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广东省惠州市博罗县2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1.(2022高二上·博罗期中)已知向量,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】,,则。
故答案为:C
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算,进而得出向量的坐标。
2.(2022高二上·河南月考)已知圆的一般方程为,其圆心坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】因为圆的圆心为,
则圆的圆心坐标是.
故答案为:C.
【分析】 将圆的方程化为标准方程,找出圆心坐标即可.
3.(2022高二上·博罗期中)若直线经过第一、二、三象限,则有( )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】因为直线经过第一、二、三象限,
所以直线的斜率,在y轴上的截距。
故答案为:A
【分析】利用已知条件结合直线的位置关系与直线的斜率和纵截距的关系,进而找出正确的选项。
4.(2022高二上·武清月考)已知,,且,则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】∵
∴x=1,
∴,
∴,
又∵,
∴向量与的夹角为
故答案为:D.
【分析】根据向量数量积列出方程,求出x=1,利用向量夹角公式计算出答案.
5.(2022高二上·博罗期中)若直线的方向向量为,平面的法向量为,则( )
A. B. C. D.与斜交
【答案】A
【知识点】直线与平面垂直的判定;直线的方向向量;平面的法向量
【解析】【解答】由题意得:,则,。
故答案为:A
【分析】利用已知条件结合直线的方向向量求解方法、平面的法向量求解方法,再结合线面垂直的判定定理,进而找出正确的选项。
6.(2022高二上·博罗期中)设x,,向量,,且,,则( )
A. B. C.3 D.4
【答案】C
【知识点】向量的模;数量积的坐标表达式;数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为向量,,且由得,由,得 解得,所以向量,,
所以,
所以。
故答案为:C
【分析】利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系,再结合数量积的坐标表示、向量共线的坐标表示,进而得出x,y的值,再利用向量的坐标运算和向量的模的坐标表示,进而得出 值。
7.(2022高一下·达州期末)已知,,过点且斜率为的直线l与线段AB有公共点,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】因为过点且斜率为的直线l与线段AB有公共点,
所以由图可知,或,
因为或,
所以或,
故答案为:D
【分析】 根据两点间的斜率公式,利用数形结合即可求出直线斜率k的取值范围.
8.(2022高二上·博罗期中)直线ax+y+3a-1=0恒过定点M,则直线2x+3y-6=0关于点M对称的直线方程为( )
A.2x+3y-12=0 B.2x+3y+12=0
C.3x-2y-6=0 D.2x+3y+6=0
【答案】B
【知识点】直线的一般式方程;恒过定点的直线;图形的对称性
【解析】【解答】由ax+y+3a-1=0得,
由,得,∴M(-3,1).
设直线2x+3y-6=0关于点M对称的直线方程为,
∴,解得:C=12或C=-6(舍去),
∴直线2x+3y-6=0关于点M对称的直线方程为2x+3y+12=0。
故答案为:B.
【分析】利用已知条件将直线的一般式方程转化为直线的点斜式方程,从而得出定点M的坐标,再结合直线与直线关于点对称的求解方法,再利用点到直线的距离公式,进而得出直线2x+3y-6=0关于点M对称的直线方程。
二、多选题
9.(2020高二上·中山期末)已知向量 ,则下列结论不正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B,C
【知识点】平面向量的坐标运算;平面向量数量积的坐标表示、模、夹角;数量积的坐标表达式
【解析】【解答】 向量 ,
, , ,故A正确;
,1, ,故B错误;
,故C错误;
,故D正确.
故答案为:BC.
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算、数量积的坐标运算和向量的模的坐标表示,从而找出结论不正确的选项。
10.(2022高二上·保定月考)已知直线,则下列结论正确的是( )
A.若,则 B.若,则或
C.若,则 D.若,则
【答案】A,C
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系;直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】令,解得:或.当时,与重合;当时,.A符合题意,B不符合题意.
若,则,解得,C符合题意,D不符合题意.
故答案为:AC
【分析】利用已知条件结合两直线垂直,则斜率之积等于-1,再结合两直线平行,则斜率相等,从而求出实数m的值,进而找出正确的结论。
11.(2022高二上·博罗期中)下列说法正确的是( )
A.任意一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率
B.直线与直线的距离为1
C.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
【答案】A,C
【知识点】直线的倾斜角;直线的斜率;直线的截距式方程;两条平行直线间的距离;三角形中的几何计算
【解析】【解答】对于A,任意一条直线都有倾斜角,但当直线与轴垂直时没有斜率,A符合题意;
对于B,直线与直线的距离为,B不符合题意;
对于C,直线与两坐标轴交点为,,
直线与两坐标轴围成的三角形的面积是,C符合题意;
对于D,当直线在轴上截距时,直线在轴上截距,
此时直线过点,,直线方程为,即,
当直线在轴上截距时,直线在轴上截距,
设直线方程为,把代入得,解得,
直线方程为,即,
经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为,,D不符合题意.
