安徽省合肥市六校联盟2022-2023学年高二上学期数学期中联考试卷

安徽省合肥市六校联盟2022-2023学年高二上学期数学期中联考试卷
一、单选题
1．（2022高二上·合肥期中）过，两点的直线的倾斜角是（　　）
A．45° B．60° C．120° D．135°
2．（2021高二上·日照期末）如图，在四面体OABC中，，，.点M在OA上，且，为BC中点，则等于（　　）
A． B．
C． D．
3．（2022高二上·合肥期中）已知方程表示圆，则k的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2022高二上·合肥期中）椭圆的焦点为，，与y轴的一个交点为A，若，则m=（　　）
A．1 B． C． D．2
5．（2022高二上·合肥期中）如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为（　　）
A． B． C． D．
6．（2022高二上·合肥期中）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为1，且PA与AB，AD的夹角都等于60°.若M是PC的中点，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2022高二上·合肥期中）已知点P在直线l：上，过点P的两条直线与圆O：分别相切于A，B两点，则圆心O到直线AB的距离的最大值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2022高二上·合肥期中）国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022高二上·合肥期中）下列说法正确的是（　　）
A．已知为平面α的一个法向量，为直线l的一个方向向量，若，则l与α所成角为
B．P、A、B、C是空间中四点，若，则P、A、B、C四点共面
C．过，两点的直线方程为
D．“”的一个必要不充分条件是“直线与直线平行”
10．（2022高二上·合肥期中）下列说法错误的是（　　）
A．是直线的一个单位方向向量
B．直线与直线之间的距离是
C．点到直线l：的距离为
D．经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线条数共有2条
11．（2022高二上·合肥期中）已知椭圆的左，右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（　　）
A．椭圆的离心率的取值范围是
B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是
C．存在点使得
D．的最小值为2
12．（2022高二上·合肥期中）如下图，正方体中，为线段上的动点，平面，则下面说法正确的是（　　）
A．直线与平面所成角的正弦值范围为
B．已知为中点，当的和最小时，
C．点为的中点时，若平面经过点，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形
D．点与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大.
三、填空题
13．（2022高二上·合肥期中）已知圆与圆有四条公切线，写出一个实数a的可能取值是　 　．
14．（2022高二上·合肥期中）向量，，且，则向量在上的投影向量的坐标为　 　．
15．（2022高二上·合肥期中）已知圆，直线.若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则的值为　 　.
16．（2021高三上·化州月考）已知椭圆C：的左 右焦点分别是，，过点的直线交椭圆于A，B两点，则的内切圆面积的最大值为　 　.
四、解答题
17．（2022高二上·合肥期中）已知点，____，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答．
条件①：点关于直线的对称点的坐标为；
条件②：点的坐标为，直线过点且与直线垂直；
条件③点的坐标为，直线过点且与直线平行．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
（1）求直线的方程；
（2）求直线：关于直线的对称直线的方程．
18．（2022高二上·合肥期中）如图，在直三棱柱中，，点分别在棱和棱上，且．
（1）设为中点，求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
19．（2022高二上·合肥期中）已知圆的圆心为原点，且与直线相切，直线过点.
（1）若直线与圆相切，求直线的方程；
（2）若直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程.
20．（2022高二上·合肥期中）已知椭圆，直线被椭圆截得的线段长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右顶点作互相垂直的两条直线.分别交椭圆于两点（点不同于椭圆的右顶点），证明：直线过定点.
21．（2020高二上·济宁月考）如下图，在四棱锥 中，已知 平面 ，且四边形 为直角梯形， ， ， ．
（1）求平面 与平面 夹角的余弦值；
（2）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，利用此定义求异面直线 与 之间的距离．
22．（2022高三上·安徽开学考）如图，已知椭圆的左、右顶点分别是，且经过点， 直线 恒过定点且交椭圆于两点，为的中点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记的面积为S，求S的最大值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】已知，，则，
设直线的倾斜角为，则，得。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合两点求斜率公式，进而得出直线的斜率，再结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，进而得出过，两点的直线的倾斜角。
2．【答案】B
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理
【解析】【解答】连接 ，
是 的中点， ， ，
.
故答案为：B
【分析】由向量的加法、减法及数乘运算法则计算，可得答案.
