苏教版(2019)高中数学选择性必修第一册 1.4 两条直线的交点【同步精讲教案】(解析版)

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名称 苏教版(2019)高中数学选择性必修第一册 1.4 两条直线的交点【同步精讲教案】(解析版)
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资源类型 教案
版本资源 苏教版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-12-27 07:51:35

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文档简介

第1章 直线与方程
第04讲 两条直线的交点
课程标准 重难点
能用解方程组的方法求两直线的交点掌握两直线相交的条件 1.两条直线交点的求解
知识点一 两条直线的交点
1.两直线的交点坐标
几何元素及关系 代数表示
点A A(a,b)
直线l l:Ax+By+C=0
点A在直线l上 Aa+Bb+C=0
直线l1与l2的交点是A 方程组的解是
2.两直线的位置关系
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1与l2的公共点个数 一个 无数个 零个
直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行
【概念解读】两直线相交的条件
(1)将两直线方程联立解方程组,依据解的个数判断两直线是否相交.当方程组只有一解时,两直线相交.
(2)设l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1与l2相交的条件是A1B2-A2B1≠0或≠(A2,B2≠0).
(3)设两条直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1与l2相交 k1≠k2.
考法01 求两直线的交点坐标
【例1】判断下列各组直线的位置关系.如果相交,求出交点的坐标:
(1)l1:5x+4y-2=0,l2:2x+y+2=0;
(2)l1:2x-6y+3=0,l2:y=x+;
(3)l1:2x-6y=0,l2:y=x+.
【跟踪训练】
1.判断下列各对直线的位置关系.若相交,求出交点坐标:
(1)l1:2x+y+3=0,l2:x-2y-1=0;
(2)l1:x+y+2=0,l2:2x+2y+3=0.
【方法总结】
判断两直线的位置关系,关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况.
(1)解方程组的重要思想就是消元,先消去一个变量,代入另外一个方程能解出另一个变量的值.
(2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论.
(3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系.
考法02 直线过定点问题 
求证:不论m为何实数,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都过某一定点.
【跟踪训练】
求经过两直线l1:3x+4y-2=0和l2:2x+y+2=0的交点且过坐标原点的直线l的方程.
【方法总结】
解含有参数的直线恒过定点的问题
(1)方法一:任给直线中的参数赋两个不同的值,得到两条不同的直线,然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点,从而问题得解.
(2)方法二:含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,其中λ是参数,这就说明了它表示的直线必过定点,其定点可由方程组解得.若整理成y-y0=k(x-x0)的形式,则表示的所有直线必过定点(x0,y0).
题组A 基础过关练
1.若直线与直线的交点位于第二象限,则直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
2.已知定点,点在直线上运动,当线段AB最短时,点的坐标是( )
A. B. C. D.
3.已知△ABC的三个顶点是A(-a,0),B(a,0)和C,则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.斜三角形
4.若直线l1:y=kx+1与l2:x-y-1=0的交点在第一象限内,则k的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.(-1,1)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)
5.若直线5x+4y-2m-1=0与直线2x+3y-m=0的交点在第三象限,则实数m的取值范围是________.
6.已知直线ax+2y-1=0与直线2x-5y+c=0垂直相交于点(1,m),则a=________,c=________,m=________.
【答案】5 -12 -2
【解析】由题意得
解得a=5,c=-12,m=-2.故答案为:5,-12,-2
7.在直线5x+4y=8+m和直线3x+2y=6中,当m>4时,两直线交点在第________象限.
8.著名的数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中指出:三角形的外心、垂心和重心在同一条直线上,这条直线称为欧拉线.已知的三个顶点分别为,,,则的欧拉线的一般式方程为______.
题组B 能力提升练
1.已知与是直线为常数)上两个不同的点,则关于和的方程组的解的情况是( )
A.无论如何,总是无解 B.无论如何,总有唯一解
C.存在,使之恰有两解 D.存在,使之有无穷多解
2.已知直线:,点,,若直线与线段相交,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
3.是直线(为常数)上两个不同的点,则关于和的方程组的解的情况是( )
A.无论如何,总是无解
B.无论如何,总有唯一解
C.存在,使是方程组的一组解
D.存在,使之有无穷多解
4.若与的图形有两个交点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.或
5.直线()过定点,则点的坐标为( )
A. B. C. D.
6.若点P在直线上,点Q在直线上,线段的中点为,且,则的取值范围是____________.
