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第02讲 整式的加减
【学习目标】
1．理解并掌握单项式与多项式的相关概念；
2．理解整式加减的基础是去括号和合并同类项，并会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的加减运算、求值；
3．深刻体会本章体现的主要的数学思想----整体思想
【基础知识】
知识点01:整式的相关概念
1．单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．
（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．
2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．
要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．
（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．
（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．
3. 多项式的降幂与升幂排列：
把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．
要点诠释：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应连同它的符号一起移动位置；
（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列．
4．整式：单项式和多项式统称为整式．
知识点02:整式的加减
1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项．
要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：
（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；
（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关．
2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变．
3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．
4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变．
5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项．
【考点剖析】
考点一：代数式求值
例1．（2021秋 曲靖期末）某商场销售一种乒乓球拍和乒乓球，球拍每个定价30元，乒乓球每盒定价6元，商场在开展促销活动中，向客户提供两种优惠方案：
①买一个球拍送一盒乒乓球；
②球拍和乒乓球都按定价的九折付款．
现某客户要到该商场购买球拍20个，乒乓球x盒（x＞20）
（1）若该客户按方案①购买，需付款多少元（用含x的代数式表示）；若该客户按方案②购买需付款多少元（用含x的代数式表示）；
（2）若x＝30，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？
（3）当x＝30时，你能结合两种优惠方案给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算出所需的钱数．
【思路引导】（1）利用优惠方案列出代数式即可；
（2）将x＝30代入（1）中的代数式，通过比较计算结果即可得出结论；
（3）综合利用两个优惠方案解答即可．
【完整解答】解：（1）该客户按方案①购买，需付款：20×30+6（x﹣20）＝（6x+480）元，
该客户按方案②购买需付款：（20×30+6x）×0.9＝（5.4x+540）元；
（2）按方案①购买较为合算，理由：
当x＝30时，
该客户按方案①购买，需付款：6×30+480＝660（元），
该客户按方案②购买需付款：5.4×30+540＝702（元），
∵660＜702，
∴按方案①购买较为合算；
（3）当x＝30时，能结合两种优惠方案给出一种更为省钱的购买方案，
购买方案为：先利用方案①购买20个球拍，则赠送20盒乒乓球，再利用方案②购买10盒乒乓球，