3．【答案】C
【知识点】二元二次方程表示圆的条件
【解析】【解答】因为表示圆，
所以，解得，
得的取值范围是。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合圆的判断方法，进而得出实数k的取值范围。
4．【答案】A
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】在椭圆（）中，，，，
如图，
易知，又，所以为等腰直角三角形，
即，得，即。
故答案为：A
【分析】在椭圆（）中得出a，b与m的关系式，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式，进而得出c与m的关系式，再利用已知条件，易知，再结合，所以为等腰直角三角形，从而得出，再结合焦距的定义和两点距离公式，进而得出实数m的值。
5．【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】如图，以为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，
因为，
所以，，，
所以点P到AB的距离。
故答案为：D.
【分析】以为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用结合空间两点距离公式和数量积，从而得出点P到AB的距离。
6．【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】因为是的中点，
所以，
所以
因为的长为1，且与，的夹角都等于60°．
所以
，
所以。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合四棱锥的结构特征，再结合中点的性质和平面向量基本定理，再利用数量积求向量的模的公式和数量积的定义，进而得出的值。
7．【答案】C
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】设点，圆O：，其圆心，
由题意知：是圆的切线，则，
则点在以为直径的圆上，又由，，
则以为直径的圆的方程为：，即，
与圆O：联立可得：，即直线的方程为.
又因为点在直线l：上，故，
所以圆心到直线的距离，
所以当时，取最大值。
故答案为：C.
【分析】设点，利用圆O：得出圆心，由题意知：是圆的切线，则，则点在以为直径的圆上，又由，，进而得出以为直径的圆的方程为，与圆O：联立可得直线的方程为，再利用点在直线l：上结合代入法得出，再结合点到直线的距离公式和二次函数的图象求最值的方法得出圆心到直线的距离的最大值。
8．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设内层椭圆方程为（），因为内、外层椭圆离心率相同，
所以外层椭圆方程可设成（），
设切线方程为，与联立得，
，
由，
化简得：，
设切线方程为，
同理可求得，
所以，
，
所以，因此。
故答案为：D
【分析】设内层椭圆方程为（），再利用内、外层椭圆离心率相同，所以外层椭圆方程可设成（），设切线方程为，与联立结合判别式法得出，设切线方程为，同理可求得，所以，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出的值，再利用椭圆的离心率公式变形得出椭圆的离心率。
9．【答案】A,B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的两点式方程；共面向量定理；直线与平面所成的角
【解析】【解答】对于A：设直线与平面所成角为，，则与的关系为
或，其中，所以当时，则l与α所成角为，A符合题意；
对于B：由得
所以，所以，所以可以由线性表示，所以P、A、B、C四点共面，B符合题意；
对于C：当或时，不能再用此方程，C不符合题意；
对于D：直线与直线平行得且 .
故时推不出两直线平行，而反之可以，所以“”的一个充分不必要条件是“直线与直线平行”，D不符合题意；
故答案为：AB
【分析】利用已知条件结合平面的法向量求解方法、方向向量求解方法、数量积求线面角的方法、平面向量基本定理、适当共面判断方法、两点式求直线方程的方法、充分条件、必要条件的判断方法，进而找出说法正确的选项。
10．【答案】A,C,D
【知识点】单位向量；直线的截距式方程；平面内点到直线的距离公式；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】对于A：的模长为，不是单位向量，A错误，符合题意；
对于B：化为，与的距离为，B正确，不符合题意；
对于C：点到直线l：的距离为，C错误，符合题意；
对于D：在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有斜率为的两条，还有过原点的一条，D错误，符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合直线的单位方向向量求解方法、两平行直线的距离公式、点到直线的距离公式、直线的截距求解方法，进而找出说法错误的选项。
11．【答案】A,B,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；利用数量积判断平面向量的垂直关系；平面内两点间的距离公式；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意得，又点在椭圆外，则，解得，
所以椭圆的离心率，即椭圆的离心率的取值范围是，A符合题意；
当时，，，所以的取值范围是，即，B符合题意；
设椭圆的上顶点为，，，由于，
所以存在点使得，C符合题意；
，
当且仅当时，等号成立，
又，
所以，D不正确．
故答案为：ABC
【分析】由题意结合长轴长的定义得出a的值，再利用点在椭圆外结合代入法和点与椭圆的位置关系判断方法，进而得出b的取值范围，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式和椭圆的离心率公式，进而得出椭圆的离心率的取值范围；当时，，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式，进而得出b的值，再结合几何法和两点距离公式得处的取值范围；设椭圆的上顶点为，，，再利用数量积的坐标表示和椭圆中a，b，c三者的关系式得出，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，所以存在点使得；再利用已知条件结合均值不等式求最值的方法和，所以，从而找出正确的选项。
12．【答案】A,B,C
【知识点】棱柱的结构特征；直线与平面所成的角
【解析】【解答】对于A选项，设正方体的棱长为2，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则点、、设点，
平面，则为平面的一个法向量，且，，
，
所以，直线与平面所成角的正弦值范围为，A选项正确；
对于B选项，将矩形与矩形延展为一个平面，如下图所示：
若最短，则、、三点共线，
，，B选项正确.
