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1．无理数
（1）无限不循环小数叫做__________．如：，π，0.1225486…等．
（2）判断方法：①定义是判断一个数是不是无理数的重要依据；②有理数都可以写成分数的形式，而无理数则不能写成分数的形式（两个整数的商）．
（3）常见的无理数：①含有开不尽方的数的方根的一类数，如，，1+等；②含有π一类数，如5π，3+π等；③以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如0.2020020002…（相邻两个2之间0的个数逐渐加1）．
2．实数的概念和分类
（1）概念：有理数与无理数统称为__________．
（2）实数按定义分类：
按正负分类：
3．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点的对应关系：实数与数轴上的点是__________的．即每个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．
（2）在数轴上的两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数__________．
4．相反数与绝对值
相反数：数a的相反数是-a．
绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即．
5．实数的运算
实数运算的顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．如果遇到括号，则先进行括号里的运算．
【知识汇总参考答案】
1．（1）无理数2．（1）实数3．（1）一一对应（2）大4
题型一：无理数
【例1】（2021秋 崂山区校级期末）实数：0.3，﹣，﹣，，，0，202020002……，﹣0.，﹣中，无理数有 4 个．
【思路引导】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此解答即可．
【完整解答】解：＝8，
无理数有﹣，，2.2020020002…，﹣，共有4个．
故答案为：4．
【考察注意点】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数（注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数）．
【变式1-1】（2022秋 碑林区校级月考）下列四个数中，无理数是（ ）
A．﹣2 B．π
C． D．0.1010010001
【思路引导】根据无理数的概念解答即可．
【完整解答】解：A、﹣2是有理数，不符合题意；
B、π是无理数，符合题意；
C、﹣＝﹣3，是有理数，不符合题意；
D、0.1010010001是有限小数，是有理数，不符合题意．
故选：B．
【考察注意点】本题考查了无理数即无限不循环小数，熟练掌握定义是解题的关键．
【变式1-2】（2021春 路南区期中）如图是一个无理数筛选器的工作流程图．
（1）当x为9时，y值为 ；
（2）如果输入0和1，是否能输出有意义的y值？如果存在，写出所有满足要求的y值；如果不存在，请说明理由；
（3）如果输入x值后，没有算术平方根，筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”，请直接写出输入x值满足的条件；
（4）当输出的y值是时，输入x的值唯一吗？请写出其中两个输入的x值．
【思路引导】（1）根据运算规则即可求解；
（2）根据0的算术平方根是0，即可判断；
（3）根据二次根式有意义的条件，被开方数是非负数即可求解；
（4）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数．
【完整解答】解：（1）当x为9时，y值为，
故答案为：．
（2）当x＝0和1时，始终输不出y值，
因为0和1的算术平方根分别是0和1，始终是有理数；
（3）当x＜0时，导致开平方运算无法进行；
（4）x的值不唯一．x＝2或x＝4．
【考察注意点】本题考查了无理数以及算术平方根，正确理解给出的运算方法是关键．
题型二：实数
【例2】（2022秋 余姚市月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．带根号的数一定是无理数
B．非零两数的和一定大于任何一个加数
C．绝对值等于0的数只有一个
D．含有相同字母的两个单项式一定是同类项
【思路引导】根据实数，同类项，绝对值，单项式的意义，逐一判断即可解答．
【完整解答】解：A、带根号的数不一定是无理数，例如：是有理数，故A不符合题意；
B、非零两数的和不一定大于任何一个加数，例如：（﹣2）+（﹣3）＝﹣5，而﹣5＜﹣2，﹣5＜﹣3，故B不符合题意；
C、绝对值等于0的数只有一个，故C符合题意；
D、含有相同字母，且相同字母的指数也相同的两个单项式，一定是同类项，故D不符合题意；
故选：C．
