于．
平分，
．
．
于．
，
于．
直线是的切线．
是的直径，
．
，，
．
，
．
是中点，
．
，
．
，，
四边形是平行四边形．
，
平行四边形是矩形．
．
答：的长为．
【解析】依据题意，即可补全图形；
根据切线的判定定理判断并证明：直线与的位置关系即可；
根据，，圆的半径即可求的长．
本题考查了作图复杂作图、圆周角定理、直线和圆的位置关系、三角形外接圆与外心，解决本题的关键是根据语句准确画图并注明．
24.【答案】证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
连接，，，交于点，
点，关于对称，
，
，
，
又，
≌，
，，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
点，点关于对称．
【解析】连接，由，得，由圆周角定理知，从而得到，即可证明结论；
连接，，，交于点，首先利用证明≌，得，，再利用证明≌，得，．
本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质等知识，综合性较强，要求学生有较强的识图能力，证明≌是解题问题的关键．
25.【答案】解：抛物线的顶点的横坐标为，
，
解得，
，
抛物线经过点，
，
解得，
抛物线的解析式为；
由知，点坐标为，
点关于对称轴的对称点的坐标为，如图，
当时，的最小值为，最大值为，
；
四边形是矩形，理由如下，
如图，由，，可得，
抛物线的顶点坐标为，
，
，
抛物线，
则点坐标为，点坐标为，点坐标为，
直线的解析式为．
点是抛物线与直线的图象的交点，
令．
解得，，
点的坐标为
由平移后的抛物线经过点，可设平移后的抛物线解析式为，
将点代入，得，
则平移后的抛物线解析式为，
令，即，
解得，，
依题意，点的坐标为，
则，
则，
又，
四边形是平行四边形．
，
四边形是矩形．
【解析】首先求出的值，然后把及点的坐标代入抛物线解析式求出的值，抛物线的解析式即可求出；
运用配方法求出顶点，再求得点关于对称轴的对称点的坐标为，根据抛物线的增减性解答即可；
由，，可得，又知抛物线的顶点坐标为，即可求出和的关系，进而得到，，，根据点是直线与抛物线的交点，求出点的坐标，由平移后的抛物线经过点，可设平移后的抛物线解析式为，再求出与之间的关系，再求出点的坐标，根据两对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合即可证明四边形是矩形．
本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，矩形的判定．
第1页，共1页