对于C选项，设平面交棱于点，点，，
平面，平面，，即，得，，
所以，点为棱的中点，同理可知，点为棱的中点，则，，
而，，且，
由空间中两点间的距离公式可得，，，
所以，四边形为等腰梯形，C选项正确；
对于D选项，当与重合时，连接、、、，
在正方体中，平面，平面，，
四边形是正方形，则，，平面，
平面，，同理可证，
，平面，
易知是边长为的等边三角形，其面积为，周长为.
设、、、、、分别为棱、、、、、的中点，
易知六边形是边长为的正六边形，且平面平面，
正六边形的周长为，面积为，
则的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，D选项错误；
故答案为：ABC
【分析】利用已知条件结合建系的方法，再利用线面角求解方法、正弦函数的定义、正弦函数的图象求值域的方法、中点的性质、两点距离公式、正方体的结构特征、线面垂直的性质定理、等腰梯形的定义、正六边形的周长和面积公式求解方法，从而找出说法正确的选项。
13．【答案】4（答案不唯一）
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，因为两圆有四条公切线，所以两圆外离，又两圆的圆心距，所以，解得或，所以实数a的可能取值为4。
故答案为：4（答案不唯一）。
【分析】利用已知条件结合两圆位置关系判断方法，再结合两点距离公式和公切线判断方法，进而得出实数a可能的取值。
14．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；空间向量的投影向量
【解析】【解答】因为向量，，且，
所以，解得，
所以，
所以，
则向量在上的投影向量的坐标为。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合数量积的坐标表示得出x的值，再利用数量积求出向量在上的投影向量的坐标。
15．【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】由题可知，圆的圆心为(0，0)，半径为2，
故要使圆上恰有3个点到l的距离为1，
则圆心到直线l的距离为1，
即。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合圆的标准方程求出圆心坐标和半径长，再利用点到直线的距离公式得出b的值。
16．【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：直线AB的斜率不能为0，但可不存在.
设直线AB的方程为，，，
由，得，，，
则
（当且仅当时等号成立）.
设的内切圆半径为r，，
则，
，
则的内切圆面积的最大值为.
故答案为：．
【分析】设直线AB的方程为，，，把直线方程与椭圆方程联立，应用韦达定理得，，由变形后应用基本不等式得最大值，从而可得内切圆半径最大值，即可得出的内切圆面积的最大值。
17．【答案】（1）解：选择条件：
因为点关于直线的对称点的坐标为，所以是线段的垂直平分线．
因为，所以直线的斜率为，又线段的中点坐标为，
所以直线的方程为，即．
选择条件：
因为，直线与直线垂直，所以直线的斜率为，
又直线过点，所以直线的方程为，即．
选择条件，
因为，直线与直线平行，所以直线的斜率为，
又直线过点，所以直线的方程为，即．
（2）解：，解得，故，的交点坐标为，
因为在直线：上，设关于对称的点为，
则，解得，
直线关于直线对称的直线经过点，，代入两点式方程得，即，
所以：关于直线的对称直线的方程为．
【知识点】直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系；与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【分析】（1） 选择条件：利用点关于直线的对称点的坐标为，所以是线段的垂直平分线，再利用两点求斜率公式结合两直线垂直斜率之积等于-1，进而得出直线的斜率，再利用中点坐标公式得出线段的中点坐标，进而结合点斜式求出直线的方程，再转化为直线的一般式方程。
选择条件：利用已知条件结合两点求斜率公式结合两直线垂直斜率之积等于-1，进而得出直线的斜率，再利用直线过点，从而结合点斜式方程求出直线的方程，再转化为直线的一般式方程。
选择条件，利用已知条件结合两点求斜率公式和两直线平行斜率相等的判断方法，进而得出直线的斜率，再利用直线过点，从而结合点斜式求出直线的方程，再转化为直线的一般式方程。
（2）利用已知条件结合两直线关于直线对称的判断方法，再结合两直线联立求交点的方法和两直线垂直斜率之积等于-1，再利用中点坐标公式得出直线：关于直线的对称直线的方程。
18．【答案】（1）证明：取中点，连接、，
则，且，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以．
又平面，平面，
所以平面．
（2）解：因为直三棱柱中，所以、、两两垂直．
分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
所以，，，
设平面法向量为，则，，
即，令，得到平面的一个法向量．
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1） 取中点，连接、，再利用中点作中位线的方法和中位线的性质，则，再利用中点的性质得出FG的长，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，再利用线线平行证出线面平行，从而证出平面。
（2）利用直三棱柱中，所以、、两两垂直，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积和诱导公式求出直线与平面所成角的正弦值。
19．【答案】（1）解：圆心到直线的距离，
圆的半径为2，所以圆的方程为；
当直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为，不相切.
