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辽宁省鞍山市2022-2023学年高三上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·鞍山期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为，，
所以.
故答案为：A.
【分析】求出集合M，再根据交集的定义进行运算，可得答案.
2．（2022高三上·鞍山期中）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．，
B．，
C．的充要条件是
D．若，且，则，至少有一个大于1
【答案】D
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】对于A，恒成立，A不符合题意，
对于B，当时，，B不符合题意，
对于C，当时，无意义，C不符合题意，
对于D，若，则有，D符合题意，
故答案为：D
【分析】 由任何实数的平方均为非负数可判断A；赋值法判断B、C；采用反证法进行判断D.
3．（2022高三上·鞍山期中）把120个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和是较小的两份之和的7倍，则最小一份的面包个数为（ ）
A． B．2 C．6 D．11
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】设最小的一份为个，公差为，，所以，
由题意，解得，
则最小一份的面包个数为2，
故答案为：B
【分析】根据已知条件，结合等差数列的通项公式和求和公式列出方程组，求解出首项和公差，即可求出答案.
4．（2022高三上·鞍山期中）已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ ）
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若是虚数，则都是虚数.
A．①④ B．② C．②③ D．①②③
【答案】C
【知识点】虚数单位i及其性质；复数求模
【解析】【解答】解：为复数，
①若，因为没有大小（虚部为0，即为实数时除外），故是错误的，
②若，设，则，由，得，所以，正确，
③若，则，正确，
④若是虚数，不一定都是虚数，比如，而是虚数，故错误，
故②③正确，
故答案为：C.
【分析】根据复数的性质，逐项进行判断，可得答案.
5．（2022高三上·鞍山期中）设，若关于的不等式在上有解，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的性质
【解析】【解答】由在上有解，得在上有解，
则，由于，而在单调递增，
故当时，取最大值为，故，
故答案为：C
【分析】由已知不等式转化为在上有解，只需，然后根据对勾函数的性质求出最大值，即可得答案.
6．（2022高三上·鞍山期中）下列说法正确的有（ ）
A．若向量，，则
B．若向量，则向量、的夹角为锐角
C．向量，，是三个非零向量，若，则
D．向量，是两个非零向量，若，则
【答案】D
【知识点】平行向量与共线向量；数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】对于A，若，则与不一定平行，A不符合题意；
对于B，由得，向量与的夹角为锐角或角，B不符合题意；
对于C，由得，则，C不符合题意；
对于D，由题可知，向量，共起点，作平行四边形，对角线相等，此四边形是矩形，，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据向量共线的性质判断A；根据向量数量积的运算判断向量夹角和向量垂直判断B、C；根据向量的模可判断D.
7．（2022高三上·鞍山期中）定义在上的奇函数满足，若当时，，则（ ）
A． B．6 C． D．8
【答案】C
【知识点】函数奇偶性的性质；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】因为，所以，
又，所以，
所以，
所以是周期为4的函数，
因此．
故答案为：C．
【分析】 由奇函数f (x)满足，可推出是周期为4的函数，从而求解出 的值 .
8．（2022高三上·鞍山期中）已知定义域为的函数的导函数为，且函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．有极小值，极大值
B．有极小值，极大值
C．有极小值，极大值和
D．有极小值，极大值
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】观察图象知，当时，或且，当时，或，
而当时，，当时，，因此当或时，，
当时，，当且仅当时取等号，则在上单调递减，在上单调递增，
所以有极小值，极大值，A，B，C不正确；D符合题意.
故答案为：D
【分析】 根据给定的函数g (x)图象，分析判断f' (x)值为正或负，结合函数单调性和极值的关系可得答案.
