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1．平行线的性质
（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角__________．
符号语言为：如果a∥b，那么∠1=∠2，示意图如图：
（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角__________．
符号语言为：如果a∥b，那么∠2=∠4，示意图如图：
（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，简单说成：两直线平行，同旁内角__________．
符号语言为：如果a∥b，那么∠2+∠3=180°．示意图如图：
2．命题
（1）定义：判断一件事情的语句，叫做__________，如：对顶角相等．
（2）组成：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，通常写成：“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．
（3）真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题．
（4）假命题：命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题．
3．定理与证明
（1）定理：经过推理证实的真命题叫做__________，定理也可以作为继续推理的依据．
（2）证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做_________．
【知识汇总参考答案】
1．（1）相等（2）相等（3）互补
2．（1）命题
3．（1）定理（2）证明
题型一：利用平行线性质导角
方法技巧
1.在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内错互补的结论，这是平行线特有的性质.
2.利用平行线的性质构建等角链.
【例1】（2022春 江岸区校级月考）如图，直线a∥b，直线l与a相交于点P，与b相交于点Q，且PM⊥l，且∠2＝35°，则∠1的大小是 ．
【思路引导】先利用平行线的性质求出∠3，再利用垂直的定义及角的和差关系求出∠1．
【完整解答】解：∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝35°．
∵PM⊥l，
∴∠1+∠3＝90°．
∴∠1＝55°．
故答案为：55°．
【考察注意点】本题主要考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”及垂直的定义是解决本题的关键．
【变式1-1】（2022春 海淀区校级月考）如图，AD∥BE，∠B＝∠D，∠BAD的平分线交BC的延长线于点E，CF平分∠DCE．求证：CF⊥AE．
【思路引导】由AD∥BE，∠B＝∠D，可推出∠B+∠BAD＝180°，∠B＝∠DCE，AB∥CD，再由角平分线定义可得：∠BAE＝∠BAD，∠FCG＝∠DCE，进而得出：∠CGF＝∠BAD，∠FCG＝∠B，可推出：∠CGF+∠FCG＝（∠BAD+∠B）＝×180°＝90°，根据三角形内角和为180°，可得∠CFG＝90°，由垂直定义可证得结论．
【完整解答】证明：∵AD∥BE，
∴∠DCE＝∠D，∠B+∠BAD＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠B＝∠DCE，
∴AB∥CD，
∴∠CGF＝∠BAE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠BAD，
∴∠CGF＝∠BAD，
∵CF平分∠DCE，
∴∠FCG＝∠DCE，
∴∠FCG＝∠B，
∴∠CGF+∠FCG＝（∠BAD+∠B）＝×180°＝90°，
∴∠CFG＝180°﹣（∠CGF+∠FCG）＝180°﹣90°＝90°，
∴CF⊥AE．
【考察注意点】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义，垂直定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握平行线判定定理和性质定理．
【变式1-2】（2022春 高淳区校级期中）对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得∠M+k∠N＝360°，则称∠N为∠M的k系补周角．若∠M＝90°，∠N＝45°，则∠N为∠M的6系补周角．
（1）若∠H＝80°，则∠H的4系补周角的度数为 70 °．
（2）在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE、DE．
①如图1，∠D＝60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数．
②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF＝n∠ABE，∠CDF＝n∠CDE（其中n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，写出你的解题思路并求出此时的k值（用含n的式子表示）．
【思路引导】（1）设∠H的4系补周角的度数为x°，根据新定义列出方程求解即可；
（2）①过E作EF∥AB，得∠B+∠D＝∠BED，再由已知∠D＝60°，∠B是∠E的3系补周角，列出∠B的方程，求得∠B的度数；
②根据k系补周角的定义先确定P点的位置，再结合∠ABF＝n∠ABE，∠CDF＝n∠CDE求解k与n的关系即可求解．
【完整解答】解：（1）设∠H的4系补周角的度数为x°，根据新定义得：
80+4x＝360，
解得x＝70，
∠H的4系补周角的度数为70°，
故答案为：70；
（2）①过E作EF∥AB，如图1，
∴∠B＝∠BEF，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，∠D＝60°，
∴∠DEF＝∠D＝60°，
∵∠B+60°＝∠BEF+∠DEF，
即∠B+60°＝∠BED，
∵∠B是∠BED的3系补周角，
∴∠BED＝360°﹣3∠B，
∴∠B+60°＝360°﹣3∠B，
∴∠B＝75°；
②如图2，当BG上的动点P为∠CDE的角平分线与BG的交点时，满足∠BPD是∠F的k系补周角，
过点P作PM∥AB，过点F作FN∥AB，如图2，
∵AB∥CD，
∴CD∥PM，CD∥FN，
∴∠ABP＝∠BPM，∠CDP＝∠DPM，∠ABF+∠BFN＝180°，∠CDF+∠DFN＝180°，
∴∠ABF+∠BFD+∠CDF
＝∠ABF+∠BFN+∠CDF+∠DFN
＝180°+180°
＝360°，
∵∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点P，
∴∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，
∴∠BPD＝∠BPM+∠DPM＝（∠ABE+∠CDE），
∵∠ABF＝n∠ABE，∠CDF＝n∠CDE，
∴∠BPD＝（∠ABF+∠CDF），
∴∠BPD＝（∠ABF+∠CDF），
∴∠BPD＝（360°﹣∠BFD），
∴∠BFD+2n∠BPD＝360°，
∴∠BPD是∠BFD的k系补周角，
此时，k＝2n．
【考察注意点】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的定义，新定义．解题的关键是熟练掌握平行线的性质与判定，角平分线的定义，新定义．
题型二：利用平行线的性质与判定进行计算与证明
方法技巧
利用已知得可知，思考结论看需知.