7.已知直线与直线垂直,那么与的交点坐标是______________.
8.已知的顶点A(5,1),AB边上的中线CM所在的直线方程为2x-y-5=0,AC边上的高BH所在的直线方程为x-2y-5=0.
求(1)AC所在的直线的方程;
(2)点B的坐标.
题组C 培优拔尖练
1.已知在中,其中,,的平分线所在的直线方程为,则的面积为( )
A. B. C.8 D.
2.已知,两条不同直线与的交点在直线上,则的值为( )
A.2 B.1 C.0 D.-1
3.若直线与直线相交,且交点在第一象限,则直线的倾斜角的取值范围是
A. B. C. D.
4.已知为等腰直角三角形,C为直角顶点,AC中点为,斜边上中线CE所在直线方程为,且点C的纵坐标大于点E的纵坐标,则AB所在直线的方程为_______________________.
5.已知三条直线的方程分别为,,,那么到三条直线的距离相等的点的坐标为___________.
6.设为不同的两点,直线,以下命题中正确的序号为_________.
(1)不论为何值,点都不在直线上
(2)若,则过、的直线与直线平行;
(3)若,则直线经过的中点
(4)若,则点、在直线的同侧且直线与线段的延长线相交.
第1章 直线与方程
第04讲 两条直线的交点解析答案
课程标准 重难点
能用解方程组的方法求两直线的交点掌握两直线相交的条件 1.两条直线交点的求解
知识点一 两条直线的交点
1.两直线的交点坐标
几何元素及关系 代数表示
点A A(a,b)
直线l l:Ax+By+C=0
点A在直线l上 Aa+Bb+C=0
直线l1与l2的交点是A 方程组的解是
2.两直线的位置关系
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1与l2的公共点个数 一个 无数个 零个
直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行
【概念解读】两直线相交的条件
(1)将两直线方程联立解方程组,依据解的个数判断两直线是否相交.当方程组只有一解时,两直线相交.
(2)设l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1与l2相交的条件是A1B2-A2B1≠0或≠(A2,B2≠0).
(3)设两条直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1与l2相交 k1≠k2.
考法01 求两直线的交点坐标
【例1】判断下列各组直线的位置关系.如果相交,求出交点的坐标:
(1)l1:5x+4y-2=0,l2:2x+y+2=0;
(2)l1:2x-6y+3=0,l2:y=x+;
(3)l1:2x-6y=0,l2:y=x+.
【解析】(1)解方程组得
所以l1与l2相交,且交点坐标为.
(2)解方程组
②×6整理得2x-6y+3=0.
因此,①和②可以化成同一个方程,即①和②表示同一条直线,l1与l2重合.
(3)解方程组
②×6-①得3=0,矛盾.
方程组无解,所以两直线无公共点,l1∥l2.
【跟踪训练】
1.判断下列各对直线的位置关系.若相交,求出交点坐标:
(1)l1:2x+y+3=0,l2:x-2y-1=0;
(2)l1:x+y+2=0,l2:2x+2y+3=0.
【解析】(1)解方程组得所以直线l1与l2相交,交点坐标为(-1,-1).
(2)解方程组①×2-②,得1=0,矛盾,方程组无解.所以直线l1与l2无公共点,即l1∥l2.
【方法总结】
判断两直线的位置关系,关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况.
(1)解方程组的重要思想就是消元,先消去一个变量,代入另外一个方程能解出另一个变量的值.
(2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论.
(3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系.
考法02 直线过定点问题 
求证:不论m为何实数,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都过某一定点.
【解析】法一:取m=1时,直线方程为y=-4;取m=时,直线方程为x=9.
两直线的交点为P(9,-4),将点P的坐标代入原方程左边=(m-1)×9+(2m-1)×(-4)=m-5.
