苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册 1.3 两条直线的平行与垂直【同步精讲教案】（解析版）

第1章 直线与方程
第01讲 两条直线的平行与垂直
课程标准 重难点
1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件；2.能根据已知条件判断两直线的平行与垂直；3.能应用两条直线平行或垂直进行实际应用． 1.直线的平行判断2.直线的垂直判断
知识点一　两条直线平行
1.对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2 k1＝k2.
【概念解读】对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点
(1)l1∥l2 k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．
(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90°，则l1∥l2.
(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：
l1∥l2 k1＝k2或l1，l2斜率都不存在.
【知识拓展】
类型 斜率存在 斜率不存在
前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
对应关系 l1∥l2 k1＝k2 l1∥l2 两直线斜率都不存在
图示
知识点二　两直线垂直
1.如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2 k1·k2＝－1.
【概念解读】对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点
(1)l1⊥l2 k1·k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②k1≠0且k2≠0.
(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．
(3)判定两条直线垂直的一般结论为：
l1⊥l2 k1·k2＝－1或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
【知识拓展】
图示
对应关系 l1⊥l2(两直线斜率都存在) k1·k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0 l1⊥l2
考法01 直线平行的判断
根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．
(1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；
(2)l1经过点E(0,1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3,4)，H(2,3)；
(3)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，)，N(－2，－2)；
(4)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0,5)．
【跟踪训练】
试确定m的值，使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行．
【方法总结】判断两条不重合直线是否平行的步骤
考法02 两直线垂直
已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是(　　)
A．平行 B．垂直
C．可能重合 D．无法确定
（1）直线x＝0与直线y＝0的位置关系是（　　）
A．垂直 B．平行 C．重合 D．以上都不对
【方法总结】
使用斜率公式判定两直线垂直的步骤
(1)一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第一步．
(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式．
(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．
总之，l1与l2一个斜率为0，另一个斜率不存在时，l1⊥l2；l1与l2斜率都存在时，满足k1·k2＝－1.
考法03 平行与垂直的综合运用
利用两直线的平行与垂直的判定，合理求解点的坐标，确定平面图形的面积，是两条直线平行与垂直的综合运用，是本节的重点，重在提升逻辑推理，数学运算的核心素养．
已知A（1，0），B（3，2），C（0，4），点D满足AB⊥CD，且AD∥BC，则点D的坐标为　 　．
【素养变式】
本例中条件变为：已知矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，求第四个顶点D的坐标．
【素养达成】
已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状．
题组A 基础过关练
1．已知直线：，：，且，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
2．已知直线，.则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．巳知直线l1，l2的方程分别是l1 ∶mx+2y-4=0，l2；2x+y-8=0，若l1⊥l2，则m的值为（ ）
A．-1 B．2 C．3 D．4
4．已知直线与直线垂直，则a＝（ ）
A．3 B．1或﹣3 C．﹣1 D．3或﹣1
5．直线：，：，则“”是“”的（ ）条件
A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要
6．已知m为实数，直线，，则“”是“”的_______条件．
7．直线与直线垂直，则为___________.
8．已知两条直线，，若，则的值为___________.
题组B 能力提升练
1．下列叙述中正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．“”是“直线和直线垂直”的充分而不必要条件
C．命题“若，则且”的否命题是“若，则且”
D．若为真命题，为假命题，则，一真一假
2．直线，若，则的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
3．直线与直线平行，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知直线和互相平行，则（ ）
A． B． C．或 D．或
5．直线关于对称的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线与平行，则的值为__________.
7．已知直线：与：互相垂直，其垂足为，则的值为________．
8．已知直线：：，求实数m的值使得：
（1）相交；
（2）；
（3）∥
题组C 培优拔尖练
1．已知分别是函数图象上不同的两点处的切线，分别与轴交于点，且与垂直相交于点，则的面积的取值范围是
A． B． C． D．
2．已知直线：，：互相垂直，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3).若△OAB为直角三角形，则必有（ ）
A．b=a3 B．b=a3+
C．(b-a3)=0 D．|b-a3|+=0
4．设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，则直线sinA·x＋ay－c＝0与bx－sinB·y＋sinC＝0的位置关系是（ ）
A．平行 B．重合
C．垂直 D．相交但不垂直
5．，动直线过定点，动直线过定点，则点坐标为__________；若直线与相交于点（异于点,），则周长的最大值为__________．
6．设分别是△中的对边边长，则直线与直线的位置关系是_______________．
第1章 直线与方程答案
第01讲 两条直线的平行与垂直
课程标准 重难点
1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件；2.能根据已知条件判断两直线的平行与垂直；3.能应用两条直线平行或垂直进行实际应用． 1.直线的平行判断2.直线的垂直判断
知识点一　两条直线平行
1.对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2 k1＝k2.
【概念解读】对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点
(1)l1∥l2 k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．
(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90°，则l1∥l2.
