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第04讲 几何图形初步
【学习目标】
1．认识一些简单的几何体的平面展开图及三视图，初步培养空间观念和几何直观；
2．掌握直线、射线、线段、角这些基本图形的概念、性质、表示方法和画法；
3．初步学会应用图形与几何的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题；
4．逐步掌握学过的几何图形的表示方法，能根据语句画出相应的图形，会用语句描述简单的图形．
【基础知识】
知识点01：多姿多彩的图形
几何图形的分类
要点诠释：在给几何体分类时，不同的分类标准有不同的分类结果.
2．立体图形与平面图形的相互转化
（1）立体图形的平面展开图：
把立体图形按一定的方式展开就会得到平面图形，把平面图形按一定的途径进行折叠就会得到相应的立体图形，通过展开与折叠能把立体图形和平面图形有机地结合起来．
要点诠释：①对一些常见立体图形的展开图要非常熟悉，例如正方体的 11种展开图，三棱柱，圆柱等的展开图；
②不同的几何体展成不同的平面图形，同一几何体沿不同的棱剪开，可得到不同的平面图形，那么排除障碍的方法就是：联系实物，展开想象，建立“模型”，整体构想，动手实践.
（2）从不同方向看：
主（正）视图---------从正面看
几何体的三视图 左视图-----从左（右）边看
俯视图---------------从上面看
要点诠释：①会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图.
②能根据三视图描述基本几何体或实物原型.
（3）几何体的构成元素及关系
几何体是由点、线 、面构成的.点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成.
知识点02：直线、射线、线段
直线，射线与线段的区别与联系
2. 基本性质
(1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短．
要点诠释：①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线.
②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离.
3.画一条线段等于已知线段
（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.
（2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图：
4．线段的比较与运算
（1）线段的比较：
比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法.
（2）线段的和与差：
如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。
（3）线段的中点：
把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：
要点诠释：①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点.
②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点.
知识点03：角
1．角的度量
（1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：
要点诠释：①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义；
②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示.
（3）角度制及角度的换算
1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.
要点诠释：①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同.
②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行.
③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一
成60.
（4）角的分类
∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角
范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360°
（5）画一个角等于已知角
（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角.
（2）借助量角器能画出给定度数的角.
（3）用尺规作图法.
2．角的比较与运算
（1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法.
（2）角的平分线：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.
类似地，还有角的三等分线等.
3．角的互余互补关系
余角补角
（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.
（2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.
（3）结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等.
要点诠释：①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角).
②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的.
③只考虑数量关系，与位置无关．
④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角” .
4．方位角
以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.
要点诠释：（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小.
