山东省济宁市泗水县2022-2023学年高三上学期数学期中考试试卷

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山东省济宁市泗水县2022-2023学年高三上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2021高一上·兰山期中）设集合 ， ，则 （　　）
A． B．
C． D．
2．（2021高三上·邹城期中）定义运算 ，若复数 满足 ，则 （　　）
A． B． C． D．
3．（2022高三上·泗水期中）设，，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2020高三上·临沂期中）已知命题 ， 是增函数，则 为（　　）
A． ， 是减函数
B． ， 是增函数
C． ， 不是增函数
D． ， 不是增函数
5．（2021高三上·烟台期中）设 ， ， ，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2022高三上·泗水期中）如图，圆的直径，点C，D是半圆弧上的两个三等分点，则（　　）
A．4 B． C． D．6
7．（2021高三上·烟台期中）我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数值剩二，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学思想，所以被3除余2的自然数从小到大组成数列 ，所有被5除余2的自然数从小到大组成数列 ，把 和 的公共项从小到大得到数列 ，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2020高三上·临沂期中）定义在 上的偶函数 在 上单调递减，且满足 ， ， ，则不等式组 的解集为（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2022高三上·泗水期中）下列结论正确的是（　　）
A．若，则是钝角三角形
B．若，则
C．，
D．若P，A，B三点满足，则P，A，B三点共线
10．（2022高三上·泗水期中）已知向量，，若与共线，则下列说法正确的是（　　）
A．函数的最小正周期为
B．函数在上单调递增
C．直线是图象的一条对称轴
D．将的图像向左平移个单位得到函数的图象
11．（2021高二上·湖南月考）已知等差数列 的公差为d，前n项和为 ，若 ，则下列说法中正确的有（　　）
A．当 时， B．当 时， 取得最大值
C．当 时， D．当 时，
12．（2019高三上·德州期中）对于函数 ，下列说法正确的是（　　）
A． 在 处取得极大值
B． 有两个不同的零点
C．
D．若 在 上恒成立，则
三、填空题
13．（2020高三上·临沂期中）已知向量 ， ，若 ， ，则 　 　．
14．（2022高三上·泗水期中）设是函数的一个极值点，则　 　.
15．（2022高三上·泗水期中）设的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若，且b，a，c成等差数列，则角　 　．
16．（2022高三上·泗水期中）已知函数，，若关于的不等式的解集中恰好有一个整数，则实数的取值范围是　 　.
四、解答题
17．（2020高三上·临沂期中）已知函数 的最小正周期为 ，最大值为1
（1）求 ， 的值，并求 的单调递增区间；
（2）将 图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 倍，再将得到的图象上所有点向右平移 个单位，得到 的图象．若 ，求满足 的 的取值范围．
18．（2021高三上·青岛期中）已知 为数列 的前 项和， ， ， ， 为数列 的前 项和.
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 对所有 恒成立，求满足条件 的最小整数值.
19．（2022高三上·泗水期中）已知函数.
（1）若是奇函数，且有3个零点，求的取值范围；
（2）若在处有极大值，求当时的值域.
20．（2022高三上·泗水期中）如图，在平面直角坐标系中，三个向量，，满足条件：，与的夹角为，且，与的夹角为45°．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）若点P为线段OC上的动点，当取得最小值时，求点P的坐标．
21．（2020高三上·临沂期中）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）求 的通项公式；
（2）在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列 中是否存在3项 ， ， （其中 ， ， 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
22．（2022高三上·泗水期中）已知函数，.
（1）若的最大值是1，求的值；
（2）若对其定义域内任意，恒成立，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为集合 ，
，
因此 .
故答案为：A.
【分析】由一元二次不等式的解集求解出不等式的解集，由此得出集合B再由交集的定义结合不等式即可得出答案。
2．【答案】D
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】由 ，
则 ，
，
则 .
故答案为：D
【分析】 根据定义的运算求出，分子分母同乘以(i-1)可化简z，从而求得答案.
3．【答案】B
【知识点】必要条件
【解析】【解答】，则，当时，满足，但此时无意义，故充分性不成立，
若，则，故必要性成立，
则“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B
【分析】由，则，举出反例，得到充分性不成立，由，则，必要性成立，得到答案.