二、多选题
9．（2022·重庆市模拟）已知向量，，，其中，均为正数，且，下列说法正确的是（ ）
A．与的夹角为钝角 B．向量在方向上的投影为
C． D．mn的最大值为2
【答案】C,D
【知识点】基本不等式；数量积表示两个向量的夹角；向量的投影
【解析】【解答】对于A：由题意知， ，所以 与 的夹角为 ，故选项A错误；
对于B：向量 在 方向上的投影为 ，故选项B错误；
对于C： ，因为 ， 均为正数，所以 为非零向量，且 ，故选项C正确；
对于D：由基本不等式知， ， ，当且仅当 时取等号，故 的最大值为2，故选项D正确
故答案为：CD
【分析】A根据向量数量积 ，即可判断；B向量 在 方向上的投影为 ，可判断；根据 即可判断C；基本不等式结合C选项即可判断D.
10．（2022高三上·鞍山期中）若，且，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式
【解析】【解答】因为，所以，解得．
又，所以，从而，于是．
故答案为：AD.
【分析】 由已知利用二倍角的余弦公式可求的值，进而利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正切公式即可求解出答案.
11．（2022高三上·鞍山期中）下列命题正确的有（ ）
A．若等差数列的前项的和为，则，，也成等差数列
B．若为等比数列，且，则
C．若等差数列的前项和为，已知，且，，则可知数列前项的和最大
D．若 ，则数列的前2020项和为4040
【答案】B,C,D
【知识点】等差数列的前n项和；数列的求和；等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【解答】A.等差数列的前项的和为，则，，也成等差数列，故错误；
B. 为等比数列，且，则，所以，故正确；
C. 因为，则，，则，所以，，
所以数列前项的和最大，故正确；
D. 因为，所以数列的前2020项和为：，，故正确.
故答案为：BCD
【分析】结合等差数列的性质判断选项A；结合等比数列的性质判断选项B；结合等差数列的求和公式及性质判断选项C；结合分组求和判断选项D.
12．（2022高三上·鞍山期中）已知函数，则有（ ）
A．是的一个对称中心 B．的最小正周期为
C．的图像关于直线对称 D．在区间上单调递减
【答案】B,C
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性；正弦函数的周期性
【解析】【解答】因为，没有对称中心，A不符合题意；
最小正周期，B符合题意；
令，得，C符合题意；
令，根据得，函数在上不单调，D不符合题意；
故答案为：BC.
【分析】由题意利用二倍角的正弦公式可求，利用正弦函数的图象和性质，逐项进行判断，可得答案.
三、填空题
13．（2022高三上·鞍山期中）函数在上的最小值为 ．
【答案】e-2
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】因为，当时，，所以在上单调递增，
所以．
故答案为：
【分析】 将函数f (x)求导，判断函数f (x)的单调性，可确定最小值.
14．（2022高三上·孝感月考）在中，，，，，则= ．
【答案】-24
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】据题意，可作图如下，
，，
，
==.
故答案为：-24.
【分析】利用基底来表示，从而即可求解.
15．（2022高三上·鞍山期中）若是第二象限角，且，则等于 .
【答案】5
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】，
由于是第二象限角，所以，
所以.
故答案为：5
【分析】由已知利用两角差的正弦公式可求sina的值，结合a是第二象限角，利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式即可求解出 的值.
16．（2022高三上·鞍山期中）已知函数，若存在且，使得成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；对数的运算性质
【解析】【解答】由，得到，
因为，所以，，
于是，所以，即，所以，
于是，所以，
所以，
因为函数在上为减函数，
所以，
由题意，存在，使得成立，
所以．
故答案为：
【分析】 根据已知可得，，由对勾函数的单调性求出的范围，从而可得m的取值范围.
四、解答题
17．（2022高三上·鞍山期中）已知函数.
（1）若在区间上为增函数，求a的取值范围.
（2）若的单调递减区间为，求a的值.
【答案】（1）解：因为，且在区间上为增函数，
所以在上恒成立，即在(1，+∞)上恒成立，
所以在上恒成立，所以，即a的取值范围是
（2）解：由题意知.因为，所以.
由，得，
所以的单调递减区间为，
又已知的单调递减区间为，
所以，
所以，即.
