北师大版九年级上册数学 4.2 平行线分线段成比例 教案

2．平行线分线段成比例
学情分析：
学生在本章前两课时的学习中，通过对相似图形的直观感知，体会到可以用对应线段长度的比来描述两个形状相同的平面图形的大小关系。从而认识了线段的比和成比例线段。通过对方格纸中成比例线段的探究，了解了合比性质与等比性质，并在探究活动中积累了一定的合作交流的经验，培养了提出问题与解决问题的能力。同时学生通过对合比性质与等比性质的演绎证明，也进一步发展了学生逻辑推理能力。本节课通过一问题导入，体会从“特殊”到“一般”的数学思想方法，把“一般的”转化为“特殊的”数学解题方法，为后续的几何学习和数学思想方法的运用打下坚实的基础。
（一）、教学目标：
1、知识目标
理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用平行线分线段成比例定理解题。
2、 能力目标
通过定理的应用，培养识图能力和推理论证能力。
3、 情感与价值观目标
（1）、培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值。
（2）、在进行探索的活动过程中发展学生的探索发现归纳意识并养成合作交流的习惯。
（二）、教学重难点：
1、教学重点：平行线分线段成比例定理和推论及其应用。
2、教学难点：平行线分线段成比例定理及推论的灵活应用，平行线分线段成比例定理的变式。
（三）、教学过程分析：
第一环节：回顾复习（教师提问，学生回答）
前面两节课我们学习了什么知识：
（1）什么是成比例线段？
（2）比例的基本性质是什么
（3）等比的性质是什么
设计意图：
（1）复习成比例线段的内容，回顾上节课通过方格纸探究成比例线段性质的过程。
第二环节：小组活动，探究定理：
问题1：
已知：如图，直线m，n被一组平行线11，12，13，所截，
（1）如图①，当A1A2 ：A2A3=1：1时，则线段B1B2 ：B2B3= ,通过这个问题你能得出什么结论，请用语言表述。
（2）请你运用（1）中的结论解决下列问题：
①、如图②，当A1A2 ：A2A3=1：2时，则线段B1B2 ：B2B3= ,
②、如图③，当A1A2 ：A2A3=2：3时，则线段B1B2 ：B2B3= ,
③、如图④，当A1A2 ：A2A3=m：n时，则线段B1B2 ：B2B3= ,以上的结论你是怎么得到的？请你证明你的结论。
（3）通过以上的题目，你能归纳出什么结论？请表述你的结论。
平行线分线段成比例定理：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
设计意图：
①、问题（1）中设置了最特殊的一种情况，一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么它在其它直线上截得的线段也相等。通过这个结论的探究及证明，掌握该定理的探究及证明方法，并会用已学的知识来解决问题，提高分析问题和解决问题的能力。
②、问题（2）中的问题是问题（1）中一般情况，通过1：2或2：3等与1：1的比较，把1：2或2：3等转化为1：1的形式，让学生经历一般问题转化为特殊问题来解决，体会转化的数学思想方法，同时学会运用问题（1）中的结论，学会运用已有知识解决未知问题的方法。通过本问的学习，即探究了本节课定理，又学会了“一般的问题”从“特殊的问题”的入手，“一般”的转化为“特殊”的来解决。
问题2：议一议：
提问：1.如何理解“对应线段”？
2.平行线分线段成比例定理的符号语言如何表示？
3.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？
若a ∥b∥ c ，则。
由比例的性质还可以得到：，，等。
设计意图：
让学生在探究得出结论的基础上，对平行线分线段成比例定理的有进一步的理解。并掌握定理的符号语言，进一步发展推理能力。让学生从几何直观上很容易找出“对应线段”。利用比例的性质写出成比例线段时，感觉结论很多，老师这时可以引导总结出成比例线段的特点，那就是都体现了“对应”二字。
问题3：
如图3，直线a ∥b∥ c ，分别交直线m,n于 A1，A2，A3，B1，B2，B3。过点A1作直线n的平行线，分别交直线b，c于点C2，C3。（如图4 ），图4中有哪些成比例线段？
推论：
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。
设计意图：
让学生运用平行四边形的性质推理得出平行线等分线段定理的推论，学生已经学习过特殊四边形的性质与证明，所以很容易得出A1C2=B1B2，C2C3=B2B3，进而得出推论。而且让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力。加深对平行线分线段成比例定理及其推论的理解，发展学生的应用能力。
例1、如图，在△ABC中，E、F分别是AB和AC上的点，且 EF∥BC,
（1）如果AE = 7, FC = 4，那么AF的长是多少？
（2）如果AB = 10, AE=6，AF = 5，那么FC的长是多少？
证明：∵ EF∥BC， 证明∵ EF∥BC，
第三环节：巩固提升：
1、 如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4，
AB=3，EC=1，求AD和BD的长。
2、如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB，OC上，且DF∥AC，EF∥BC。
求证：
证明：∵ DF∥AC
∴
∴
∴
同理
∴
设计意图：
通过对平行线分线段成比例定理的简单应用，规范书写格式，培养学生严谨的逻辑推理能力，深化对知识的理解。由学生直观操作得出的结论与简单推理进行有机结合，是对探索活动的自然延续和必要发展，实现理性升华，培养语言表达能力。
第四环节：课堂小结：
本节课你学习了哪些知识？（学生回答）
1、平行线分线段成比例定理：
(1)两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（关键要能熟练地找出对应线段）。
(2)平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。
2、要熟悉该定理的几种基本图形
设计意图：
通过师生反思评价，进行知识的系统归纳，对知识和方法进行总结，并通过练习全面巩固平行线分线段成比例定理及其推论。
A
B
C
D
E
（图3） (图4）
图2
图1
图4
图3
PAGE
7