故答案为:AC.
【分析】利用已知条件结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式、平行直线的距离公式、三角形的面积公式、截距的定义、直线的一般式方程求解方法,进而找出说法正确的选项。
12.(2022高二上·博罗期中)如图,在长方体中,,点P是线段上的动点,则下列结论正确的是( )
A.当时,A、P、三点共线
B.当时,
C.当时,平面
D.当时,平面
【答案】A,C,D
【知识点】向量的共线定理;数量积判断两个平面向量的垂直关系;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解:如图,以D为原点,为x,y,z轴建立空间直角坐标系:
则,
,
设,,则,
可得,
,
对于A:当时,则点P为对角线的中点,
根据长方体性质可得三点共线,A符合题意;
对于B:当时,
∴,解得,
所以,
则,
因此不正确,B不符合题意;
对于C:当时,,
设平面的法向量为,
,
∴,,
当时,,,故,
∴,∴,
又平面,∴平面,C符合题意;
对于D:当时,可得,,
设平面的法向量为,
则,,
取,则,∴,
而,∴,∴平面,D符合题意.
故答案为:ACD
【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征,再利用建系的方法,从而利用向量共线定理、三点共线判断方法、数量积为0两向量垂直的等价关系、线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理,进而找出结论正确的选项。
三、填空题
13.(2022高二上·博罗期中)直线的斜率为 .
【答案】
【知识点】直线的斜率
【解析】【解答】化直线方程为斜截式得,故直线的斜率为。
故答案为:。
【分析】利用已知条件将直线的一般式方程转化为直线的斜截式方程,从而得出直线的斜率。
14.(2022高二上·博罗期中)我国近代数学家苏步青主要从事微分几何学和计算几何学等方面的研究,在仿射微分几何学和射影微分几何学等研究方面取得了出色成果.他的主要成就之一是发现了四次代数锥面:对于空间中的点P(x,y,z),若其坐标满足关于x,y, z的四次代数方程式,称点P的轨迹为四次代数曲面.若点K(1,k,0)是四次曲面:上的一点,则k= .
【答案】2
【知识点】空间中的点的坐标
【解析】【解答】因为点K(1,k,0)是四次曲面:上的一点,
所以,得,解得。
故答案为:2。
【分析】利用已知条件结合四次代数曲面的定义,进而得出k的值。
15.(2022高二上·博罗期中)过直线和直线的交点,且斜率为-1的直线的一般式方程为 .
【答案】
【知识点】直线的一般式方程;两条直线的交点坐标
【解析】【解答】联立方程: 线,解得:
∴ 直线和直线的交点坐标为(1,1)
∴ 直线的方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0
【分析】利用已知条件联立两直线方程求出交点坐标,再结合点斜式求出直线的方程,再转化为直线的一般式方程。
16.(2022高二上·博罗期中)如图所示,已知平行六面体中,底面是边长为1的正方形,侧棱的长为2,.若,则 ;则的长为 .
【答案】3;
【知识点】平面向量的基本定理及其意义;平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】由题意,知在平行六面体中,,
则,
因为,所以,所以.
因为底面是边长为1的正方形,侧棱的长为2,,
所以
。
故答案为:3;。
【分析】利用已知条件结合平行六面体和正方形的结构特征,再利用平面向量基本定理得出x+y+z的值;再利用已知条件结合数量积求向量的模的公式和数量积的运算法则以及数量积的定义,进而求出 的长 。
四、解答题
17.(2022高一上·咸阳期末)已知平面直角坐标系内两点A(4,0),B(0,3).
(1)求直线AB的方程;
(2)若直线l平行于直线AB,且到直线AB的距离为2,求直线l的方程.
【答案】(1)解:∵A(4,0),B(0,3)
由两点式可得直线AB的方程为,即.
(2)解:由(1)可设直线l:,
∴,解得或.
∴直线l的方程为或.
