苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册 1.3 两条直线的平行与垂直 【同步教案】

1.两条直线平行的等价条件
当两条直线的斜率都存在时，如果它们互相平行，那么它们的斜率相等;反之,如果两条直线的斜率相等，那么它们互相平行.即l1//l2 k1=k2(k1,k1均存在).
如果直线l.h的斜率都不存在，那么它们都与x轴垂直，所以1://l2.
2.两条直线垂直的等价条件
当两条直线的斜率都存在时，如果它们互相垂直，那么它们斜率的乘积等于-1;反之，如果它们斜率的乘积等于-1,那么它们互相垂直.即l1 ⊥l2k1k2=-1(k1,k1均存在).
当一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时，两直线也垂直.
直线方程 位置关系 l1：y=k1x+b1 l2:y=k2x+b2 l1：A1x+B1y+C1=0 l2:A2x+B2y+C2=0 l1与l2组成的方程组
平行 k1=k2且b1≠b2 A1B2=A2B1， A1C2≠:A2C1 无解
重合 k1=k2且b1=b2 A1B2=A2B1， A1C2=:A2C1 有无数个解
相交 b1≠b2 A1B2≠A2B1 有唯一解
垂直 k1k2=-1 A1A2+B1B2=0
4.判断两条直线是否垂直
在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直．
例题1
过点和点的直线与过点和点的直线的位置关系是
A．平行 B．重合
C．平行或重合 D．相交或重合
例题2
下列说法中正确的是
A．若直线与的斜率相等，则
B．若直线与互相平行，则它们的斜率相等
C．在直线与中，若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则与定相交
D．若直线与的斜率都不存在，则
训练1
过点和点的直线与轴的位置关系是
A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直
训练2
直线2x﹣y+1=0与直线y﹣1=2（x+1）的位置关系式
A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合
由斜率判断两条直线垂直
例题1
已知直线的倾斜角为60°，直线经过点，，则直线，的位置关系是（ ）
A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合
例题2
直线与直线的位置关系是（　　）
A．相交 B．平行 C．重合 D．由m决定
训练1
已知直线及与函数图像的交点分别为A,B,与函数图像的交点分别为C,D,则直线AB与CD
A．平行 B．垂直 C．不确定 D．相交不垂直
训练2
下列说法中不正确的是(　　)
A．两直线的斜率存在时，它们垂直的等价条件是其斜率之积为－1
B．如果方程Ax＋By＋C＝0表示的直线是y轴，那么系数A，B，C满足A≠0，B＝C＝0
C．Ax＋By＋C＝0和2Ax＋2By＋C＋1＝0表示两条平行直线的等价条件是A2＋B2≠0且C≠1
D．与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程可设为Bx＋Ay＋m＝0(m为参数)
直线平行、垂直的判定在几何中的作用
例题1
已知等腰直角三角形的斜边所在的直线是，直角顶点是，则两条直角边，的方程是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
例题2
已知直线过点且与直线垂直，则的方程是（ ）
A． B． C． D．
训练1
数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为
A． B． C． D．
训练2
过点与点(7,0)的直线l1，过点(2,1)与点(3，k＋1)的直线l2与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k为(　　)
A．－3 B．3
C．－6 D．6
一、单选题
1．已知A(-4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(-3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，则四边形ABCD的形状是（ ）
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．直角梯形
2．已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直
C．可能重合 D．无法确定
3．过点和点的直线与直线的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对
4．下列说法中正确的有（ ）
①平行的两条直线的斜率一定存在且相等 ②平行的两条直线的倾斜角一定相等
③垂直的两直线的斜率之积为-1 ④只有斜率相等的两条直线才一定平行
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3).若△OAB为直角三角形，则必有（ ）
A．b=a3 B．b=a3+
C．(b-a3)=0 D．|b-a3|+=0
6．若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，则直线l1与l2的位置关系是(　　)
A．垂直 B．平行 C．重合 D．平行或重合
7．下列说法中，正确的个数为（ ）
①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；
②若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等；
③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交；
④若两条直线的斜率都不存在，则这两条直线平行．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
8．已知，，，，且直线AB与CD平行，则m的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
9．(多选)若过点(1,a)，(0,0)的直线l1与过点(a,3)，(-1,1)的直线l2平行，则a的取值可以为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
10．已知直线，若，则实数（ ）
A．-1 B．0 C．2 D．-3
三、填空题
11．已知直线和互相垂直，则__．
12．若三条直线2x－y＋4＝0，x－y＋5＝0和2mx－3y＋12＝0围成直角三角形，则m＝______________.