按此购买方案需付款：20×30+6×10×0.9＝600+54＝654（元），
∴当x＝30时，能结合两种优惠方案给出一种更为省钱的购买方案，
考点二：合并同类项
例2．（2019秋 揭阳期中）如果两个关于x、y的单项式2mxay3与﹣4nx3a﹣6y3是同类项（其中xy≠0）．
（1）求a的值；
（2）如果他们的和为零，求（m﹣2n﹣1）2016的值．
【思路引导】（1）根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得答案；
（2）根据单项式的和为零，可得单项式的系数互为相反数，根据互为相反数的和为零，可得m，n的关系，根据负数的偶数次幂是正数，可得答案．
【完整解答】解：（1）依题意，得
a＝3a﹣6，
解得a＝3；
（2）∵2mx3y3+（﹣4nx3y3）＝0，
故m﹣2n＝0，
∴（m﹣2n﹣1）2016＝（﹣1）2016＝1．
考点三：去括号与添括号
例3．（2022 南京模拟）先去括号，再合并同类项；
（1）（3x2+4﹣5x3）﹣（x3﹣3+3x2）
（2）（3x2﹣xy﹣2y2）﹣2（x2+xy﹣2y2）
（3）2x﹣[2（x+3y）﹣3（x﹣2y）]
（4）（a+b）2﹣（a+b）﹣（a+b）2+（﹣3）2（a+b）．
【思路引导】根据去括号的方法，先去大括号，再去中括号，最后去小括号，再计算即可．
【完整解答】解：（1）原式＝3x2+4﹣5x3﹣x3+3﹣3x2
＝﹣6x3+7；
（2）原式＝3x2﹣xy﹣2y2﹣2x2﹣2xy+4y2
＝x2﹣3xy+2y2；
（3）原式＝2x﹣2x﹣6y+3x﹣6y
＝3x﹣12y；
（4）原式＝﹣（a+b）﹣（a+b）2+9（a+b）
＝﹣（a+b）2+（a+b）．
考点四：整式
例4．（2021 锦江区校级开学）下列代数式：﹣，，﹣π，﹣5x2y3，，，﹣x，其中整式有 5 个．
【思路引导】根据单项式和多项式统称为整式，从而可以解答此题．
【完整解答】解：下列代数式：﹣，，﹣π，﹣5x2y3，，，﹣x，
属于整式的有：．
，是分式，不是整式．
故答案为：5．
考点五：单项式
例5．（2022秋 乾安县期中）满足下列三个条件的单项式是 ﹣2xyz3 ．
①只含有字母x、y、z；
②系数为﹣2；
③次数为5．
【思路引导】依据单项式的定义，以及题目要求回答即可．
【完整解答】解：满足条件的单项式为：﹣2xyz3．
故答案为：﹣2xyz3．（答案不唯一）．
考点六：多项式
例6．（2022秋 社旗县期中）判断下列说法是否正确，如果正确，请说明理由；如果不正确，请改正．
①没有平方等于﹣的有理数．
②2m3n3﹣3m2n2+mn﹣1是三次四项式，它的第二项的系数是3，﹣1是常数项．该多项式是按字母m的降幂排列．
【思路引导】①根据任何数的平方都是非负数可作判断；
②根据多项式的次数，各项的系数，常数项，降幂排列的定义可解答．
【完整解答】解：①正确，理由如下：
∵任何数的平方都是非负数，
∴没有平方等于﹣的有理数；
∴原说法正确；
②不正确，理由如下：
∵2m3n3﹣3m2n2+mn﹣1是六次四项式，它的第二项的系数是﹣3，﹣1是常数项．该多项式是按字母m的降幂排列．
∴原说法不正确．
考点七：整式的加减—化简求值
例7．（2022秋 荣县期中）已知多项式A＝x2+xy+3y，B＝x2﹣xy．
（1）求2A﹣B；
（2）x＝﹣2，y＝5时，求2A﹣B的值；
（3）若2A﹣B的值与y的值无关，求x的值．
【思路引导】（1）把A、B标示的代数式代入2A﹣B，化简即可；
（2）把x、y的值代入化简后的代数式，求值即可；
（3）根据“2A﹣B的值与y的值无关”得到关于x的方程，求解即可．
【完整解答】解：（1）2A﹣B
＝2（x2+xy+3y）﹣（x2﹣xy）
＝2x2+2xy+6y﹣x2+xy
＝x2+3xy+6y．
（2）当x＝﹣2，y＝5时，
原式＝（﹣2）2+3×5×（﹣2）+6×5
＝4﹣30+30
＝4．
（3）∵2A﹣B＝x2+3xy+6y＝x2+（3x+6）y，
又∵2A﹣B的值与y的值无关，
∴3x+6＝0，
∴x＝﹣2
【真题演练】
一．选择题
1．（2022秋 桥西区校级期中）下列说法正确的是（ ）
A．﹣xy2的次数是2
B．是单项式
C．2a2﹣3abc﹣1是三次三项式
D．﹣2πab2的系数是﹣2
【思路引导】单项式的系数是除去字母的数字，次数是所有字母的指数和，多项式项数所含的单项式的个数，次数是最高次幂的指数．
【完整解答】解：A：﹣xy2的次数是3，故A错；
B：是分式，故B错；
C：2a2﹣3abc﹣1是三次三项式，故C正确；