(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：
l1∥l2 k1＝k2或l1，l2斜率都不存在.
【知识拓展】
类型 斜率存在 斜率不存在
前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
对应关系 l1∥l2 k1＝k2 l1∥l2 两直线斜率都不存在
图示
知识点二　两直线垂直
1.如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2 k1·k2＝－1.
【概念解读】对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点
(1)l1⊥l2 k1·k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②k1≠0且k2≠0.
(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．
(3)判定两条直线垂直的一般结论为：
l1⊥l2 k1·k2＝－1或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
【知识拓展】
图示
对应关系 l1⊥l2(两直线斜率都存在) k1·k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0 l1⊥l2
考法01 直线平行的判断
根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．
(1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；
(2)l1经过点E(0,1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3,4)，H(2,3)；
(3)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，)，N(－2，－2)；
(4)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0,5)．
【解析】(1)由题意知，k1＝＝－，k2＝＝－，所以直线l1与直线l2平行或重合，又kBC＝＝－≠－，故l1∥l2.
(2)由题意知，k1＝＝1，k2＝＝1，所以直线l1与直线l2平行或重合，kFG＝＝1，故直线l1与直线l2重合．
(3)由题意知，k1＝tan 60°＝，k2＝＝，k1＝k2，所以直线l1与直线l2平行或重合．
(4)由题意知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1∥l2.
【跟踪训练】
试确定m的值，使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行．
【解析】由题意直线CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在．kAB＝＝，kCD＝＝，由于AB∥CD，即kAB＝kCD，所以＝，得m＝－2.经验证m＝－2时直线AB的斜率存在，所以m＝－2.
【方法总结】判断两条不重合直线是否平行的步骤
考法02 两直线垂直
已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是(　　)
A．平行 B．垂直
C．可能重合 D．无法确定
【答案】B
【解析】由方程3x2＋mx－3＝0知，Δ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立．
故方程有两相异实根，即l1与l2的斜率k1，k2存在，设两根为x1，x2，则k1k2＝x1x2＝－1，故l1⊥l2，所以选B.
【即时训练】
（1）直线x＝0与直线y＝0的位置关系是（　　）
A．垂直 B．平行 C．重合 D．以上都不对
【答案】A
【解析】x＝0是表示y轴的直线，y＝0表示x轴的直线，两条直线互相垂直．故选A．
（2）已知直线l1：x+2y+1＝0，l2：﹣2x+y+2＝0，它们相交于点A．判断直线l1和l2是否垂直？请给出理由；
【解析】直线l1的斜率，直线l2的斜率k2＝2，∵，∴l1⊥l2
【方法总结】
使用斜率公式判定两直线垂直的步骤
(1)一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第一步．
(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式．
(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．
总之，l1与l2一个斜率为0，另一个斜率不存在时，l1⊥l2；l1与l2斜率都存在时，满足k1·k2＝－1.
考法03 平行与垂直的综合运用
利用两直线的平行与垂直的判定，合理求解点的坐标，确定平面图形的面积，是两条直线平行与垂直的综合运用，是本节的重点，重在提升逻辑推理，数学运算的核心素养．
已知A（1，0），B（3，2），C（0，4），点D满足AB⊥CD，且AD∥BC，则点D的坐标为　 　．
【解题思路】由题设条件知直线AB⊥CD，且AD∥BC，将此位置关系利用斜率关系转化为方程，即可求出点D的坐标
【答案】（10，﹣6）
【解析】设点D的坐标为（x，y），由已知得，直线AB的斜率KAB＝1，（2分）
直线CD的斜率KCD＝，直线CB的斜率KCB＝，直线AD的斜率KAD＝，
由AB⊥CD，且AD∥BC，得，解得，
所以D的坐标为：（10，﹣6）．
【素养变式】
本例中条件变为：已知矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，求第四个顶点D的坐标．
【解析】设第四个顶点D的坐标为(x，y)，因为AD⊥CD，AD∥BC，所以kAD·kCD＝－1，且kAD＝kBC.
所以解得
所以第四个顶点D的坐标为(2,3).
【素养达成】
已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状．
【解析】由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置，如图所示，由斜率公式可得kAB＝＝，
kCD＝＝，kAD＝＝－3，
kBC＝＝－.
所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，
所以AB∥CD.由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．
又因为kAB·kAD＝×(－3)＝－1，
所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形
题组A 基础过关练
1．已知直线：，：，且，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【解析】因为，所以，解得或．故选：D
2．已知直线，.则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题意，直线，直线，
因为，可得，解得，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3．巳知直线l1，l2的方程分别是l1 ∶mx+2y-4=0，l2；2x+y-8=0，若l1⊥l2，则m的值为（ ）
A．-1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】因为，，
所以，
因为，所以
所以，解得故选：A
4．已知直线与直线垂直，则a＝（ ）
A．3 B．1或﹣3 C．﹣1 D．3或﹣1
【答案】D
【解析】直线与直线垂直，
所以，解得或.