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)由 在区间上为增函数，在上恒成立，可得 在上恒成立，利用函数的单调性即可求出a的取值范围；
(2) 由题意知， ，结合 的单调递减区间为， 求解即可得出a的值.
18．（2022高三上·重庆月考）已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）先将的图象向左平移个单位，再保持纵坐标不变，将每个点的横坐标缩短为原来的一半，再将函数图象向上平移个单位，得到函数的图象．求函数在上的值域．
【答案】（1）解：化简得：
令 ， ，
解得 ， ，
所以函数 的增区间为 ．
（2）解：将 的图象向左平移 个单位，再保持纵坐标不变，得
，
再将每个点的横坐标缩短为原来的一半，得 ，
再将函数图象向上平移 个单位，得到函数 ，
令 ，则 的取值范围是 ，
则 的取值范围是 ，
所以 的取值范围是 ．
【知识点】函数的值域；函数的单调性及单调区间；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合诱导公式、二倍角的正弦公式和余弦公式，再结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的图象判断其单调性，进而得出正弦型函数f(x)的单调递增区间。
（2）利用已知条件结合正弦型函数的图象变换得出函数g(x)的解析式，再利用正弦型函数g(x)的图象和x的取值范围，进而求出函数在上的值域。
19．（2022高三上·安阳月考）已知数列的前项和为，，.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）设数列满足，求的值.
【答案】（1）证明：∵，∴，易知，
∴，
∴数列是公差为2的等差数列；
（2）解：∵，∴，
∴.
当时，；
当时，，
，
∴.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差关系的确定
【解析】【分析】（1）根据题意，化简得到 ，结合等差数列的定义，即可得证；
（2）由（1）求得，求得 ，得到，即可求解.
20．（2022高三上·鞍山期中）已知函数是定义在区间上的奇函数，当时，.
（1）求时的解析式；
（2）求函数的值域.
【答案】（1）解：令，则，故，而，
所以，则.
（2）解：由（1）知：，
当，，当且仅当时等号成立，此时；
当，单调递增，则；
综上，函数值域为.
【知识点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】 (1)当x≤-1时，则-x≥1，然后代入已知函数解析式，再利用函数的奇偶性化简即可求解出 的解析式；
(2)分x≥1，x≤-1两种情况分别求出函数的值域，最后结果合并即可求解出函数值域 .
21．（2022高三上·鞍山期中）已知数列的前项和，数列满足，.
（1）求数列、的通项公式.
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）解：∵，∴，
∴，
当时，，
∴，
∵，
∴，…，，
以上各式相加得：
，
，
又符合上式，∴；
（2）解：由题意得，
时，，
当时，，
∴.
【知识点】数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】(1)利用 ， 可得 ，且a1=2不符合上式，从而将an写成分段的形式，根据累加法，可求得bn；
(2) 由题意得， 时，；当时，利用等差数列的前n项和公式，即可求解出数列的前项和.
22．（2022高三上·鞍山期中）已知.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，研究函数在区间上的单调性；
（3）是否存在实数使得函数在区间和上各恰有一个零点？若存在，请求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：若，则，
，
则函数在处的切线的斜率，又，
所以曲线在点处的切线方程是；
（2）解：由可得，
当时，令，解得
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是；
（3）解：当时，，所以在单调递增，故不可能有两个零点，故舍去；
当时，令，解得
当时，，单调递增；
因为，且，
故当，，故此时在区间无零点；
当时，令，解得，
当时，，单调递减；
因为，且，
故当，，故此时在区间无零点；
综上所述，并不存在实数使得函数在区间和上各恰有一个零点
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)根据导数的几何意义求曲线的斜率，利用点斜式求出在点处的切线方程；
(2)求f (x)的导数，讨论导数的正负，从而得到函数在区间上的单调性；
(3)分 ， 和 进行讨论，通过导数求其单调性，即可求出实数的取值范围 .