（2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向.
（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.
【考点剖析】
考点一：认识立体图形
例1．（2021秋 高安市期末）小林到某纸箱厂参加社会实践，该厂计划用50张白板纸制作某种型号的长方体纸箱，如图，每张白板纸可以用A，B两种方法剪裁．其中A种裁法：一张白板纸裁成4个侧面；B种裁法：一张白板纸裁成2个侧面与4个底面，且四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．设按A种方法剪裁的有x张白板纸．
（1）按B种方法剪裁的有 （50﹣x） 张白板纸（用含x的代数式表示）；
（2）将50张白板纸裁剪完后，可以制作该种型号的长方体纸箱多少个？
【思路引导】（1）用50减去A种裁法，即可得到答案；
（2）根据侧面数＝4×A种裁法+3×B种裁法+2×C种裁法，底面数＝2×B种裁法+4×C种裁法，即可求解；
【完整解答】解：（1）由题意得：按B种方法剪裁的有（50﹣x） 张白板纸，
故答案为：（50﹣x）；
（2）可以裁出的侧面为：
4x+2（50﹣x）
＝4x+100﹣2x
＝（2x+100）个，
可以裁出的底面为：
4（50﹣x）＝（200﹣4x）个；
∵四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱，
∴（2x+100）＝2（200﹣4x），
解得x＝30，
∴（30×4+20×2）÷4＝40，
答：可以制作该种型号的长方体纸箱40个．
考点二：点、线、面、体
例2．（2022秋 尤溪县期中）现有一个长方形，长和宽分别为3cm和2cm，绕它的一条边所在的直线旋转一周，得到的几何体的体积为（ ）
A．12π B．27π C．12π或18π D．12π或27π
【思路引导】以不同的边为轴旋转一周，所得到的圆柱体的底面半径和高，根据圆柱体体积的计算方法进行计算即可．
【完整解答】解：绕着3cm的边为轴，旋转一周所得到的是底面半径为2cm，高为3cm的圆柱体，
因此体积为π×22×3＝12π（cm3）；
绕着2cm的边为轴，旋转一周所得到的是底面半径为3cm，高为2cm的圆柱体，
因此体积为π×32×2＝18π（cm3），
故选：C．
考点三：认识平面图形
例3．（2022秋 梁溪区期中）有一张长和宽分别是5和4的长方形纸片，现在把它正好分成5张形状各不相同的长方形（包括正方形）纸片，且每张纸片的边长都为整数．这样的5张长方形纸片共有 7 种．
【思路引导】把可以分得的边长为整数的长方形（或正方形）按照面积从小到大排列有：1×1，1×2，1×3，1×4，2×2，1×5，2×3，2×4，3×3，2×5，3×4，3×5，4×4，4×5，若能分成5张满足条件的纸片，因为其面积之和正好为20，依此找到满足条件的情况数即可求解．
【完整解答】解：把可以分得的边长为整数的长方形（或正方形）按照面积从小到大排列有：
1×1，1×2，1×3，1×4，2×2，1×5，2×3，2×4，3×3，2×5，3×4，3×5，4×4，4×5，
若能分成5张满足条件的纸片，因为其面积之和正好为20，
那么满足条件的有：
1×1，1×2，1×3，1×4，2×5；
1×1，1×2，1×3，2×2，2×5；
1×2，1×3，1×4，1×5，2×3；
1×2，1×3，2×2，1×5，2×3；
1×1，1×2，1×4，1×5，2×4；
1×1，1×3，2×2，1×5，2×4；
1×1，1×2，1×3，1×5，3×3；
故这样的5张长方形纸片共有7种．
故答案为：7．
考点四：几何体的展开图
例4．（2021秋 肥城市期末）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：
（1）小明总共剪开了 8 条棱．
（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．
（3）小明说：他所剪的所有棱中，最长的一条棱是最短的一条棱的5倍．现在已知这个长方体纸盒的底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm，求这个长方体纸盒的体积．
【思路引导】（1）根据平面图形得出剪开棱的条数，
（2）根据长方体的展开图的情况可知有四种情况，
（3）设最短的棱长高为acm，则长与宽相等为5acm，根据棱长的和是880cm，列出方程可求出长宽高，即可求出长方体纸盒的体积．
【完整解答】解（1）小明共剪了8条棱，
故答案为：8．
（2）如图，四种情况．
（3）∵长方体纸盒的底面是一个正方形，
∴设最短的棱长高为acm，则长与宽相等为5acm，
∵长方体纸盒所有棱长的和是880cm，
∴4（a+5a+5a）＝880，解得a＝20cm，
∴这个长方体纸盒的体积为：20×100×100＝200000立方厘米．
考点五：展开图折叠成几何体
例5．（2020秋 南开区期末）如图是一个正方体纸盒的展开图，当折成纸盒时，与数11重合的数是 1和7 ．
【思路引导】由正方体展开图的特征得到结论．
【完整解答】解：由正方体展开图的特征得出，折叠成正方体后，点11所在的正方形分别和点7、点1所在的两个正方形相交，
故点1与点7、点1重合．
故答案为：1和7．
考点六：直线的性质：两点确定一条直线
例6．（2021秋 灌阳县期末）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是 两点确定一条直线 ．
【思路引导】根据直线的性质：两点确定一条直线即可得．
【完整解答】解：能解释这一实际应用的数学知识是：两点确定一条直线，
故答案为：两点确定一条直线．
考点七：线段的性质：两点之间线段最短
例7．（2021秋 鱼台县期末）如图，把弯曲的河道改直，能够缩短航程，理由是 两点之间线段最短 ．
【思路引导】根据线段的性质，可得答案．
【完整解答】解：把弯曲的河道改直，能够缩短航程，理由是两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短．
考点八：度分秒的换算
例8．（2021秋 邗江区期末）已知∠α＝25°15′，∠β＝25.15°，则∠α ＞ ∠β．（填“＞”“＜”或“＝”号）
【思路引导】首先把：∠β＝25.15°化为25°9′，然后再比较即可．
【完整解答】解：∠β＝25.15°＝25°9′，
∵25°15′＞25°9′，
∴∠α＞∠β，
故答案为：＞．
考点九：角的计算