【例2】（2022春 海伦市期末）如图，点E在CA延长线上，DE，AB交于点F，且∠BDE＝∠AEF，∠B＝∠C，∠EFA比∠FDC的余角小10°，P为线段DC上一动点，Q为PC上一点，且满足∠FQP＝∠QFP，FM为∠EFP的平分线．下列结论：①CE∥BD；②AB∥CD；③FQ平分∠AFP；④∠B+∠E＝140°；⑤∠QFM＝20°．其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③④⑤ B．①②③④ C．②③④ D．①⑤
【思路引导】①由∠BDE＝∠AEF可得出CE∥BD，结论①正确；②由CE∥BD进而可得出∠B＝∠EAF，结合∠B＝∠C可得出∠EAF＝∠C，根据“同位角相等，两直线平行”可得出AB∥CD，结论②正确；③由AB∥CD可得出∠AFQ＝∠FQP，结合∠FQP＝∠QFP可得出∠AFQ＝∠QFP，即FQ平分∠AFP，结论③正确；④由AB∥CD可得出∠EFA＝∠FDC，结合∠EFA比∠FDC的余角小10°可求出∠EFA的度数，再由∠B＝∠EAF结合三角形内角和定理可求出∠B+∠E＝140°，结论④正确；⑤根据角平分线的定义可得出∠MFP＝∠EFA+∠AFP以及∠QFP＝∠AFP，将其代入∠QFM＝∠MFP﹣∠QFP可求出∠QFM的角度为定值20°，结论⑤正确．综上即可得出结论．
【完整解答】解：①∵∠BDE＝∠AEF，
∴CE∥BD，结论①正确；
②∵CE∥BD，
∴∠B＝∠EAF．
∵∠B＝∠C，
∴∠EAF＝∠C，
∴AB∥CD，结论②正确；
③∵AB∥CD，
∴∠AFQ＝∠FQP．
∵∠FQP＝∠QFP，
∴∠AFQ＝∠QFP，
∴FQ平分∠AFP，结论③正确；
④∵AB∥CD，
∴∠EFA＝∠FDC．
∵∠EFA比∠FDC的余角小10°，
∴∠EFA＝40°．
∵∠B＝∠EAF，∠EAF+∠E+∠EFA＝180°，
∴∠B+∠E＝180°﹣∠EFA＝140°，结论④正确；
⑤∵FM为∠EFP的平分线，
∴∠MFP＝∠EFP＝∠EFA+∠AFP．
∵∠AFQ＝∠QFP，
∴∠QFP＝∠AFP，
∴∠QFM＝∠MFP﹣∠QFP＝∠EFA＝20°，结论⑤正确．
综上所述：正确的结论有①②③④⑤．
故选：A．
【考察注意点】本题考查了平行线的判定与性质、余角和补角、角平分线的定义以及三角形内角和定理，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
【变式2-1】（2022春 惠东县期末）将一副三角板按如图放置，有下列结论：①若∠2＝30°，则AC∥DE；②若BC∥AD，则∠2＝30°； ③∠BAE+∠CAD＝180°；④若∠CAD＝150°，则∠4＝∠C．其中正确的是 ①③④ ．（填序号）
【思路引导】利用平行线的判定与性质定理和角的和差的意义对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【完整解答】解：∵∠1+∠2＝90°，∠2＝30°，
∴∠1＝60°．
∴∠CAD＝∠1+∠EAD＝150°．
∵∠D＝30°，
∴∠CAD+∠D＝180°．
∴AC∥DE，
∴①的结论正确；
∵∠BAE＝90°﹣∠1，∠CAD＝90°+∠1，
∴∠BAE+∠CAD＝180°．
∴③的结论正确；
∵BC∥AD，
∴∠3＝∠B＝45°．
∴∠2＝90°﹣∠3＝45°．
∴②的结论错误；
∵∠CAD＝150°，∠D＝30°，
∴∠CAD+∠D＝180°．
∴AC∥DE．
∴∠4＝∠C．
∴④的结论正确．
综上所述，正确的结论有：①③④，
故答案为：①③④．
【考察注意点】本题主要考查了平行线的判定与性质，充分利用平行线的判定与性质解答是解题的关键．
【变式2-2】（2022春 长顺县月考）综合与探究
（1）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC的度数．
小明想到一种方法，但是没有解答完，
如图2．过点P作PE∥AB，∴∠APE+∠PAB＝180°，∴∠APE＝180°﹣∠PAB＝180°﹣130°＝50°．∵AB∥CD．
∴PE∥CD．…
请你帮助小明完成剩余的解答．
（2）问题探究：请你依据小明的思路，解答下面的问题：
如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．当点P在A，B两点之间时，∠CPD，∠α，
∠β之间有何数量关系？请说明理由．
【思路引导】（1）过P作PE∥AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC＝50°+60°＝110°．
（2）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．
【完整解答】解：（1）剩余过程：∴∠CPE+∠PCD＝180°，
∴∠CPE＝180°﹣120°＝60°，
∴∠APC＝50°+60°＝110°；
（2）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：
如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β．
【考察注意点】本题考查了平行线的性质和判定的运用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．
题型三：命题与定理
方法技巧
(1)命题必须是一个完整的句子，而且这个句子必须对某件事情作出肯定或否定的判断，二者缺一不可.