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辽宁省鞍山市2022-2023学年高三上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·鞍山期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高三上·鞍山期中）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．，
B．，
C．的充要条件是
D．若，且，则，至少有一个大于1
3．（2022高三上·鞍山期中）把120个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和是较小的两份之和的7倍，则最小一份的面包个数为（ ）
A． B．2 C．6 D．11
4．（2022高三上·鞍山期中）已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ ）
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若是虚数，则都是虚数.
A．①④ B．② C．②③ D．①②③
5．（2022高三上·鞍山期中）设，若关于的不等式在上有解，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022高三上·鞍山期中）下列说法正确的有（ ）
A．若向量，，则
B．若向量，则向量、的夹角为锐角
C．向量，，是三个非零向量，若，则
D．向量，是两个非零向量，若，则
7．（2022高三上·鞍山期中）定义在上的奇函数满足，若当时，，则（ ）
A． B．6 C． D．8
8．（2022高三上·鞍山期中）已知定义域为的函数的导函数为，且函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．有极小值，极大值
B．有极小值，极大值
C．有极小值，极大值和
D．有极小值，极大值
二、多选题
9．（2022·重庆市模拟）已知向量，，，其中，均为正数，且，下列说法正确的是（ ）
A．与的夹角为钝角 B．向量在方向上的投影为
C． D．mn的最大值为2
10．（2022高三上·鞍山期中）若，且，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022高三上·鞍山期中）下列命题正确的有（ ）
A．若等差数列的前项的和为，则，，也成等差数列
B．若为等比数列，且，则
C．若等差数列的前项和为，已知，且，，则可知数列前项的和最大
D．若 ，则数列的前2020项和为4040
12．（2022高三上·鞍山期中）已知函数，则有（ ）
A．是的一个对称中心 B．的最小正周期为
C．的图像关于直线对称 D．在区间上单调递减
三、填空题
13．（2022高三上·鞍山期中）函数在上的最小值为 ．
14．（2022高三上·孝感月考）在中，，，，，则= ．
15．（2022高三上·鞍山期中）若是第二象限角，且，则等于 .
16．（2022高三上·鞍山期中）已知函数，若存在且，使得成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
17．（2022高三上·鞍山期中）已知函数.
（1）若在区间上为增函数，求a的取值范围.
（2）若的单调递减区间为，求a的值.
18．（2022高三上·重庆月考）已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）先将的图象向左平移个单位，再保持纵坐标不变，将每个点的横坐标缩短为原来的一半，再将函数图象向上平移个单位，得到函数的图象．求函数在上的值域．
19．（2022高三上·安阳月考）已知数列的前项和为，，.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）设数列满足，求的值.
20．（2022高三上·鞍山期中）已知函数是定义在区间上的奇函数，当时，.
（1）求时的解析式；
（2）求函数的值域.
21．（2022高三上·鞍山期中）已知数列的前项和，数列满足，.
（1）求数列、的通项公式.
（2）若，求数列的前项和.
22．（2022高三上·鞍山期中）已知.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，研究函数在区间上的单调性；
（3）是否存在实数使得函数在区间和上各恰有一个零点？若存在，请求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为，，
所以.
故答案为：A.
【分析】求出集合M，再根据交集的定义进行运算，可得答案.
2．【答案】D
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】对于A，恒成立，A不符合题意，
对于B，当时，，B不符合题意，
对于C，当时，无意义，C不符合题意，
对于D，若，则有，D符合题意，
故答案为：D
【分析】 由任何实数的平方均为非负数可判断A；赋值法判断B、C；采用反证法进行判断D.
3．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】设最小的一份为个，公差为，，所以，
由题意，解得，
则最小一份的面包个数为2，
故答案为：B
【分析】根据已知条件，结合等差数列的通项公式和求和公式列出方程组，求解出首项和公差，即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】虚数单位i及其性质；复数求模
【解析】【解答】解：为复数，
①若，因为没有大小（虚部为0，即为实数时除外），故是错误的，
②若，设，则，由，得，所以，正确，
③若，则，正确，
④若是虚数，不一定都是虚数，比如，而是虚数，故错误，
故②③正确，
故答案为：C.