四、解答题
13．判断下列不同的直线与是否平行.
（1）的斜率为2，经过，两点；
（2）经过，两点，平行于x轴，但不经过P，Q两点；
（3）经过，两点，经过，两点．
14．已知直线l的倾斜角为，点在直线l上，将直线l绕点按逆时针方向旋转后到达直线的位置，此时直线与平行或重合，且是线段的垂直平分线，其中，试求的值．
15．已知直线，求满足下列条件的a的取值范围．
（1）与相交；
（2）；
（3）与重合．
1.两条直线平行的等价条件
当两条直线的斜率都存在时，如果它们互相平行，那么它们的斜率相等;反之,如果两条直线的斜率相等，那么它们互相平行.即l1//l2 k1=k2(k1,k1均存在).
如果直线l.h的斜率都不存在，那么它们都与x轴垂直，所以1://l2.
2.两条直线垂直的等价条件
当两条直线的斜率都存在时，如果它们互相垂直，那么它们斜率的乘积等于-1;反之，如果它们斜率的乘积等于-1,那么它们互相垂直.即l1 ⊥l2k1k2=-1(k1,k1均存在).
当一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时，两直线也垂直.
3.两条直线的位置关系的应用
直线方程 位置关系 l1：y=k1x+b1 l2:y=k2x+b2 l1：A1x+B1y+C1=0 l2:A2x+B2y+C2=0 l1与l2组成的方程组
平行 k1=k2且b1≠b2 A1B2=A2B1， A1C2≠:A2C1 无解
重合 k1=k2且b1=b2 A1B2=A2B1， A1C2=:A2C1 有无数个解
相交 b1≠b2 A1B2≠A2B1 有唯一解
垂直 k1k2=-1 A1A2+B1B2=0
4.判断两条直线是否垂直
在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直．
例题1
过点和点的直线与过点和点的直线的位置关系是
A．平行 B．重合
C．平行或重合 D．相交或重合
【答案】C
【分析】
利用两点连线斜率公式求出两条直线斜率，根据斜率关系以及是否有公共点可判断出两条直线位置关系.
【详解】
由题意知：，
当时，与没有公共点
当时，与有公共点 与重合
与平行或重合
本题正确选项：
【点睛】考查两条直线位置关系的判断.
例题2
下列说法中正确的是
A．若直线与的斜率相等，则
B．若直线与互相平行，则它们的斜率相等
C．在直线与中，若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则与定相交
D．若直线与的斜率都不存在，则
【答案】C
【分析】根据两直线平行的等价条件即可判断.
【详解】
对于A, 若直线与的斜率相等，则或与重合；对于B，若直线与互相平行，则它们的斜率相等或者斜率都不存在；对于D，若直线与的斜率都不存在，则或与重合.
故选:C
【点睛】考查两直线的位置关系.
训练1
过点和点的直线与轴的位置关系是
A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直
【答案】B
【分析】根据两点纵坐标相同即可判断出位置关系.
【详解】
两点的纵坐标都等于 直线方程为：
直线与轴平行
本题正确选项：
【点睛】考查直线位置关系的判断.