例9．（2022 敖汉旗一模）将一个长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，若∠ABE＝20°，则∠CBD等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【思路引导】利用折叠对称的关系，角的加减，求出∠CBD的值．
【完整解答】解：由题意可知：∠ABE＝∠EBA'，∠A'BD＝∠DBC，
∵∠ABE＝20°，
∴∠CBD＝∠A'BC＝（180°﹣∠ABA'）＝×（180°﹣2∠ABE）＝×（180°﹣2×20°）＝70°，
故选：C．
考点十：余角和补角
例10．（2021秋 郎溪县期末）下列说法正确的是（ ）
A．若AC＝BC，则点C为线段AB的中点
B．若，则射线OC为∠AOB平分线
C．若∠1+∠2+∠3＝180°，则这三个角互补
D．若∠α与∠β互余，则∠α的补角比∠β大90°
【思路引导】A、点C为线段AB的中点，前提条件是点A、B、C在同一条直线上；
B、射线OC为∠AOB平分线，前提条件是射线OC在∠AOB的内部；
C、根据两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角判断；
D、根据余角补角定义，表示∠β，∠α的补角，根据题意列算式．
【完整解答】解：A、前提条件是点A、B、C在同一条直线上，∴不符合题意；
B、前提条件是射线OC在∠AOB的内部，∴不符合题意；
C、两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，而不是三个角，∴不符合题意；
D、∵∠α+∠β＝90°，
∴∠β＝90°﹣∠α，
∵∠α的补角：180°﹣∠α，
∴∠α的补角比∠β大：180°﹣∠α﹣（90°﹣∠α）＝90°，
∴符合题意；
故选：D．
考点十一：角的大小比较
例11．（2021秋 华州区期末）比较：28°15′ ＞ 28.15°（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【思路引导】首先利用度分秒换算法则进行转化，再比较大小．
【完整解答】解：∵28°15′＝28°+（15÷60）°＝28.25°，
∴28°15′＞28.15°．
故答案为：＞．
考点十二：作图—基本作图
例12．（2021秋 藁城区期末）作图题：
（1）尺规作图：已知线段a，b（如图），请按下列语句用直尺和圆规作图（保留作图痕迹）．
①作射线AM；
②在射线AM上依次截取AC＝CD＝a；
③在线段DA上截取DB＝b．
（2）由（1）的作图可知AB＝ 2a﹣b （用含a，b的式子表示）．
【思路引导】（1）①根据射线的定义作射线AM即可．
②以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线AM于点C，再以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线CM于点D，即可得AC＝CD＝a．
③以点D为圆心，线段b的长为半径画弧，交线段DA于点B，即可得线段DB．
（2）由（1）可知，AD＝2a，BD＝b，根据AB＝AD﹣BD可得答案．
【完整解答】解：（1）如图所示．
（2）由（1）知，AD＝2a，BD＝b，
∴AB＝AD﹣BD＝2a﹣b．
故答案为：2a﹣b
【真题演练】
一．选择题
1．（2021秋 楚雄州期末）已知三个锐角∠1：∠2：∠3＝1：2：3，且∠3比∠1大40°，则∠3＝（ ）
A．40° B．60° C．45° D．20°
【思路引导】可设∠1，∠2，∠3的度数分别为x，2x，3x，列等式求x，再求∠3．
【完整解答】解：设∠1，∠2，∠3的度数分别为x，2x，3x，根据题意得：
3x﹣x＝40°，
x＝20°，
∴∠3＝3x＝3×20°＝60°，
故选：B．
2．（2021秋 黔西南州期末）如图，已知ON，OM分别平分∠AOC和∠BON．若∠MON＝20°，∠AOM＝35°，则∠AOB的度数为（ ）
A．15° B．40° C．55° D．70°
【思路引导】利用角的加减，角平分线的定义计算．
【完整解答】解：∵∠MON＝20°，∠AOM＝35°，
∴∠AON＝∠AOM﹣∠MON＝35°﹣20°＝15°，
∵OM分别平分∠BON．∠MON＝20°，
∴∠BON＝2∠MON＝2×20°＝40°，
∴∠AOB＝∠BON+∠AON＝40°+15°＝55°，
故选：C．
3．（2022秋 尤溪县期中）现有一个长方形，长和宽分别为3cm和2cm，绕它的一条边所在的直线旋转一周，得到的几何体的体积为（ ）
A．12π B．27π C．12π或18π D．12π或27π
【思路引导】以不同的边为轴旋转一周，所得到的圆柱体的底面半径和高，根据圆柱体体积的计算方法进行计算即可．
【完整解答】解：绕着3cm的边为轴，旋转一周所得到的是底面半径为2cm，高为3cm的圆柱体，
因此体积为π×22×3＝12π（cm3）；
绕着2cm的边为轴，旋转一周所得到的是底面半径为3cm，高为2cm的圆柱体，
因此体积为π×32×2＝18π（cm3），
故选：C．
二．填空题
4．（2022秋 禅城区校级期中）要锻造一个直径20cm，高16cm的圆柱形毛坯，应截取多长直径16cm的圆钢？设应该截取直径16cm的圆钢xcm，可列出一元一次方程： π×102×16＝π×64 x ．
【思路引导】根据题意可知，圆柱形毛坯与圆钢的体积相等，利用此相等关系列方程．
【完整解答】解：由题意得：π×102×16＝π×64 x，
故答案为：π×102×16＝π×64 x．
5．（2021秋 遂川县期末）如图，在同一平面内，∠AOB＝90°，∠AOC＝20°，∠COD＝50°，∠BOD＞45°，则∠BOD的度数为 60°或120°或160° ．
【思路引导】分三种情况进行讨论，分别计算即可，当OC在∠AOB的外部，OD在∠AOB的内部；当OC在∠AOB的外部，OD在∠AOB的外部；当OC在∠AOB的内部，OD在∠AOB的外部；当OC在∠AOB的内部，OD在∠AOB的内部
【完整解答】解：①当OC在∠AOB的外部，OD在∠AOB的内部时，
∵∠AOC＝20°，∠COD＝50°，
∴∠AOD＝30°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOD＝90°﹣30°＝60°；
②当OC在∠AOB的外部，OD在∠AOB的外部时，
∠BOD＝∠AOB+∠AOC+∠COD＝160°，
③当OC在∠AOB的内部，OD在∠AOB的外部时，
∠BOD＝∠AOB+∠AOD＝120°，