4．【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】因为 的否定为 ，
所以对于命题 ， 是增函数，
为 ， 不是增函数，
故答案为：D。
【分析】利用全称命题和特称命题互为否定的关系，从而写出命题p的否定。
5．【答案】D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】 ，
，
，
所以 。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合对数函数的单调性，再结合与特殊值对应的对数的大小关系比较，从而比较出a，b，c的大小。
6．【答案】D
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB为y轴，建立平面直角坐标系，
连接CD，OC，OD，
因为点C，D是半圆弧上的两个三等分点，所以∠AOC=∠COD=∠BOD=60°，
所以三角形OCD为等边三角形，故∠OCD=∠ODC=60°，则CDAB，
因为，所以，
则，，
所以.
故答案为：D
【分析】建立平面直角坐标系，作出辅助线，写出点的坐标，向量的坐标，利用数量积公式求出答案.
7．【答案】B
【知识点】等差数列；等差数列的通项公式
【解析】【解答】根据题意数列 是首项为2，公差为3的等差数列， ，
数列 是首项为2，公差为5的等差数列， ，
数列 与 的公共项从小到大得到数列 ，故数列 是首项为2，公差为15的等差数列， .
对于A， ， ， ，错误
对于B， ， ， ，正确.
对于C， ， ， ， ，错误.
对于D， ， ， ， ，错误.
故答案为：B.
【分析】根据题意，数列 是首项为2，公差为3的等差数列，再利用等差数列的通项公式，进而求出数列 的通项公式，再利用数列 是首项为2，公差为5的等差数列， 再结合等差数列的通项公式，进而求出数列 的通项公式 ，再利用数列 与 的公共项从小到大得到数列 ，故数列 是首项为2，公差为15的等差数列，再利用等差数列的通项公式，进而求出数列 的通项公式，再结合代入法，从而找出正确的选项。
8．【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：因为 ，所以 的周期为2，
因为定义在 上的偶函数 在 上单调递减，
所以由 ， ，可得 ，
且 ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，
所以 ，
解得 ，
所以原不等式组的解集为 ，
故答案为：D。
【分析】利用偶函数的性质结合减函数的性质，从而利用已知条件，从而求出不等式组 的解集。
9．【答案】A,C,D
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】A选项，在中，，则，即，
因为，故，是钝角三角形，A符合题意；
B选项，当时，，当且仅当，即时，等号成立，B不符合题意；
C选项，，，C符合题意；
D选项，若P，A，B三点满足，故，
即，故P，A，B三点共线，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】A选项，根据向量数量积公式得到，A正确；
B选项，当时，，B错误；
C选项，配方后得到，C正确；
D选项，根据得到，得到P，A，B三点共线.
10．【答案】A,C,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；余弦函数的奇偶性与对称性；余弦函数的单调性
【解析】【解答】解：因为向量，，且与共线
则
即：
所以
对A，函数的最小正周期为，A符合题意；
对B，由，得，，所以函数的单调递增区间为，，而，B不符合题意；
对C，由，，得，，即的对称轴为，，当时，，所以是图象的一条对称轴，C符合题意；
对D，，将的图像向左平移个单位得到，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】利用向量共线的坐标运算结合余弦的二倍角公式先求出，再根据余弦函数的性质逐一判断即可.