(2)命题的内容可以是几何的，也可以是代数的，还可以是生活中的事情，如“如果a＝b，那么a2＝b2”，“末位数字是0或5的数能被5整除”，“这支粉笔是红色的”等都是命题.
(3)命题是判断句，而判断句可对可错，因而命题所描述的关系可真可假，如“相等的角都是对顶角”，这个判断虽是错的，但仍然是命题.
(4)疑问句、具体操作都不是命题，如“今天是星期天吗 ”就不是命题.
【例3】（2022春 重庆月考）下列命题中：①同旁内角互补，两直线平行；②无理数都是无限不循环小数；③经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是0或1，是真命题的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【思路引导】利用平行线的判定方法、无理数的定义、立方根的定义等知识分别判断后即可确定正确的答案．
【完整解答】解：①同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题，符合题意；
②无理数都是无限不循环小数，正确，是真命题，符合题意；
③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是0或±1，故原命题错误，不符合题意；
真命题有2个，
故选：C．
【考察注意点】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的判定方法、无理数的定义、立方根的定义等知识，难度不大．
【变式3-1】（2022春 朝阳区校级月考）下列说法：
①相等的角是对顶角；
②同位角相等；
③如果a2＝b2，则a＝b；
④在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行．
其中假命题的序号有 ①②③ ．
【思路引导】根据对顶角概念，平行线性质和判定等逐项判断即可．
【完整解答】解：相等的角不一定是对顶角，故①是假命题；
两直线平行，才有同位角相等，故②是假命题；
如果a2＝b2，则a＝b或a＝﹣b，故③是假命题；
在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，故④是真命题；
∴假命题有：①②③，
故答案为：①②③．
【考察注意点】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行线性质，对顶角概念等知识．
【变式352】（2022春 夏邑县期中）【教材回顾】如下是人数七年级下册教材第6页，关于同旁内角的定义．
图中∠3和∠6也都在直线AB，CD之间，但它们在直线EF的同一旁（左侧），具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角．
【类比探究】
（1）如图①，具有∠1与∠2这种位置关系的两个角叫做同旁外角．请在图中再找出一对同旁外角，分别用∠3，∠4在图中标记出来；
（2）如图②，直线a∥b，当∠1＝145°时，∠2＝ 35° °；
（3）如图③，已知∠1+∠2＝180°，试说明a∥b，并归纳出一个真命题（用文字叙述）．
【思路引导】（1）根据题意在图中标记即可；
（2）根据平行线的性质及对顶角相等求解即可；
（3）根据邻补角的定义及平行线的判定定理求解即可．
【完整解答】解：（1）如图所示，∠3与∠4互为同旁外角；
（2）如图，
∵直线a∥b，
∴∠3+∠4＝180°，
又∵∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∴∠1+∠2＝180°，
∵∠1＝145°，
∴∠2＝180°﹣∠1＝35°；
故答案为：35°．
（3）如图：
∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠3＝180°，
∴∠2＝∠3，
∴a∥b．
结论：同旁外角互补，两直线平行．
【考察注意点】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键
一．选择题
1．（2022 博望区校级一模）如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1＝24°，∠2＝76°，则∠3的度数为（ ）
A．104° B．128° C．138° D．156°
【思路引导】先根据平行线性质求出∠A，再根据邻补角的定义求出∠4，最后根据三角形外角性质得出∠3＝∠4+∠A．
【完整解答】解：如图：
∵AB∥CD，∠1＝24°，
∴∠A＝∠1＝24°，
∵∠2＝76°，∠2+∠4＝180°，
∴∠4＝180°﹣∠2＝180°﹣76°＝104°，
∴∠3＝∠4+∠A＝104°+24°＝128°．
故选：B．
【考察注意点】本题考查了平行线性质和三角形外角性质的应用，掌握平行线性质和三角形外角性质是解答本题的关键．
2．（2022秋 南岗区校级期中）如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（ ）
A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2＝180°+∠3
