2021-2022学年福建省泉州实验中学九年级（下）第二次段考数学试卷（含解析）

2021-2022学年福建省泉州实验中学九年级（下）第二次段考数学试卷
题号 一 二 三 四 总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
下列等式成立的是( )
A. B.
C. D.
如图，直线，直角三角板的直角顶点落在直线上，若，则等于( )
A.
B.
C.
D.
下列命题中，正确的是( )
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C. 平行四边形的对角线互相平分且相等
D. 顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是矩形
如图，的三条中线，，相交于点，且四边形的面积是，则图中阴影部分的面积为( )
A.
B.
C.
D.
如图，在中，的垂直平分线与边，分别交于点，已知与的周长分别为和，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
如图，是的直径，，是上的两点，连接，，，若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
元朝朱世杰的算学启蒙一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行十二日，问良马几何日追及之？”意思是：现有良马每天行走里，驽马每天行走里，驽马先走天，问良马几天可以追上驽马？如图是两匹马行走路程关于行走时间的函数图象，则两图象交点的坐标是( )
A. B. C. D.
如图，是反比例函数图象上一点，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，点在轴上，且，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
如图，在矩形中，，，是上任意一点，且于，于，则的值为( )
A. B. C. D. 不能确定
二次函数，若，，点，在该二次函数的图象上，其中，，则( )
A. B.
C. D. 、的大小无法确定
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
若边形的每个内角都为，则______．
已知点，在反比例函数的图象上，则的值为______．
如图，在中，，是斜边上的中线，、分别为、的中点，若，则 ______ ．
如图，在正五边形中，连结，以点为圆心，为半径画圆弧交于点，连接则的度数是______．
如图，在矩形中，，，在边上取点，使的平分线过的中点，则线段的长等于______．
如图，边长一定的正方形，为上一个动点，交于点，过作交于点，作于点，连接，下列结论：；；；为定值；连接，的外心在线段上．一定成立的是______．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
计算：．
四、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
如图，和是顶角相等的等腰三角形，、分别是这两个等腰三角形的底边，求证．
本小题分
先化简，再求值：，其中．
本小题分
如图，在四边形中，，，对角线交于点，平分，过点作交的延长线于点连接．
求证：四边形是菱形；
若，求线段的长．
本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点．
求这个反比例函数的表达式；
为反比例函数的图象上异于点的一点，直线交轴于点，设直线所对应的函数表达式为．
若的面积为，求直线的函数表达式；
作轴，垂足为，求线段的长．
本小题分
如图，在中，，，动点在内部，且．
利用尺规作图在图中作出一个符合题意的点；不写作法，保留作图痕迹
如图，若是的中点，线段与线段的长度存在怎样的等量关系？请说明理由．
本小题分
某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量件是售价元件的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润元的三组对应值如表：
售价元件
周销售量件
周销售利润元
【注：周销售利润周销售量售价进价】
直接写出：此商品进价______元，关于的函数解析式是______不要求写出自变量的取值范围
当售价是多少元件时，周销售利润最大，并求出最大利润．
由于某种原因，该商品进价提高了元件，物价部门规定该商品售价不得超过元件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足中的函数关系．若周销售最大利润是元，求的值．
本小题分
在中，，，，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，点，的对应点分别是，，连接．
如图，当点恰好在上时，求的大小；
如图，若，点是的中点，判断四边形的形状，并证明你的结论．
如图，若点为中点，求证：、、三点共线．求的最大值．
本小题分
已知二次函数，其中为常数．
当时，求的值；用含的式子表示
抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，过点作直线交抛物线于，两点，其中点在第一象限，点在第四象限，连接，分别交轴于点，．
当时，求点的横坐标的值；用含，的式子表示
当时，求证：是一个定值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，因此选项A不符合题意；
B.，因此选项B符合题意；
C.，因此选项C不符合题意；
D.，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据科学记数法、合并同类项以及幂的乘方与积的乘方、平方差公式逐项进行计算即可．
本题考查平方差公式、科学记数法、合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，掌握平方差公式的结构特征、科学记数法、合并同类项法则以及幂的乘方与积的乘方的运算性质是正确判断的前提．
2.【答案】
【解析】解：，，
．
，
．
，
．
故选C．
先根据求出的度数，再由余角的性质得出的度数，根据即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