故不论m取何实数,点P(9,-4)总在直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5上,
即直线恒过点P(9,-4).
法二:原方程化为(x+2y-1)m+(-x-y+5)=0.
若对任意m都成立,
则有得
所以不论m为何实数,所给直线都过定点P(9,-4).
【跟踪训练】
求经过两直线l1:3x+4y-2=0和l2:2x+y+2=0的交点且过坐标原点的直线l的方程.
【解析】法一:由方程组
解得即l1与l2的交点坐标为(-2,2).
∵直线过坐标原点,所以其斜率k==-1,
直线方程为y=-x,一般式为x+y=0.
法二:∵l2不过原点,∴可设l的方程为3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0(λ∈R),
即(3+2λ)x+(4+λ)y+2λ-2=0.
将原点坐标(0,0)代入上式,解得λ=1,
∴l的方程为5x+5y=0,即x+y=0.
【方法总结】
解含有参数的直线恒过定点的问题
(1)方法一:任给直线中的参数赋两个不同的值,得到两条不同的直线,然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点,从而问题得解.
(2)方法二:含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,其中λ是参数,这就说明了它表示的直线必过定点,其定点可由方程组解得.若整理成y-y0=k(x-x0)的形式,则表示的所有直线必过定点(x0,y0).
题组A 基础过关练
1.若直线与直线的交点位于第二象限,则直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】联立方程组,解得,
因为两直线的交点位于第二象限,可得且,解得,
设直线的倾斜角为,其中,即,解得,
即直线的倾斜角的取值范围是.故选:D.
2.已知定点,点在直线上运动,当线段AB最短时,点的坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】当直线和直线互相垂直时,
线段的距离最短.
即直线 的方程的斜率为,
所以直线的直线方程为.
所以,解得,即.故选D.
3.已知△ABC的三个顶点是A(-a,0),B(a,0)和C,则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.斜三角形
【答案】C
【解析】因为kAC==,kBC==-,kAC·kBC=-1,所以AC⊥BC.
又AC==a,|BC|==a,
所以△ABC为直角三角形.故选:C
4.若直线l1:y=kx+1与l2:x-y-1=0的交点在第一象限内,则k的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.(-1,1)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)
【答案】B
【解析】联立直线方程,解得,
∵直线的交点在第一象限,,∴解不等式组可得.
故选:B.
5.若直线5x+4y-2m-1=0与直线2x+3y-m=0的交点在第三象限,则实数m的取值范围是________.
【答案】
【解析】由得
所以两直线的交点坐标为.
又此交点在第三象限,
所以
解得m<,
所以实数m的取值范围是.
故答案为:
6.已知直线ax+2y-1=0与直线2x-5y+c=0垂直相交于点(1,m),则a=________,c=________,m=________.
【答案】5 -12 -2
【解析】由题意得
解得a=5,c=-12,m=-2.故答案为:5,-12,-2
7.在直线5x+4y=8+m和直线3x+2y=6中,当m>4时,两直线交点在第________象限.
【答案】二
【解析】由题意得,
解得 ,
因为m>4,
所以,
所以两直线交点在第二象限.
故答案为:二
8.著名的数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中指出:三角形的外心、垂心和重心在同一条直线上,这条直线称为欧拉线.已知的三个顶点分别为,,,则的欧拉线的一般式方程为______.
【答案】
【解析】由题意得:中点,中点,
边中垂线方程为:;边中垂线方程为:,外心为;
又方程为:,即;
方程为,即;
由得:,重心为;
欧拉线的方程为:,即.
故答案为:.
题组B 能力提升练
1.已知与是直线为常数)上两个不同的点,则关于和的方程组的解的情况是( )
A.无论如何,总是无解 B.无论如何,总有唯一解
C.存在,使之恰有两解 D.存在,使之有无穷多解
【答案】B
【解析】与是直线为常数)上两个不同的点,
的斜率存在,
即,并且,
①②得:,
即.
方程组有唯—解.
故选︰B.
2.已知直线:,点,,若直线与线段相交,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】直线方程变形得:.