D：﹣2πab2的系数是﹣2π，故D错．
故选：C．
2．（2022秋 台江区期中）如果代数式xay2与代数式﹣x3yb+3是同类项，则a，b的值分别是（ ）
A．a＝3，b＝1 B．a＝﹣3，b＝﹣1 C．a＝﹣3，b＝1 D．a＝3，b＝﹣1
【思路引导】根据同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同．
【完整解答】解：xay2与代数式﹣x3yb+3是同类项，
所以a＝3，
b+3＝2，b＝﹣1．
故选：D．
3．（2022秋 西安期中）完全相同的7个小长方形如图所示放置，形成了两边长分别为a、b的大长方形，则图中阴影部分的周长是（ ）
A．6（a﹣b） B．3a+b C．4a D．4b
【思路引导】设小矩形的长为x，宽为y（x＞y），可得x+4y＝a，x+2y＝b，根据矩形周长公式计算可得结论．
【完整解答】解：设小矩形的长为x，宽为y（x＞y），根据图形可得，
x+4y＝b，x+2y＝a，
∴y＝，
2b+2（a﹣y）＝2b+2（a﹣）＝2b+2a﹣b+a＝3a+b，
∴图中阴影部分的周长是3a+b．
故选：B．
二．填空题
4．（2022秋 泗阳县期中）若a、b、c、d是正整数，且a+b＝22，a+c＝26，a+d＝28，则a+b+c+d的最小值为 34 ．
【思路引导】根据题意可得b＝22﹣a，c＝26﹣a，d＝28﹣a，再将其代入a+b+c+d中进行化简即可得出答案．
【完整解答】解：由已知得b＝22﹣a，c＝26﹣a，d＝28﹣a，
∴a+b+c+d＝a+22﹣a+26﹣a+28﹣a＝76﹣2a，
∵a、b、c、d是正整数，且a+b＝22，
∴0＜a＜22，
∵a为正整数，
∴a的最大值为21，当a最大时a+b+c+d最小，即a+b+c+d最小值＝76﹣2×21＝34．
故答案为：34．
5．（2021秋 阳城县期末）润城枣糕是阳城的地方特产，小明妈妈做了m个枣糕售卖，有三个顾客先后来购买．第一位顾客买走了，小明妈妈又送给他一个；第二位顾客买走了剩下的，小明妈妈又送给她一个；第三位顾客再买走剩下的，小明妈妈又送给他一个．用代数式表示小明妈妈最后剩下的枣糕数是 个 ．
【思路引导】用代数式表示出每次顾客买的数量和妈妈送了之后剩下的数量，以此即可得出答案．
【完整解答】解：第一位顾客买走了，即买走了个，
小明妈妈又送给他一个，此时剩下＝个；
第二位顾客买走了剩下的，即买走了＝个，
小明妈妈又送她一个，此时剩下＝个；
第三位顾客再买走了剩下的，即买走了＝个，
小明妈妈又送他一个，此时剩下＝个；
故答案为：个．
6．（2022秋 龙岩期中）小明家最近刚购置了一套商品房，如图是这套商品房的平面图（阴影部分）（单位：m）．若x＝5，y＝9，并且房价为每平方米0.9万元，则购买这套房子共需要 116.1 万元．
【思路引导】读懂题意列代数式，化简整理后代入数据求值．
【完整解答】解：0.9×[x（3+y）+6y+3x]
＝0.9×（3x+xy+6y+3x）
＝0.9×（6x+xy+6y）
＝0.9×（6×5+5×9+6×9）
＝0.9×129
＝116.1（万元），
故答案为：116.1．
三．解答题
7．（2022秋 隆安县期中）小方家住房户型呈长方形，平面图如图（单位：米），现准备铺设地面．三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖．
（1）求a的值．
（2）铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米（用含x的代数式表示）？
（3）按已知卧室2的面积为21平方米，按市场价格，木地板单价为500元/平方米，地砖单价为20元/平方米，求铺设地面总费用．
【思路引导】（1）根据图上的表示，列代数式求a；
（2）先求三间卧室面积，再利用总面积减去三间卧室面积就是其它铺设地砖的面积；
（3）由（2）得到的结果，分别乘以单价，计算出总费用．
【完整解答】解：（1）a＝4+4﹣5＝3（米）；
（2）三间卧室面积：4×2x+3×[10+6﹣2x﹣x﹣（2x﹣1）]+4×6＝（75﹣7x）（平方米）；
其它区域面积：（10+6）×（4+4）﹣（75﹣7x）＝128﹣75+7x＝（53+7x）（平方米），
∴铺设地面需要木地板和地砖分别是：（75﹣7x）平方米；（53+7x）平方米；
（3）∵卧室2的面积为21平方米，
∴3×[10+6﹣2x﹣x﹣（2x﹣1）]＝21，
解得：x＝2，
∴三间卧室面积：75﹣7x＝75﹣7×2＝61（平方米）；
其它区域面积：53+7x＝53+7×2＝67（平方米），