【分析】根据复数的性质，逐项进行判断，可得答案.
5．【答案】C
【知识点】二次函数的性质
【解析】【解答】由在上有解，得在上有解，
则，由于，而在单调递增，
故当时，取最大值为，故，
故答案为：C
【分析】由已知不等式转化为在上有解，只需，然后根据对勾函数的性质求出最大值，即可得答案.
6．【答案】D
【知识点】平行向量与共线向量；数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】对于A，若，则与不一定平行，A不符合题意；
对于B，由得，向量与的夹角为锐角或角，B不符合题意；
对于C，由得，则，C不符合题意；
对于D，由题可知，向量，共起点，作平行四边形，对角线相等，此四边形是矩形，，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据向量共线的性质判断A；根据向量数量积的运算判断向量夹角和向量垂直判断B、C；根据向量的模可判断D.
7．【答案】C
【知识点】函数奇偶性的性质；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】因为，所以，
又，所以，
所以，
所以是周期为4的函数，
因此．
故答案为：C．
【分析】 由奇函数f (x)满足，可推出是周期为4的函数，从而求解出 的值 .
8．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】观察图象知，当时，或且，当时，或，
而当时，，当时，，因此当或时，，
当时，，当且仅当时取等号，则在上单调递减，在上单调递增，
所以有极小值，极大值，A，B，C不正确；D符合题意.
故答案为：D
【分析】 根据给定的函数g (x)图象，分析判断f' (x)值为正或负，结合函数单调性和极值的关系可得答案.
9．【答案】C,D
【知识点】基本不等式；数量积表示两个向量的夹角；向量的投影
【解析】【解答】对于A：由题意知， ，所以 与 的夹角为 ，故选项A错误；
对于B：向量 在 方向上的投影为 ，故选项B错误；
对于C： ，因为 ， 均为正数，所以 为非零向量，且 ，故选项C正确；
对于D：由基本不等式知， ， ，当且仅当 时取等号，故 的最大值为2，故选项D正确
故答案为：CD
【分析】A根据向量数量积 ，即可判断；B向量 在 方向上的投影为 ，可判断；根据 即可判断C；基本不等式结合C选项即可判断D.
10．【答案】A,D
【知识点】二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式
【解析】【解答】因为，所以，解得．
又，所以，从而，于是．
故答案为：AD.
【分析】 由已知利用二倍角的余弦公式可求的值，进而利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正切公式即可求解出答案.
11．【答案】B,C,D
【知识点】等差数列的前n项和；数列的求和；等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【解答】A.等差数列的前项的和为，则，，也成等差数列，故错误；
B. 为等比数列，且，则，所以，故正确；
C. 因为，则，，则，所以，，
所以数列前项的和最大，故正确；
D. 因为，所以数列的前2020项和为：，，故正确.
故答案为：BCD
【分析】结合等差数列的性质判断选项A；结合等比数列的性质判断选项B；结合等差数列的求和公式及性质判断选项C；结合分组求和判断选项D.
12．【答案】B,C
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性；正弦函数的周期性
【解析】【解答】因为，没有对称中心，A不符合题意；
最小正周期，B符合题意；
令，得，C符合题意；
令，根据得，函数在上不单调，D不符合题意；
故答案为：BC.
【分析】由题意利用二倍角的正弦公式可求，利用正弦函数的图象和性质，逐项进行判断，可得答案.
13．【答案】e-2
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】因为，当时，，所以在上单调递增，
所以．
故答案为：
【分析】 将函数f (x)求导，判断函数f (x)的单调性，可确定最小值.
14．【答案】-24
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】据题意，可作图如下，
，，
，
==.
故答案为：-24.
【分析】利用基底来表示，从而即可求解.
15．【答案】5
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】，
由于是第二象限角，所以，
所以.