直线斜率存在，设直线，
由，得或
所以切线方程为，或.
（2）解：设圆心到直线的距离为，则，由，解得.
当直线斜率不存在时，直线方程为，
圆心到直线的距离，即直线被圆所截得的弦长为，符合题意；
当直线斜率存在时，设直线，
则，解得：，
故的方程是，即，
综上所述，直线的方程为或.
【知识点】直线的一般式方程；圆的切线方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1） 利用已知条件结合点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离，进而得出圆的半径，从而得出圆的方程，再利用分类讨论的方法，当直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为，不相切，当直线斜率存在，设直线，再利用点到直线的距离公式结合已知条件得出直线的斜率，进而结合点斜式求出切线方程，再转化为直线的一般式方程。
（2） 设圆心到直线的距离为，再结合弦长公式结合，进而得出d的值，再利用分类讨论的方法，当直线斜率不存在时，直线方程为，再利用圆心到直线的距离，从而得出直线被圆所截得的弦长；当直线斜率存在时，设直线，再利用点到直线的距离公式和已知条件得出直线的斜率，进而结合点斜式求出直线的方程，再转化为直线的一般式方程，从而得出直线的方程。
20．【答案】（1）解：根据题意，设直线与题意交于两点.不妨设点在第一象限，
又长为，∴，∴
∴，故的标准方程为
（2）证明：显然直线的斜率存在且不为0，
设，由得，
∴，同理可得
当时，，
所以直线的方程为
整理得，所以直线
当时，直线的方程为，直线也过点
所以直线过定点.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 根据题意，设直线与题意交于两点，不妨设点在第一象限，再利用长为结合两点求距离公式得出点P的坐标，再结合代入法和椭圆的标准方程求出b的值，从而得出椭圆的标准方程。
（2） 利用已知条件，显然直线的斜率存在且不为0，设，在利用直线与椭圆相交，联立直线与椭圆方程得出交点M，N的坐标，再利用两点求斜率公式得出当时的直线MN的斜率，再利用点斜式求出直线的方程，进而整理证出并得出直线过的定点坐标。
21．【答案】（1）解：以 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则各点的坐标为B（1,0,0）， ， ，
因为 平面 ，且 面 ，
，又 ，且 ，
AD⊥平面PAB，
所以 是平面PAB的一个法向量，
因为 ， .
设平面PCD的法向量为 ，
则 ，
即 ，令 ，解得 ， .
所以 是平面PCD的一个法向量，
从而 ，
所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为 ；
（2）解：因为 ，
设 为直线PB上一点，且 ，
又 ，
则 ，
则点 到直线 的距离
∵
∴
所以异面直线PB与CD之间的距离为 .
【知识点】平面内点到直线的距离公式；空间向量的数量积运算；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）以 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 ，求出平面PAB和平面PCD的法向量，利用夹角公式求解即可；（2）设 为直线PB上一点，且 ，利用坐标运算求出点 到直线 的距离 ，求出最值即可.
22．【答案】（1）解：由题意可得，直线恒过定点，
因为为的中点， 所以， 即.
因为椭圆经过点 ，所以 ， 解得，
所以椭圆的方程为
（2）解：设.
由得 恒成立，
则，
则
又因为点到直线的距离，
所以
令， 则，
因为，时，，在上单调递增，
所以当时，时，故.
即S的最大值为 .