【知识点】直线的两点式方程;两条平行直线间的距离
【解析】【分析】(1)由直线方程的两点式可求解;
(2)根据直线的平行关系及平行直线之间的距离公式可求解.
18.(2022高二上·博罗期中)根据下列条件求圆的方程:
(1)圆心在点O(0,0),半径r=3;
(2)圆心在点O(0,0),且经过点M(3,4);
(3)以点A(2,5)、B(4,1)为直径.
【答案】(1)解:根据题意,圆心为点O(0,0),半径r=3,
则圆的方程为x2+y2=9;
(2)解:圆心在点O(0,0),且经过点M(3,4),
所以圆的半径r5,圆的方程为x2+y2=25;
(3)解:圆的圆心为AB的中点,其坐标为(3,3),
半径r|AB|,
所以圆的方程为(x﹣3)2+(y﹣3)2=5.
【知识点】圆的标准方程
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合圆心坐标和半径长,进而得出圆的标准方程。
(2)利用已知条件结合圆心坐标和两点距离公式得出半径长的方法,进而得出圆的标准方程。
(3)利用已知条件结合两点距离公式和中点坐标公式得出圆的半径长和圆心坐标,从而得出圆的标准方程。
19.(2022高二上·博罗期中)已知.
(1)若,求实数k的值;
(2)若,求的值.
【答案】(1)解:,
,
由,即,
∴,解得:;
(2)解:由已知得:,,
.
【知识点】数量积的坐标表达式;数量积表示两个向量的夹角;数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合向量的坐标运算和数量积为0两向量垂直的等价关系,进而得出实数k的值。
(2)利用已知条件结合向量共线的坐标运算和数量积求向量夹角公式得出 的值。
20.(2022高二上·博罗期中)如图,在正方体中,棱长为2,M、N分别为、AC的中点.
(1)证明:平面;
(2)求与平面所成角的大小.
【答案】(1)证明:如图,以点D为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴,为z轴建立空间直角坐标系.
则,,,,,,.
所以,
因为平面,
所以平面的一个法向量为,
因为,所以,
因为平面,
所以平面
(2)解:,,.
设平面的一个法向量为
则,令,则,,
所以
设与平面所成角为,
则.
因为,
所以与平面所成角为30°.
【知识点】直线与平面平行的判定;用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】(1) 利用已知条件,以点D为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴,为z轴建立空间直角坐标系,从而得出点的坐标,再结合向量的坐标表示得出向量的坐标,再结合平面,所以平面的一个法向量为,再利用结合数量积为0两向量垂直的等价关系,所以,进而证出直线平面。
(2)利用已知条件结合向量的坐标表示得出向量的坐标, 再结合平面的法向量求解方法得出平面的一个法向量,再结合数量积求向量夹角公式和诱导公式,进而结合向量的夹角的取值范围得出直线与平面所成角。
21.(2022高二下·福州期末)如图,在正四棱柱中,已知,,E,F分别为,上的点,且.
(1)求证:平面ACF:
(2)求点B到平面ACF的距离.
【答案】(1)证明:以为坐标原点,为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系,如下图所示:
则,
设面的一个法向量为,,
可得,即,不妨令则,
平面
(2)解:,则点到平面的距离为
【知识点】点、线、面间的距离计算;向量语言表述线面的垂直、平行关系
【解析】【分析】(1) 以为坐标原点,为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系,利用空间向量求出BE的方向向量以及平面ACF的法向量,求出两向量数量积为0,即可证得 平面ACF ;
(2)可利用空间中点到平面距离公式进行求解,可求出点B到平面ACF的距离.
22.(2022高三上·宝应开学考)如图,在四棱锥中,是边长为2的正三角形,,,,,,,分别是线段,的中点.
(1)求证:平面平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明:如图,在四边形中,过作交于,在中,
得,,则,得,
,
又由已知条件平面,
故平面,
又平面平面平面.
(2)解:为等腰三角形,,又因为平面,
以为原点建立空间直角坐标系,
如图:可得,
,
设平面的法向量为,根据
,得,令,则,得,
又,设直线与平面所成角为,则,
故直线与平面所成角的正弦值.
【知识点】平面与平面垂直的判定;用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】(1) 过作交于,利用勾股定理证得,进而得到,进而证得平面 ,故平面平面 ;
(2)以为原点建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,再代入,计算即可.