故选：D.
5．直线：，：，则“”是“”的（ ）条件
A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】B
【解析】的充要条件是，解得或，
所以“”是“”的充分不必要条件．故选：B．
6．已知m为实数，直线，，则“”是“”的_______条件．
【答案】充分不必要
【解析】依题意，时，，从而有，解得或，
即命题的m取值集合为，而命题的m取值集合是，且有，
所以“”是“”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要
7．直线与直线垂直，则为___________.
【答案】或
【解析】因为直线与直线垂直，
所以，解得或
故答案为：或
8．已知两条直线，，若，则的值为___________.
【答案】
【解析】当时，不满足，舍去；
当时，直线的斜率，的斜率
∵，
∴，
解得。故答案为：．
题组B 能力提升练
1．下列叙述中正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．“”是“直线和直线垂直”的充分而不必要条件
C．命题“若，则且”的否命题是“若，则且”
D．若为真命题，为假命题，则，一真一假
【答案】D
【解析】选项：命题的否定为，，故选项错误；
选项：直线和直线垂直的充要条件为，即，可以推出，但推不出，故“”是“直线和直线垂直”的必要而不充分条件，故选项错误；
选项：命题“若，则且”的否命题是“若，则或”， 故选项错误；
选项：若为真命题，则，中至少有一个为真，若为假命题，则，中至少有一个为假，因此，一真一假，故选项正确.
故选：D.
2．直线，若，则的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为直线，
所以，
又，
所以的斜率为，
因为倾斜角的范围，
所以的倾斜角为，
故选：B
3．直线与直线平行，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】时，显然两直线不平行，
时，由两直线平行得，解得．
故选：B．
4．已知直线和互相平行，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】时，两直线显然不平行，时，则，解得或．故选：C．
5．直线关于对称的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设所求直线上任意一点是关于直线的对称点，
则，解得,
由对称性得在直线上，,
即,故选：A.
6．已知直线与平行，则的值为__________.
【答案】
【解析】由题得.
当时，两直线不重合.
故答案为：.
7．已知直线：与：互相垂直，其垂足为，则的值为________．
【答案】0
【解析】将直线，化为
直线，相互垂直，，解得
将代入，解得
将代入，解得
故答案为：
8．已知直线：：，求实数m的值使得：
（1）相交；
（2）；
（3）∥
【解析】（1）当和相交时，．
令，得，解得或．
所以当，且时，和相交．
（2）当时，，解得．
所以当时，．
（3）因为时，不平行于，
所以，所以，且，解得．
题组C 培优拔尖练
1．已知分别是函数图象上不同的两点处的切线，分别与轴交于点，且与垂直相交于点，则的面积的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得．设，由导数的几何意义可得切线的斜率分别为，
由条件可得，所以，故．
又切线的方程为，切线的方程为，即
，在两切线方程中，分别令可得切线与y轴的交点分别为
，故．
由，可得点．
∴（由于，故等号不成立）．
∴的面积的取值范围是．选A．
2．已知直线：，：互相垂直，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵直线：，：互相垂直，
∴，∴，
∵，，∴.
∴的取值范围为.
故选：B.
3．已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3).若△OAB为直角三角形，则必有（ ）
A．b=a3 B．b=a3+
C．(b-a3)=0 D．|b-a3|+=0
【答案】C
【解析】若O为直角顶点，则B在x轴上，则a必为0，此时O，B重合，不符合题意；
若A为直角顶点，则b=a3≠0；
若B为直角顶点，根据斜率关系可知a2·=-1(a≠0)，所以a(a3-b)=-1，即b-a3-=0；
以上两种情况皆有可能，所以必有(b-a3)=0成立.
故选：C
4．设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，则直线sinA·x＋ay－c＝0与bx－sinB·y＋sinC＝0的位置关系是（ ）
A．平行 B．重合
C．垂直 D．相交但不垂直
【答案】C
【解析】直线sinA·x＋ay－c＝0的斜率，直线bx－sinB·y＋sinC＝0的斜率 ，故直线sinA·x＋ay－c＝0与直线bx－sinB·y＋sinC＝0垂直故选：C.
5．，动直线过定点，动直线过定点，则点坐标为__________；若直线与相交于点（异于点,），则周长的最大值为__________．
【答案】
【解析】由条件知直线过定点，直线过定点，所以，
又因为，所以，即，
所以，
当且仅当时取等号，所以，
故周长的最大值为
故答案为：①； ②.
6．设分别是△中的对边边长，则直线与直线的位置关系是_______________．
【解析】 分别是△内角 所对边的边，
故：，
的斜率为：
的斜率为：
根据正弦定理：
由
两条直线垂直
故答案为：垂直．
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