直线和平面 [上下学期通用]
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课件64张PPT。直线和平面 薛文叙 高考试卷中，立体几何所占百分比约为20%，考查的立足点放在空间形体和空间图形上，突出对空间观念和空间想象能力的考查． 高考对空间想象能力的考查要求是：
1．能根据条件画出正确的图形，根据图形想象出直观形象；
2．能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；
3．能对图形进行分解、组合与变形． 一、用关于图形的逻辑思维统帅识图、画图 立体几何图形的特征是通过概念来描述的，要求理解概念的本质，根据对概念的叙述想象出图形，分解出解题所需要的因素，必要时画出草图，辅助解题. 概念是思维的基本元素，也是空间想象的出发点，高考中对空间想象能力的考查从概念的理解和使用开始． 例1 已知三棱锥 D－ABC 的三个侧面与底面全等，且 ，
BC＝2．则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是 A． B． C． D． 【思路分析】在正确理解概念的基础上在头脑中想象和勾画出相应的几何图形．
①抓住关键：“三个侧面与底面全等”，画出三棱锥．即 ，AD＝BC＝2 ． 【小结】解题过程中有两个关键步骤：一是正确画出三棱锥，二是正确画出二面角的平面角．
计算的正确需要正确地画图来辅
佐，而画图的正确要以概念正确为保证．概念是空间想象的基础． 例2 在120°的二面角P－a－Q的两个面P和Q内，分别有点A和点B，已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4，且线段AB＝10．
(1) 求直线AB和棱a所成的角；
(2) 求直线AB和平面Q所成的角． 【思路分析】本题涉及四类空间的角与距离:
（1）二面角及其平面角；
（2）点到直线的距离；
（3）两条异面直线所成的角；
（4）直线和平面所成的角．
先过A点作出平面Q的垂线，并注意垂足O的位置．再依据概念和定理依次作出这四类空间角与距离． 【解】过A作AO⊥平面Q，垂足为O，连结BO，
则∠ABO是直线AB 和平面Q 所成的角．
在平面Q 内作BD⊥a 于D，OE⊥a 于E，连OE并延长， a由三垂线定理可知AE⊥a，∠AEC 是二面角P－a－Q 的平面角，∠AEC＝120°．
AE、BD 分别是A、B 两点到a 的距离，AE＝2，BD＝4 ． aa 【小结】
①注意本题围绕平面Q的垂线AO陆续添加辅助线的方法；
②立体几何中关于角与距离的计算，总是要把这些几何图形与几何量放到某些三角形中，把关于空间角与距离的计算转化为解三角形． 例3 如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC＝90°，BC＝2， ，且AA1⊥A1C，AA1＝A1C．求（1）侧棱AA1与底面ABC所成角的大小；
（2）侧面A1ABB1与底面ABC所成角的大小；
（3）点C到侧面A1ABB1的距离． 思路3： 距离
概念点在平面上的射影三垂线定理△BCH可解 【略解】 （1）由思路1的分析可知∠A1AC是侧棱AA1与底面ABC所成的角,
∠A1AC＝45°. 可计算得 （3）作CH⊥平面A1B，垂足为H，则CH的长是点C到平面A1B的距离.
