直线的倾斜角与斜率[下学期]
图片预览
文档简介
课题：直线的倾斜角与斜率（教案）
浙江省遂昌中学 323300 毛恒根
【教学目标】
1.知识与技能：理解直线倾斜角与斜率的概念；掌握过两点的直线斜率计算公式及初步运用；
2.过程与方法：体验用代数方法刻画直线的斜率过程；经历质疑，观察，归纳，联想等过程，培养学生对数学知识的理解运用和转化能力；培养学生的自主探索精神和分类讨论，数形结合的数学思想方法。
1． 情感态度与价值观：让学生在民主、和谐的共同活动中感受学习的乐趣，
师生共同构建和谐课堂。
【教学重点、难点与关键】
1． 重点：直线倾斜角与斜率角的概念
2． 难点：斜率概念的学习和过两点斜率公式的建立过程
3． 关键点：帮助学生寻找“数”、“形”之间的联系。
【教学方法与手段】
教学方法：发现式探究教学法
教学手段：多媒体辅助教学。
【教学过程】：
1、 利用斜拉式大桥引课：
如何固定钢索？这些钢索的位置关系怎么样？
利用平面直角坐标系画出右图：
两点确定一条直线，过一点直线不唯一。
经过点P 一个直线l 1， l 2 ， l 3 ，… 区别在哪里呢？
这些直线倾斜程度不同．
怎样描述直线的倾斜程度呢？从而引出倾斜角的概念：
二、新课教学
（一）倾斜角的概念
定义:当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α叫做直线 l 的倾斜角．
1.强调角的两边——直线向上的方向和x轴的正向；
顶点在x轴上。
2.探究1：让学生讨论倾斜角的范围，
然后利用几何画板动画演示观察直线 l与x轴的位置关系，
平行于x轴或与x轴重合的直线，我们规定它的倾斜角为0度。
数形结合，得出倾斜角的取值范围[0，π）
3.根据直线与x轴相交的四种情况，探求平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素：
1）平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角;
2）倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角;
3）倾斜角相同的直线位置不同
得出结论：可以用倾斜角表示直线的倾斜程度．
直线上的一个定点以及它的倾斜角可以确定平面直角坐标中的一条直线位置。
（二）直线的斜率的概念
一.课件展示汽车上坡图,回顾初中所学的坡度概念：
“进2升3”与“进2升2”比较，哪个更陡一些？
比值即角α的正切值也可以表示直线的倾斜程度。
得出斜率的定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.
通常用小写字母k表示，即
利用上式可以知角求斜率，列举特殊角的斜率.
学生探究2：1）倾斜角是 900的直线有斜率吗？
2)斜率与倾斜角有何联系
说明：1）k可看作关于α的函数，其定义域为 值域(－∞，＋∞)，画图象，观察其单调性。理解斜率与倾斜角之间的对应关系。
2）倾斜角α不是90°的直线都有斜率，并且倾斜角不同，直线的斜率也不同．
3）有斜率必有倾斜角，有倾斜角未必有斜率。
因此，斜率是一个从“数”的方面表示直线的倾斜程度的量．
利用几何画板动画演示观察斜率与倾斜角的数值变化，图形变化：
得出结论：当α为锐角时，k>0 ，单调递增;当α为钝角时，k<0; 单调递增
当α为直角是，k不存在,当α为00，k=0.
（三）直线的斜率坐标公式
直线上的一个定点以及它的倾斜角（斜率）可以确定平面直角坐标中的直线位置。
学生探究3：已知两点P1（ x1 ，y1）， P2 （ x2 ，y2）可以确定一条直线，那么又如何去求其斜率呢？：
板书：推导：给定两点P1（ x1 ，y1）， P2 （ x2 ，y2），
并且x1 ≠x2，
如何计算直线P1 P2的斜率k．
1．如何把倾斜角转化到三角形中？
2、理清三点之间的坐标联系。
α为锐角时，
α为钝角和P1 P2的顺序变化的三种情况利用（多媒体展示）
最终推导出斜率的坐标公式：
3．分析斜率公式：
学生探究：
1．已知直线上两点P1（ x1 ，y1）， P2 （ x2 ，y2）
运用上述公式计算直线 AB斜率时，与P1 P2两点坐标的顺序有关吗？
2．公式中若x1 =x2时，斜率存在吗？此时直线与x轴的位置关系如何？
结合图象，直线与y轴平行或重合，说明此时斜率不存在。
此时倾斜角恰好为900
3. 公式中，若y1= y2斜率存在吗？此时直线与x轴的位置关系如何？
结合图象，直线与x轴平行或重合，说明此时斜率存在且为0。
师生共同总结：
则其斜率公式 使用条件是 x1 ≠x2
练习（选一选）
下列关于直线的倾斜角和斜率的说法，其中 D F 是正确.