C．∠1+∠3＝180°+∠2 D．∠2+∠3＝180°+∠1
【思路引导】根据两直线平行，同旁内角互补可得∠2+∠BDC＝180°，再根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠CDE，而∠CDE＝∠1+∠BDC，整理可得∠2+∠3﹣∠1＝180°．
【完整解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴∠2+∠BDC＝180°，∠3＝∠CDE，
又∠BDC＝∠CDE﹣∠1，
∴∠2+∠3﹣∠1＝180°．
故选：D．
【考察注意点】本题主要考查平行线的性质，从复杂图形中找出内错角，同旁内角是解题的关键．
3．（2022春 仓山区校级期中）如图，直线MN∥PQ，点A在直线MN与PQ之间，点B在直线MN上，连接AB．∠ABM的平分线BC交PQ于点C，连接AC，过点A作AD⊥PQ交PQ于点D，作AF⊥AB交PQ于点F，AE平分∠DAF交PQ于点E，若∠CAE＝45°，∠ACB＝∠DAE，则∠ACD的度数是（ ）
A．18° B．27° C．30° D．45°
【思路引导】设∠DAE＝α，则∠EAF＝α，∠ACB＝α，先求得∠BCE+∠CEA＝180°，即可得到AE∥BC，进而得出∠ACB＝∠CAE，即可得到∠DAE＝18°，再依据Rt△ACD内角和即可得到∠ACD的度数．
【完整解答】解：设∠DAE＝α，则∠EAF＝α，∠ACB＝α，
∵AD⊥PQ，AF⊥AB，
∴∠BAF＝∠ADE＝90°，
∴∠BAE＝∠BAF+∠EAF＝90°+α，∠CEA＝∠ADE+∠DAE＝90°+α，
∴∠BAE＝∠CEA，
∵MN∥PQ，BC平分∠ABM，
∴∠BCE＝∠CBM＝∠CBA，
又∵∠ABC+∠BCE+∠CEA+∠BAE＝360°，
∴∠BCE+∠CEA＝180°，
∴AE∥BC，
∴∠ACB＝∠CAE，即α＝45°，
∴α＝18°，
∴∠DAE＝18°，
∴Rt△ACD中，∠ACD＝90°﹣∠CAD＝90°﹣（45°+18°）＝27°，
故选：B．
【考察注意点】本题主要考查了平行线的判定及性质以及三角形内角和定理的综合运用，解决问题的关键是判定AE∥BC，再利用平行线的性质进行推算．
二．填空题
4．（2022秋 道里区校级月考）如图，直线AB∥CD，点E、F分别为直线AB和CD上的点，点P为两条平行线间的一点，连接PE和PF，过点P作∠EPF的平分线交直线CD于点G，过点F作FH⊥PG，垂足为H，若∠DGP﹣∠PFH＝120°，则∠AEP＝ 30 °．
【思路引导】过点P作PQ∥AB，则PQ∥AB∥CD，根据平行线的性质与角平分线定义得∠AEP＝2∠FPG﹣∠CFP，再根据三角形的外角定理，结合已知条件∠DGP﹣∠PFH＝120°，得∠HFG＝120°﹣∠FPG，由FH⊥PG，根据三角形内角和定理得∠PFH＝90°﹣∠FPG，由平角定义得∠CFP＝2∠PFG﹣30°，进而便可求得结果．
【完整解答】解：过点P作PQ∥AB，则PQ∥AB∥CD，
∴∠AEP＝∠EPQ，∠CFP＝∠FPQ，
∴∠AEP+∠CFP＝∠EPQ+∠FPQ＝∠EPF，
∵PD平分∠EPF，
∴∠EPF＝2∠FPG，
∴∠AEP＝2∠FPG﹣∠CFP，
∵∠DGP﹣∠PFH＝120°，∠DGP＝∠FPG+∠PFH+∠HFG，
∴∠HFG＝120°﹣∠FPG，
∵FH⊥PG，
∴∠PFH＝90°﹣∠FPG，
∴∠CFP＝180°﹣∠PFH﹣∠HFG＝2∠PFG﹣30°，
∴∠AEP＝2∠FPG﹣∠CFP＝30°，
故答案为：30．
【考察注意点】本题主要考查了平行线的性质，垂线的性质，三角形的外角定理，角平分线的定义．关键是作平行线建立已知角与未知角之间的联系．
5．（2022春 永春县期中）如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点B、C分别落在点M、N的位置，且∠AFM＝∠EFM，则∠DEF＝ 72 °．
【思路引导】由折叠的性质先说明∠MFE与∠EFB间关系，再由平角的定义求出∠AFM、∠EFB，最后利用平行线的性质得结论．
【完整解答】解：∵四边形MNEF是四边形BCEF沿EF折叠得到的，
∴∠MFE＝∠EFB．
∵∠AFM＝∠EFM，
∴∠MFE＝∠EFB＝2∠AFM．
∵∠MFE+∠EFB+∠AFM＝180°，
∴5∠AFM＝180°．
∴∠AFM＝36°．
∴∠EFB＝72°．
∵CD∥AB，
∴∠DEF＝∠EFB＝72°．
故答案为：72．
【考察注意点】本题主要考查了平行线的性质，掌握“折叠前后的两个图形全等”、“两直线平行，内错角相等”及平角的定义是解决本题的关键．
6．（2022春 交城县期中）如图，已知AB∥CD，AE和CF分别平分∠BAF和∠DCE，若∠AEC＝57°，∠AFC＝63°，则∠BAF的度数为 46° ．
【思路引导】延长AE交CD于点H，延长AF交CD于点G，设∠BAE＝x，∠FCG＝y，根据角平分线的定义可得∠BAF＝2x，∠ECG＝2y，然后利用平行线的性质可得∠AGC＝2x，∠AHC＝x，，再利用三角形的外角性质可得∠AEC＝x+2y，∠AFC＝2x+y，最后列出关于x，y的方程组，进行计算即可解答．
【完整解答】解：延长AE交CD于点H，延长AF交CD于点G，
设∠BAE＝x，∠FCG＝y，