【考察注意点】本题考查了实数，同类项，单项式，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
【变式2-1】（2021春 歙县月考）将下列各数填入相应的集合内．
﹣7，0.32，，0，，，，π，0.1010010001…
①有理数集合{ ﹣7，0.32，，0， …}
②无理数集合{ ，，π，0.1010010001 …}
③负实数集合{ ﹣7 …}．
【思路引导】根据实数的分类：实数分为有理数、无理数．或者实数分为正实数、0、负实数．进行填空．
【完整解答】解：①有理数集合{﹣7，0.32，，0，}
②无理数集合{，，π，0.1010010001…}
③负实数集合{﹣7}．
故答案为：﹣7，0.32，，0，；，，π，0.1010010001；﹣7．
【考察注意点】本题考查了实数的分类，关键是掌握实数的范围以及分类方法．注意0既不是正实数，也不是负实数．
【变式2-2】（2021春 肥西县期末）把下列各数分别填入相应的横线上．
﹣5、|﹣|、0、﹣3.14、、﹣12、﹣、+1.99、﹣（﹣6）、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）
（1）整数： ﹣5、0、﹣12、﹣（﹣6） ．
（2）分数： |﹣|、﹣3.14、、+1.99 ．
（3）无理数： 、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0） ．
【思路引导】根据整数、分数、无理数的定义进行判断．
【完整解答】解：（1）整数包括正整数、负整数和0．所以属于整数的有：﹣5、0、﹣12、﹣（﹣6）．
（2）分数还包括有限小数和循环小数，所以属于分数的有：|﹣|、﹣3.14、、+1.99．
（3）无限不循环小数是无理数，所以属于无理数的有：、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）．
答案为：（1）﹣5、0、﹣12、﹣（﹣6），
（2）|﹣|、﹣3.14、、+1.99，
（3）、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）．
【考察注意点】此题考查实数的分类，解答此题要从概念出发，并要深刻理解．有理数和无理数统称实数，分数和整数统称有理数，无限不循环小数是无理数．
题型三：实数的性质
【例3】（2022春 奈曼旗期中）的平方根是 ±3 ；1.44的算术平方根 1.2 ；的相反数 ﹣2 ．
【思路引导】利用平方根的意义，算术平方根的意义和相反数的意义解答即可．
【完整解答】解：∵＝9，9的平方根为±3，
∴的平方根是：±3；
1.44的算术平方根1.2；
的相反数是：﹣2；
故答案为：±3；1.2；﹣2．
【考察注意点】本题主要考查了平方根的意义，算术平方根的意义和相反数的意义，正确利用平方根的意义，算术平方根的意义和相反数的意义解答是解题的关键．
【变式3-1】（2022春 孝南区月考）求下列各式中未知数的值：
（1）|x﹣2|＝；
（2）x2＝3；
（3）8（x+1）3﹣27＝0．
【思路引导】（1）直接流绝对值的性质得出答案；
（2）直接利用平方根的定义得出答案；
（3）直接利用立方根的定义得出答案．
【完整解答】解：（1）|x﹣2|＝，
则x﹣2＝±，
解得：x＝+2或x＝﹣+2；
（2）x2＝3，
则x2＝6，
解得：x＝或x＝；
（3）8（x+1）3﹣27＝0，
则（x+1）3＝，
故x+1＝
解得：x＝．
【考察注意点】此题主要考查了立方根以及绝对值的性质、平方根，正确掌握相关性质是解题关键．
【变式3-2】（2022春 朝阳区校级期中）下列说法正确的是（ ）
A．绝对值是的数是 B．﹣的相反数是±
C．1﹣的绝对值是﹣1 D．的相反数是﹣2
【思路引导】利用绝对值的意义，立方根，相反数的意义对每个选项作出判断即可得出结论．
【完整解答】解：∵绝对值是的数是或﹣，
∴A选项的结论不正确；
∵﹣的相反数是，
∴B选项的结论不正确；
∵1﹣的绝对值是﹣1，
∴C选项的结论正确；
∵＝﹣2，
∴的相反数为2．
∴D选项的结论不正确；
故选：C．
【考察注意点】本题主要考查了实数的性质，绝对值的意义，立方根，相反数的意义，正确利用绝对值的意义，立方根，相反数的意义进行解答是解题的关键．
题型四：实数与数轴
【例4】（2022秋 沈丘县校级月考）实数a，b，c，d在数轴上的位置如图，若b+d＝0，则下列结论中正确的是（ ）
A．b+c＞0 B． C．ad＞bc D．|a|＞|b|
【思路引导】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得a＜b＜0＜c＜d，根据有理数的运算，可得答案．
【完整解答】解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得
a＜b＜0＜c＜d，
A、b+d＝0，∴b+c＜0，故A不符合题意；
B、＜0，故B不符合题意；
C、ad＜bc＜0，故C不符合题意；
D、|a|＞|b|＝|d|，故D符合题意．
故选：D．