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广东省惠州市博罗县2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1.(2022高二上·博罗期中)已知向量,,则( )
A. B.
C. D.
2.(2022高二上·河南月考)已知圆的一般方程为,其圆心坐标是( )
A. B. C. D.
3.(2022高二上·博罗期中)若直线经过第一、二、三象限,则有( )
A. B. C. D.
4.(2022高二上·武清月考)已知,,且,则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
5.(2022高二上·博罗期中)若直线的方向向量为,平面的法向量为,则( )
A. B. C. D.与斜交
6.(2022高二上·博罗期中)设x,,向量,,且,,则( )
A. B. C.3 D.4
7.(2022高一下·达州期末)已知,,过点且斜率为的直线l与线段AB有公共点,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.(2022高二上·博罗期中)直线ax+y+3a-1=0恒过定点M,则直线2x+3y-6=0关于点M对称的直线方程为( )
A.2x+3y-12=0 B.2x+3y+12=0
C.3x-2y-6=0 D.2x+3y+6=0
二、多选题
9.(2020高二上·中山期末)已知向量 ,则下列结论不正确的是( )
A. B.
C. D.
10.(2022高二上·保定月考)已知直线,则下列结论正确的是( )
A.若,则 B.若,则或
C.若,则 D.若,则
11.(2022高二上·博罗期中)下列说法正确的是( )
A.任意一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率
B.直线与直线的距离为1
C.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
12.(2022高二上·博罗期中)如图,在长方体中,,点P是线段上的动点,则下列结论正确的是( )
A.当时,A、P、三点共线
B.当时,
C.当时,平面
D.当时,平面
三、填空题
13.(2022高二上·博罗期中)直线的斜率为 .
14.(2022高二上·博罗期中)我国近代数学家苏步青主要从事微分几何学和计算几何学等方面的研究,在仿射微分几何学和射影微分几何学等研究方面取得了出色成果.他的主要成就之一是发现了四次代数锥面:对于空间中的点P(x,y,z),若其坐标满足关于x,y, z的四次代数方程式,称点P的轨迹为四次代数曲面.若点K(1,k,0)是四次曲面:上的一点,则k= .
15.(2022高二上·博罗期中)过直线和直线的交点,且斜率为-1的直线的一般式方程为 .
16.(2022高二上·博罗期中)如图所示,已知平行六面体中,底面是边长为1的正方形,侧棱的长为2,.若,则 ;则的长为 .
四、解答题
17.(2022高一上·咸阳期末)已知平面直角坐标系内两点A(4,0),B(0,3).
(1)求直线AB的方程;
(2)若直线l平行于直线AB,且到直线AB的距离为2,求直线l的方程.
18.(2022高二上·博罗期中)根据下列条件求圆的方程:
(1)圆心在点O(0,0),半径r=3;
(2)圆心在点O(0,0),且经过点M(3,4);
(3)以点A(2,5)、B(4,1)为直径.
19.(2022高二上·博罗期中)已知.
(1)若,求实数k的值;
(2)若,求的值.
20.(2022高二上·博罗期中)如图,在正方体中,棱长为2,M、N分别为、AC的中点.
(1)证明:平面;
(2)求与平面所成角的大小.
21.(2022高二下·福州期末)如图,在正四棱柱中,已知,,E,F分别为,上的点,且.
(1)求证:平面ACF:
(2)求点B到平面ACF的距离.
22.(2022高三上·宝应开学考)如图,在四棱锥中,是边长为2的正三角形,,,,,,,分别是线段,的中点.
(1)求证:平面平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
答案解析部分
1.【答案】C
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】,,则。
故答案为:C
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算,进而得出向量的坐标。
2.【答案】C
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】因为圆的圆心为,
则圆的圆心坐标是.
故答案为:C.
【分析】 将圆的方程化为标准方程,找出圆心坐标即可.
3.【答案】A
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】因为直线经过第一、二、三象限,
所以直线的斜率,在y轴上的截距。
故答案为:A
【分析】利用已知条件结合直线的位置关系与直线的斜率和纵截距的关系,进而找出正确的选项。
4.【答案】D
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】∵
∴x=1,
∴,
∴,
又∵,
∴向量与的夹角为
故答案为:D.
【分析】根据向量数量积列出方程,求出x=1,利用向量夹角公式计算出答案.