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)易知F(-1，0)， A(-2，0)，从而得a=2，再将点 代入椭圆方程，求得b的值，即可求出椭圆的标准方程；
(2)联立直线 与椭圆的方程，结合韦达定理，利用分割法表示出S，再利用对勾函数的性质，求出 S的最大值.
1 / 1安徽省合肥市六校联盟2022-2023学年高二上学期数学期中联考试卷
一、单选题
1．（2022高二上·合肥期中）过，两点的直线的倾斜角是（　　）
A．45° B．60° C．120° D．135°
【答案】A
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】已知，，则，
设直线的倾斜角为，则，得。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合两点求斜率公式，进而得出直线的斜率，再结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，进而得出过，两点的直线的倾斜角。
2．（2021高二上·日照期末）如图，在四面体OABC中，，，.点M在OA上，且，为BC中点，则等于（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理
【解析】【解答】连接 ，
是 的中点， ， ，
.
故答案为：B
【分析】由向量的加法、减法及数乘运算法则计算，可得答案.
3．（2022高二上·合肥期中）已知方程表示圆，则k的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二元二次方程表示圆的条件
【解析】【解答】因为表示圆，
所以，解得，
得的取值范围是。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合圆的判断方法，进而得出实数k的取值范围。
4．（2022高二上·合肥期中）椭圆的焦点为，，与y轴的一个交点为A，若，则m=（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】在椭圆（）中，，，，
如图，
易知，又，所以为等腰直角三角形，
即，得，即。
故答案为：A
【分析】在椭圆（）中得出a，b与m的关系式，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式，进而得出c与m的关系式，再利用已知条件，易知，再结合，所以为等腰直角三角形，从而得出，再结合焦距的定义和两点距离公式，进而得出实数m的值。
5．（2022高二上·合肥期中）如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】如图，以为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，
因为，
所以，，，
所以点P到AB的距离。
故答案为：D.
【分析】以为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用结合空间两点距离公式和数量积，从而得出点P到AB的距离。
6．（2022高二上·合肥期中）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为1，且PA与AB，AD的夹角都等于60°.若M是PC的中点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】因为是的中点，
所以，
所以
因为的长为1，且与，的夹角都等于60°．
所以
，
所以。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合四棱锥的结构特征，再结合中点的性质和平面向量基本定理，再利用数量积求向量的模的公式和数量积的定义，进而得出的值。
7．（2022高二上·合肥期中）已知点P在直线l：上，过点P的两条直线与圆O：分别相切于A，B两点，则圆心O到直线AB的距离的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】设点，圆O：，其圆心，
由题意知：是圆的切线，则，
则点在以为直径的圆上，又由，，
则以为直径的圆的方程为：，即，
与圆O：联立可得：，即直线的方程为.
又因为点在直线l：上，故，
所以圆心到直线的距离，
所以当时，取最大值。
故答案为：C.
【分析】设点，利用圆O：得出圆心，由题意知：是圆的切线，则，则点在以为直径的圆上，又由，，进而得出以为直径的圆的方程为，与圆O：联立可得直线的方程为，再利用点在直线l：上结合代入法得出，再结合点到直线的距离公式和二次函数的图象求最值的方法得出圆心到直线的距离的最大值。
8．（2022高二上·合肥期中）国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设内层椭圆方程为（），因为内、外层椭圆离心率相同，
所以外层椭圆方程可设成（），
设切线方程为，与联立得，
，
由，
化简得：，
设切线方程为，
同理可求得，
所以，
，
所以，因此。
故答案为：D
【分析】设内层椭圆方程为（），再利用内、外层椭圆离心率相同，所以外层椭圆方程可设成（），设切线方程为，与联立结合判别式法得出，设切线方程为，同理可求得，所以，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出的值，再利用椭圆的离心率公式变形得出椭圆的离心率。
二、多选题
9．（2022高二上·合肥期中）下列说法正确的是（　　）
A．已知为平面α的一个法向量，为直线l的一个方向向量，若，则l与α所成角为
B．P、A、B、C是空间中四点，若，则P、A、B、C四点共面
C．过，两点的直线方程为
D．“”的一个必要不充分条件是“直线与直线平行”
【答案】A,B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的两点式方程；共面向量定理；直线与平面所成的角
【解析】【解答】对于A：设直线与平面所成角为，，则与的关系为
或，其中，所以当时，则l与α所成角为，A符合题意；
对于B：由得
所以，所以，所以可以由线性表示，所以P、A、B、C四点共面，B符合题意；
对于C：当或时，不能再用此方程，C不符合题意；
对于D：直线与直线平行得且 .