故答案为：5
【分析】由已知利用两角差的正弦公式可求sina的值，结合a是第二象限角，利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式即可求解出 的值.
16．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；对数的运算性质
【解析】【解答】由，得到，
因为，所以，，
于是，所以，即，所以，
于是，所以，
所以，
因为函数在上为减函数，
所以，
由题意，存在，使得成立，
所以．
故答案为：
【分析】 根据已知可得，，由对勾函数的单调性求出的范围，从而可得m的取值范围.
17．【答案】（1）解：因为，且在区间上为增函数，
所以在上恒成立，即在(1，+∞)上恒成立，
所以在上恒成立，所以，即a的取值范围是
（2）解：由题意知.因为，所以.
由，得，
所以的单调递减区间为，
又已知的单调递减区间为，
所以，
所以，即.
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)由 在区间上为增函数，在上恒成立，可得 在上恒成立，利用函数的单调性即可求出a的取值范围；
(2) 由题意知， ，结合 的单调递减区间为， 求解即可得出a的值.
18．【答案】（1）解：化简得：
令 ， ，
解得 ， ，
所以函数 的增区间为 ．
（2）解：将 的图象向左平移 个单位，再保持纵坐标不变，得
，
再将每个点的横坐标缩短为原来的一半，得 ，
再将函数图象向上平移 个单位，得到函数 ，
令 ，则 的取值范围是 ，
则 的取值范围是 ，
所以 的取值范围是 ．
【知识点】函数的值域；函数的单调性及单调区间；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合诱导公式、二倍角的正弦公式和余弦公式，再结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的图象判断其单调性，进而得出正弦型函数f(x)的单调递增区间。
（2）利用已知条件结合正弦型函数的图象变换得出函数g(x)的解析式，再利用正弦型函数g(x)的图象和x的取值范围，进而求出函数在上的值域。
19．【答案】（1）证明：∵，∴，易知，
∴，
∴数列是公差为2的等差数列；
（2）解：∵，∴，
∴.
当时，；
当时，，
，
∴.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差关系的确定
【解析】【分析】（1）根据题意，化简得到 ，结合等差数列的定义，即可得证；
（2）由（1）求得，求得 ，得到，即可求解.
20．【答案】（1）解：令，则，故，而，
所以，则.
（2）解：由（1）知：，
当，，当且仅当时等号成立，此时；
当，单调递增，则；
综上，函数值域为.
【知识点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】 (1)当x≤-1时，则-x≥1，然后代入已知函数解析式，再利用函数的奇偶性化简即可求解出 的解析式；
(2)分x≥1，x≤-1两种情况分别求出函数的值域，最后结果合并即可求解出函数值域 .
21．【答案】（1）解：∵，∴，
∴，
当时，，
∴，
∵，
∴，…，，
以上各式相加得：
，
，
又符合上式，∴；
（2）解：由题意得，
时，，
当时，，
∴.
【知识点】数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】(1)利用 ， 可得 ，且a1=2不符合上式，从而将an写成分段的形式，根据累加法，可求得bn；
(2) 由题意得， 时，；当时，利用等差数列的前n项和公式，即可求解出数列的前项和.
22．【答案】（1）解：若，则，
，
则函数在处的切线的斜率，又，
所以曲线在点处的切线方程是；
（2）解：由可得，
当时，令，解得
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是；
（3）解：当时，，所以在单调递增，故不可能有两个零点，故舍去；
当时，令，解得
当时，，单调递增；
因为，且，
故当，，故此时在区间无零点；
当时，令，解得，
当时，，单调递减；
因为，且，
故当，，故此时在区间无零点；
综上所述，并不存在实数使得函数在区间和上各恰有一个零点
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)根据导数的几何意义求曲线的斜率，利用点斜式求出在点处的切线方程；
(2)求f (x)的导数，讨论导数的正负，从而得到函数在区间上的单调性；
(3)分 ， 和 进行讨论，通过导数求其单调性，即可求出实数的取值范围 .
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