连结HB，由于BC⊥AB，故HB⊥AB， 【小结】立体几何的计算题，常要分两步：第一步“画”，第二步“算”．
“画”，要在深入理解概念与定理前题下，通过适当的推理才能“画准”，画出后还需证明所画即为所求．
“算”，要在推理基础上，运用平面几何或解三角形知识合理运算，才能得出正确结论． 空间想象能力是指对空间图形的处理能力，其中的一种表现方式是对空间图形的分解与整合能力，即把复杂图形分解为简单图形，把简单图形合成复杂图形；把空间图形拆成平面图形，并把平面图形合成立体图形． 二、对空间图形分解与整合 【思路分析】(1)要依题设条件画出折叠前的平面图形及折叠后的直观图． （2）把原来的三棱锥分解成易求体积的小三棱锥． 例5 正四棱锥侧棱长为m，问两相邻侧面所成二面角α多大时，其体积是最大．
【思路分析】
先作出两个相邻侧面所成二面角的平面角∠BED，设为α．于是即 ，α=120°时，故正四棱锥的体积 当且仅当 ，棱锥体积最大． 【小结】上述两例都是把整体“分解”，把三棱锥分割成两个小三棱锥，都是把待处理的关系结构重新搭配，在新的关系结构中寻找解决问题的途径．如例5的新关系：
二面角的平面角α→面积S△BDE→体积V． 例6 球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝a，那么这个球的面积是_________________． 【思路分析】 题设：PA、PB、PC两两垂直且相等P、A、B、C 四点在球面的位置？ 正方体从同一点出发的三条棱球的内接正方体 【略解】由思路分析知，PA、PB、PC恰是正方体PF的三条棱，球的直径2r等于正方体对角线的长，即，球面积S＝4πr 2＝3 πa2 ． 【小结】本题是由题设所给的局部图形，通过逻辑推理，完成对图形的补全，构筑出“整体”．是对图形分解与组合的一种逆向思维，常在“顺向”思维受阻时发挥作用． 2．空间图形与平面图形的相互转化
例7 正三棱锥A－BCD，底面边长为a，侧棱长2a，E、F为AC、AD上的动点，求截面△BEF周长的最小值及此时E、F的位置． 【小结】
“展平”是空间图形平面化常用的方法之一．把多面体、圆柱、圆锥、圆台的侧面展成多边形、矩形、扇形、扇环等平面图形利于一些问题的解决． 例8 在直三棱柱ABC－A1B1C1中∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1， ，
M是CC1中点，求证AB1⊥A1M．欲证AB1⊥A1M，只需证AC1⊥A1M 【证明】三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，得
CC1⊥B1C1，
又∠A1C1B1＝90°，
故B1C1⊥平面A1ACC1．，，又AC1是AB1在平面AC1上的射影，
由三垂线定理得AB⊥AC1． 【小结】本题的证明思路是把求证空间直线的垂直问题转化为求证平面内直线的垂直问题，这种“平面化”处理空间图形的方法是解立体几何题常用的方法之一． 例9 已知长方体ABCD－A1B1C1D1，AB＝BC＝4，AA1＝8，E、F分别为AD和CC1的中点，O1为下底面正方形的中心，求：（1）二面角C－EB－O1的正切；
（2）异面直线EB与O1F所成角的余弦值；
（3）三棱锥O1－BEF的体积．【思路分析】（1）利用长方体的性质作出二面角的平面角；E（2）利用底面平行的性质，作出平行线，寻找异面直线所成的角；E（3）转化为容易求积的等体积的三棱锥． EF 【小结】对空间图形的处理能力是空间想象能力深化的标志．由于空间角与距离最后总要转化为平面上的角与两点间的距离才能解决，分析清楚空间图形如何分解为平面图形，平面图形如何合成空间图形是十分重要的． 处理问题过程中，某些重要的平面，需要进一步分析它上面的图形位置与数量关系时，可将此平面移出体外，还原为平面的真实形状．