训练2
直线2x﹣y+1=0与直线y﹣1=2（x+1）的位置关系式
A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合
【答案】A
【详解】
试题分析：化简直线方程为一般式方程，然后判断两条直线的位置关系．
解：∵直线y﹣1=2（x+1），化为2x﹣y+3=0，而与2x﹣y+1=0的斜率相同，并且在y轴上的截距分别为1和3，所以两条直线平行．
故选A．
【点睛】考查两条直线的位置关系，注意两条直线平行与垂直条件的判断．
由斜率判断两条直线垂直
例题1
已知直线的倾斜角为60°，直线经过点，，则直线，的位置关系是（ ）
A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合
【答案】C
【分析】
根据斜率的定义以及斜率的坐标公式分别求出直线，的斜率，即可判断出直线，的位置关系．
【详解】
因为，，所以，即直线，的位置关系是垂直．
故选：C．
【点睛】考查利用斜率判断两条直线的位置关系，涉及斜率的定义以及斜率公式的应用．
例题2
直线与直线的位置关系是（　　）
A．相交 B．平行 C．重合 D．由m决定
【答案】A
【分析】
本题首先可以根据题意得出两直线的斜率，然后观察两直线斜率之间的关系，通过两直线的斜率的关系即可得出结果．
【详解】
由题意可知直线与直线斜率分别为和，
所以两直线的斜率既不相等，且乘积也不为-1，
故直线与直线的位置关系是相交，故选A．
【点睛】考查了直线与直线的位置关系，如果两直线的斜率相等，那么直线的关系是平行或者重合，如果两直线的斜率乘积为，则两直线相互垂直．
训练1
已知直线及与函数图像的交点分别为A,B,与函数图像的交点分别为C,D,则直线AB与CD
A．平行 B．垂直 C．不确定 D．相交不垂直
【答案】D
【分析】求出四个交点的坐标,进而分别求出直线AB,CD的解析式,即可得出答案.
【详解】
当时, ,当时,
坐标为,B坐标为
设直线AB解析式为,则有,
解得,
直线AB的解析式为,
当时, ,当时,
坐标为,D坐标为
设直线CD解析式为，则有
解得,
直线CD的解析式为
两条直线斜率不相等,且乘积不为-1,故直线AB,CD不平行,不垂直,
即直线AB,CD相交,
故选D.
【点睛】考查了直线方程的求法以及直线与直线的位置关系.
训练2
下列说法中不正确的是(　　)
A．两直线的斜率存在时，它们垂直的等价条件是其斜率之积为－1
B．如果方程Ax＋By＋C＝0表示的直线是y轴，那么系数A，B，C满足A≠0，B＝C＝0
C．Ax＋By＋C＝0和2Ax＋2By＋C＋1＝0表示两条平行直线的等价条件是A2＋B2≠0且C≠1
D．与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程可设为Bx＋Ay＋m＝0(m为参数)
【答案】D
【分析】
两直线垂直，当斜率都存在时，斜率之积为-1，一条斜率不存在且另一条斜率为0.两直线平行，分斜率存在和不存在讨论，同时要注意排除两直线重合情况，即斜率相等且截距不相等．两直线重合要两直线方程能化成完全相同的式子．根据上面可判断．
【详解】
选项A正确，因为两直线斜率都存在，所以它们垂直的等价条件是其斜率之积为－1．选项B正确，y轴的化简式为x=0,所以系数A，B，C满足A≠0，B＝C＝0．选项C正确,当B=0时，两直线平行，所以，满足A2＋B2≠0且C≠1．当B时，，即A2＋B2≠0且C≠1．选项D错误，因为（不为零时），不满足两直线垂直．选D.
【点睛】考查两直线位置关系，包括平行、垂直、重合关系，特别要注意分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论分析．
直线平行、垂直的判定在几何中的作用
例题1
已知等腰直角三角形的斜边所在的直线是，直角顶点是，则两条直角边，的方程是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】
根据，所在直线互相垂直，则由验证即可.
【详解】
因为，所在直线互相垂直，
所以其斜率，
经检验A，C，D故错误，
而选项B满足，
故选：B
【点睛】考查直线的方程以及垂直关系的判断.
例题2
已知直线过点且与直线垂直，则的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
直线与直线垂直可得斜率之积为-1，从而得出直线方程.
【详解】
解：因为直线与直线垂直，
所以，
所以直线的方程为，
即，
故选B.
【点睛】考查了两条直线的垂直关系.