故时推不出两直线平行，而反之可以，所以“”的一个充分不必要条件是“直线与直线平行”，D不符合题意；
故答案为：AB
【分析】利用已知条件结合平面的法向量求解方法、方向向量求解方法、数量积求线面角的方法、平面向量基本定理、适当共面判断方法、两点式求直线方程的方法、充分条件、必要条件的判断方法，进而找出说法正确的选项。
10．（2022高二上·合肥期中）下列说法错误的是（　　）
A．是直线的一个单位方向向量
B．直线与直线之间的距离是
C．点到直线l：的距离为
D．经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线条数共有2条
【答案】A,C,D
【知识点】单位向量；直线的截距式方程；平面内点到直线的距离公式；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】对于A：的模长为，不是单位向量，A错误，符合题意；
对于B：化为，与的距离为，B正确，不符合题意；
对于C：点到直线l：的距离为，C错误，符合题意；
对于D：在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有斜率为的两条，还有过原点的一条，D错误，符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合直线的单位方向向量求解方法、两平行直线的距离公式、点到直线的距离公式、直线的截距求解方法，进而找出说法错误的选项。
11．（2022高二上·合肥期中）已知椭圆的左，右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（　　）
A．椭圆的离心率的取值范围是
B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是
C．存在点使得
D．的最小值为2
【答案】A,B,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；利用数量积判断平面向量的垂直关系；平面内两点间的距离公式；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意得，又点在椭圆外，则，解得，
所以椭圆的离心率，即椭圆的离心率的取值范围是，A符合题意；
当时，，，所以的取值范围是，即，B符合题意；
设椭圆的上顶点为，，，由于，
所以存在点使得，C符合题意；
，
当且仅当时，等号成立，
又，
所以，D不正确．
故答案为：ABC
【分析】由题意结合长轴长的定义得出a的值，再利用点在椭圆外结合代入法和点与椭圆的位置关系判断方法，进而得出b的取值范围，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式和椭圆的离心率公式，进而得出椭圆的离心率的取值范围；当时，，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式，进而得出b的值，再结合几何法和两点距离公式得处的取值范围；设椭圆的上顶点为，，，再利用数量积的坐标表示和椭圆中a，b，c三者的关系式得出，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，所以存在点使得；再利用已知条件结合均值不等式求最值的方法和，所以，从而找出正确的选项。
12．（2022高二上·合肥期中）如下图，正方体中，为线段上的动点，平面，则下面说法正确的是（　　）
A．直线与平面所成角的正弦值范围为
B．已知为中点，当的和最小时，
C．点为的中点时，若平面经过点，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形
D．点与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大.
【答案】A,B,C
【知识点】棱柱的结构特征；直线与平面所成的角
【解析】【解答】对于A选项，设正方体的棱长为2，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则点、、设点，
平面，则为平面的一个法向量，且，，
，
所以，直线与平面所成角的正弦值范围为，A选项正确；
对于B选项，将矩形与矩形延展为一个平面，如下图所示：
若最短，则、、三点共线，
，，B选项正确.
对于C选项，设平面交棱于点，点，，
平面，平面，，即，得，，
所以，点为棱的中点，同理可知，点为棱的中点，则，，
而，，且，
由空间中两点间的距离公式可得，，，
所以，四边形为等腰梯形，C选项正确；
对于D选项，当与重合时，连接、、、，
在正方体中，平面，平面，，
四边形是正方形，则，，平面，
平面，，同理可证，
，平面，
易知是边长为的等边三角形，其面积为，周长为.
设、、、、、分别为棱、、、、、的中点，
易知六边形是边长为的正六边形，且平面平面，
正六边形的周长为，面积为，
则的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，D选项错误；
故答案为：ABC
【分析】利用已知条件结合建系的方法，再利用线面角求解方法、正弦函数的定义、正弦函数的图象求值域的方法、中点的性质、两点距离公式、正方体的结构特征、线面垂直的性质定理、等腰梯形的定义、正六边形的周长和面积公式求解方法，从而找出说法正确的选项。
三、填空题
13．（2022高二上·合肥期中）已知圆与圆有四条公切线，写出一个实数a的可能取值是　 　．
【答案】4（答案不唯一）
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，因为两圆有四条公切线，所以两圆外离，又两圆的圆心距，所以，解得或，所以实数a的可能取值为4。
故答案为：4（答案不唯一）。
【分析】利用已知条件结合两圆位置关系判断方法，再结合两点距离公式和公切线判断方法，进而得出实数a可能的取值。
14．（2022高二上·合肥期中）向量，，且，则向量在上的投影向量的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；空间向量的投影向量
【解析】【解答】因为向量，，且，
所以，解得，
所以，
所以，
则向量在上的投影向量的坐标为。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合数量积的坐标表示得出x的值，再利用数量积求出向量在上的投影向量的坐标。
15．（2022高二上·合肥期中）已知圆，直线.若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则的值为　 　.