3.【答案】
【解析】解：、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是真命题，符合题意；
C、平行四边形的对角线平分，原命题是假命题，不符合题意；
D、顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，是假命题，不符合题意；
故选：．
根据矩形、菱形的判定和平行四边形的性质判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
4.【答案】
【解析】解：的三条中线、，交于点，
，，
．
故选：．
根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知，，那么图中阴影部分的面积等于四边形的面积．
本题考查了三角形的重心，三角形的面积，根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分得出该图中，是解题的关键．
5.【答案】
【解析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可得到结论．
解：是的垂直平分线，
，．
的周长是，
，
，
即．
的周长是，
，
，
．
故选：．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
连接，根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算的度数．
【解答】
解：连接，如图，
是的直径，
，
，
．
故答案为．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：设良马天追上驽马，
，
解得，，
天良马行走的路程为里，
故点的坐标为，
故选：．
根据题意可以得到关于的方程，从而可以求得点的坐标，本题得以解决．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8.【答案】
【解析】解：如图，连接、，延长交轴于，则，，
轴，
，
即，
，
，
，
故选：．
根据反比例函数系数的几何意义可得，，根据平行线的性质和三角形的面积公式可得，根据，求出的值即可．
本题考查反比例函数系数的几何意义，根据反比例函数系数的几何意义得出是正确解答的关键．
9.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了矩形的性质以及勾股定理等知识注意准确作出辅助线是解此题的关键．
首先设与相较于点，连接，由在矩形中，，，可求得矩形的面积，与的长，然后由，求得答案．
【解答】
解：设与相较于点，连接，
在矩形中，，，
，，
，，
，，
，
解得：，
故选A．
10.【答案】
【解析】解：，，
．
又，
，
，，
，．
点，在该二次函数的图象上，
，．
．
．
故选：．
首先分析出，，的取值范围，然后用含有代数式表示，，再作差法比较，的大小．
此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征和函数值的大小比较，判断出字母系数的取值范围是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：外角的度数是：，
则．
故答案为：．
首先求得外角的度数，然后利用多边形的外角和是度，列式计算即可求解．
本题考查了正多边形的性质，正确理解多边形的外角和定理是关键．
12.【答案】．
【解析】解：点，在反比例函数的图象上，
，
解得，
，
故答案为：．
根据反比例函数系数得到，解方程即可求得．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是关键．
13.【答案】
【解析】解：在中，，是斜边上的中线，，
，
、分别为、的中点，
是的中位线，
，
故答案为：．
根据直角三角形的性质求出，再根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：正五边形，
，，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
，
故答案为：．
根据正五边形的性质可求出每个内角的度数为，根据等腰三角形的性质可求出，进而可得四边形是平行四边形，求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出答案即可．
本题考查多边形内角与外角，平行四边形的判定与性质，掌握正五边形的性质以及三角形的内角和定理是正确解答的前提．
15.【答案】
【解析】解：如图，延长，交于点，
点是中点，
，
四边形是矩形，
，，
∽，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
故答案为：．
通过证明∽，可求，由平行线和角平分线的性质可得，由勾股定理可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：如图：作于，连接，，
，
，，，四点共圆，
，，
，
由等角对等边知，，故正确．
由同角的余角相等知，，
≌，
，故不正确，
，
三角形绕点顺时针旋转度至，使和重合，在连接，证明三角形≌，得，
则，，
点在上，有，故正确．
，，、不一定相等，
、不一定相等，
不一定是的中垂线，
的外心不一定在线段上．故不一定成立．
如图，作，垂足为，作，垂足为，点是对角线上的点，
四边形是正方形，有，
≌，
，
，
：：，
，故不正确．
故答案为：．
由题可知，，，四点共圆，进而可得出，由等角对等边知，，故正确；
由同角的余角相等知，，所以≌，即可得出结论，故不正确；
先由题意得出四边形是正方形，进而证出≌，因为，所以，而：：，所以，故不正确；
因为，在作，且使，，所以≌，≌，有，，，即可得出结论，故正确；
由于、不一定相等，故AC不一定是的中垂线，故不一定成立．
本题利用了正方形的性质，四点共圆的判定，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质求解．
17.【答案】解：
．
【解析】利用乘方运算，算术平方根定义，特殊角的三角函数值，绝对值的定义，负整数指数幂运算计算即可．
本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握乘方运算，算术平方根定义，特殊角的三角函数值，绝对值的定义，负整数指数幂运算．
