2022-2023学年河南省洛阳市宜阳县九年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

2022-2023学年河南省洛阳市宜阳县九年级（上）月考数学试卷（12月份）
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
若二次根式有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
成语是汉语言的“活化石”，具有很强的表现力．成语“空中楼阁”所描述的事件是( )
A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 无法确定
下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
如图，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为米，那么这两树在坡面上的距离为( )
A.
B.
C.
D.
为了更好地落实“双减”政策，学校设置了以实践探究为主的个性化作业．如图是某学生设计的电路图，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是( )
A.
B.
C.
D.
如图，在网格图中，小正方形的边长均为，点、、都在格点上，则的正切值是( )
A.
B.
C.
D.
为加快建设“河洛书苑”城市书房，打造分钟“文化阅读圈”，推动“书香洛阳”建设，洛阳市一座座“河洛书苑”城市书房如雨后春笋般涌现．据统计，某“河洛书苑”第一个月进馆人次，进馆人次逐月增加，到第三个月月末累计进馆人次，若进馆人次的月平均增长率相同．设进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为( )
A.
B.
C.
D.
在中，若，则的度数是( )
A. B. C. D.
如图，在矩形中，，，是的中点，是边上一点不与、重合，连接，，若，则的值是( )
A. B. C. D. 或
如图，在中，，，点是上一点，连结若，，则的长为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
请写出一个未知数为，常数项为且它的一个根为的一元二次方程______．
在一个不透明的布袋中，有红球、白球共个，它们除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在，则随机从口袋中摸出一个球是红球的概率是______．
如图，在中，，，，是中位线，则的长为______．
如图，、分别是中、边上的高，，，则 ______ ．
如图，在平行四边形中，，，按以下步骤作图：以点为圆心，以适当长为半径作弧，交，于，两点；分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，交于点则的长度为______．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
计算：；
解方程：．
本小题分
先化简，再求值：，其中．
本小题分
如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点网格线的交点上，已知点，．
将向右平移个单位长度得到，请画出；
将绕点顺时针旋转，画出所得的，并写出点，的坐标；
以点为位似中心，缩小，使缩小后的三角形与的位似比为：，画出缩小后的三角形．
本小题分
为了弘扬中华民族优秀传统文化，某班举行“汉字听写”比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为，，，四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题：
求参加比赛的学生的总人数，并补全条形统计图；
在扇形统计图中，的值为______，表示“等级”的扇形所对应的圆心角为______度；
该班决定从本次比赛获得等级的学生中，选出两名去参加全校中学生“汉字听写”大赛．已知等级学生中男生有名，请用列表法或画树状图法求出所选两名学生恰好是名男生和名女生的概率．
本小题分
如图，港口位于港口的南偏东方向，灯塔恰好在的中点处．一艘海轮位于港口的正南方向，港口的正西方向的处，它沿正北方向航行到达处，测得灯塔在北偏东方向上，这时，处距离港口有多远？参考数据：，，
本小题分
为提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种新型电子产品进行提价销售．根据市场调查，当这种电子产品销售单价定为元个时，平均每天可售出个，若每次销售单价每个提高元，则平均每天就少售出个，已知每个电子产品的固定成本为元．
若这种电子产品销售单价每个提高元，则平均每天可售出多少个？
既要考虑公司的利润，保证公司每天可获利元，又要让利于消费者，这种电子产品的销售单价定为多少合适？
本小题分
【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容，
例如图，在中，，，试求出的三个三角函数值．
结合图，写出解题过程．
【结论应用】如图，作图中斜边上的高，求的长；
如图，是图中线段上的点，连结，将沿翻折得到，使点的对应点落在的延长线上，连结，求四边形的面积．
本小题分