∵AE和CF分别平分∠BAF和∠DCE，
∴∠BAF＝2∠BAE＝2x，∠ECG＝2∠FCG＝2y，
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠AGC＝2x，∠BAH＝∠AHC＝x，
∵∠AEC是△EHC的一个外角，
∴∠AEC＝∠AHC+∠ECG＝x+2y，
∵∠AFC是△GCF的一个外角，
∴∠AFC＝∠AGC+∠FCG＝2x+y，
∵∠AEC＝57°，∠AFC＝63°，
∴，
解得：，
∴∠BAF＝46°，
故答案为：46°．
【考察注意点】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
三．解答题
7．（2021秋 雁塔区期末）如图，已知AD∥BE，点C是BE上一点，连接AC、DC、AE，AE与CD交于点F，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AB∥CD．
【思路引导】根据AD∥BE，可得∠3＝∠CAD．再由∠3＝∠4，可得∠4＝∠CAD．然后根据∠1＝∠2，可得∠BAE＝∠CAD，从而得到∠4＝∠BAE，即可求证．
【完整解答】证明：∵AD∥BE，
∴∠3＝∠CAD．
∵∠3＝∠4，
∴∠4＝∠CAD．
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE，
即∠BAE＝∠CAD，
∴∠4＝∠BAE，
∴AB∥CD．
【考察注意点】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
8．（2021秋 安岳县期末）如图，已知AB∥CD，∠ABD的平分线BF和∠BDC的平分线DE交于点E，BF交CD于点F．
（1）求∠1+∠2的度数；
（2）若∠2＝35°，求∠3的度数．
【思路引导】（1）由角平分线可得∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2，再根据平行线的性质可得∠ABD+∠BDC＝180°，从而可求∠1+∠2的和；
（2）由（1）的结论可求得∠1的度数，结合平行线的性质即可求得∠3的度数．
【完整解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠ABD+∠BDC＝180°，
∵BF平分∠ABD，DE平分∠BDC，
∴∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2，
又∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠BDC＝180°，
即2∠1+2∠2＝180°，
∴∠1+∠2＝90°；
（2）∵∠1+∠2＝90°，∠2＝35°，
∴∠1＝90°﹣35°＝55°，
∵AB∥CD，
∴∠1+∠3＝180°，
∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣35°＝125°．
【考察注意点】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系，熟记平行线的性质．
9．（2022春 兴平市期中）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA，PD．
（1）如图①，若∠A＝50°，∠D＝150°，求∠P的度数；
（2）如图②，点P在AB上方，则∠A，∠D，∠APD之间有何数量关系？请说明理由．
【思路引导】（1）过点P作PE∥AB．先利用平行线的性质求出∠APE、∠EPD的度数，再利用角的和差关系得结论；
（2）延长BA交PD于点E．利用平行线的性质和平角的定义先求出∠PEA，再利用三角形的外角和内角的关系得结论．
【完整解答】解：（1）过点P作PE∥AB．
∴∠A＝∠APE＝50°．
∵AB∥CD，
∴PE∥CD．
∴∠EPD+∠CDP＝180°．
∵∠D＝150°，
∴∠EPD＝30°．
∴∠APD＝∠APE+∠EPD
＝50°+30°
＝80°．
（2）∠A，∠D，∠APD之数量关系：∠BAP+∠D﹣∠P＝180°．
理由：延长BA交PD于点E．
∵AB∥CD，
∴∠BED＝∠D．
∵∠BED+∠PEB＝180°，
∴∠PEB＝180°﹣∠D．
∴∠BAP＝∠P+∠BEP
＝∠P+180°﹣∠D．
即：∠BAP+∠D﹣∠P＝180°．
【考察注意点】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线的性质和三角形的内角和定理是解决本题的关键．
10．（2022春 锦江区校级期中）已知直线PQ∥MN．
（1）如图1，BC平分∠PBA，AC平分∠MAB，求∠ACB的度数；
（2）在（1）的条件下，G为直线MN上一动点（不与点A重合），BD平分∠GBA，交MN于点D，试探究∠CBD与∠BGA的数量关系并证明；
（3）如图2，当点C位于PQ上，∠BCA＝90°且AB⊥PQ于点K，∠CEM＝60°，在△BCK以每秒10°绕点C逆时针旋转一周的过程中，设旋转时间为t，当BK与△ACK的一边平行时，直接写出此时t的值．
【思路引导】（1）根据角平分线的定义、平行线的性质及三角形的内角和可以得解；