11．【答案】A,C
【知识点】数列的函数特性；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为
，所以
，即
，即
，所以
，
所以
，A符合题意；
当
时，
，C符合题意；
，当
时
时，
取得最小值，当
时，
时，
取得最大值，B不符合题意；
，
，当
时，
，D不符合题意；
故答案为：AC
【分析】由已知条件结合等差数列的前n项和公式以及等差数列项的性质，整理化简即可计算出结果由此判断出选项A正确；由等差数列的前n项和公式整理化简即可得出关于n的方程，结合二次函数的图象和性质，即可求出数列的前n项和的最值，由此判断出选项C正确；由等差数列的通项公式即可判断出项的性质，从而得出选项D错误；由此即可得出答案。
12．【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】函数定义域为 ， ,
当 时， ＞0， 单调递增，当 时， ， 单调递减，所以 在 时取得极大值 ，A符合题意；
，当 时， ，当 时， ，因此 只有一个零点，B不符合题意；
显然 ，因此 ，又 ， ，
设 ，则 ， 时， ， 单调递减，而 ，∴ ，即 ，∴ ，
即 ，C符合题意；
令 （ ），则 ，易知当 时， ， 时， ， 在 时取得极大值也是最大值 ，
∴ 在 上恒成立，则 ，D符合题意．
故答案为：ACD．
【分析】求出导函数，利用导数研究函数 的性质．
13．【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：设 ，则 ，
因为 ， ， ， ，
所以 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合共线向量的坐标表示，再利用两向量垂直数量积为0结合数量积的坐标表示，从而求出向量的坐标，再利用向量的模的坐标表示，从而求出向量的模。
14．【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】，由题意得：，
又因为，解得：，
故.
故答案为：.
【分析】根据极值点得到，结合，求出，再结合余弦二倍角公式求出答案.
15．【答案】
【知识点】等差数列的性质；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】因为，由正弦定理可得，即，
因为b，a，c成等差数列，所以，则，
由余弦定理可得，
因为，所以.
故答案为：.
【分析】由正弦定理可得，由等差数列性质可得，再利用余弦定理即可求出.
16．【答案】
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】，则，设，
则，令，所以或，
在上递减，在上递增，在上递减，
在取极小值，，在取极大值，
，作图，时，，，，
由图知在下方图象中只有一个整数点，，
故答案为：
【分析】变量分离，构造函数，求导确定极值，画图数形结合.
17．【答案】（1）解：由题意 ．
∴ ， ．
解得 ， ．
∴ ，
令 ，
∴ ，
所以函数 的单调递增区间为 ．
（2）解：由题意得 ，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
故 的取值范围为 ．
【知识点】三角函数的恒等变换及化简求值；三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式和余弦公式以及辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数最小正周期公式结合已知条件求出的值，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数图象求出正弦型函数的最大值，再结合已知条件求出a的值，从而求出正弦型函数的解析式，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数图象求出正弦型函数的单调递增区间。
(2)由（1）可知正弦型函数f(x)的解析式，再利用三角型函数的图象变换，从而求出正弦型函数g(x)的解析式，再利用正弦型函数g(x)的图像，从而求出 满足 的 的取值范围。
18．【答案】（1）解：由题意 ，
当 时， ，
两式相减得： ，
即： ，
所以 时， 为等比数列
又因为 时， ，
所以 ，
所以，对所有 ， 是以2为首项，8为公比的等比数列，
所以
（2）解：由题知：
所以
所以
所以满足 恒成立的最小 值为674.
【知识点】数列的函数特性；等比数列的通项公式；等比关系的确定；数列的求和
【解析】【分析】(1)根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列为等比数列，从而求出数列的通项公式即可。
(2)由(1)的结论即可求出数列的通项公式，然后由裂项相消法计算出，整理化简得出，从而求出m的最小值。
19．【答案】（1）解：是定义域为的奇函数，
∴，即，
故，
，且.
.
当时，，此时在上单调递减，
在上只有1个零点，不合题意.
当时，令，解得，
令，解得或，
在，上单调递减，在上单调递增.
在上有3个零点，
且，
由函数为奇函数，故只需，
即，.
实数的取值范围是.
（2）解：，
由已知可得，且，
解得或，
当，时，，.
令，即，解得，
易知是的极小值点，与题意不符；
当，时，，.
令，即，解得，
易知是的极大值点，符合题意，故，.
，
在上单调递增，在上单调递减.
又，，.
在上的值域为.
【知识点】函数的值域；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）根据函数为奇函数得到，故，求出，分与两种情况，结合单调性，列出不等式，求出的取值范围；
（2）根据，，求出 或，分两种情况，利用导函数得到单调性和极值情况，得到时的值域.