④当OC在∠AOB的外部，OD在∠AOB的内部时，
∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝20°（舍去），
故答案为为：60°或120°或160°．
6．（2021秋 兴庆区校级期末）如图，∠AOB＝∠COD＝90°，∠COB＝58°，则∠DOA的度数是 122° ．
【思路引导】先求得∠BOD的度数，然后求得∠DOA的度数．
【完整解答】解：∵∠COD＝90°，∠COB＝58°，
∴∠BOD＝∠COD﹣∠COB＝90°﹣58°＝32°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝90°+32°＝122°，
故答案为：122°．
三．解答题
7．（2022秋 沙坪坝区校级期中）如图，点C是线段AB上一点，线段AB＝21cm，AC：BC＝3：4，点D、E分别为线段BC、AD的中点．
（1）求线段BD的长；
（2）求线段EC的长．
【思路引导】（1）由AC：BC＝3：4，可得AC、BC，由点D是BC的中点可得BD；
（2）由线段和差求得AD的长，再根据EC＝AC﹣AE，即可得出线段EC的长．
【完整解答】解：（1）∵AB＝21cm，AC：BC＝3：4，
∴AC＝＝9cm，BC＝AB＝12cm，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝＝6cm；
（2）由（1）得AD＝AB﹣BD＝21﹣6＝15cm，
∵E是AD的中点，
∴AE＝ED＝AD＝7.5cm，
∴EC＝AC﹣AE＝9﹣7.5＝1.5cm．
8．（2021秋 鄂城区校级期末）在同一平面内已知∠AOB＝160°，∠COD＝90°，OE平分∠BOD，OF平分∠AOC．
（1）当∠AOC＝80°，求∠EOF的度数；
（2）在做题过程中聪聪同学认为就算不知道∠AOC的度数，也能求∠EOF的度数，请你在∠AOC的度数未知的情况下，求∠EOF的度数．
【思路引导】（1）利用周角360°减去已知角的度数，得到∠BOD的度数，再利用角平分线定义，最后计算∠EOF的度数；
（2）利用周角360°减去已知角的度数，得到∠BOD与∠AOC的度数和，再利用角平分线定义，计算∠EOD+∠FOC的度数，再计算∠EOF的度数．
【完整解答】解：（1）∵∠AOB＝160°，∠COD＝90°，∠AOC＝80°，
∴∠BOD＝360°﹣∠AOB﹣∠COD﹣∠AOC＝360°﹣160°﹣90°﹣80°＝30°，
∵OE平分∠BOD，OF平分∠AOC，
∴∠EOD＝∠BOD＝×30°＝15°，∠FOC＝∠AOC＝×80°＝40°，
∴∠EOF＝∠FOC+∠COD+∠EOD＝40°+90°+15°＝145°；
∴∠EOF的度数为145°；
（2）∵∠AOB＝160°，∠COD＝90°，
∴∠BOD+∠AOC＝360°﹣∠AOB﹣∠COD＝360°﹣160°﹣90°＝110°，
∵OE平分∠BOD，OF平分∠AOC，
∴∠EOD＝∠BOD，∠FOC＝∠AOC，
∴∠EOD+∠FOC＝（∠BOD+∠AOC）＝×110°＝55°，
∴∠EOF＝∠FOC+∠EOD+∠COD＝55°+90°＝145°；
∴在∠AOC的度数未知的情况下，也可以得到∠EOF的度数为145°．
9．（2021秋 皇姑区校级期末）如图1，已知，点O为直线AB上一点；OC在直线AB是上方，∠AOC＝60°．一直角三角板的直角顶点放在点C处，三角板一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）在图1的时刻，∠BOC的度数为 120 °，∠CON的度数为 150 °；
（2）如图2，当三角板绕点O旋转至一边OM恰好平分∠BOC时，∠BON的度数为 30 °；
（3）如图3，当三角板绕点O旋转至一边ON在∠AOC的内部时，∠AOM﹣∠CON的度数为 30 °；
（4）在三角板绕点O旋转一周的过程中，∠COM与∠AON的关系为 ∠COM+∠AON＝150°或210° ．
【思路引导】（1）由平角的定义和已知条件解答即可；
（2）由角的平分线的定义、平角的定义和角的和差关系解答即可；
（3）因为∠MON＝90°，∠AOC＝60°，所以∠AOM＝90°﹣∠AON、∠CON＝60°﹣∠AON，然后作差即可；
（4）分两种情况：当三角板绕点O旋转至一边ON在∠AOC的内部时，∠COM+∠AON＝150°；当三角板绕点O旋转至一边ON不在∠AOC的内部时，∠COM+∠AON＝360°﹣150°，综合两种情况得出答案．
【完整解答】解：（1）∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝120°，∠AON＝180°﹣∠MON＝90°，
∴∠CON＝∠AOC+∠AON＝60°+90°＝150°；
故答案为：120，150；
（2）∵∠AOC＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝120°，
又∵OM平分∠BOC，
∴∠BOM＝∠BOC＝60°，
∵∠MON＝90°，
∴∠BON＝∠MON﹣∠BOM＝90°﹣60°＝30°；
故答案为：30；
（3）∠AOM﹣∠CON＝30°，理由如下：
∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠AOM＝90°﹣∠AON、∠CON＝60°﹣∠AON，
∴∠AOM﹣∠CON＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°，
即∠AOM﹣∠CON＝30°；
故答案为：30；
（4）分两种情况：
当三角板绕点O旋转至一边ON在∠AOC的内部时，
如图，设NO的延长线为OE，则∠MOE＝90°，
∵∠AOC＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝120°，
∵∠AON＝∠BOE，
∴∠COM+∠AON＝∠COM+∠BOE＝360°﹣∠MOE﹣∠BOC＝360°﹣90°﹣120°＝150°．
当三角板绕点O旋转至一边ON不在∠AOC的内部时，
如图：
∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠COM+∠AON＝360°﹣∠MON﹣∠AOC＝360°﹣90°﹣60°＝210°；
综上所述，∠COM与∠AON的关系为：∠COM+∠AON＝150°或210°．
故答案为：∠COM+∠AON＝150°或210°．