等积变换是处理空间形体的体积计算常用的手段． 高考中的立体几何综合题，主要考察的是空间想象能力．强调的是对图形的认识、理解和应用．要求既会用图形表现空间形体，又会由图形想象出直观的形象．既会观察、分析各种几何要素（点、线、面、体）的相互位置关系，又会对图形进行变换和综合．即对图形进行分解——分割，组合——拼补，变形——转换、位移或不同视角观察图形． 三、总结 另外，高考试题中的图形，所涉及的线面、面面位置关系大多不是习惯所见的标准位置（如图中只有少数面是水平放置）．因此正确认识非标准位置的图形，成为空间想象能力的一个组成部分，也是高考的重点之一．因而在观察想象空间图形时，要善于排除无关因素的干扰（如一些遮挡的线、面），抓住主体，正确作出判断．
1．能根据条件画出正确的图形，根据图形想象出直观形象；
2．能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；
3．能对图形进行分解、组合与变形． 一、用关于图形的逻辑思维统帅识图、画图 立体几何图形的特征是通过概念来描述的，要求理解概念的本质，根据对概念的叙述想象出图形，分解出解题所需要的因素，必要时画出草图，辅助解题. 概念是思维的基本元素，也是空间想象的出发点，高考中对空间想象能力的考查从概念的理解和使用开始． 例1 已知三棱锥 D－ABC 的三个侧面与底面全等，且 ，
BC＝2．则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是 A． B． C． D． 【思路分析】在正确理解概念的基础上在头脑中想象和勾画出相应的几何图形．
①抓住关键：“三个侧面与底面全等”，画出三棱锥．即 ，AD＝BC＝2 ． 【小结】解题过程中有两个关键步骤：一是正确画出三棱锥，二是正确画出二面角的平面角．
计算的正确需要正确地画图来辅
佐，而画图的正确要以概念正确为保证．概念是空间想象的基础． 例2 在120°的二面角P－a－Q的两个面P和Q内，分别有点A和点B，已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4，且线段AB＝10．
(1) 求直线AB和棱a所成的角；
(2) 求直线AB和平面Q所成的角． 【思路分析】本题涉及四类空间的角与距离:
（1）二面角及其平面角；
（2）点到直线的距离；
（3）两条异面直线所成的角；
（4）直线和平面所成的角．
先过A点作出平面Q的垂线，并注意垂足O的位置．再依据概念和定理依次作出这四类空间角与距离． 【解】过A作AO⊥平面Q，垂足为O，连结BO，
则∠ABO是直线AB 和平面Q 所成的角．
在平面Q 内作BD⊥a 于D，OE⊥a 于E，连OE并延长， a由三垂线定理可知AE⊥a，∠AEC 是二面角P－a－Q 的平面角，∠AEC＝120°．
AE、BD 分别是A、B 两点到a 的距离，AE＝2，BD＝4 ． aa 【小结】
①注意本题围绕平面Q的垂线AO陆续添加辅助线的方法；
②立体几何中关于角与距离的计算，总是要把这些几何图形与几何量放到某些三角形中，把关于空间角与距离的计算转化为解三角形． 例3 如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC＝90°，BC＝2， ，且AA1⊥A1C，AA1＝A1C．求（1）侧棱AA1与底面ABC所成角的大小；
（2）侧面A1ABB1与底面ABC所成角的大小；
（3）点C到侧面A1ABB1的距离． 思路3： 距离
概念点在平面上的射影三垂线定理△BCH可解 【略解】 （1）由思路1的分析可知∠A1AC是侧棱AA1与底面ABC所成的角,
∠A1AC＝45°. 可计算得 （3）作CH⊥平面A1B，垂足为H，则CH的长是点C到平面A1B的距离.