20．【答案】（1）解：由知为锐角，则，，
∴，，
∴点A，B，C的坐标分别是，，；
（2）解：设，由（1）知，
，
，，
∴，
又∵，
∴当时，有最小值为，
此时点P的坐标为．
【知识点】二次函数的性质；平面向量数量积的运算
【解析】【分析】（1）根据题意求得向量 ， 对应角的正余弦值，结合三角函数的定义即可得出答案；
（2）设，分别求出 ，， 再根据向量数量积的坐标运算结合二次函数的性质即可得出答案.
21．【答案】（1）解：由 可得 ，两式相减可得 ，故数列 是以2为公比的等比数列．
又 ，得 ，
∴ ．
（2）解：由（1）知 ， ，
由题意 ，即 ，∴ ．
假设在数列 中存在三项 ， ， （其中 ， ， 成等差数列）成等比数列，则 ，
即 ．化简得 ．
又因为 ， ， 成等差数列，∴ ，
∴ ，得 ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
即 ，∴ ，即 ，这与题设矛盾．
所以在 中不存在三项 ， ， （其中 ， ， 成等差数列）成等比数列．
【知识点】等比数列的通项公式；等差数列的性质；等比数列的性质；数列递推式
【解析】【分析】（1）利用与的关系式结合分类讨论的方法，从而求出数列 的通项公式 。
（2）由 （1）知 ， ， 再利用在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列， 得出 ，即 ，∴ ，再利用等比中项公式和等差中项公式得出 ， 再结合反证法得出与题设矛盾，所以在 中不存在三项 ， ， （其中 ， ， 成等差数列）成等比数列。
22．【答案】（1）解：的定义域为，.
若，，在定义域内单调递增，无最大值；
若，令，解得：，令，解得：，
故时，单调递增，时，单调递减.
时，取得极大值，也是最大值，故，
；
（2）解：原式恒成立，即在上恒成立，
即在上恒成立.
设，则.
设，则，
在上单调递增，且，.
有唯一零点，且，
即.
两边同时取对数，得，易知是增函数，
，即.
因为，所以当时，，
当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，也是最大值，
，
，
，
故的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）先求定义域，再求导，分与两种情况，分类讨论得到当，时，取得最大值，列出方程，求出的值；
（2）转化为 在上恒成立，构造，二次求导，利用隐零点求出，取对数后，利用同构得到，求出在处取得最大值，列出不等式，求出的取值范围.
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山东省济宁市泗水县2022-2023学年高三上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2021高一上·兰山期中）设集合 ， ，则 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为集合 ，
，
因此 .
故答案为：A.
【分析】由一元二次不等式的解集求解出不等式的解集，由此得出集合B再由交集的定义结合不等式即可得出答案。
2．（2021高三上·邹城期中）定义运算 ，若复数 满足 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】由 ，
则 ，
，
则 .
故答案为：D
【分析】 根据定义的运算求出，分子分母同乘以(i-1)可化简z，从而求得答案.
3．（2022高三上·泗水期中）设，，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件
【解析】【解答】，则，当时，满足，但此时无意义，故充分性不成立，
若，则，故必要性成立，
则“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B
【分析】由，则，举出反例，得到充分性不成立，由，则，必要性成立，得到答案.
4．（2020高三上·临沂期中）已知命题 ， 是增函数，则 为（　　）
A． ， 是减函数
B． ， 是增函数
C． ， 不是增函数
D． ， 不是增函数
【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】因为 的否定为 ，
所以对于命题 ， 是增函数，
为 ， 不是增函数，
故答案为：D。
【分析】利用全称命题和特称命题互为否定的关系，从而写出命题p的否定。
5．（2021高三上·烟台期中）设 ， ， ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】 ，
，
，
所以 。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合对数函数的单调性，再结合与特殊值对应的对数的大小关系比较，从而比较出a，b，c的大小。
6．（2022高三上·泗水期中）如图，圆的直径，点C，D是半圆弧上的两个三等分点，则（　　）
A．4 B． C． D．6
【答案】D
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB为y轴，建立平面直角坐标系，
连接CD，OC，OD，
因为点C，D是半圆弧上的两个三等分点，所以∠AOC=∠COD=∠BOD=60°，
所以三角形OCD为等边三角形，故∠OCD=∠ODC=60°，则CDAB，
因为，所以，
则，，
所以.