【考察注意点】本题考查了实数与数轴，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大得出a＜b＜0＜c＜d是解题关键，又利用了有理数的运算．
【变式4-1】（2022秋 新华区校级期中）实数在数轴上的大致位置是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【思路引导】本题利用实数与数轴的关系解答，首先估计的大小，进而找到其在数轴的位置，即可得答案．
【完整解答】解：∵＜＜，
∴2＜＜3，
可得其在点2与3之间，
∴点C符合．
故选：C．
【考察注意点】本题考查了实数与数轴的对应关系，以及估算无理数大小的能力．
【变式4-2】（2022春 巴东县期末）如图，数轴的正半轴上有A、B、C三点，表示1和的对应点分别为A、B，点B到点A的距离与点C到原点的距离相等．设点C对应的数为x．
（1）求AC的长；
（2）求（）2的平方根．
【思路引导】（1）根据点B到点A的距离与点C到原点的距离相等求出x的值，根据AC＝AO﹣CO即可得出答案；
（2）把x的值代入代数式求值，再求平方根即可．
【完整解答】解：（1）根据题意得：﹣1＝x﹣0，
∴x＝﹣1，
∴AC＝1﹣（﹣1）＝2﹣；
（2）∵x＝﹣1，
∴（x﹣）2＝（﹣1﹣）2＝（﹣1）2＝1，
∴（）2的平方根为±1．
【考察注意点】本题考查了实数与数轴，平方根，掌握一个正数的平方根有2个是解题的关键，不要漏解．
题型五：实数大小比较
【例5】（2022秋 江宁区校级月考）比较大小： ＜ ．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【思路引导】先估算出和的取值范围，再求出﹣1的取值范围，再比较即可．
【完整解答】详解：∵≈2.236，≈1.414，
∴﹣1≈1.236＜1.414，
∴﹣1＜．
故答案为：＜．
【考察注意点】本题考查了实数的大小比较和估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．
【变式5-1】（2022春 章贡区期末）（1）用“＜”“＞”或“＝”填空：
＜ ， ＜ ；
（2）由以上可知：
①|1﹣|＝ ﹣1 ，
②||＝ ．
（3）计算：|1﹣|+|﹣|+|﹣|+…+||．（结果保留根号）
【思路引导】（1）比较两个数的算术平方根，只需比较被开方数的大小，被开方数较大的大，由此即可求解；
（2）根据负数的绝对值是它的相反数进行化简即可；
（3）首先化简绝对值，发现抵消的规律，由此即可得到结果．
【完整解答】解：（1）∵1＜2，2＜3，
∴，；
故答案为：＜；＜；
（2）∵10，0，
∴①|1|＝1；
②||＝；
故答案为：1；；
（3）原式＝11．
【考察注意点】本题考查了算术平方根，绝对值和二次根式的加减，能正确去掉绝对值符号是解题的关键．
【变式5-2】（2022春 五华区校级期中）在﹣1，π，﹣，3.14四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣1 B．π C．﹣ D．3.14
【思路引导】根据正数大于0，负数小于0，负数比较大小，绝对值大的反而小即可得出答案．
【完整解答】解：∵1＜，
∴﹣1＞﹣，
∴﹣＜﹣1＜3.14＜π，
∴最小的数是﹣，
故选：C．
【考察注意点】本题考查实数大小比较，算术平方根，掌握负数比较大小，绝对值大的反而小是解题的关键．
题型六：估算无理数的大小
【例6】（2022秋 辉县市期中）关于的叙述，正确的是（ ）
A．在数轴上不存在表示的点
B．＝2
C．表示8的平方根
D．与最接近的整数是3
【思路引导】根据实数与数轴上点的一一对应关系，二次根式的化简以及估算无理数的大小逐项进行判断即可．
【完整解答】解：A．数轴上的点与实数一一对应，因此在数轴上存在表示的点，因此选项A不符合题意；
B．因为2＜＜3，因此选项B不符合题意；
C．表示8的算术平方根，因此选项C不符合题意；
D．因为22＝4，32＝9，而4＜8＜9，所以2＜＜3，又2.52＝6.25，因此最接近的整数是3，因此选项D符合题意；
故选：D．
【考察注意点】本题考查估算无理数的大小，实数与数轴上点的一一对应关系以及二次根式的化简，掌握算术平方根的定义，实数的定义以及二次根式的化简方法是正确判断的前提．
【变式6-1】（2022春 杜尔伯特县期中）若5+的小数部分为a，7﹣的小数部分为b，则a+b的值是 1 ．
【思路引导】估算无理数，﹣，5+，7﹣的大小，确定a、b的值，再代入计算即可．
【完整解答】解：∵＜＜，即3＜＜4，
∴8＜5+＜9，
∴5+的小数部分a＝5+﹣8＝﹣3，
∵＜＜，即3＜＜4，
∴﹣4＜﹣＜﹣3，
∴3＜7﹣＜4，
∴7﹣的小数部分b＝7﹣﹣3＝4﹣，
∴a+b＝﹣3+4﹣
＝1，
故答案为：1．
【考察注意点】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提，确定a、b的值是得出正确答案的关键．
【变式6-2】（2022秋 南溪区期中）观察如图1所示图形，每个小正方形的边长为1．
（1）则图中阴影部分的面积是 13 ，边长是 ，并在数轴上（图2）准确地作出表示阴影正方形边长的点．