（2）可分三种情况讨论；
（3）画出△BCK以每秒10°绕点C逆时针旋转一周的过程中，BK与△ACK的一边平行的所有情况，即可得解．
【完整解答】解：（1）∵PQ∥MN，
∴∠PBA+∠MAB＝180°，
∵BC平分∠PBA，AC平分∠MAB，
∴∠CBA+∠CAB＝（∠PBA+∠MAB）＝90°，
∴∠ACB＝180°﹣（∠CBA+∠CAB）＝90°；
（2）由题意可分三种情况讨论：
①如图，BG在∠CBA左侧，则：
∠CBD＝∠GBD﹣∠GBC
＝∠GBD﹣（∠PBA﹣∠BGD）
＝∠GBD﹣∠PBA+∠BGD，
∵∠GBD＝（180°﹣∠BGD﹣∠GAB）
＝90°﹣∠BGD﹣∠GAB，
∴∠CBD＝90°﹣∠BGD﹣∠GAB﹣∠PBA+∠BGD
＝90°+∠BGD﹣（∠GAB+∠PBA）
＝∠BGD，
∴∠BGA＝2∠CBD；
②如图，BG在∠CBA内部，则：
∠CBD＝∠GBD+∠GBC
＝∠GBD+（∠BGD﹣∠PBA）
＝∠GBD+∠BGD﹣∠PBA，
∵∠GBD＝（180°﹣∠BGD﹣∠GAB）
＝90°﹣∠BGD﹣∠GAB，
∴∠CBD＝90°﹣∠BGD﹣∠GAB﹣∠PBA+∠BGD
＝90°+∠BGD﹣（∠GAB+∠PBA）
＝∠BGD，
∴∠BGA＝2∠CBD；
③如图，BG在∠CBA右侧，则：
∠CBD＝180°﹣（∠GBD+∠GBQ+∠PBA）
＝180°﹣（∠GBD+∠BGD+∠PBA）
∵∠GBD＝（180°﹣∠BGD﹣∠GAB）
＝90°﹣∠BGD﹣∠GAB，
∴∠CBD＝180°﹣（90°﹣∠BGD﹣∠GAB+∠BGD+∠PBA）
＝180°﹣（90°+∠BGD+∠PBA﹣∠GAB）
＝180°﹣（90°+90°﹣∠ABG﹣∠GAB）
＝（∠ABG+∠GAB）
＝（180°﹣∠BGA），
∴∠BGA＝180°﹣2∠CBD；
综上，∠CBD与∠BGA的数量关系为：∠BGA＝2∠CBD或∠BGA＝180°﹣2∠CBD．
（3）如图，可以画出△BCK以每秒10°绕点C逆时针旋转一周的过程中，BK与△ACK的一边平行的所有情况，
①△BCK旋转到△DCL处，DL∥CA，此时旋转角＝∠BCK＝30°，t＝30÷10＝3s，
②△BCK旋转到△FCO处，FO∥CK，此时旋转角＝∠OCK＝90°，t＝90÷10＝9s，
③△BCK旋转到△GCW处，WG∥KA，此时旋转角＝∠WCK＝180°，t＝180÷10＝18s，
④△BCK旋转到△HCR处，HR∥CA，此时旋转角＝∠GCW+∠WCK＝180°+30°＝210°，t＝210÷10＝21s，
⑤△BCK旋转到△TCS处，ST∥CK，此时旋转角＝∠SCW+∠WCK＝180°+90°＝270°，t＝270÷10＝27s，
⑥△BCK再旋转90°，此时BK回到原处，与AK在同一直线，不算平行，
综上所述，当旋转时间为3s或9s或18s或21s或27s时，BK与△ACK的一边平行．
【考察注意点】本题考查平行线的动点问题，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义、三角形的有关知识及分类讨论的思想方法是解题关键．
第03讲 平行线的性质
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SHAPE \* MERGEFORMAT
1．平行线的性质
（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角__________．
符号语言为：如果a∥b，那么∠1=∠2，示意图如图：
（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角__________．
符号语言为：如果a∥b，那么∠2=∠4，示意图如图：
（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，简单说成：两直线平行，同旁内角__________．
符号语言为：如果a∥b，那么∠2+∠3=180°．示意图如图：
2．命题
（1）定义：判断一件事情的语句，叫做__________，如：对顶角相等．
（2）组成：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，通常写成：“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．
（3）真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题．
（4）假命题：命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题．
3．定理与证明
（1）定理：经过推理证实的真命题叫做__________，定理也可以作为继续推理的依据．
（2）证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做_________．
题型一：利用平行线性质导角
方法技巧
1.在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内错互补的结论，这是平行线特有的性质.
2.利用平行线的性质构建等角链.