∴铺设地面总费用：61×500+67×20＝30500+1340＝31840（元）．
答：铺设地面总费用是31840（元）．
8．（2022秋 广德市月考）先化简，再求值：x2﹣2（x2﹣3y）﹣3（2x2+5y），其中x＝﹣2，y＝﹣3．
【思路引导】先利用去括号的法则去掉括号后，合并同类项，再将x，y值代入运算即可．
【完整解答】解：原式＝x2﹣2x2+6y﹣6x2﹣15y
＝（1﹣2﹣6）x2+（6﹣15）y
＝﹣7x2﹣9y，
当x＝﹣2，y＝﹣3时，
原式＝﹣7×（﹣2）2﹣9×（﹣3）
＝﹣7×4+27
＝﹣28+27
＝﹣1．
9．（2022秋 南溪区期中）新学期，两摞规格相同的数学课本整齐的叠放在讲台上，左边一摞有3本，右边一摞有6本，请根据图中所给出的数据信息，解答下列问题：
（1）每本书的高度为 0.5 cm，课桌的高度为 85 cm；
（2）当课本数为x（本）时，请写出同样叠放在桌面上的一摞数学课本高出地面的距离 （85+0.5x）cm ；（用含x的代数式表示）
（3）若桌面上有54本与题（1）中相同的数学课本，整齐叠放成摞，若有16名同学各从中取走本，求余下的数学课本高出地面的距离．
【思路引导】（1）让高摞书距离地面的距离减去低摞书距离地面的距离后除以3即为每本数的高度；让低摞书的高度减去3本书的高度即为课桌的高度；
（2）高出地面的距离＝课桌的高度+x本书的高度，把相关数值代入即可；
（3）把x＝54﹣16代入（2）得到的代数式求值即可．
【完整解答】解：（1）书的厚度为：（88﹣86.5）÷（6﹣3）＝0.5cm；
课桌的高度为：86.5﹣3×0.5＝85cm．
故答案为：0.5；85；
（2）∵x本书的高度为0.5x，课桌的高度为85，
∴高出地面的距离为85+0.5x（cm）．
故答案为：（85+0.5x）cm；
（3）当x＝54﹣16＝38时，85+0.5x＝104cm．
故余下的数学课本高出地面的距离是104cm．
10．（2021秋 翠屏区期末）某校为了丰富学生的课余生活：计划购买一些乒乓球拍和乒乓球，已知一副乒乓球拍的标价为50元，一盒乒乓球的标价是20元．现了解到两家文具店都在做促销活动，甲文具店：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球；乙文具店：所有商品均打八折，若学校计划购买乒乓球拍10副，乒乓球x（x＞10）盒．
（1）用含x的代数式分别表示在甲、乙两家文具店购买球拍和球的总费用；
（2）若学校计划购买乒乓球40盒，选择在甲、乙其中一家文具店购买，请问在哪家购买合算；
（3）在（2）的条件下，若还可以选择在甲、乙两家文具店同时购买，请你设计种最省钱的购买方案．
【思路引导】（1）按照对应的方案的计算方法分别列出代数式即可；
（2）把x＝40代入求得的代数式求得数值，进一步比较得出答案即可；
（3）根据两种方案的优惠方式，可得出先在甲店购买10副球拍，送10盒乒乓球，另外30盒乒乓球在乙店购买即可．
【完整解答】解：（1）甲店购买需付款50×10+（x 10）×20＝（20x+300）元；
乙店购买需付款（20x+50×10）×80%＝（16x+400）元；
（2）当x＝40时，
甲店需20×40+300＝1100元；
乙店需16×40+400＝1040元；
∵1100＞1040
∴在乙店购买合算；
（3）先在甲店购买10副球拍，送10盒乒乓球需10×50＝500（元），另外30盒乒乓球在乙店购买需30×20×80%＝480（元），共需980元．
11．（2021秋 沐川县期末）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目 里程费 时长费 远途费
单价 1.8元/公里 0.45元/分钟 0.4元/公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.4元．
（1）若小东乘坐滴滴快车，行车里程为5公里，行车时间为10分钟，则需付车费多少元；
（2）若小明乘坐滴滴快车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟，则小明应付车费多少元？（用含a、b的代数式表示，并化简）
（3）小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为9.5公里与14.5公里，并且小王的行车时间比小张的行车时间多24分钟，请计算说明两人下车时所付车费有何关系？
【思路引导】（1）根据滴滴快车计算得到得到所求即可；
（2）根据a的值在10公里以内还是超过10公里，分别写出小明应付费即可；