A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；
B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；
C.平行于x轴的直线的倾斜角是0或π；
D.两直线的斜率相等，它们的倾斜角相等
E.两直线的倾斜角相等，它们的斜率相等.
F.直线斜率的范围是(－∞，＋∞).
（三）例题教学
例1 如图 ，已知A（3，2），B（-4，1）， C（0，-1），求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
（略讲）
例2、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率为1
变式：画出经过原点且斜率为-3的直线l2,
经过原点且斜率为1的直线易画：
理由：直线上的一个定点以及它的倾斜角可以
确定平面直角坐标中的直线位置。
学生探索：倾斜角不易找出时，如何准确画出直线？
教师点拔：利用两点确定一条直线原理作图较简。
练习：经过原点且斜率为2直线l3
例3 已知A(-3,-5),B(1,3),C(5,11)三点，证明这三点在同一条直线上.
根据学生回答，探求解题方法。
斜率法：用同一直线上任意两点所确定的斜率地相等的。
向量法：
代数法：利用AB+BC=AC
变式练习：线的斜率k=3,A(2,1),B(1,x),C(y,-6)是这条直线上的三个点，
则 x= -2 ,y= -1/3 .
四、练习巩固：
1、已知直线l经过C（18，8），D（4，－4）两点 , 则l的倾斜角为( A )
(A)锐角 (B)钝角 (C)直角 (D)不确定
2．已知点A（- m，2），B（5，3m)
（1）m= 12 时，过点A、B的直线的斜率为2.
（2）m = -3/4 时，过点A、B的直线的倾斜角为135°.
设计意图：使学生进一步熟练对倾斜角，斜率的定义及斜率公式的理解。
五、课堂小结
1、倾斜角和斜率的概念：
（1）都是刻画直线倾斜程度的两个量。一个从形方面，一个从数方面。
（2）任何一条直线都有唯一的倾斜角，但不一定有斜率
（3）倾斜角取值范围[0，π）
2．求斜率的方法：k=tanα，
3、数学思想方法：分类讨论思想，数形结合思想。 以数解形-----解析几何
六、布置作业
七、 附:板书设计.
一、倾斜角的定义； 斜率推导过程：…… 图象
倾斜角取值范围[0，π） 例1
二、直线斜率
k=tanα(α≠900)
三、过两点的斜率公式：
A
B
C
L3
L2
L1
L4
A
P1
B
C
P2
Q
Q
P2
P1
α
浙江省遂昌中学 323300 毛恒根
【教学目标】
1.知识与技能：理解直线倾斜角与斜率的概念；掌握过两点的直线斜率计算公式及初步运用；
2.过程与方法：体验用代数方法刻画直线的斜率过程；经历质疑，观察，归纳，联想等过程，培养学生对数学知识的理解运用和转化能力；培养学生的自主探索精神和分类讨论，数形结合的数学思想方法。
1． 情感态度与价值观：让学生在民主、和谐的共同活动中感受学习的乐趣，
师生共同构建和谐课堂。
【教学重点、难点与关键】
1． 重点：直线倾斜角与斜率角的概念
2． 难点：斜率概念的学习和过两点斜率公式的建立过程
3． 关键点：帮助学生寻找“数”、“形”之间的联系。
【教学方法与手段】
教学方法：发现式探究教学法
教学手段：多媒体辅助教学。
【教学过程】：
1、 利用斜拉式大桥引课：
如何固定钢索？这些钢索的位置关系怎么样？
利用平面直角坐标系画出右图：
两点确定一条直线，过一点直线不唯一。
经过点P 一个直线l 1， l 2 ， l 3 ，… 区别在哪里呢？
这些直线倾斜程度不同．
怎样描述直线的倾斜程度呢？从而引出倾斜角的概念：
二、新课教学
（一）倾斜角的概念
定义:当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α叫做直线 l 的倾斜角．
1.强调角的两边——直线向上的方向和x轴的正向；
顶点在x轴上。
2.探究1：让学生讨论倾斜角的范围，
然后利用几何画板动画演示观察直线 l与x轴的位置关系，
平行于x轴或与x轴重合的直线，我们规定它的倾斜角为0度。
数形结合，得出倾斜角的取值范围[0，π）
3.根据直线与x轴相交的四种情况，探求平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素：
1）平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角;
2）倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角;
3）倾斜角相同的直线位置不同
得出结论：可以用倾斜角表示直线的倾斜程度．
直线上的一个定点以及它的倾斜角可以确定平面直角坐标中的一条直线位置。
（二）直线的斜率的概念
一.课件展示汽车上坡图,回顾初中所学的坡度概念：
“进2升3”与“进2升2”比较，哪个更陡一些？
比值即角α的正切值也可以表示直线的倾斜程度。
得出斜率的定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.