【例1】（2022春 江岸区校级月考）如图，直线a∥b，直线l与a相交于点P，与b相交于点Q，且PM⊥l，且∠2＝35°，则∠1的大小是 ．
【思路引导】先利用平行线的性质求出∠3，再利用垂直的定义及角的和差关系求出∠1．
【完整解答】解：∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝35°．
∵PM⊥l，
∴∠1+∠3＝90°．
∴∠1＝55°．
故答案为：55°．
【考察注意点】本题主要考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”及垂直的定义是解决本题的关键．
【变式1-1】（2022春 海淀区校级月考）如图，AD∥BE，∠B＝∠D，∠BAD的平分线交BC的延长线于点E，CF平分∠DCE．求证：CF⊥AE．
【变式1-2】（2022春 高淳区校级期中）对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得∠M+k∠N＝360°，则称∠N为∠M的k系补周角．若∠M＝90°，∠N＝45°，则∠N为∠M的6系补周角．
（1）若∠H＝80°，则∠H的4系补周角的度数为 °．
（2）在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE、DE．
①如图1，∠D＝60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数．
②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF＝n∠ABE，∠CDF＝n∠CDE（其中n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，写出你的解题思路并求出此时的k值（用含n的式子表示）．
题型二：利用平行线的性质与判定进行计算与证明
方法技巧
利用已知得可知，思考结论看需知.
【例2】（2022春 海伦市期末）如图，点E在CA延长线上，DE，AB交于点F，且∠BDE＝∠AEF，∠B＝∠C，∠EFA比∠FDC的余角小10°，P为线段DC上一动点，Q为PC上一点，且满足∠FQP＝∠QFP，FM为∠EFP的平分线．下列结论：①CE∥BD；②AB∥CD；③FQ平分∠AFP；④∠B+∠E＝140°；⑤∠QFM＝20°．其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③④⑤ B．①②③④ C．②③④ D．①⑤
【思路引导】①由∠BDE＝∠AEF可得出CE∥BD，结论①正确；②由CE∥BD进而可得出∠B＝∠EAF，结合∠B＝∠C可得出∠EAF＝∠C，根据“同位角相等，两直线平行”可得出AB∥CD，结论②正确；③由AB∥CD可得出∠AFQ＝∠FQP，结合∠FQP＝∠QFP可得出∠AFQ＝∠QFP，即FQ平分∠AFP，结论③正确；④由AB∥CD可得出∠EFA＝∠FDC，结合∠EFA比∠FDC的余角小10°可求出∠EFA的度数，再由∠B＝∠EAF结合三角形内角和定理可求出∠B+∠E＝140°，结论④正确；⑤根据角平分线的定义可得出∠MFP＝∠EFA+∠AFP以及∠QFP＝∠AFP，将其代入∠QFM＝∠MFP﹣∠QFP可求出∠QFM的角度为定值20°，结论⑤正确．综上即可得出结论．
【完整解答】解：①∵∠BDE＝∠AEF，
∴CE∥BD，结论①正确；
②∵CE∥BD，
∴∠B＝∠EAF．
∵∠B＝∠C，
∴∠EAF＝∠C，
∴AB∥CD，结论②正确；
③∵AB∥CD，
∴∠AFQ＝∠FQP．
∵∠FQP＝∠QFP，
∴∠AFQ＝∠QFP，
∴FQ平分∠AFP，结论③正确；
④∵AB∥CD，
∴∠EFA＝∠FDC．
∵∠EFA比∠FDC的余角小10°，
∴∠EFA＝40°．
∵∠B＝∠EAF，∠EAF+∠E+∠EFA＝180°，
∴∠B+∠E＝180°﹣∠EFA＝140°，结论④正确；
⑤∵FM为∠EFP的平分线，
∴∠MFP＝∠EFP＝∠EFA+∠AFP．
∵∠AFQ＝∠QFP，
∴∠QFP＝∠AFP，
∴∠QFM＝∠MFP﹣∠QFP＝∠EFA＝20°，结论⑤正确．
综上所述：正确的结论有①②③④⑤．
故选：A．
【考察注意点】本题考查了平行线的判定与性质、余角和补角、角平分线的定义以及三角形内角和定理，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
【变式2-1】（2022春 惠东县期末）将一副三角板按如图放置，有下列结论：①若∠2＝30°，则AC∥DE；②若BC∥AD，则∠2＝30°； ③∠BAE+∠CAD＝180°；④若∠CAD＝150°，则∠4＝∠C．其中正确的是 ．（填序号）
【变式2-2】（2022春 长顺县月考）综合与探究
（1）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC的度数．
小明想到一种方法，但是没有解答完，
如图2．过点P作PE∥AB，∴∠APE+∠PAB＝180°，∴∠APE＝180°﹣∠PAB＝180°﹣130°＝50°．∵AB∥CD．
∴PE∥CD．…
请你帮助小明完成剩余的解答．
（2）问题探究：请你依据小明的思路，解答下面的问题：
如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．当点P在A，B两点之间时，∠CPD，∠α，
∠β之间有何数量关系？请说明理由．
题型三：命题与定理
方法技巧
(1)命题必须是一个完整的句子，而且这个句子必须对某件事情作出肯定或否定的判断，二者缺一不可.