（3）根据题意计算出相差的车费即可．
【完整解答】解：（1）1.8×5+0.45×10＝13.5（元），
答：需付车费13.5元；
（2）当a≤10时，小明应付费（1.8a+0.45b）元；
当a＞10时，小明应付费1.8a+0.45b+0.4（a﹣10）＝（2.2a+0.45b﹣4）元；
（3）设小王与小张乘坐滴滴快车分别为a分钟、（a﹣24）分钟，
则小王应付车费1.8×9.5+0.45a＝17.1+0.45a，
小张应付车费1.8×14.5+0.45（a﹣24）+0.4×（14.5﹣10）＝17.1+0.45a，
因此，两人车费一样多
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第02讲 整式的加减
【学习目标】
1．理解并掌握单项式与多项式的相关概念；
2．理解整式加减的基础是去括号和合并同类项，并会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的加减运算、求值；
3．深刻体会本章体现的主要的数学思想----整体思想
【基础知识】
知识点01:整式的相关概念
1．单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．
（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．
2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．
要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．
（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．
（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．
3. 多项式的降幂与升幂排列：
把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．
要点诠释：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应连同它的符号一起移动位置；
（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列．
4．整式：单项式和多项式统称为整式．
知识点02:整式的加减
1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项．
要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：
（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；
（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关．
2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变．
3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．
4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变．
5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项．
【考点剖析】
考点一：代数式求值
例1．（2021秋 曲靖期末）某商场销售一种乒乓球拍和乒乓球，球拍每个定价30元，乒乓球每盒定价6元，商场在开展促销活动中，向客户提供两种优惠方案：
①买一个球拍送一盒乒乓球；
②球拍和乒乓球都按定价的九折付款．
现某客户要到该商场购买球拍20个，乒乓球x盒（x＞20）
（1）若该客户按方案①购买，需付款多少元（用含x的代数式表示）；若该客户按方案②购买需付款多少元（用含x的代数式表示）；
（2）若x＝30，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？
（3）当x＝30时，你能结合两种优惠方案给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算出所需的钱数．
【思路引导】（1）利用优惠方案列出代数式即可；
（2）将x＝30代入（1）中的代数式，通过比较计算结果即可得出结论；
（3）综合利用两个优惠方案解答即可．