10．（2022秋 中原区校级期中）已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且满足|a+12|+|b+6|+（c﹣9）2＝0，动点P、Q都从点A出发，且点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动．
（1）直接写出a＝ ﹣12 ，b＝ ﹣6 ，c＝ 9 ；
（2）若M为PA的中点，N为PB的中点，试判断在P点运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化，请说明理由；
（3）当点P运动到点B时，点Q再从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在A，C之间往返运动，直至P点停止运动，Q点也停止运动．当P点开始运动后的第 8，10，14.5，15.5 秒时，P，Q两点之间的距离为2．
【思路引导】（1）根据非负数和为0即可求解；
（2）设点P表示的数为x，分为点P在点B左侧和右侧两种情况，分别将点M，N表示的数求出来，再相减得出MN的长度，即可判断；
（3）根据点Q的运动速度可知点Q从A运动至C的时间为7s，点P从点B运动至点C所需时间为15s，即可将P，Q两点距离为2的情况分为4种，利用线段之间的等量关系分别求解即可．
【完整解答】解：（1）非负数的和为0，这几个非负数都对应0得：
a+12＝0，b+6＝0，c﹣9＝0，
∴a＝﹣12，b＝﹣6，c＝9，
故答案为：﹣12，﹣6，9；
（2）线段MN的长度不发生变化，理由如下：
设点P运动时间为t，
①当P在A，B之间时，PA＝t，PB＝6﹣t，
M为PA的中点，则PM＝AM＝，
N为PB的中点，则PN＝BN＝，
MN＝PM+PN
＝+
＝3；
②当点P运动到点B的右边时，PA＝t，PB＝6﹣t，
M为PA的中点，则PM＝AM＝，
N为PB的中点，则PN＝BN＝，
MN＝PM﹣PN
＝﹣
＝3，
故线段MN的长度不发生变化；
（3））∵点P运动到点B时，点Q再从点A出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，点Q再从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在A，C之间往返运动，
∵AB＝﹣6﹣（﹣12）＝6，BC＝9﹣（﹣6）＝15，AC＝9﹣（﹣12）＝21，
∴点P从点B运动至点C的时间为：＝15s，点Q从点A运动至点C的时间为：＝7s，
∴可将P，Q两点距离为2的情况分为以下4种，
设点P从点B运动ts后，P，Q两点距离为2，
∴BP＝t，AQ＝3t，PQ＝2，
①如图，当点P，点Q向右运动，且点P在点Q右侧时，
∵AP＝AB+BP＝t+6，AP＝AQ+PQ，
∴t+6＝3t+2，
解得：t＝2，
∴AP＝t+6＝8s，
∴P点开始运动后的第8秒，P，Q两点之间的距离为2；
②如图，当点P，点Q向右运动，且点P在点Q左侧时，
∵AP＝AB+BP＝t+6，AQ＝AP+PQ，
∴3t＝t+6+2，
解得：t＝4，
∴AP＝t+6＝10s，
∴P点开始运动后的第10秒，P，Q两点之间的距离为2；
③如图，当点P向右运动，点Q向左运动，且点P在点Q左侧时，
∵AC+CQ＝3t，
∴CQ＝3t﹣21，
∵AP＝AB+BP＝t+6，AC＝AP+PQ+CQ，
∴21＝t+6+2+3t﹣21，
解得：t＝8.5，
∴AP＝t+6＝14.5s，
∴P点开始运动后的第14.5秒，P，Q两点之间的距离为2；
④如图，当点P向右运动，点Q向左运动，且点P在点Q右侧时，
∵AC+CQ＝3t，
∴CQ＝3t﹣21，
∵AP＝AB+BP＝t+6，AC＝AP+CQ﹣PQ，
∴21＝t+6+3t﹣21﹣2，
解得：t＝9.5，
∴AP＝t+6＝15.5s，
∴P点开始运动后的第15.5秒，P，Q两点之间的距离为2；
综上，当点Q运动的第8，10，14.5，15.5秒，P，Q两点之间的距离为2．
11．（2021秋 孟村县期末）以直线AB上一点O为端点，在直线AB的上方作射线OC，使∠BOC＝50°，将一个直角三角板DOE的直角顶点放在O处，即∠DOE＝90°，且直角三角板DOE在直线AB的上方．
（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OE在射线OA上，则∠COD＝ 40° ；
（2）如图2，直角三角板DOE的边OD在∠BOC的内部．
①若OE恰好平分∠AOC，求∠COE和∠BOD的度数；
②请直接写出∠COE与∠BOD之间的数量关系；
（3）若，求此时∠BOD的度数．
【思路引导】（1）根据两个角互为余角，求出∠COD的度数；
（2）①根据平角定义先求出∠AOC，根据角平分线的定义得，进而求出∠BOD；
②根据角的和差关系求出∠COE与∠BOD之间的数量关系；
（3）分两种情况分别论述：第一种情况，如图②，当∠COD在∠BOC的内部时，第二种情况，如图③，当∠COD在∠BOC的外部时，分别计算．
【完整解答】解：（1）∵∠DOE＝90°，
∴∠DOB＝90°，
∵∠BOC＝50°，
∴∠COD＝40°，
故答案为：40°；
（2）如图②
①∵∠BOC＝50°，
∴∠AOC＝180°﹣50°＝130°，
∵OE恰好平分∠AOC，
∴，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOE﹣∠DOE＝25°；
②∠COE与∠BOD之间的数量关系为：∠COE﹣∠BOD＝40°；
∵∠COD＝∠BOC﹣∠BOD，∠COD+∠COE＝90°，
∴∠BOC﹣∠BOD+∠COE＝90°，
∴∠COE﹣∠BOD＝90°﹣∠BOC．
∵∠BOC＝50°，
∴∠COE﹣∠BOD＝40°；
（3）第一种情况，如图②，当∠COD在∠BOC的内部时，
∵∠COD＝∠BOC﹣∠BOD，∠BOC＝50°，
∴∠COD＝50°﹣∠BOD．
∵∠AOE+∠DOE+∠BOD＝180°，∠DOE＝90°，
∴∠AOE＝90°﹣∠BOD．
∵，
∴，
∴∠BOD＝30°；
第二种情况，如图③，当∠COD在∠BOC的外部时，
∵∠COD＝∠BOD﹣∠BOC，∠BOC＝50°，
∴∠COD＝∠BOD﹣50°．
∵∠AOE+∠DOE+∠BOD＝180°，∠DOE＝90°，
∴∠AOE＝90°﹣∠BOD．
∵，
∴，
∴∠BOD＝60°．
综上所述，∠BOD的度数为30°或60°．
立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.