定义：如图，在中，把绕点逆时针旋转并延长一倍得到，把绕点顺时针旋转并延长一倍得到，连结当时，称是的“倍旋三角形”，边上的中线叫做的“倍旋中线”．
解决问题：如图，当，时，则“倍旋中线”长为______；如图，当为等边三角形时，“倍旋中线”与的数量关系为______；
拓展探究：在图中，当为任意三角形时，猜想“倍旋中线”与的数量关系，并给予证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【解答】
解：由题意得，，
解得，，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：空中楼阁是不可能事件．
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断事件的类型即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3.【答案】
【解析】解：、与不能合并，所以选项错误；
B、原式，所以选项错误；
C、原式，所以选项准确；
D、原式，所以选项错误．
故选：．
根据二次根式的加减法对、进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据二次根式的除法法则对进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
4.【答案】
【解析】解：如图，过点作于点，
在中，
米，．
．
故选：．
利用所给的角的余弦值求解即可．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
5.【答案】
【解析】解：列表如下：
共有种等可能的情况，必须闭合开关灯泡才亮，能让灯泡发光的有种情况，
则能让灯泡发光的概率是．
故选：．
采用列表法列出所有情况，再根据能让灯泡发光的情况利用概率公式进行计算即可求解．
本题考查了列表法与画树状图求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
6.【答案】
【解析】解：如图，在中，
，，
则的正切值是．
故选：．
如图，根据勾股定理可求，，再根据正切的定义可求的正切值．
此题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，关键是根据勾股定理求得，．
7.【答案】
【解析】解：某“河洛书苑”第一个月进馆人次，且进馆人次的月平均增长率为，
第二个月进馆人次，第二个月进馆人次．
根据题意得：．
故选：．
根据第一个月的进馆人次数及进馆人次的月平均增长率，可得出第二个月进馆人次，第二个月进馆人次．，结合到第三个月月末累计进馆人次，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是非负数的性质的应用、特殊角的三角函数值的计算和三角形内角和定理的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出、的度数，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】
解：由题意得，，，
即，，
解得，，，
，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
∽，
，
，，
，
或，
故选：．
证明∽，进一步求得结果．
本题考查了矩形性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形性质，解一元二次方程等知识，解决问题的关键是熟练掌握“一线三等角”模型．
10.【答案】
【解析】解：过点作于，
，，
，，
，
在中，，，
，
解得，
，
，
，
，
，
故选：．
过点作于，由锐角三角函数的定义可得，再解直角三角形可求得的长，利用勾股定理可求解的长，进而求解的长．
本题主要考查解直角三角形，勾股定理，构造适当的直角三角形是解题的关键．
11.【答案】答案不为一
【解析】解：构造方程：答案不为一．
故答案为：答案不为一．
构造一个符合题意一元二次方程即可．
本题考查了构造一元二次方程，要结合一元二次方程的定义来解答．
12.【答案】
【解析】解：通过多次摸球试验后发现，其中摸到红球的频率稳定在，
估计摸到红球的概率为，
故答案为：．
根据大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率可得答案．
本题主要考查了频率与概率的关系，解题的关键是熟练掌握：经过大量重复实验后，频率会稳定在一个常数，就可以估计这个事件发生的概率．
13.【答案】
【解析】解：，，
，
又是中位线，
．
故答案为：．
先由含角的直角三角形的性质，得出的长，再由三角形的中位线定理得出的长即可．
本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握含角的直角三角形的性质及三角形的中位线定理．
14.【答案】
【解析】解：、分别是中、边上的高，
，
，
，，，
，
，
，
故答案为：．
根据、分别是中、边上的高，可以求得和的关系，，，可以求得的长，从而可以求出的三角函数值，进而可以得到的三角函数值，本题得以解决．
本题考查解直角三角形，解题的关键找出各个角之间的关系，利用等角的三角函数值相等，可以求得所求的角的三角函数值．
15.【答案】
【解析】解：由作图知，平分，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