【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】由题可知，圆的圆心为(0，0)，半径为2，
故要使圆上恰有3个点到l的距离为1，
则圆心到直线l的距离为1，
即。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合圆的标准方程求出圆心坐标和半径长，再利用点到直线的距离公式得出b的值。
16．（2021高三上·化州月考）已知椭圆C：的左 右焦点分别是，，过点的直线交椭圆于A，B两点，则的内切圆面积的最大值为　 　.
【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：直线AB的斜率不能为0，但可不存在.
设直线AB的方程为，，，
由，得，，，
则
（当且仅当时等号成立）.
设的内切圆半径为r，，
则，
，
则的内切圆面积的最大值为.
故答案为：．
【分析】设直线AB的方程为，，，把直线方程与椭圆方程联立，应用韦达定理得，，由变形后应用基本不等式得最大值，从而可得内切圆半径最大值，即可得出的内切圆面积的最大值。
四、解答题
17．（2022高二上·合肥期中）已知点，____，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答．
条件①：点关于直线的对称点的坐标为；
条件②：点的坐标为，直线过点且与直线垂直；
条件③点的坐标为，直线过点且与直线平行．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
（1）求直线的方程；
（2）求直线：关于直线的对称直线的方程．
【答案】（1）解：选择条件：
因为点关于直线的对称点的坐标为，所以是线段的垂直平分线．
因为，所以直线的斜率为，又线段的中点坐标为，
所以直线的方程为，即．
选择条件：
因为，直线与直线垂直，所以直线的斜率为，
又直线过点，所以直线的方程为，即．
选择条件，
因为，直线与直线平行，所以直线的斜率为，
又直线过点，所以直线的方程为，即．
（2）解：，解得，故，的交点坐标为，
因为在直线：上，设关于对称的点为，
则，解得，
直线关于直线对称的直线经过点，，代入两点式方程得，即，
所以：关于直线的对称直线的方程为．
【知识点】直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系；与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【分析】（1） 选择条件：利用点关于直线的对称点的坐标为，所以是线段的垂直平分线，再利用两点求斜率公式结合两直线垂直斜率之积等于-1，进而得出直线的斜率，再利用中点坐标公式得出线段的中点坐标，进而结合点斜式求出直线的方程，再转化为直线的一般式方程。
选择条件：利用已知条件结合两点求斜率公式结合两直线垂直斜率之积等于-1，进而得出直线的斜率，再利用直线过点，从而结合点斜式方程求出直线的方程，再转化为直线的一般式方程。
选择条件，利用已知条件结合两点求斜率公式和两直线平行斜率相等的判断方法，进而得出直线的斜率，再利用直线过点，从而结合点斜式求出直线的方程，再转化为直线的一般式方程。
（2）利用已知条件结合两直线关于直线对称的判断方法，再结合两直线联立求交点的方法和两直线垂直斜率之积等于-1，再利用中点坐标公式得出直线：关于直线的对称直线的方程。
18．（2022高二上·合肥期中）如图，在直三棱柱中，，点分别在棱和棱上，且．
（1）设为中点，求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：取中点，连接、，
则，且，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以．
又平面，平面，
所以平面．
（2）解：因为直三棱柱中，所以、、两两垂直．
分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
所以，，，
设平面法向量为，则，，
即，令，得到平面的一个法向量．
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1） 取中点，连接、，再利用中点作中位线的方法和中位线的性质，则，再利用中点的性质得出FG的长，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，再利用线线平行证出线面平行，从而证出平面。
（2）利用直三棱柱中，所以、、两两垂直，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积和诱导公式求出直线与平面所成角的正弦值。
19．（2022高二上·合肥期中）已知圆的圆心为原点，且与直线相切，直线过点.
（1）若直线与圆相切，求直线的方程；
（2）若直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程.