平面图形：三角形、四边形、圆等.
几何图形
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第04讲 几何图形初步
【学习目标】
1．认识一些简单的几何体的平面展开图及三视图，初步培养空间观念和几何直观；
2．掌握直线、射线、线段、角这些基本图形的概念、性质、表示方法和画法；
3．初步学会应用图形与几何的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题；
4．逐步掌握学过的几何图形的表示方法，能根据语句画出相应的图形，会用语句描述简单的图形．
【基础知识】
知识点01：多姿多彩的图形
几何图形的分类
要点诠释：在给几何体分类时，不同的分类标准有不同的分类结果.
2．立体图形与平面图形的相互转化
（1）立体图形的平面展开图：
把立体图形按一定的方式展开就会得到平面图形，把平面图形按一定的途径进行折叠就会得到相应的立体图形，通过展开与折叠能把立体图形和平面图形有机地结合起来．
要点诠释：①对一些常见立体图形的展开图要非常熟悉，例如正方体的 11种展开图，三棱柱，圆柱等的展开图；
②不同的几何体展成不同的平面图形，同一几何体沿不同的棱剪开，可得到不同的平面图形，那么排除障碍的方法就是：联系实物，展开想象，建立“模型”，整体构想，动手实践.
（2）从不同方向看：
主（正）视图---------从正面看
几何体的三视图 左视图-----从左（右）边看
俯视图---------------从上面看
要点诠释：①会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图.
②能根据三视图描述基本几何体或实物原型.
（3）几何体的构成元素及关系
几何体是由点、线 、面构成的.点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成.
知识点02：直线、射线、线段
直线，射线与线段的区别与联系
2. 基本性质
(1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短．
要点诠释：①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线.
②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离.
3.画一条线段等于已知线段
（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.
（2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图：
4．线段的比较与运算
（1）线段的比较：
比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法.
（2）线段的和与差：
如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。
（3）线段的中点：
把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：
要点诠释：①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点.
②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点.
知识点03：角
1．角的度量
（1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：
要点诠释：①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义；
②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示.
（3）角度制及角度的换算
1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.
要点诠释：①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同.
②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行.
③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一
成60.
（4）角的分类
∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角
范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360°
（5）画一个角等于已知角
（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角.
（2）借助量角器能画出给定度数的角.
（3）用尺规作图法.
2．角的比较与运算
（1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法.
（2）角的平分线：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.
类似地，还有角的三等分线等.
3．角的互余互补关系
余角补角
（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.
（2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.
（3）结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等.
要点诠释：①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角).
②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的.
③只考虑数量关系，与位置无关．
④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角” .
4．方位角
以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.
要点诠释：（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小.
（2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向.
（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.
【考点剖析】
考点一：认识立体图形