（2）已知x为阴影正方形边长的小数部分，y为的整数部分，
求：①x，y的值：
②（x+y）2的算术平方根．
【思路引导】（1）根据勾股定理求出阴影部分的边长的平方即可，进而求出边长；
（2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定x、y的值，再代入计算即可．
【完整解答】解：（1）设阴影部分正方形的边长为a，由网格构造直角三角形可得，
a2＝22+32，
即a2＝13，
∴a＝，
∴阴影部分的面积为13，
故答案为：13，；
（2）①∵3＜＜4，
∴的小数部分为﹣3，
即x＝﹣3，
又∵3＜＜4，
∴的整数部分是3，
即y＝3，
在数轴上表示如图所示：
答：x＝﹣3，y＝3；
②当x＝﹣3，y＝3时，
（x+y）2＝（﹣3+3）2＝13．
所以（x+y）2的算术平方根为．
【考察注意点】本题考查估算无理数的大小以及平方根、算术平方根，掌握算术平方根的定义是解决问题的关键．
题型七：实数的运算
【例7】（2022春 兰山区期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【思路引导】利用平方根、立方根、二次根式的性质逐个计算，根据计算结果得结论．
【完整解答】解：A．＝5≠±5，故选项A运算错误；
B．＝2≠﹣2，故选项B运算错误；
C．＝﹣2，故选项C运算正确；
D．+≠，故选项D运算错误．
故选：C．
【考察注意点】本题考查了二次根式，掌握二次根式的性质是解决本题的关键．
【变式7-1】（2022春 渝中区校级月考）实数a、b在数轴上对应点A、B的位置如图，化简：|a+b|﹣﹣结果为 ﹣3a ．
【思路引导】先通过数轴表示确定a，b的大小、符号和绝对值的大小，再进行化简、计算．
【完整解答】解：由题意得，a＞0＞b，且|a|＜|b|，
∴a+b＜0，b﹣a＜0，
∴|a+b|﹣﹣
＝﹣（a+b）﹣a﹣[﹣（b﹣a）]
＝﹣a﹣b﹣a+b﹣a
＝﹣3a，
故答案为：﹣3a．
【考察注意点】此题考查了利用数轴进行实数平方根、立方根、绝对值等方面的化简能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
【变式7-2】（2022秋 道里区校级月考）计算：
（1）﹣|﹣|；
（2）﹣+﹣．
【思路引导】（1）直接利用绝对值的性质化简，进而得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质、立方根的性质分别化简，进而得出答案．
【完整解答】解：（1）原式＝
＝
＝；
（2）原式＝
＝﹣5+2+2
＝﹣1．
【考察注意点】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键
一．选择题
1．（2022秋 滨海县期中）在﹣0.444…，3.1415，，2.010010001…，0，﹣中，无理数的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【思路引导】判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如是无理数，因为π是无理数，进而判断即可．
【完整解答】解：﹣0.44…，3.1415，，2.010010001…，0，﹣，这6个数中，
无理数为：2.010010001…，，共2个．
故选：A．
【考察注意点】此题主要考查了无理数的定义，正确把握无理数的定义是解题关键．
2．（2022春 淮北月考）若a，b是两个连续整数，且a＜﹣2＜b，则a+b的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路引导】先估算出的值的范围，然后再估算出﹣2的值的范围，从而求出a，b的值，最后代入式子中进行计算即可解答．
【完整解答】解：∵4＜7＜9，
∴2＜＜3，
∴0＜﹣2＜1，
∵a，b是两个连续整数，且a＜﹣2＜b，
∴a＝0，b＝1，
∴a+b＝1，
故选：A．
【考察注意点】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．
3．（2022春 广西月考）下列实数：，，，，0.1010010001 （两个1之间依次增加一个0），无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路引导】根据无理数、有理数的定义解答即可．
【完整解答】解：＝﹣2，
无理数，，0.1010010001 （两个1之间依次增加一个0），共有3个．
故选：C．
【考察注意点】此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1）等有这样规律的数．
二．填空题
4．（2022秋 江宁区校级月考）比较大小： ＜ ．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【思路引导】先估算出和的取值范围，再求出﹣1的取值范围，再比较即可．
【完整解答】详解：∵≈2.236，≈1.414，
∴﹣1≈1.236＜1.414，