【答案】（1）解：圆心到直线的距离，
圆的半径为2，所以圆的方程为；
当直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为，不相切.
直线斜率存在，设直线，
由，得或
所以切线方程为，或.
（2）解：设圆心到直线的距离为，则，由，解得.
当直线斜率不存在时，直线方程为，
圆心到直线的距离，即直线被圆所截得的弦长为，符合题意；
当直线斜率存在时，设直线，
则，解得：，
故的方程是，即，
综上所述，直线的方程为或.
【知识点】直线的一般式方程；圆的切线方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1） 利用已知条件结合点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离，进而得出圆的半径，从而得出圆的方程，再利用分类讨论的方法，当直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为，不相切，当直线斜率存在，设直线，再利用点到直线的距离公式结合已知条件得出直线的斜率，进而结合点斜式求出切线方程，再转化为直线的一般式方程。
（2） 设圆心到直线的距离为，再结合弦长公式结合，进而得出d的值，再利用分类讨论的方法，当直线斜率不存在时，直线方程为，再利用圆心到直线的距离，从而得出直线被圆所截得的弦长；当直线斜率存在时，设直线，再利用点到直线的距离公式和已知条件得出直线的斜率，进而结合点斜式求出直线的方程，再转化为直线的一般式方程，从而得出直线的方程。
20．（2022高二上·合肥期中）已知椭圆，直线被椭圆截得的线段长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右顶点作互相垂直的两条直线.分别交椭圆于两点（点不同于椭圆的右顶点），证明：直线过定点.
【答案】（1）解：根据题意，设直线与题意交于两点.不妨设点在第一象限，
又长为，∴，∴
∴，故的标准方程为
（2）证明：显然直线的斜率存在且不为0，
设，由得，
∴，同理可得
当时，，
所以直线的方程为
整理得，所以直线
当时，直线的方程为，直线也过点
所以直线过定点.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 根据题意，设直线与题意交于两点，不妨设点在第一象限，再利用长为结合两点求距离公式得出点P的坐标，再结合代入法和椭圆的标准方程求出b的值，从而得出椭圆的标准方程。
（2） 利用已知条件，显然直线的斜率存在且不为0，设，在利用直线与椭圆相交，联立直线与椭圆方程得出交点M，N的坐标，再利用两点求斜率公式得出当时的直线MN的斜率，再利用点斜式求出直线的方程，进而整理证出并得出直线过的定点坐标。
21．（2020高二上·济宁月考）如下图，在四棱锥 中，已知 平面 ，且四边形 为直角梯形， ， ， ．
（1）求平面 与平面 夹角的余弦值；
（2）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，利用此定义求异面直线 与 之间的距离．
【答案】（1）解：以 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则各点的坐标为B（1,0,0）， ， ，
因为 平面 ，且 面 ，
，又 ，且 ，
AD⊥平面PAB，
所以 是平面PAB的一个法向量，
因为 ， .
设平面PCD的法向量为 ，
则 ，
即 ，令 ，解得 ， .
所以 是平面PCD的一个法向量，
从而 ，
所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为 ；
（2）解：因为 ，
设 为直线PB上一点，且 ，
又 ，
则 ，
则点 到直线 的距离
∵
∴
所以异面直线PB与CD之间的距离为 .
【知识点】平面内点到直线的距离公式；空间向量的数量积运算；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）以 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 ，求出平面PAB和平面PCD的法向量，利用夹角公式求解即可；（2）设 为直线PB上一点，且 ，利用坐标运算求出点 到直线 的距离 ，求出最值即可.
22．（2022高三上·安徽开学考）如图，已知椭圆的左、右顶点分别是，且经过点， 直线 恒过定点且交椭圆于两点，为的中点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记的面积为S，求S的最大值.
【答案】（1）解：由题意可得，直线恒过定点，
因为为的中点， 所以， 即.
因为椭圆经过点 ，所以 ， 解得，
所以椭圆的方程为
（2）解：设.
由得 恒成立，
则，
则
又因为点到直线的距离，
所以
令， 则，
因为，时，，在上单调递增，
所以当时，时，故.
即S的最大值为 .
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)易知F(-1，0)， A(-2，0)，从而得a=2，再将点 代入椭圆方程，求得b的值，即可求出椭圆的标准方程；
(2)联立直线 与椭圆的方程，结合韦达定理，利用分割法表示出S，再利用对勾函数的性质，求出 S的最大值.
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