故答案为：D
【分析】建立平面直角坐标系，作出辅助线，写出点的坐标，向量的坐标，利用数量积公式求出答案.
7．（2021高三上·烟台期中）我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数值剩二，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学思想，所以被3除余2的自然数从小到大组成数列 ，所有被5除余2的自然数从小到大组成数列 ，把 和 的公共项从小到大得到数列 ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等差数列；等差数列的通项公式
【解析】【解答】根据题意数列 是首项为2，公差为3的等差数列， ，
数列 是首项为2，公差为5的等差数列， ，
数列 与 的公共项从小到大得到数列 ，故数列 是首项为2，公差为15的等差数列， .
对于A， ， ， ，错误
对于B， ， ， ，正确.
对于C， ， ， ， ，错误.
对于D， ， ， ， ，错误.
故答案为：B.
【分析】根据题意，数列 是首项为2，公差为3的等差数列，再利用等差数列的通项公式，进而求出数列 的通项公式，再利用数列 是首项为2，公差为5的等差数列， 再结合等差数列的通项公式，进而求出数列 的通项公式 ，再利用数列 与 的公共项从小到大得到数列 ，故数列 是首项为2，公差为15的等差数列，再利用等差数列的通项公式，进而求出数列 的通项公式，再结合代入法，从而找出正确的选项。
8．（2020高三上·临沂期中）定义在 上的偶函数 在 上单调递减，且满足 ， ， ，则不等式组 的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：因为 ，所以 的周期为2，
因为定义在 上的偶函数 在 上单调递减，
所以由 ， ，可得 ，
且 ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，
所以 ，
解得 ，
所以原不等式组的解集为 ，
故答案为：D。
【分析】利用偶函数的性质结合减函数的性质，从而利用已知条件，从而求出不等式组 的解集。
二、多选题
9．（2022高三上·泗水期中）下列结论正确的是（　　）
A．若，则是钝角三角形
B．若，则
C．，
D．若P，A，B三点满足，则P，A，B三点共线
【答案】A,C,D
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】A选项，在中，，则，即，
因为，故，是钝角三角形，A符合题意；
B选项，当时，，当且仅当，即时，等号成立，B不符合题意；
C选项，，，C符合题意；
D选项，若P，A，B三点满足，故，
即，故P，A，B三点共线，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】A选项，根据向量数量积公式得到，A正确；
B选项，当时，，B错误；
C选项，配方后得到，C正确；
D选项，根据得到，得到P，A，B三点共线.
10．（2022高三上·泗水期中）已知向量，，若与共线，则下列说法正确的是（　　）
A．函数的最小正周期为
B．函数在上单调递增
C．直线是图象的一条对称轴
D．将的图像向左平移个单位得到函数的图象
【答案】A,C,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；余弦函数的奇偶性与对称性；余弦函数的单调性
【解析】【解答】解：因为向量，，且与共线
则
即：
所以
对A，函数的最小正周期为，A符合题意；
对B，由，得，，所以函数的单调递增区间为，，而，B不符合题意；
对C，由，，得，，即的对称轴为，，当时，，所以是图象的一条对称轴，C符合题意；
对D，，将的图像向左平移个单位得到，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】利用向量共线的坐标运算结合余弦的二倍角公式先求出，再根据余弦函数的性质逐一判断即可.