例1．（2021秋 高安市期末）小林到某纸箱厂参加社会实践，该厂计划用50张白板纸制作某种型号的长方体纸箱，如图，每张白板纸可以用A，B两种方法剪裁．其中A种裁法：一张白板纸裁成4个侧面；B种裁法：一张白板纸裁成2个侧面与4个底面，且四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．设按A种方法剪裁的有x张白板纸．
（1）按B种方法剪裁的有 （50﹣x） 张白板纸（用含x的代数式表示）；
（2）将50张白板纸裁剪完后，可以制作该种型号的长方体纸箱多少个？
【思路引导】（1）用50减去A种裁法，即可得到答案；
（2）根据侧面数＝4×A种裁法+3×B种裁法+2×C种裁法，底面数＝2×B种裁法+4×C种裁法，即可求解；
【完整解答】解：（1）由题意得：按B种方法剪裁的有（50﹣x） 张白板纸，
故答案为：（50﹣x）；
（2）可以裁出的侧面为：
4x+2（50﹣x）
＝4x+100﹣2x
＝（2x+100）个，
可以裁出的底面为：
4（50﹣x）＝（200﹣4x）个；
∵四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱，
∴（2x+100）＝2（200﹣4x），
解得x＝30，
∴（30×4+20×2）÷4＝40，
答：可以制作该种型号的长方体纸箱40个．
考点二：点、线、面、体
例2．（2022秋 尤溪县期中）现有一个长方形，长和宽分别为3cm和2cm，绕它的一条边所在的直线旋转一周，得到的几何体的体积为（ ）
A．12π B．27π C．12π或18π D．12π或27π
【思路引导】以不同的边为轴旋转一周，所得到的圆柱体的底面半径和高，根据圆柱体体积的计算方法进行计算即可．
【完整解答】解：绕着3cm的边为轴，旋转一周所得到的是底面半径为2cm，高为3cm的圆柱体，
因此体积为π×22×3＝12π（cm3）；
绕着2cm的边为轴，旋转一周所得到的是底面半径为3cm，高为2cm的圆柱体，
因此体积为π×32×2＝18π（cm3），
故选：C．
考点三：认识平面图形
例3．（2022秋 梁溪区期中）有一张长和宽分别是5和4的长方形纸片，现在把它正好分成5张形状各不相同的长方形（包括正方形）纸片，且每张纸片的边长都为整数．这样的5张长方形纸片共有 7 种．
【思路引导】把可以分得的边长为整数的长方形（或正方形）按照面积从小到大排列有：1×1，1×2，1×3，1×4，2×2，1×5，2×3，2×4，3×3，2×5，3×4，3×5，4×4，4×5，若能分成5张满足条件的纸片，因为其面积之和正好为20，依此找到满足条件的情况数即可求解．
【完整解答】解：把可以分得的边长为整数的长方形（或正方形）按照面积从小到大排列有：
1×1，1×2，1×3，1×4，2×2，1×5，2×3，2×4，3×3，2×5，3×4，3×5，4×4，4×5，
若能分成5张满足条件的纸片，因为其面积之和正好为20，
那么满足条件的有：
1×1，1×2，1×3，1×4，2×5；
1×1，1×2，1×3，2×2，2×5；
1×2，1×3，1×4，1×5，2×3；
1×2，1×3，2×2，1×5，2×3；
1×1，1×2，1×4，1×5，2×4；
1×1，1×3，2×2，1×5，2×4；
1×1，1×2，1×3，1×5，3×3；
故这样的5张长方形纸片共有7种．
故答案为：7．
考点四：几何体的展开图
例4．（2021秋 肥城市期末）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：
（1）小明总共剪开了 8 条棱．
（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．
（3）小明说：他所剪的所有棱中，最长的一条棱是最短的一条棱的5倍．现在已知这个长方体纸盒的底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm，求这个长方体纸盒的体积．
【思路引导】（1）根据平面图形得出剪开棱的条数，
（2）根据长方体的展开图的情况可知有四种情况，
（3）设最短的棱长高为acm，则长与宽相等为5acm，根据棱长的和是880cm，列出方程可求出长宽高，即可求出长方体纸盒的体积．
【完整解答】解（1）小明共剪了8条棱，
故答案为：8．
（2）如图，四种情况．
（3）∵长方体纸盒的底面是一个正方形，
∴设最短的棱长高为acm，则长与宽相等为5acm，
∵长方体纸盒所有棱长的和是880cm，
∴4（a+5a+5a）＝880，解得a＝20cm，
∴这个长方体纸盒的体积为：20×100×100＝200000立方厘米．
考点五：展开图折叠成几何体
例5．（2020秋 南开区期末）如图是一个正方体纸盒的展开图，当折成纸盒时，与数11重合的数是 1和7 ．
【思路引导】由正方体展开图的特征得到结论．
【完整解答】解：由正方体展开图的特征得出，折叠成正方体后，点11所在的正方形分别和点7、点1所在的两个正方形相交，
故点1与点7、点1重合．
故答案为：1和7．
考点六：直线的性质：两点确定一条直线
例6．（2021秋 灌阳县期末）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是 两点确定一条直线 ．
【思路引导】根据直线的性质：两点确定一条直线即可得．
【完整解答】解：能解释这一实际应用的数学知识是：两点确定一条直线，
故答案为：两点确定一条直线．
考点七：线段的性质：两点之间线段最短
例7．（2021秋 鱼台县期末）如图，把弯曲的河道改直，能够缩短航程，理由是 两点之间线段最短 ．
【思路引导】根据线段的性质，可得答案．
【完整解答】解：把弯曲的河道改直，能够缩短航程，理由是两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短．
考点八：度分秒的换算
例8．（2021秋 邗江区期末）已知∠α＝25°15′，∠β＝25.15°，则∠α ＞ ∠β．（填“＞”“＜”或“＝”号）
【思路引导】首先把：∠β＝25.15°化为25°9′，然后再比较即可．
【完整解答】解：∠β＝25.15°＝25°9′，
∵25°15′＞25°9′，
∴∠α＞∠β，
故答案为：＞．
考点九：角的计算
例9．（2022 敖汉旗一模）将一个长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，若∠ABE＝20°，则∠CBD等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【思路引导】利用折叠对称的关系，角的加减，求出∠CBD的值．
【完整解答】解：由题意可知：∠ABE＝∠EBA'，∠A'BD＝∠DBC，
∵∠ABE＝20°，
∴∠CBD＝∠A'BC＝（180°﹣∠ABA'）＝×（180°﹣2∠ABE）＝×（180°﹣2×20°）＝70°，
故选：C．
考点十：余角和补角
例10．（2021秋 郎溪县期末）下列说法正确的是（ ）
A．若AC＝BC，则点C为线段AB的中点