训练1
数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标
【详解】
设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为代入欧拉线方程得：整理得：m-n+4=0 ①
AB的中点为（1，2）， AB的中垂线方程为，
即x-2y+3=0．联立 解得
∴△ABC的外心为（-1，1）．
则（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8 ②
联立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．
当m=0，n=4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是（-4，0）．故选A
【点睛】考查了直线方程，求直线方程的一般方法：①直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．②待定系数法： 先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等．
训练2
过点与点(7,0)的直线l1，过点(2,1)与点(3，k＋1)的直线l2与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k为(　　)
A．－3 B．3
C．－6 D．6
【答案】B
【分析】
根据四点共圆的条件可知，四边形的2个对角之和是180°，即l1与l2是相互垂直的，利用两条直线斜率的乘积为-1，即可得到结论．
【详解】
.由已知得l1⊥l2，∴×k＝－1，∴k＝3．
【点睛】考查直线垂直与直线斜率之间的关系，利用四点共圆得到直线垂直是解决本题的关键．
一、单选题
1．已知A(-4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(-3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，则四边形ABCD的形状是（ ）
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．直角梯形
【答案】D
【分析】
由斜率的两点式分别求出，进而可判断直线的位置关系，即可知正确选项.
【详解】
∵
∴ABCD，AD⊥AB，AD⊥CD，
AD与BC不平行，
∴四边形ABCD为直角梯形.
故选：D.
2．已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直
C．可能重合 D．无法确定
【答案】B
【分析】由韦达定理可知，由此可作出判断.
【详解】
解析由方程3x2＋mx－3＝0，知＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立．
故方程有两相异实根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在．设两根为x1，x2，则k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2．
故选：B
3．过点和点的直线与直线的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对
【答案】B
【分析】根据斜率公式求得的斜率，得出直线的方程，进而得出两直线的位置关系.
【详解】
由题意，点和点，可得，所以的方程为，
又由直线的斜率为0，且两直线不重合，
所以两直线平行.
故选：B.
4．下列说法中正确的有（ ）
①平行的两条直线的斜率一定存在且相等 ②平行的两条直线的倾斜角一定相等
③垂直的两直线的斜率之积为-1 ④只有斜率相等的两条直线才一定平行
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】
对于①，两直线平行，不一定存在斜率；所以①错误；
对于②，由直线倾斜角定义可知②正确；
对于③，两直线垂直，不一定都有斜率，所以③错误；
对于④，当两条直线斜率都不存在时，两直线也平行，所以④错误.
【详解】
对于①，当两直线都与轴垂直时，两直线平行，但它们斜率不存在，所以①错误；
对于②，由直线倾斜角定义可知②正确；
对于③，当一条直线平行于轴，一条平行于轴，但斜率之积不为，所以③错误；
对于④，当两条直线斜率都不存在时，两直线平行，所以④错误.
故选：B.
【点睛】考查了直线的倾斜角，考查了直线的斜率，考查了两条直线平行于垂直.
5．已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3).若△OAB为直角三角形，则必有（ ）
A．b=a3 B．b=a3+
C．(b-a3)=0 D．|b-a3|+=0
【答案】C
【分析】根据题意，分O为直角顶点、A为直角顶点、B为直角顶点三种情况，结合斜率关系分别求出满足的关系式即可求解.
【详解】
若O为直角顶点，则B在x轴上，则a必为0，此时O，B重合，不符合题意；
若A为直角顶点，则b=a3≠0；
若B为直角顶点，根据斜率关系可知a2·=-1(a≠0)，所以a(a3-b)=-1，即b-a3-=0；
以上两种情况皆有可能，所以必有(b-a3)=0成立.
故选：C
【点睛】考查利用两直线垂直求参数.
6．若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，则直线l1与l2的位置关系是(　　)
A．垂直 B．平行 C．重合 D．平行或重合
【答案】D
【分析】由倾斜角可得直线l1的斜率，由斜率公式可得直线l2的斜率，可判断平行或重合关系.
【详解】
直线l1的倾斜角为135°，其斜率，
直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，其斜率，
显然满足，
l1与l2平行或重合.
故选D.
【点睛】考查两条直线的位置关系的判断，注意斜率公式的合理应用.
7．下列说法中，正确的个数为（ ）
①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；
②若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等；
③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交；
④若两条直线的斜率都不存在，则这两条直线平行．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据直线平行和斜率之间的关系分别判断即可
【详解】
若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行或重合，所以①不正确；
若两条直线都垂直于x轴，则这两条直线的斜率都不存在，所以②不正确；
若两条直线的斜率都不存在，则这两条直线平行或重合，所以④不正确；显然③正确．
故选：A．
【点睛】直线平行和斜率之间的关系
二、多选题
8．已知，，，，且直线AB与CD平行，则m的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】BC
【分析】对分两种情况讨论，结合直线的斜率公式和平行直线的斜率关系得到关于的方程，解方程即得解.