5.【答案】A
【知识点】直线与平面垂直的判定;直线的方向向量;平面的法向量
【解析】【解答】由题意得:,则,。
故答案为:A
【分析】利用已知条件结合直线的方向向量求解方法、平面的法向量求解方法,再结合线面垂直的判定定理,进而找出正确的选项。
6.【答案】C
【知识点】向量的模;数量积的坐标表达式;数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为向量,,且由得,由,得 解得,所以向量,,
所以,
所以。
故答案为:C
【分析】利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系,再结合数量积的坐标表示、向量共线的坐标表示,进而得出x,y的值,再利用向量的坐标运算和向量的模的坐标表示,进而得出 值。
7.【答案】D
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】因为过点且斜率为的直线l与线段AB有公共点,
所以由图可知,或,
因为或,
所以或,
故答案为:D
【分析】 根据两点间的斜率公式,利用数形结合即可求出直线斜率k的取值范围.
8.【答案】B
【知识点】直线的一般式方程;恒过定点的直线;图形的对称性
【解析】【解答】由ax+y+3a-1=0得,
由,得,∴M(-3,1).
设直线2x+3y-6=0关于点M对称的直线方程为,
∴,解得:C=12或C=-6(舍去),
∴直线2x+3y-6=0关于点M对称的直线方程为2x+3y+12=0。
故答案为:B.
【分析】利用已知条件将直线的一般式方程转化为直线的点斜式方程,从而得出定点M的坐标,再结合直线与直线关于点对称的求解方法,再利用点到直线的距离公式,进而得出直线2x+3y-6=0关于点M对称的直线方程。
9.【答案】B,C
【知识点】平面向量的坐标运算;平面向量数量积的坐标表示、模、夹角;数量积的坐标表达式
【解析】【解答】 向量 ,
, , ,故A正确;
,1, ,故B错误;
,故C错误;
,故D正确.
故答案为:BC.
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算、数量积的坐标运算和向量的模的坐标表示,从而找出结论不正确的选项。
10.【答案】A,C
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系;直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】令,解得:或.当时,与重合;当时,.A符合题意,B不符合题意.
若,则,解得,C符合题意,D不符合题意.
故答案为:AC
【分析】利用已知条件结合两直线垂直,则斜率之积等于-1,再结合两直线平行,则斜率相等,从而求出实数m的值,进而找出正确的结论。
11.【答案】A,C
【知识点】直线的倾斜角;直线的斜率;直线的截距式方程;两条平行直线间的距离;三角形中的几何计算
【解析】【解答】对于A,任意一条直线都有倾斜角,但当直线与轴垂直时没有斜率,A符合题意;
对于B,直线与直线的距离为,B不符合题意;
对于C,直线与两坐标轴交点为,,
直线与两坐标轴围成的三角形的面积是,C符合题意;
对于D,当直线在轴上截距时,直线在轴上截距,
此时直线过点,,直线方程为,即,
当直线在轴上截距时,直线在轴上截距,
设直线方程为,把代入得,解得,
直线方程为,即,
经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为,,D不符合题意.
故答案为:AC.
【分析】利用已知条件结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式、平行直线的距离公式、三角形的面积公式、截距的定义、直线的一般式方程求解方法,进而找出说法正确的选项。
12.【答案】A,C,D
【知识点】向量的共线定理;数量积判断两个平面向量的垂直关系;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解:如图,以D为原点,为x,y,z轴建立空间直角坐标系:
则,
,
设,,则,
可得,
,
对于A:当时,则点P为对角线的中点,
根据长方体性质可得三点共线,A符合题意;
对于B:当时,
∴,解得,
所以,
则,
因此不正确,B不符合题意;
对于C:当时,,
设平面的法向量为,
,
∴,,
当时,,,故,
∴,∴,
又平面,∴平面,C符合题意;
对于D:当时,可得,,
设平面的法向量为,
则,,
取,则,∴,
而,∴,∴平面,D符合题意.
故答案为:ACD
【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征,再利用建系的方法,从而利用向量共线定理、三点共线判断方法、数量积为0两向量垂直的等价关系、线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理,进而找出结论正确的选项。
13.【答案】
【知识点】直线的斜率
【解析】【解答】化直线方程为斜截式得,故直线的斜率为。
故答案为:。
【分析】利用已知条件将直线的一般式方程转化为直线的斜截式方程,从而得出直线的斜率。
14.【答案】2
【知识点】空间中的点的坐标
【解析】【解答】因为点K(1,k,0)是四次曲面:上的一点,
所以,得,解得。
故答案为:2。
【分析】利用已知条件结合四次代数曲面的定义,进而得出k的值。
15.【答案】
【知识点】直线的一般式方程;两条直线的交点坐标
【解析】【解答】联立方程: 线,解得:
∴ 直线和直线的交点坐标为(1,1)
∴ 直线的方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0
【分析】利用已知条件联立两直线方程求出交点坐标,再结合点斜式求出直线的方程,再转化为直线的一般式方程。
16.【答案】3;
【知识点】平面向量的基本定理及其意义;平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】由题意,知在平行六面体中,,
则,
因为,所以,所以.