B．若，则射线OC为∠AOB平分线
C．若∠1+∠2+∠3＝180°，则这三个角互补
D．若∠α与∠β互余，则∠α的补角比∠β大90°
【思路引导】A、点C为线段AB的中点，前提条件是点A、B、C在同一条直线上；
B、射线OC为∠AOB平分线，前提条件是射线OC在∠AOB的内部；
C、根据两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角判断；
D、根据余角补角定义，表示∠β，∠α的补角，根据题意列算式．
【完整解答】解：A、前提条件是点A、B、C在同一条直线上，∴不符合题意；
B、前提条件是射线OC在∠AOB的内部，∴不符合题意；
C、两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，而不是三个角，∴不符合题意；
D、∵∠α+∠β＝90°，
∴∠β＝90°﹣∠α，
∵∠α的补角：180°﹣∠α，
∴∠α的补角比∠β大：180°﹣∠α﹣（90°﹣∠α）＝90°，
∴符合题意；
故选：D．
考点十一：角的大小比较
例11．（2021秋 华州区期末）比较：28°15′ ＞ 28.15°（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【思路引导】首先利用度分秒换算法则进行转化，再比较大小．
【完整解答】解：∵28°15′＝28°+（15÷60）°＝28.25°，
∴28°15′＞28.15°．
故答案为：＞．
考点十二：作图—基本作图
例12．（2021秋 藁城区期末）作图题：
（1）尺规作图：已知线段a，b（如图），请按下列语句用直尺和圆规作图（保留作图痕迹）．
①作射线AM；
②在射线AM上依次截取AC＝CD＝a；
③在线段DA上截取DB＝b．
（2）由（1）的作图可知AB＝ 2a﹣b （用含a，b的式子表示）．
【思路引导】（1）①根据射线的定义作射线AM即可．
②以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线AM于点C，再以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线CM于点D，即可得AC＝CD＝a．
③以点D为圆心，线段b的长为半径画弧，交线段DA于点B，即可得线段DB．
（2）由（1）可知，AD＝2a，BD＝b，根据AB＝AD﹣BD可得答案．
【完整解答】解：（1）如图所示．
（2）由（1）知，AD＝2a，BD＝b，
∴AB＝AD﹣BD＝2a﹣b．
故答案为：2a﹣b
【真题演练】
一．选择题
1．（2021秋 楚雄州期末）已知三个锐角∠1：∠2：∠3＝1：2：3，且∠3比∠1大40°，则∠3＝（ ）
A．40° B．60° C．45° D．20°
2．（2021秋 黔西南州期末）如图，已知ON，OM分别平分∠AOC和∠BON．若∠MON＝20°，∠AOM＝35°，则∠AOB的度数为（ ）
A．15° B．40° C．55° D．70°
3．（2022秋 尤溪县期中）现有一个长方形，长和宽分别为3cm和2cm，绕它的一条边所在的直线旋转一周，得到的几何体的体积为（ ）
A．12π B．27π C．12π或18π D．12π或27π
二．填空题
4．（2022秋 禅城区校级期中）要锻造一个直径20cm，高16cm的圆柱形毛坯，应截取多长直径16cm的圆钢？设应该截取直径16cm的圆钢xcm，可列出一元一次方程： ．
5．（2021秋 遂川县期末）如图，在同一平面内，∠AOB＝90°，∠AOC＝20°，∠COD＝50°，∠BOD＞45°，则∠BOD的度数为 ．
6．（2021秋 兴庆区校级期末）如图，∠AOB＝∠COD＝90°，∠COB＝58°，则∠DOA的度数是 ．
三．解答题
7．（2022秋 沙坪坝区校级期中）如图，点C是线段AB上一点，线段AB＝21cm，AC：BC＝3：4，点D、E分别为线段BC、AD的中点．
（1）求线段BD的长；
（2）求线段EC的长．
8．（2021秋 鄂城区校级期末）在同一平面内已知∠AOB＝160°，∠COD＝90°，OE平分∠BOD，OF平分∠AOC．
（1）当∠AOC＝80°，求∠EOF的度数；
（2）在做题过程中聪聪同学认为就算不知道∠AOC的度数，也能求∠EOF的度数，请你在∠AOC的度数未知的情况下，求∠EOF的度数．
9．（2021秋 皇姑区校级期末）如图1，已知，点O为直线AB上一点；OC在直线AB是上方，∠AOC＝60°．一直角三角板的直角顶点放在点C处，三角板一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）在图1的时刻，∠BOC的度数为 °，∠CON的度数为 °；
（2）如图2，当三角板绕点O旋转至一边OM恰好平分∠BOC时，∠BON的度数为 °；
（3）如图3，当三角板绕点O旋转至一边ON在∠AOC的内部时，∠AOM﹣∠CON的度数为 °；
（4）在三角板绕点O旋转一周的过程中，∠COM与∠AON的关系为 ．
10．（2022秋 中原区校级期中）已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且满足|a+12|+|b+6|+（c﹣9）2＝0，动点P、Q都从点A出发，且点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动．
（1）直接写出a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）若M为PA的中点，N为PB的中点，试判断在P点运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化，请说明理由；
（3）当点P运动到点B时，点Q再从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在A，C之间往返运动，直至P点停止运动，Q点也停止运动．当P点开始运动后的第 秒时，P，Q两点之间的距离为2．
11．（2021秋 孟村县期末）以直线AB上一点O为端点，在直线AB的上方作射线OC，使∠BOC＝50°，将一个直角三角板DOE的直角顶点放在O处，即∠DOE＝90°，且直角三角板DOE在直线AB的上方．
（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OE在射线OA上，则∠COD＝ ；
（2）如图2，直角三角板DOE的边OD在∠BOC的内部．
①若OE恰好平分∠AOC，求∠COE和∠BOD的度数；
②请直接写出∠COE与∠BOD之间的数量关系；
（3）若，求此时∠BOD的度数．
立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.
平面图形：三角形、四边形、圆等.
几何图形
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