∴﹣1＜．
故答案为：＜．
【考察注意点】本题考查了实数的大小比较和估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．
5．（2022春 渝中区校级月考）实数a、b在数轴上对应点A、B的位置如图，化简：|a+b|﹣﹣结果为 ﹣3a ．
【思路引导】先通过数轴表示确定a，b的大小、符号和绝对值的大小，再进行化简、计算．
【完整解答】解：由题意得，a＞0＞b，且|a|＜|b|，
∴a+b＜0，b﹣a＜0，
∴|a+b|﹣﹣
＝﹣（a+b）﹣a﹣[﹣（b﹣a）]
＝﹣a﹣b﹣a+b﹣a
＝﹣3a，
故答案为：﹣3a．
【考察注意点】此题考查了利用数轴进行实数平方根、立方根、绝对值等方面的化简能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
6．（2022秋 本溪期中）如图，在数轴上，C，B两点表示的数分别是1，，点C是AB的中点，则点A表示的数是 2﹣ ．
【思路引导】设A点表示的数是x，由中点公式可得方程1＝，求出x的值即可．
【完整解答】解：设A点表示的数是x，
∵C，B两点表示的数分别是1，，点C是AB的中点，
∴1＝，
解得x＝2﹣，
∴点A表示的数是2﹣，
故答案为：2﹣．
【考察注意点】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，中点公式是解题的关键．
三．解答题
7．（2022秋 兴庆区校级月考）把下列各数填到相应的集合内（只填序号）：
①2；②﹣；③； ④0.54：⑤0.1；⑥；⑦0；⑧﹣23；⑨（）2；⑩0.3020020002…（相邻两个2之间0的个数逐次加一）
有理数集合：{ ②③④⑤⑦⑧⑨ …}．
无理数集合：{ ①⑥⑩ …}．
正实数集合：{ ①④⑤⑥⑨⑩ …}．
负实数集合：{ ②③⑧ …}．
【思路引导】运用实数的概念进行逐一分类、辨别．
【完整解答】解：∵﹣；；0.54：0.1；⑦0；⑧﹣23；⑨（）2是有理数，
2；；0.3020020002…是无理数，
2；0.54：0.1；；（）2；0.3020020002…是正实数，
﹣；；﹣23是负实数，
故答案为：②③④⑤⑦⑧⑨，①⑥⑩，①④⑤⑥⑨⑩，②③⑧．
【考察注意点】此题考查了对实数进行正确地分类，关键是能准确理解并运用以上知识．
8．（2022春 上思县校级月考）计算：
（1）+||+；
（2）．
【思路引导】（1）直接利用二次根式的性质、绝对值的性质、立方根的性质分别化简，进而计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质、绝对值的性质、立方根的性质分别化简，进而计算得出答案．
【完整解答】解：（1）+||+；
＝﹣1+4+﹣1﹣2
＝；
（2）原式＝2+2﹣﹣4+3
＝+1．
【考察注意点】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
9．（2022春 海淀区校级月考）如图所示的程序框图：
（1）若a＝1，b＝2，输入x的值为3，则输出的结果为 5 ；
（2）若输入x的值为2，则输出的结果为；若输入x的值为3，则输出的结果为0．
①求a，b的值；
②输入m1和m2，输出的结果分别为n1和n2，若m1＞m2，则n1 ＜ n2；（填“＞”“＜”或“＝”）
③若输入x的值后，无法输出结果，请写出一个符合条件的x的值： ﹣5（答案不唯一） ．
【思路引导】（1）把a＝1，b＝2，输入x的值为3，代入ax+b进行计算即可得出结果；
（2）①根据输入x的值为2时，输出的结果为；当输入x的值为3时，输出的结果为0，代入求出a、b的值即可；
②把①中a、b的值和x＝m1和m2，分别代入求出结果，即可比较大小；
③把①中a、b的值和x的值后，得到的是负数，就无法输出结果，写出一个符合条件的x的值即可．
【完整解答】解：（1）因为a＝1，b＝2，输入x的值为3，
所以ax+b＝1×3+2＝5；
故答案为：5；
（2）①因为输入x的值为2，输出的结果为；输入x的值为3，输出的结果为0．
所以，
解得；
即a，b的值分别为﹣和3；
②根据题意得：
＝n1，＝n2，
因为m1＞m2，
所以﹣m1＜﹣m2，
所以﹣m1+3＜﹣m2+3，
＜，
所以n1＜n2；
故答案为：＜；
③当输入x的值是﹣5时，输出的数是＝，
因为被开方数为负数，
所以无法输出结果，
所以符合条件的x的值为：﹣5（答案不唯一）．
故答案为：﹣5（答案不唯一）．
【考察注意点】本题考查算术平方根，实数大小比较，求代数式的值等知识，熟练掌握算术平方根的定义，实数大小的比较方法，能够正确的求代数式的值是解答的关键．
10．（2022春 思明区校级期末）如图是一个无理数筛选器的工作流程图．
（1）当x为9时，y值为 ；
（2）如果输入x值后，没有算术平方根，筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”，请写出此时输入的x满足的条件： x＜0 ；
（3）当输出的y值是时，输入x的值并不唯一，请写出两个满足要求的x值： x＝2或x＝4 ．
【思路引导】（1）根据运算规则即可求解；