【详解】
当时，，，，，直线轴，直线轴，所以直线AB与CD平行.
当时，.
故选：BC
【点睛】考查平行直线的斜率关系，考查斜率的计算.
9．(多选)若过点(1,a)，(0,0)的直线l1与过点(a,3)，(-1,1)的直线l2平行，则a的取值可以为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】AC
【分析】由两直线平行有，结合斜率的两点式列方程，即可求参数a的值.
【详解】
若直线l1与l2平行，则，即a(a+1)=2，故a= -2或a =1.
当时，，，符合题设；
当时，，，符合题设；
故选：AC.
10．已知直线，若，则实数（ ）
A．-1 B．0 C．2 D．-3
【答案】BD
【分析】根据及线线垂直公式，即可求的值
【详解】
由知：
解得：或
故选：BD
【点睛】考查了两直线的垂直关系，结合直线的一般公式有求参数值
三、填空题
11．已知直线和互相垂直，则__．
【答案】0或1
【分析】讨论，，结合直线垂直的判定即可求a的值.
【详解】
当时，两直线分别为、，满足垂直这个条件，
当时，两直线的斜率分别为和，由斜率之积为有：，解得．
综上，或．
故答案为：0或1．
12．若三条直线2x－y＋4＝0，x－y＋5＝0和2mx－3y＋12＝0围成直角三角形，则m＝______________.
【答案】.
【分析】
设l1：2x﹣y+4=0，l2：x﹣y+5=0，l3：2mx﹣3y+12=0，由l1不垂直l2，得到要使围成的三角形为直角三角形，则l3⊥l1或l3⊥l2．由此能求出m的值．
【详解】
设l1：2x﹣y+4=0，l2：x﹣y+5=0，l3：2mx﹣3y+12=0，
∵l1不垂直l2，
∴要使围成的三角形为直角三角形，则l3⊥l1或l3⊥l2．
当l3⊥l1时，4m+3=0，解得m=﹣；
当l3⊥l2时，2m+3=0，解得m=﹣．
∴m的值为或．
故答案为或．
【点睛】考查直线垂直和斜率之间的关系的应用．
四、解答题
13．判断下列不同的直线与是否平行.
（1）的斜率为2，经过，两点；
（2）经过，两点，平行于x轴，但不经过P，Q两点；
（3）经过，两点，经过，两点．
【答案】（1）平行；（2）平行；（3）平行.
【分析】
（1）利用两直线的斜率是否相等进行判断即可.
（2）根据直线的斜率即可判断.
（3）求出两直线的斜率即可求解.
【详解】
（1）经过，两点，则，
则，可得两直线平行.
（2）经过，两点，可得平行于x轴，
平行于x轴，但不经过P，Q两点，所以；
（3）经过，两点，，
经过，两点，则，
所以.
14．已知直线l的倾斜角为，点在直线l上，将直线l绕点按逆时针方向旋转后到达直线的位置，此时直线与平行或重合，且是线段的垂直平分线，其中，试求的值．
【答案】．
【分析】
由题意可得直线的倾斜角为，可得直线的斜率，从而得直线的斜率为，再由与AB垂直，列方程可得结果
【详解】
如图，直线的倾斜角为，
直线的斜率．
与平行或重合，
的斜率为．
是线段的垂直平分线，
，
解得．
【点睛】考查直线的倾斜角与斜率的关系，考查两直线的位置关系.
15．已知直线，求满足下列条件的a的取值范围．
（1）与相交；
（2）；
（3）与重合．
【答案】（1）且；（2）；（3）.
【分析】
（1）根据直线相交即可求解.
（2）根据直线相交且即可求解.
（3）由两直线重合且即可求解.
【详解】
（1）因为与相交，所以，所以且．
故当且时，与相交．
（2）因为，
所以
解得．
故当时，．
（3）因为与重合，
所以解得．
故当时，与重合．
【点睛】考查了由两直线的位置关系.
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