【完整解答】解：（1）该客户按方案①购买，需付款：20×30+6（x﹣20）＝（6x+480）元，
该客户按方案②购买需付款：（20×30+6x）×0.9＝（5.4x+540）元；
（2）按方案①购买较为合算，理由：
当x＝30时，
该客户按方案①购买，需付款：6×30+480＝660（元），
该客户按方案②购买需付款：5.4×30+540＝702（元），
∵660＜702，
∴按方案①购买较为合算；
（3）当x＝30时，能结合两种优惠方案给出一种更为省钱的购买方案，
购买方案为：先利用方案①购买20个球拍，则赠送20盒乒乓球，再利用方案②购买10盒乒乓球，
按此购买方案需付款：20×30+6×10×0.9＝600+54＝654（元），
∴当x＝30时，能结合两种优惠方案给出一种更为省钱的购买方案，
考点二：合并同类项
例2．（2019秋 揭阳期中）如果两个关于x、y的单项式2mxay3与﹣4nx3a﹣6y3是同类项（其中xy≠0）．
（1）求a的值；
（2）如果他们的和为零，求（m﹣2n﹣1）2016的值．
【思路引导】（1）根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得答案；
（2）根据单项式的和为零，可得单项式的系数互为相反数，根据互为相反数的和为零，可得m，n的关系，根据负数的偶数次幂是正数，可得答案．
【完整解答】解：（1）依题意，得
a＝3a﹣6，
解得a＝3；
（2）∵2mx3y3+（﹣4nx3y3）＝0，
故m﹣2n＝0，
∴（m﹣2n﹣1）2016＝（﹣1）2016＝1．
考点三：去括号与添括号
例3．（2022 南京模拟）先去括号，再合并同类项；
（1）（3x2+4﹣5x3）﹣（x3﹣3+3x2）
（2）（3x2﹣xy﹣2y2）﹣2（x2+xy﹣2y2）
（3）2x﹣[2（x+3y）﹣3（x﹣2y）]
（4）（a+b）2﹣（a+b）﹣（a+b）2+（﹣3）2（a+b）．
【思路引导】根据去括号的方法，先去大括号，再去中括号，最后去小括号，再计算即可．
【完整解答】解：（1）原式＝3x2+4﹣5x3﹣x3+3﹣3x2
＝﹣6x3+7；
（2）原式＝3x2﹣xy﹣2y2﹣2x2﹣2xy+4y2
＝x2﹣3xy+2y2；
（3）原式＝2x﹣2x﹣6y+3x﹣6y
＝3x﹣12y；
（4）原式＝﹣（a+b）﹣（a+b）2+9（a+b）
＝﹣（a+b）2+（a+b）．
考点四：整式
例4．（2021 锦江区校级开学）下列代数式：﹣，，﹣π，﹣5x2y3，，，﹣x，其中整式有 5 个．
【思路引导】根据单项式和多项式统称为整式，从而可以解答此题．
【完整解答】解：下列代数式：﹣，，﹣π，﹣5x2y3，，，﹣x，
属于整式的有：．
，是分式，不是整式．
故答案为：5．
考点五：单项式
例5．（2022秋 乾安县期中）满足下列三个条件的单项式是 ﹣2xyz3 ．
①只含有字母x、y、z；
②系数为﹣2；
③次数为5．
【思路引导】依据单项式的定义，以及题目要求回答即可．
【完整解答】解：满足条件的单项式为：﹣2xyz3．
故答案为：﹣2xyz3．（答案不唯一）．
考点六：多项式
例6．（2022秋 社旗县期中）判断下列说法是否正确，如果正确，请说明理由；如果不正确，请改正．
①没有平方等于﹣的有理数．
②2m3n3﹣3m2n2+mn﹣1是三次四项式，它的第二项的系数是3，﹣1是常数项．该多项式是按字母m的降幂排列．
【思路引导】①根据任何数的平方都是非负数可作判断；
②根据多项式的次数，各项的系数，常数项，降幂排列的定义可解答．
【完整解答】解：①正确，理由如下：
∵任何数的平方都是非负数，
∴没有平方等于﹣的有理数；
∴原说法正确；
②不正确，理由如下：
∵2m3n3﹣3m2n2+mn﹣1是六次四项式，它的第二项的系数是﹣3，﹣1是常数项．该多项式是按字母m的降幂排列．
∴原说法不正确．
考点七：整式的加减—化简求值
例7．（2022秋 荣县期中）已知多项式A＝x2+xy+3y，B＝x2﹣xy．
（1）求2A﹣B；
（2）x＝﹣2，y＝5时，求2A﹣B的值；
（3）若2A﹣B的值与y的值无关，求x的值．
【思路引导】（1）把A、B标示的代数式代入2A﹣B，化简即可；
（2）把x、y的值代入化简后的代数式，求值即可；
（3）根据“2A﹣B的值与y的值无关”得到关于x的方程，求解即可．
【完整解答】解：（1）2A﹣B
＝2（x2+xy+3y）﹣（x2﹣xy）
＝2x2+2xy+6y﹣x2+xy
＝x2+3xy+6y．
（2）当x＝﹣2，y＝5时，
原式＝（﹣2）2+3×5×（﹣2）+6×5
＝4﹣30+30