（2）根据算术平方根的概念，即可判断x＜0；
（3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数．
【完整解答】解：（1）当x为9时，＝3，3为有理数，再取3的算术平方根是，为无理数，
故答案为：．
（2）根据负数没有算术平方根，即可判断x＜0，
故答案为：x＜0．
（3）x的值不唯一．当x＝2时，是无理数，
当x＝4时，＝2，再取2的算术平方根是，为无理数，
故答案为：x＝2或x＝4．
【考察注意点】本题考查了无理数以及算术平方根，正确理解给出的运算方法是关键．
11．（2021秋 宣化区期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m．
（1）实数m的值是 2﹣ ；
（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；
（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+d|与互为相反数，求2c﹣3d的平方根．
【思路引导】（1）点A表示﹣，沿着x轴向右移动2个单位到达点B，B所表示的数为，﹣+2，即：2﹣，
故答案为：2﹣．
（2）m＝2﹣，则m+1＞0，m﹣1＜0，进而化简|m+1|+|m﹣1|，并求出代数式的值；
（3）根据非负数的意义，列方程求出c、d的值，进而求出2c﹣3d的值，再求出2c﹣3d的平方根．
【完整解答】解：（1）m＝﹣+2＝2﹣；
（2）∵m＝2﹣，则m+1＞0，m﹣1＜0，
∴|m+1|+|m﹣1|＝m+1+1﹣m＝2；
答：|m+1|+|m﹣1|的值为2．
（3）∵|2c+d|与互为相反数，
∴|2c+d|+＝0，
∴|2c+d|＝0，且＝0，
解得：c＝﹣2，d＝4，或c＝2，d＝﹣4，
①当c＝﹣2，d＝4时，
所以2c﹣3d＝﹣16，无平方根．
②当c＝2，d＝﹣4时，
∴2c﹣3d＝16，
∴2c﹣3d的平方根为±4，
答：2c﹣3d的平方根为±4．
【考察注意点】考查数轴、非负数的性质、绝对值的意义，分类讨论是常用的方法
第06讲 实数
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1．无理数
（1）无限不循环小数叫做__________．如：，π，0.1225486…等．
（2）判断方法：①定义是判断一个数是不是无理数的重要依据；②有理数都可以写成分数的形式，而无理数则不能写成分数的形式（两个整数的商）．
（3）常见的无理数：①含有开不尽方的数的方根的一类数，如，，1+等；②含有π一类数，如5π，3+π等；③以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如0.2020020002…（相邻两个2之间0的个数逐渐加1）．
2．实数的概念和分类
（1）概念：有理数与无理数统称为__________．
（2）实数按定义分类：
按正负分类：
3．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点的对应关系：实数与数轴上的点是__________的．即每个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．
（2）在数轴上的两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数__________．
4．相反数与绝对值
相反数：数a的相反数是-a．
绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即．
5．实数的运算
实数运算的顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．如果遇到括号，则先进行括号里的运算．
题型一：无理数
【例1】（2021秋 崂山区校级期末）实数：0.3，﹣，﹣，，，0，202020002……，﹣0.，﹣中，无理数有 4 个．
【思路引导】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此解答即可．
【完整解答】解：＝8，
无理数有﹣，，2.2020020002…，﹣，共有4个．
故答案为：4．
【考察注意点】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数（注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数）．
【变式1-1】（2022秋 碑林区校级月考）下列四个数中，无理数是（ ）
A．﹣2 B．π
C． D．0.1010010001
【变式1-2】（2021春 路南区期中）如图是一个无理数筛选器的工作流程图．
（1）当x为9时，y值为 ；
（2）如果输入0和1，是否能输出有意义的y值？如果存在，写出所有满足要求的y值；如果不存在，请说明理由；
（3）如果输入x值后，没有算术平方根，筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”，请直接写出输入x值满足的条件；