连结HB，由于BC⊥AB，故HB⊥AB， 【小结】立体几何的计算题，常要分两步：第一步“画”，第二步“算”．
“画”，要在深入理解概念与定理前题下，通过适当的推理才能“画准”，画出后还需证明所画即为所求．
“算”，要在推理基础上，运用平面几何或解三角形知识合理运算，才能得出正确结论． 空间想象能力是指对空间图形的处理能力，其中的一种表现方式是对空间图形的分解与整合能力，即把复杂图形分解为简单图形，把简单图形合成复杂图形；把空间图形拆成平面图形，并把平面图形合成立体图形． 二、对空间图形分解与整合 【思路分析】(1)要依题设条件画出折叠前的平面图形及折叠后的直观图． （2）把原来的三棱锥分解成易求体积的小三棱锥． 例5 正四棱锥侧棱长为m，问两相邻侧面所成二面角α多大时，其体积是最大．
【思路分析】
先作出两个相邻侧面所成二面角的平面角∠BED，设为α．于是即 ，α=120°时，故正四棱锥的体积 当且仅当 ，棱锥体积最大． 【小结】上述两例都是把整体“分解”，把三棱锥分割成两个小三棱锥，都是把待处理的关系结构重新搭配，在新的关系结构中寻找解决问题的途径．如例5的新关系：
二面角的平面角α→面积S△BDE→体积V． 例6 球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝a，那么这个球的面积是_________________． 【思路分析】 题设：PA、PB、PC两两垂直且相等P、A、B、C 四点在球面的位置？ 正方体从同一点出发的三条棱球的内接正方体 【略解】由思路分析知，PA、PB、PC恰是正方体PF的三条棱，球的直径2r等于正方体对角线的长，即，球面积S＝4πr 2＝3 πa2 ． 【小结】本题是由题设所给的局部图形，通过逻辑推理，完成对图形的补全，构筑出“整体”．是对图形分解与组合的一种逆向思维，常在“顺向”思维受阻时发挥作用． 2．空间图形与平面图形的相互转化
例7 正三棱锥A－BCD，底面边长为a，侧棱长2a，E、F为AC、AD上的动点，求截面△BEF周长的最小值及此时E、F的位置． 【小结】
“展平”是空间图形平面化常用的方法之一．把多面体、圆柱、圆锥、圆台的侧面展成多边形、矩形、扇形、扇环等平面图形利于一些问题的解决． 例8 在直三棱柱ABC－A1B1C1中∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1， ，
M是CC1中点，求证AB1⊥A1M．欲证AB1⊥A1M，只需证AC1⊥A1M 【证明】三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，得
CC1⊥B1C1，
又∠A1C1B1＝90°，
故B1C1⊥平面A1ACC1．，，又AC1是AB1在平面AC1上的射影，
由三垂线定理得AB⊥AC1． 【小结】本题的证明思路是把求证空间直线的垂直问题转化为求证平面内直线的垂直问题，这种“平面化”处理空间图形的方法是解立体几何题常用的方法之一． 例9 已知长方体ABCD－A1B1C1D1，AB＝BC＝4，AA1＝8，E、F分别为AD和CC1的中点，O1为下底面正方形的中心，求：（1）二面角C－EB－O1的正切；
（2）异面直线EB与O1F所成角的余弦值；
（3）三棱锥O1－BEF的体积．【思路分析】（1）利用长方体的性质作出二面角的平面角；E（2）利用底面平行的性质，作出平行线，寻找异面直线所成的角；E（3）转化为容易求积的等体积的三棱锥． EF 【小结】对空间图形的处理能力是空间想象能力深化的标志．由于空间角与距离最后总要转化为平面上的角与两点间的距离才能解决，分析清楚空间图形如何分解为平面图形，平面图形如何合成空间图形是十分重要的． 处理问题过程中，某些重要的平面，需要进一步分析它上面的图形位置与数量关系时，可将此平面移出体外，还原为平面的真实形状．
等积变换是处理空间形体的体积计算常用的手段． 高考中的立体几何综合题，主要考察的是空间想象能力．强调的是对图形的认识、理解和应用．要求既会用图形表现空间形体，又会由图形想象出直观的形象．既会观察、分析各种几何要素（点、线、面、体）的相互位置关系，又会对图形进行变换和综合．即对图形进行分解——分割，组合——拼补，变形——转换、位移或不同视角观察图形． 三、总结 另外，高考试题中的图形，所涉及的线面、面面位置关系大多不是习惯所见的标准位置（如图中只有少数面是水平放置）．因此正确认识非标准位置的图形，成为空间想象能力的一个组成部分，也是高考的重点之一．因而在观察想象空间图形时，要善于排除无关因素的干扰（如一些遮挡的线、面），抓住主体，正确作出判断．