是等边三角形，
，
，
∽，
，
过作交的延长线于，
，，
，，
，
．
故答案为：．
由作图知，平分，根据角平分线的定义得到，根据平行四边形的性质得到，，求得，推出是等边三角形，得到，根据相似三角形的性质得到，过作交的延长线于，根据勾股定理得到的长，于是得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
16.【答案】解：
；
，
，
或，
所以，．
【解析】分别根据绝对值的性质，负整数指数幂的定义，任何非零数的零次幂等于以及特殊角的三角函数值计算即可；
方程利用因式分解法求解即可．
本题考查了实数的运算以及解一元二次方程，掌握相关定义与运算法则是解答本题的关键．
17.【答案】解；原式

，
当时，
原式


【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再代入进行计算即可．
本题考查分式的化简求值，化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
18.【答案】解：如图，即为所求．
如图，即为所求．
，．
如图，和即为所求．
【解析】根据平移的性质作图即可．
根据旋转的性质作图，进而可得出点和的坐标．
根据位似的性质作图即可．
本题考查作图平移变换、旋转变换、位似变换，熟练掌握平移、旋转、位似的性质是解答本题的关键．
19.【答案】
【解析】解：根据题意得：人，
参赛学生共人，
则等级人数人．
补全条形图如下：
等级的百分比为，即，
表示“等级”的扇形的圆心角为，
故答案为：，．
记所选的两名学生分别为第一名和第二名．根据题意，列表表示出所有可能出现的结果如下：
第二名
第一名 男 女 女
男 男，女 男，女
女 女，男 女，女
女 女，男 女，女
由表可知共有种等可能的结果，其中所选两名学生恰好是名男生和名女生的结果有种，
所选两名学生恰好是名男生和名女生．
根据等级为的人数除以所占的百分比求出总人数，由各等级人数之和等于总人数求出等级人数可补全条形图；
根据级的人数求得等级扇形圆心角的度数，由等级人数及总人数可求得的值；
列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
此题考查了条形统计图，扇形统计图以及列表法与树状图法，弄清题意，从条形图和扇形图得到解题所需数据是解本题的关键．
20.【答案】解：如图作于设，
在中，，
，
，
在中，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
处距离港口有．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用--方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
如图作于设，在中，可得，在中，可得，由，推出，由，推出，可得，求出即可解决问题．
21.【答案】解：个．
答：平均每天可售出个．
设销售单价每个提高元．
根据题意，得．
解得，．
要让利于消费者，
．
．
答：这种电子产品的销售单价定为元个合适．
【解析】根据这种电子产品销售单价定为元时，每天可售出个；若销售单价每提高元，每天就少售出个，可得现在销售数量；
根据单件利润销售量总利润，列方程求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用、一元二次方程的解法，理解题意找到题目蕴含的相等关系列出方程是解题的关键．
22.【答案】解：【教材呈现】在中，，
由勾股定理，得．
，
，
．
【结论应用】
在中，，
，
．
将沿翻折得到，使点的对称点落在的延长线上，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】【教材呈现】根据锐角三角函数的定义可求出答案；
【结论应用】在中，根据可求出答案；
由折叠的性质得出，，求出的长，由直角三角形的性质得出，可求出的长，则可求出的长，则可求出答案．
本题是四边形综合题，考查了直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，折叠的性质，勾股定理等知识，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：，，
，
根据题意知，，，
，
∽，
，
，
在中，是斜边中线，
，
；
如图，
是等边三角形，
，，
是的中线，
，，，
，
，
由题意知，，，
，
由题意知，，，
，
过点作于，
，
在中，，
，
，
故答案为：，；
，理由：由题意知，，，
如图，延长到，使，连接，，
，
是的中线，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
．
如图，先判断出∽，得出，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可得出结论；
如图，先利用等边三角形的性质得出，再利用含度角的直角三角形的性质得出，同理，得出，即可得出结论；
先判断出四边形是平行四边形，得出，，进而得出，利用两边成比例夹角相等判断出∽，即可得出结论．
此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，判断出∽是解本题的关键．
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