11．（2021高二上·湖南月考）已知等差数列 的公差为d，前n项和为 ，若 ，则下列说法中正确的有（　　）
A．当 时， B．当 时， 取得最大值
C．当 时， D．当 时，
【答案】A,C
【知识点】数列的函数特性；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为
，所以
，即
，即
，所以
，
所以
，A符合题意；
当
时，
，C符合题意；
，当
时
时，
取得最小值，当
时，
时，
取得最大值，B不符合题意；
，
，当
时，
，D不符合题意；
故答案为：AC
【分析】由已知条件结合等差数列的前n项和公式以及等差数列项的性质，整理化简即可计算出结果由此判断出选项A正确；由等差数列的前n项和公式整理化简即可得出关于n的方程，结合二次函数的图象和性质，即可求出数列的前n项和的最值，由此判断出选项C正确；由等差数列的通项公式即可判断出项的性质，从而得出选项D错误；由此即可得出答案。
12．（2019高三上·德州期中）对于函数 ，下列说法正确的是（　　）
A． 在 处取得极大值
B． 有两个不同的零点
C．
D．若 在 上恒成立，则
【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】函数定义域为 ， ,
当 时， ＞0， 单调递增，当 时， ， 单调递减，所以 在 时取得极大值 ，A符合题意；
，当 时， ，当 时， ，因此 只有一个零点，B不符合题意；
显然 ，因此 ，又 ， ，
设 ，则 ， 时， ， 单调递减，而 ，∴ ，即 ，∴ ，
即 ，C符合题意；
令 （ ），则 ，易知当 时， ， 时， ， 在 时取得极大值也是最大值 ，
∴ 在 上恒成立，则 ，D符合题意．
故答案为：ACD．
【分析】求出导函数，利用导数研究函数 的性质．
三、填空题
13．（2020高三上·临沂期中）已知向量 ， ，若 ， ，则 　 　．
【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：设 ，则 ，
因为 ， ， ， ，
所以 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合共线向量的坐标表示，再利用两向量垂直数量积为0结合数量积的坐标表示，从而求出向量的坐标，再利用向量的模的坐标表示，从而求出向量的模。
14．（2022高三上·泗水期中）设是函数的一个极值点，则　 　.
【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】，由题意得：，
又因为，解得：，
故.
故答案为：.
【分析】根据极值点得到，结合，求出，再结合余弦二倍角公式求出答案.
15．（2022高三上·泗水期中）设的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若，且b，a，c成等差数列，则角　 　．
【答案】
【知识点】等差数列的性质；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】因为，由正弦定理可得，即，
因为b，a，c成等差数列，所以，则，
由余弦定理可得，
因为，所以.
故答案为：.
【分析】由正弦定理可得，由等差数列性质可得，再利用余弦定理即可求出.
16．（2022高三上·泗水期中）已知函数，，若关于的不等式的解集中恰好有一个整数，则实数的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】，则，设，
则，令，所以或，
在上递减，在上递增，在上递减，
在取极小值，，在取极大值，
，作图，时，，，，
由图知在下方图象中只有一个整数点，，
故答案为：
【分析】变量分离，构造函数，求导确定极值，画图数形结合.
四、解答题
17．（2020高三上·临沂期中）已知函数 的最小正周期为 ，最大值为1
（1）求 ， 的值，并求 的单调递增区间；
（2）将 图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 倍，再将得到的图象上所有点向右平移 个单位，得到 的图象．若 ，求满足 的 的取值范围．
【答案】（1）解：由题意 ．
∴ ， ．
解得 ， ．
∴ ，
令 ，
∴ ，
所以函数 的单调递增区间为 ．
（2）解：由题意得 ，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
故 的取值范围为 ．
【知识点】三角函数的恒等变换及化简求值；三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式和余弦公式以及辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数最小正周期公式结合已知条件求出的值，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数图象求出正弦型函数的最大值，再结合已知条件求出a的值，从而求出正弦型函数的解析式，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数图象求出正弦型函数的单调递增区间。
(2)由（1）可知正弦型函数f(x)的解析式，再利用三角型函数的图象变换，从而求出正弦型函数g(x)的解析式，再利用正弦型函数g(x)的图像，从而求出 满足 的 的取值范围。
18．（2021高三上·青岛期中）已知 为数列 的前 项和， ， ， ， 为数列 的前 项和.
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 对所有 恒成立，求满足条件 的最小整数值.
【答案】（1）解：由题意 ，
当 时， ，
两式相减得： ，
即： ，
所以 时， 为等比数列
又因为 时， ，
所以 ，
所以，对所有 ， 是以2为首项，8为公比的等比数列，
所以
（2）解：由题知：
所以
所以
所以满足 恒成立的最小 值为674.