（4）当输出的y值是时，输入x的值唯一吗？请写出其中两个输入的x值．
题型二：实数
【例2】（2022秋 余姚市月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．带根号的数一定是无理数
B．非零两数的和一定大于任何一个加数
C．绝对值等于0的数只有一个
D．含有相同字母的两个单项式一定是同类项
【思路引导】根据实数，同类项，绝对值，单项式的意义，逐一判断即可解答．
【完整解答】解：A、带根号的数不一定是无理数，例如：是有理数，故A不符合题意；
B、非零两数的和不一定大于任何一个加数，例如：（﹣2）+（﹣3）＝﹣5，而﹣5＜﹣2，﹣5＜﹣3，故B不符合题意；
C、绝对值等于0的数只有一个，故C符合题意；
D、含有相同字母，且相同字母的指数也相同的两个单项式，一定是同类项，故D不符合题意；
故选：C．
【考察注意点】本题考查了实数，同类项，单项式，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
【变式2-1】（2021春 歙县月考）将下列各数填入相应的集合内．
﹣7，0.32，，0，，，，π，0.1010010001…
①有理数集合{ }
②无理数集合{ }
③负实数集合{ }．
【变式2-2】（2021春 肥西县期末）把下列各数分别填入相应的横线上．
﹣5、|﹣|、0、﹣3.14、、﹣12、﹣、+1.99、﹣（﹣6）、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）
（1）整数： ．
（2）分数：
（3）无理数： ．
题型三：实数的性质
【例3】（2022春 奈曼旗期中）的平方根是 ；1.44的算术平方根 ；的相反数 ．
【思路引导】利用平方根的意义，算术平方根的意义和相反数的意义解答即可．
【完整解答】解：∵＝9，9的平方根为±3，
∴的平方根是：±3；
1.44的算术平方根1.2；
的相反数是：﹣2；
故答案为：±3；1.2；﹣2．
【考察注意点】本题主要考查了平方根的意义，算术平方根的意义和相反数的意义，正确利用平方根的意义，算术平方根的意义和相反数的意义解答是解题的关键．
【变式3-1】（2022春 孝南区月考）求下列各式中未知数的值：
|x﹣2|＝； （2）x2＝3； （3）8（x+1）3﹣27＝0．
【变式3-2】（2022春 朝阳区校级期中）下列说法正确的是（ ）
A．绝对值是的数是 B．﹣的相反数是±
C．1﹣的绝对值是﹣1 D．的相反数是﹣2
题型四：实数与数轴
【例4】（2022秋 沈丘县校级月考）实数a，b，c，d在数轴上的位置如图，若b+d＝0，则下列结论中正确的是（ ）
A．b+c＞0 B． C．ad＞bc D．|a|＞|b|
【思路引导】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得a＜b＜0＜c＜d，根据有理数的运算，可得答案．
【完整解答】解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得
a＜b＜0＜c＜d，
A、b+d＝0，∴b+c＜0，故A不符合题意；
B、＜0，故B不符合题意；
C、ad＜bc＜0，故C不符合题意；
D、|a|＞|b|＝|d|，故D符合题意．
故选：D．
【考察注意点】本题考查了实数与数轴，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大得出a＜b＜0＜c＜d是解题关键，又利用了有理数的运算．
【变式4-1】（2022秋 新华区校级期中）实数在数轴上的大致位置是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【变式4-2】（2022春 巴东县期末）如图，数轴的正半轴上有A、B、C三点，表示1和的对应点分别为A、B，点B到点A的距离与点C到原点的距离相等．设点C对应的数为x．
（1）求AC的长；
（2）求（）2的平方根．
题型五：实数大小比较
【例5】（2022秋 江宁区校级月考）比较大小： ．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【思路引导】先估算出和的取值范围，再求出﹣1的取值范围，再比较即可．
【完整解答】详解：∵≈2.236，≈1.414，
∴﹣1≈1.236＜1.414，
∴﹣1＜．
故答案为：＜．
【考察注意点】本题考查了实数的大小比较和估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．
【变式5-1】（2022春 章贡区期末）（1）用“＜”“＞”或“＝”填空：
， ；
（2）由以上可知：
①|1﹣|＝ ，
②||＝ ．
（3）计算：|1﹣|+|﹣|+|﹣|+…+||．（结果保留根号）
【变式5-2】（2022春 五华区校级期中）在﹣1，π，﹣，3.14四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣1 B．π C．﹣ D．3.14