(2)命题的内容可以是几何的，也可以是代数的，还可以是生活中的事情，如“如果a＝b，那么a2＝b2”，“末位数字是0或5的数能被5整除”，“这支粉笔是红色的”等都是命题.
(3)命题是判断句，而判断句可对可错，因而命题所描述的关系可真可假，如“相等的角都是对顶角”，这个判断虽是错的，但仍然是命题.
(4)疑问句、具体操作都不是命题，如“今天是星期天吗 ”就不是命题.
【例3】（2022春 重庆月考）下列命题中：①同旁内角互补，两直线平行；②无理数都是无限不循环小数；③经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是0或1，是真命题的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【思路引导】利用平行线的判定方法、无理数的定义、立方根的定义等知识分别判断后即可确定正确的答案．
【完整解答】解：①同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题，符合题意；
②无理数都是无限不循环小数，正确，是真命题，符合题意；
③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是0或±1，故原命题错误，不符合题意；
真命题有2个，
故选：C．
【考察注意点】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的判定方法、无理数的定义、立方根的定义等知识，难度不大．
【变式3-1】（2022春 朝阳区校级月考）下列说法：
①相等的角是对顶角；
②同位角相等；
③如果a2＝b2，则a＝b；
④在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行．
其中假命题的序号有 ．
【变式3-2】（2022春 夏邑县期中）【教材回顾】如下是人数七年级下册教材第6页，关于同旁内角的定义．
图中∠3和∠6也都在直线AB，CD之间，但它们在直线EF的同一旁（左侧），具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角．
【类比探究】
（1）如图①，具有∠1与∠2这种位置关系的两个角叫做同旁外角．请在图中再找出一对同旁外角，分别用∠3，∠4在图中标记出来；
（2）如图②，直线a∥b，当∠1＝145°时，∠2＝ 35° °；
（3）如图③，已知∠1+∠2＝180°，试说明a∥b，并归纳出一个真命题（用文字叙述）．
一．选择题
1．（2022 博望区校级一模）如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1＝24°，∠2＝76°，则∠3的度数为（ ）
A．104° B．128° C．138° D．156°
2．（2022秋 南岗区校级期中）如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（ ）
A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2＝180°+∠3
C．∠1+∠3＝180°+∠2 D．∠2+∠3＝180°+∠1
3．（2022春 仓山区校级期中）如图，直线MN∥PQ，点A在直线MN与PQ之间，点B在直线MN上，连接AB．∠ABM的平分线BC交PQ于点C，连接AC，过点A作AD⊥PQ交PQ于点D，作AF⊥AB交PQ于点F，AE平分∠DAF交PQ于点E，若∠CAE＝45°，∠ACB＝∠DAE，则∠ACD的度数是（ ）
A．18° B．27° C．30° D．45°
二．填空题
4．（2022秋 道里区校级月考）如图，直线AB∥CD，点E、F分别为直线AB和CD上的点，点P为两条平行线间的一点，连接PE和PF，过点P作∠EPF的平分线交直线CD于点G，过点F作FH⊥PG，垂足为H，若∠DGP﹣∠PFH＝120°，则∠AEP＝ °．
5．（2022春 永春县期中）如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点B、C分别落在点M、N的位置，且∠AFM＝∠EFM，则∠DEF＝ °．
6．（2022春 交城县期中）如图，已知AB∥CD，AE和CF分别平分∠BAF和∠DCE，若∠AEC＝57°，∠AFC＝63°，则∠BAF的度数为 ．
三．解答题
7．（2021秋 雁塔区期末）如图，已知AD∥BE，点C是BE上一点，连接AC、DC、AE，AE与CD交于点F，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AB∥CD．
8．（2021秋 安岳县期末）如图，已知AB∥CD，∠ABD的平分线BF和∠BDC的平分线DE交于点E，BF交CD于点F．
（1）求∠1+∠2的度数；
（2）若∠2＝35°，求∠3的度数．
9．（2022春 兴平市期中）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA，PD．
（1）如图①，若∠A＝50°，∠D＝150°，求∠P的度数；
（2）如图②，点P在AB上方，则∠A，∠D，∠APD之间有何数量关系？请说明理由．
10．（2022春 锦江区校级期中）已知直线PQ∥MN．
（1）如图1，BC平分∠PBA，AC平分∠MAB，求∠ACB的度数；
（2）在（1）的条件下，G为直线MN上一动点（不与点A重合），BD平分∠GBA，交MN于点D，试探究∠CBD与∠BGA的数量关系并证明；
（3）如图2，当点C位于PQ上，∠BCA＝90°且AB⊥PQ于点K，∠CEM＝60°，在△BCK以每秒10°绕点C逆时针旋转一周的过程中，设旋转时间为t，当BK与△ACK的一边平行时，直接写出此时t的值．
第03讲 平行线的性质
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