通常用小写字母k表示，即
利用上式可以知角求斜率，列举特殊角的斜率.
学生探究2：1）倾斜角是 900的直线有斜率吗？
2)斜率与倾斜角有何联系
说明：1）k可看作关于α的函数，其定义域为 值域(－∞，＋∞)，画图象，观察其单调性。理解斜率与倾斜角之间的对应关系。
2）倾斜角α不是90°的直线都有斜率，并且倾斜角不同，直线的斜率也不同．
3）有斜率必有倾斜角，有倾斜角未必有斜率。
因此，斜率是一个从“数”的方面表示直线的倾斜程度的量．
利用几何画板动画演示观察斜率与倾斜角的数值变化，图形变化：
得出结论：当α为锐角时，k>0 ，单调递增;当α为钝角时，k<0; 单调递增
当α为直角是，k不存在,当α为00，k=0.
（三）直线的斜率坐标公式
直线上的一个定点以及它的倾斜角（斜率）可以确定平面直角坐标中的直线位置。
学生探究3：已知两点P1（ x1 ，y1）， P2 （ x2 ，y2）可以确定一条直线，那么又如何去求其斜率呢？：
板书：推导：给定两点P1（ x1 ，y1）， P2 （ x2 ，y2），
并且x1 ≠x2，
如何计算直线P1 P2的斜率k．
1．如何把倾斜角转化到三角形中？
2、理清三点之间的坐标联系。
α为锐角时，
α为钝角和P1 P2的顺序变化的三种情况利用（多媒体展示）
最终推导出斜率的坐标公式：
3．分析斜率公式：
学生探究：
1．已知直线上两点P1（ x1 ，y1）， P2 （ x2 ，y2）
运用上述公式计算直线 AB斜率时，与P1 P2两点坐标的顺序有关吗？
2．公式中若x1 =x2时，斜率存在吗？此时直线与x轴的位置关系如何？
结合图象，直线与y轴平行或重合，说明此时斜率不存在。
此时倾斜角恰好为900
3. 公式中，若y1= y2斜率存在吗？此时直线与x轴的位置关系如何？
结合图象，直线与x轴平行或重合，说明此时斜率存在且为0。
师生共同总结：
则其斜率公式 使用条件是 x1 ≠x2
练习（选一选）
下列关于直线的倾斜角和斜率的说法，其中 D F 是正确.
A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；
B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；
C.平行于x轴的直线的倾斜角是0或π；
D.两直线的斜率相等，它们的倾斜角相等
E.两直线的倾斜角相等，它们的斜率相等.
F.直线斜率的范围是(－∞，＋∞).
（三）例题教学
例1 如图 ，已知A（3，2），B（-4，1）， C（0，-1），求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
（略讲）
例2、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率为1
变式：画出经过原点且斜率为-3的直线l2,
经过原点且斜率为1的直线易画：
理由：直线上的一个定点以及它的倾斜角可以
确定平面直角坐标中的直线位置。
学生探索：倾斜角不易找出时，如何准确画出直线？
教师点拔：利用两点确定一条直线原理作图较简。
练习：经过原点且斜率为2直线l3
例3 已知A(-3,-5),B(1,3),C(5,11)三点，证明这三点在同一条直线上.
根据学生回答，探求解题方法。
斜率法：用同一直线上任意两点所确定的斜率地相等的。
向量法：
代数法：利用AB+BC=AC
变式练习：线的斜率k=3,A(2,1),B(1,x),C(y,-6)是这条直线上的三个点，
则 x= -2 ,y= -1/3 .
四、练习巩固：
1、已知直线l经过C（18，8），D（4，－4）两点 , 则l的倾斜角为( A )
(A)锐角 (B)钝角 (C)直角 (D)不确定
2．已知点A（- m，2），B（5，3m)
（1）m= 12 时，过点A、B的直线的斜率为2.
（2）m = -3/4 时，过点A、B的直线的倾斜角为135°.
设计意图：使学生进一步熟练对倾斜角，斜率的定义及斜率公式的理解。
五、课堂小结
1、倾斜角和斜率的概念：
（1）都是刻画直线倾斜程度的两个量。一个从形方面，一个从数方面。
（2）任何一条直线都有唯一的倾斜角，但不一定有斜率
（3）倾斜角取值范围[0，π）
2．求斜率的方法：k=tanα，
3、数学思想方法：分类讨论思想，数形结合思想。 以数解形-----解析几何
六、布置作业
七、 附:板书设计.
一、倾斜角的定义； 斜率推导过程：…… 图象
倾斜角取值范围[0，π） 例1
二、直线斜率
k=tanα(α≠900)
三、过两点的斜率公式：
A
B
C
L3
L2
L1
L4
A
P1
B
C
P2
Q
Q
P2
P1
α