因为底面是边长为1的正方形,侧棱的长为2,,
所以
。
故答案为:3;。
【分析】利用已知条件结合平行六面体和正方形的结构特征,再利用平面向量基本定理得出x+y+z的值;再利用已知条件结合数量积求向量的模的公式和数量积的运算法则以及数量积的定义,进而求出 的长 。
17.【答案】(1)解:∵A(4,0),B(0,3)
由两点式可得直线AB的方程为,即.
(2)解:由(1)可设直线l:,
∴,解得或.
∴直线l的方程为或.
【知识点】直线的两点式方程;两条平行直线间的距离
【解析】【分析】(1)由直线方程的两点式可求解;
(2)根据直线的平行关系及平行直线之间的距离公式可求解.
18.【答案】(1)解:根据题意,圆心为点O(0,0),半径r=3,
则圆的方程为x2+y2=9;
(2)解:圆心在点O(0,0),且经过点M(3,4),
所以圆的半径r5,圆的方程为x2+y2=25;
(3)解:圆的圆心为AB的中点,其坐标为(3,3),
半径r|AB|,
所以圆的方程为(x﹣3)2+(y﹣3)2=5.
【知识点】圆的标准方程
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合圆心坐标和半径长,进而得出圆的标准方程。
(2)利用已知条件结合圆心坐标和两点距离公式得出半径长的方法,进而得出圆的标准方程。
(3)利用已知条件结合两点距离公式和中点坐标公式得出圆的半径长和圆心坐标,从而得出圆的标准方程。
19.【答案】(1)解:,
,
由,即,
∴,解得:;
(2)解:由已知得:,,
.
【知识点】数量积的坐标表达式;数量积表示两个向量的夹角;数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合向量的坐标运算和数量积为0两向量垂直的等价关系,进而得出实数k的值。
(2)利用已知条件结合向量共线的坐标运算和数量积求向量夹角公式得出 的值。
20.【答案】(1)证明:如图,以点D为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴,为z轴建立空间直角坐标系.
则,,,,,,.
所以,
因为平面,
所以平面的一个法向量为,
因为,所以,
因为平面,
所以平面
(2)解:,,.
设平面的一个法向量为
则,令,则,,
所以
设与平面所成角为,
则.
因为,
所以与平面所成角为30°.
【知识点】直线与平面平行的判定;用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】(1) 利用已知条件,以点D为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴,为z轴建立空间直角坐标系,从而得出点的坐标,再结合向量的坐标表示得出向量的坐标,再结合平面,所以平面的一个法向量为,再利用结合数量积为0两向量垂直的等价关系,所以,进而证出直线平面。
(2)利用已知条件结合向量的坐标表示得出向量的坐标, 再结合平面的法向量求解方法得出平面的一个法向量,再结合数量积求向量夹角公式和诱导公式,进而结合向量的夹角的取值范围得出直线与平面所成角。
21.【答案】(1)证明:以为坐标原点,为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系,如下图所示:
则,
设面的一个法向量为,,
可得,即,不妨令则,
平面
(2)解:,则点到平面的距离为
【知识点】点、线、面间的距离计算;向量语言表述线面的垂直、平行关系
【解析】【分析】(1) 以为坐标原点,为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系,利用空间向量求出BE的方向向量以及平面ACF的法向量,求出两向量数量积为0,即可证得 平面ACF ;
(2)可利用空间中点到平面距离公式进行求解,可求出点B到平面ACF的距离.
22.【答案】(1)证明:如图,在四边形中,过作交于,在中,
得,,则,得,
,
又由已知条件平面,
故平面,
又平面平面平面.
(2)解:为等腰三角形,,又因为平面,
以为原点建立空间直角坐标系,
如图:可得,
,
设平面的法向量为,根据
,得,令,则,得,
又,设直线与平面所成角为,则,
故直线与平面所成角的正弦值.
【知识点】平面与平面垂直的判定;用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】(1) 过作交于,利用勾股定理证得,进而得到,进而证得平面 ,故平面平面 ;
(2)以为原点建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,再代入,计算即可.
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