＝4．
（3）∵2A﹣B＝x2+3xy+6y＝x2+（3x+6）y，
又∵2A﹣B的值与y的值无关，
∴3x+6＝0，
∴x＝﹣2
【真题演练】
一．选择题
1．（2022秋 桥西区校级期中）下列说法正确的是（ ）
A．﹣xy2的次数是2
B．是单项式
C．2a2﹣3abc﹣1是三次三项式
D．﹣2πab2的系数是﹣2
2．（2022秋 台江区期中）如果代数式xay2与代数式﹣x3yb+3是同类项，则a，b的值分别是（ ）
A．a＝3，b＝1 B．a＝﹣3，b＝﹣1 C．a＝﹣3，b＝1 D．a＝3，b＝﹣1
3．（2022秋 西安期中）完全相同的7个小长方形如图所示放置，形成了两边长分别为a、b的大长方形，则图中阴影部分的周长是（ ）
A．6（a﹣b） B．3a+b C．4a D．4b
二．填空题
4．（2022秋 泗阳县期中）若a、b、c、d是正整数，且a+b＝22，a+c＝26，a+d＝28，则a+b+c+d的最小值为 ．
5．（2021秋 阳城县期末）润城枣糕是阳城的地方特产，小明妈妈做了m个枣糕售卖，有三个顾客先后来购买．第一位顾客买走了，小明妈妈又送给他一个；第二位顾客买走了剩下的，小明妈妈又送给她一个；第三位顾客再买走剩下的，小明妈妈又送给他一个．用代数式表示小明妈妈最后剩下的枣糕数是 ．
6．（2022秋 龙岩期中）小明家最近刚购置了一套商品房，如图是这套商品房的平面图（阴影部分）（单位：m）．若x＝5，y＝9，并且房价为每平方米0.9万元，则购买这套房子共需要 万元．
三．解答题
7．（2022秋 隆安县期中）小方家住房户型呈长方形，平面图如图（单位：米），现准备铺设地面．三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖．
（1）求a的值．
（2）铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米（用含x的代数式表示）？
（3）按已知卧室2的面积为21平方米，按市场价格，木地板单价为500元/平方米，地砖单价为20元/平方米，求铺设地面总费用．
8．（2022秋 广德市月考）先化简，再求值：x2﹣2（x2﹣3y）﹣3（2x2+5y），其中x＝﹣2，y＝﹣3．
9．（2022秋 南溪区期中）新学期，两摞规格相同的数学课本整齐的叠放在讲台上，左边一摞有3本，右边一摞有6本，请根据图中所给出的数据信息，解答下列问题：
（1）每本书的高度为 cm，课桌的高度为 cm；
（2）当课本数为x（本）时，请写出同样叠放在桌面上的一摞数学课本高出地面的距离 ；（用含x的代数式表示）
（3）若桌面上有54本与题（1）中相同的数学课本，整齐叠放成摞，若有16名同学各从中取走本，求余下的数学课本高出地面的距离．
10．（2021秋 翠屏区期末）某校为了丰富学生的课余生活：计划购买一些乒乓球拍和乒乓球，已知一副乒乓球拍的标价为50元，一盒乒乓球的标价是20元．现了解到两家文具店都在做促销活动，甲文具店：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球；乙文具店：所有商品均打八折，若学校计划购买乒乓球拍10副，乒乓球x（x＞10）盒．
（1）用含x的代数式分别表示在甲、乙两家文具店购买球拍和球的总费用；
（2）若学校计划购买乒乓球40盒，选择在甲、乙其中一家文具店购买，请问在哪家购买合算；
（3）在（2）的条件下，若还可以选择在甲、乙两家文具店同时购买，请你设计种最省钱的购买方案．
11．（2021秋 沐川县期末）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目 里程费 时长费 远途费
单价 1.8元/公里 0.45元/分钟 0.4元/公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.4元．
（1）若小东乘坐滴滴快车，行车里程为5公里，行车时间为10分钟，则需付车费多少元；
（2）若小明乘坐滴滴快车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟，则小明应付车费多少元？（用含a、b的代数式表示，并化简）
（3）小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为9.5公里与14.5公里，并且小王的行车时间比小张的行车时间多24分钟，请计算说明两人下车时所付车费有何关系？
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