题型六：估算无理数的大小
【例6】（2022秋 辉县市期中）关于的叙述，正确的是（ ）
A．在数轴上不存在表示的点
B．＝2
C．表示8的平方根
D．与最接近的整数是3
【思路引导】根据实数与数轴上点的一一对应关系，二次根式的化简以及估算无理数的大小逐项进行判断即可．
【完整解答】解：A．数轴上的点与实数一一对应，因此在数轴上存在表示的点，因此选项A不符合题意；
B．因为2＜＜3，因此选项B不符合题意；
C．表示8的算术平方根，因此选项C不符合题意；
D．因为22＝4，32＝9，而4＜8＜9，所以2＜＜3，又2.52＝6.25，因此最接近的整数是3，因此选项D符合题意；
故选：D．
【考察注意点】本题考查估算无理数的大小，实数与数轴上点的一一对应关系以及二次根式的化简，掌握算术平方根的定义，实数的定义以及二次根式的化简方法是正确判断的前提．
【变式6-1】（2022春 杜尔伯特县期中）若5+的小数部分为a，7﹣的小数部分为b，则a+b的值是 ．
【变式6-2】（2022秋 南溪区期中）观察如图1所示图形，每个小正方形的边长为1．
（1）则图中阴影部分的面积是 ，边长是 ，并在数轴上（图2）准确地作出表示阴影正方形边长的点．
（2）已知x为阴影正方形边长的小数部分，y为的整数部分，
求：①x，y的值：
②（x+y）2的算术平方根．
题型七：实数的运算
【例7】（2022春 兰山区期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【思路引导】利用平方根、立方根、二次根式的性质逐个计算，根据计算结果得结论．
【完整解答】解：A．＝5≠±5，故选项A运算错误；
B．＝2≠﹣2，故选项B运算错误；
C．＝﹣2，故选项C运算正确；
D．+≠，故选项D运算错误．
故选：C．
【考察注意点】本题考查了二次根式，掌握二次根式的性质是解决本题的关键．
【变式7-1】（2022春 渝中区校级月考）实数a、b在数轴上对应点A、B的位置如图，化简：|a+b|﹣﹣结果为 ．
【变式7-2】（2022秋 道里区校级月考）计算：
（1）﹣|﹣|； （2）﹣+﹣．
一．选择题
1．（2022秋 滨海县期中）在﹣0.444…，3.1415，，2.010010001…，0，﹣中，无理数的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2022春 淮北月考）若a，b是两个连续整数，且a＜﹣2＜b，则a+b的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022春 广西月考）下列实数：，，，，0.1010010001 （两个1之间依次增加一个0），无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题
4．（2022秋 江宁区校级月考）比较大小： ．（填“＞”、“＜”或“＝”）
5．（2022春 渝中区校级月考）实数a、b在数轴上对应点A、B的位置如图，化简：|a+b|﹣﹣结果为 ．
6．（2022秋 本溪期中）如图，在数轴上，C，B两点表示的数分别是1，，点C是AB的中点，则点A表示的数是 ．
三．解答题
7．（2022秋 兴庆区校级月考）把下列各数填到相应的集合内（只填序号）：
①2；②﹣；③； ④0.54：⑤0.1；⑥；⑦0；⑧﹣23；⑨（）2；⑩0.3020020002…（相邻两个2之间0的个数逐次加一）
有理数集合：{ }．
无理数集合：{ }．
正实数集合：{ }．
负实数集合：{ }．
8．（2022春 上思县校级月考）计算：
（1）+||+； （2）．
9．（2022春 海淀区校级月考）如图所示的程序框图：
（1）若a＝1，b＝2，输入x的值为3，则输出的结果为 ；
（2）若输入x的值为2，则输出的结果为；若输入x的值为3，则输出的结果为0．
①求a，b的值；
②输入m1和m2，输出的结果分别为n1和n2，若m1＞m2，则n1 n2；（填“＞”“＜”或“＝”）
③若输入x的值后，无法输出结果，请写出一个符合条件的x的值： ．
10．（2022春 思明区校级期末）如图是一个无理数筛选器的工作流程图．
（1）当x为9时，y值为 ；
（2）如果输入x值后，没有算术平方根，筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”，请写出此时输入的x满足的条件： ；
（3）当输出的y值是时，输入x的值并不唯一，请写出两个满足要求的x值： ．
11．（2021秋 宣化区期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m．
（1）实数m的值是 ；
（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；
（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+d|与互为相反数，求2c﹣3d的平方根．
第06讲 实数
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