18.【答案】证明：和都是等腰三角形，且，
，，，
在和中，
，
≌，
．
【解析】由和都是等腰三角形且知、、，证≌即可得出结论．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质与全等三角形的判定和性质．
19.【答案】解：原式
，
当时，
原式
．
【解析】根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的加减运算法则，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
20.【答案】解：，
，
为的平分线，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是菱形；
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
．
【解析】先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论；
先判断出，再求出，根据相似三角形的性质即可得出结论．
此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出是解本题的关键．
21.【答案】解：把代入，得，
，
点坐标为：，
，
则反比例函数表达式为：；
的面积为，，
，
把代入，得，
点坐标为：，
点的坐标为：，
把、点的坐标代入，得
解得：，
直线的函数表达式为；
把代入得得，则，
令，得，
点的坐标为：，
当时，
解得：，，
点的坐标为：，
，
．
【解析】直接利用点横坐标代入求出的值，进而得出的值；
直接利用的面积为，得出的长进而得出点坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可得出答案；
由一次函数表示出点的坐标，根据一次函数与反比例函数的交点求法表示出点坐标，得出，进而即可求得的长．
此题主要考查了反比例函数综合以及一次函数与反比例函数的交点求法等知识，正确表示出，的长是解题关键．
22.【答案】解：作线段的垂直平分线，交于点；
在线段的延长线上截取；
以点为圆心，为半径画圆，在优弧上任意取一点不含端点即为所求作的一个符合题意的点；
理由如下：
如图，连接，，
由作法可知：，互相垂直平分，
四边形是菱形，
，
四边形是正方形，
，，
点在圆上，
，
；
，理由如下：
如图，连接，，
四边形是正方形，是的中点，，
经过点，，，，
在中，
，
在中，
，
，
，
，
，
∽，
，
．
【解析】作线段的垂直平分线，交于点；在线段的延长线上截取；以点为圆心，为半径画圆，在优弧上任意取一点不含端点即为所求作的一个符合题意的点；
结合的图形连接，，根据正方形的性质证明∽，进而可以解决问题．
本题属于几何综合题，考查了作图复杂作图，相似三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，正方形的判定与学习者，勾股定理，解直角三角形，解决本题的关键是得到∽．
23.【答案】解：；；
由题意得：，
二次项系数，抛物线开口向下，
当售价是元件时，周销售利润最大，最大利润是元；
由题意得：
，
二次项系数，抛物线开口向下，对称轴为，
又，当时，随的增大而增大，
当时，有最大值，
，
解得：．
周销售最大利润是元时，的值为．
【解析】
【分析】
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键．
该商品进价售价周销售利润周销售量；设关于的函数解析式为，用待定系数法求解即可；
根据周销售利润周销售量售价进价，列出关于的二次函数，根据二次函数的性质可得答案；
根据周销售利润周销售量售价进价，列出关于的二次函数，根据题意及二次函数的性质得出取得最大利润时的售价，再列出关于的方程，求解即可．
【解答】
解：该商品进价是元件；
设关于的函数解析式为，
将，分别代入得：
，解得
关于的函数解析式为；
故答案为：；；
见答案；
见答案．
24.【答案】解：将绕点顺时针旋转一定的角度得到，
，，，
，
；
解：四边形是平行四边形，理由如下：
点是边中点，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
绕点顺时针旋转得到，
，，，，
，为等边三角形，
，
，，，
≌，
，
，
而，
四边形是平行四边形；
证明：如图，连接，，，
将绕点顺时针旋转一定的角度得到，
，，
为中点，
，
，
而，
点、点、点、点四点共圆，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
，
点，点，点三点共线；
解：在中，，，，
，
点、点、点、点四点共圆，，
是直径，
最大值为．
【解析】由旋转的性质可得，，，由等腰三角形的性质可求，即可求解；
由旋转的性质可得，，，，由“”可证≌，可得，即可求解；
通过证明点、点、点、点四点共圆，点，点，点，点四点共圆，可得，，可得结论；
由直角三角形的性质可求，由圆中直径最大可求解．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，圆的有关知识，平行四边形的判定，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
25.【答案】解：当时，，
，
或，
，；
解：当时，由可知：，，
，
，
，
点在点的左侧，
，
设直线的解析式为，
，，
，解得：，
直线的解析式为，
联立方程组，得：，
消去，得：，
由根与系数关系，得，
；
证明：当时，二次函数解析式为，
，，
，
，
，
直线的解析式为：，
联立方程组，得：，
，
，，
即，
直线过点，
，
，
，
，
、不重合，即，
，
为定值．
【解析】令，得：，运用因式分解法解一元二次方程即可；
当时，利用不等式性质可得：，根据点在点的左侧，可得，利用待定系数法求得直线的解析式为，联立方程组，消去，得：，由根与系数关系，得，即可得出答案；
当时，二次函数解析式为，根据条件可得，，再根据直线过点，可推出，即可求解．
本题考查二次函数的性质，待定系数法，一次函数图象和性质，一元二次方程根与系数关系等，此题综合性较强，熟练掌握二次函数的图象及性质、灵活应用根与系数的关系是解题的关键．
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