【知识点】数列的函数特性；等比数列的通项公式；等比关系的确定；数列的求和
【解析】【分析】(1)根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列为等比数列，从而求出数列的通项公式即可。
(2)由(1)的结论即可求出数列的通项公式，然后由裂项相消法计算出，整理化简得出，从而求出m的最小值。
19．（2022高三上·泗水期中）已知函数.
（1）若是奇函数，且有3个零点，求的取值范围；
（2）若在处有极大值，求当时的值域.
【答案】（1）解：是定义域为的奇函数，
∴，即，
故，
，且.
.
当时，，此时在上单调递减，
在上只有1个零点，不合题意.
当时，令，解得，
令，解得或，
在，上单调递减，在上单调递增.
在上有3个零点，
且，
由函数为奇函数，故只需，
即，.
实数的取值范围是.
（2）解：，
由已知可得，且，
解得或，
当，时，，.
令，即，解得，
易知是的极小值点，与题意不符；
当，时，，.
令，即，解得，
易知是的极大值点，符合题意，故，.
，
在上单调递增，在上单调递减.
又，，.
在上的值域为.
【知识点】函数的值域；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）根据函数为奇函数得到，故，求出，分与两种情况，结合单调性，列出不等式，求出的取值范围；
（2）根据，，求出 或，分两种情况，利用导函数得到单调性和极值情况，得到时的值域.
20．（2022高三上·泗水期中）如图，在平面直角坐标系中，三个向量，，满足条件：，与的夹角为，且，与的夹角为45°．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）若点P为线段OC上的动点，当取得最小值时，求点P的坐标．
【答案】（1）解：由知为锐角，则，，
∴，，
∴点A，B，C的坐标分别是，，；
（2）解：设，由（1）知，
，
，，
∴，
又∵，
∴当时，有最小值为，
此时点P的坐标为．
【知识点】二次函数的性质；平面向量数量积的运算
【解析】【分析】（1）根据题意求得向量 ， 对应角的正余弦值，结合三角函数的定义即可得出答案；
（2）设，分别求出 ，， 再根据向量数量积的坐标运算结合二次函数的性质即可得出答案.
21．（2020高三上·临沂期中）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）求 的通项公式；
（2）在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列 中是否存在3项 ， ， （其中 ， ， 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由 可得 ，两式相减可得 ，故数列 是以2为公比的等比数列．
又 ，得 ，
∴ ．
（2）解：由（1）知 ， ，
由题意 ，即 ，∴ ．
假设在数列 中存在三项 ， ， （其中 ， ， 成等差数列）成等比数列，则 ，
即 ．化简得 ．
又因为 ， ， 成等差数列，∴ ，
∴ ，得 ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
即 ，∴ ，即 ，这与题设矛盾．
所以在 中不存在三项 ， ， （其中 ， ， 成等差数列）成等比数列．
【知识点】等比数列的通项公式；等差数列的性质；等比数列的性质；数列递推式
【解析】【分析】（1）利用与的关系式结合分类讨论的方法，从而求出数列 的通项公式 。
（2）由 （1）知 ， ， 再利用在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列， 得出 ，即 ，∴ ，再利用等比中项公式和等差中项公式得出 ， 再结合反证法得出与题设矛盾，所以在 中不存在三项 ， ， （其中 ， ， 成等差数列）成等比数列。
22．（2022高三上·泗水期中）已知函数，.
（1）若的最大值是1，求的值；
（2）若对其定义域内任意，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）解：的定义域为，.
若，，在定义域内单调递增，无最大值；
若，令，解得：，令，解得：，
故时，单调递增，时，单调递减.
时，取得极大值，也是最大值，故，
；
（2）解：原式恒成立，即在上恒成立，
即在上恒成立.
设，则.
设，则，
在上单调递增，且，.
有唯一零点，且，
即.
两边同时取对数，得，易知是增函数，
，即.
因为，所以当时，，
当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，也是最大值，
，
，
，
故的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）先求定义域，再求导，分与两种情况，分类讨论得到当，时，取得最大值，列出方程，求出的值；
（2）转化为 在上恒成立，构造，二次求导，利用隐零点求出，取对数后，利用同构得到，求出在处取得最大值，列出不等式，求出的取值范围.
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