由得,∴直线恒过点,
,,
由图可知直线的斜率的取值范围为:或,
又,
∴或,即或,
又时直线的方程为,仍与线段相交,
∴的取值范围为.
故选:C.
3.是直线(为常数)上两个不同的点,则关于和的方程组的解的情况是( )
A.无论如何,总是无解
B.无论如何,总有唯一解
C.存在,使是方程组的一组解
D.存在,使之有无穷多解
【答案】B
【解析】由题意,则,
∵直线的斜率存在,∴,,∴方程组总有唯一解.A,D错误,B正确;
若是方程组的一组解,则,则点在直线,即上,但已知这两个在直线上,这两条直线不是同一条直线,∴不可能是方程组的一组解,C错误.
故选:B.
4.若与的图形有两个交点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.或
【答案】A
【解析】表示关于轴对称的两条射线,
表示斜率为1,在轴上的截距为的直线,
根据题意,画出大致图形,如下图,
若与的图形有两个交点,且,则根据图形可知.
故选:A.
5.直线()过定点,则点的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据直线得,
故直线过定点为直线和的交点,
联立方程得,解得 ,
所以定点的坐标为.故选:B.
6.若点P在直线上,点Q在直线上,线段的中点为,且,则的取值范围是____________.
【答案】
【解析】设,则,
两式相加可得,
由于的中点为,所以,
且满足不等式,
故的轨迹是一条线段,
表示点与原点连线的斜率,
由图可知,或,
由,解得,
由,解得,
所以,,
所以或.
所以的取值范围是
故答案为:.
7.已知直线与直线垂直,那么与的交点坐标是______________.
【答案】
【解析】根据两条直线垂直的充要条件得:,解得,
所以,与直线联立方程解方程得:,.
所以与的交点坐标是.
故答案为:
8.已知的顶点A(5,1),AB边上的中线CM所在的直线方程为2x-y-5=0,AC边上的高BH所在的直线方程为x-2y-5=0.
求(1)AC所在的直线的方程;
(2)点B的坐标.
【解析】因为AC⊥BH,
所以设AC所在的直线的方程为2x+y+t=0.
把A(5,1)代入直线方程2x+y+t=0中,解得t=-11.
所以AC所在的直线的方程为2x+y-11=0.
(2)设B(x0,y0),则AB的中点为.
联立得方程组,
化简得解得,
故B(-1,-3).
题组C 培优拔尖练
1.已知在中,其中,,的平分线所在的直线方程为,则的面积为( )
A. B. C.8 D.
【答案】C
【解析】直线的方程为,即.
由解得.
设,直线的方程分别为 ,即
,.根据角平分线的性质可知,到直线的距离相等,所以

,由于,所以上式可化为,两边平方并化简得
,解得(),所以.
所以到直线的距离为,而,所以.
故选:C
2.已知,两条不同直线与的交点在直线上,则的值为( )
A.2 B.1 C.0 D.-1
【答案】C
【解析】
交点在直线上
观察分母
和不是恒相等

故答案选C
3.若直线与直线相交,且交点在第一象限,则直线的倾斜角的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】联立方程 得交点 ,由交点在第一象限知: 解得 ,即是锐角,故 ,选C.
4.已知为等腰直角三角形,C为直角顶点,AC中点为,斜边上中线CE所在直线方程为,且点C的纵坐标大于点E的纵坐标,则AB所在直线的方程为_______________________.
【答案】
【解析】因为中线CE所在直线方程为,
所以可设,
由AC中点为,可得,
所以,
为等腰直角三角形,CE为中线,
,,
①,
又是的中点,,
,,
化简得: ②,
由①②解得,
所以点,又因为,
所以直线方程为,
即所求方程为.
故答案为:
5.已知三条直线的方程分别为,,,那么到三条直线的距离相等的点的坐标为___________.
【答案】、、、
【解析】如图所示,
由题得,
的平分线:和的平分线:的交点到三条直线的距离相等,联立两直线的方程解方程组得交点为;
的外角平分线:和的外角平分线:的交点到三条直线的距离相等,联立两直线的方程解方程组得交点为;
的外角平分线:和的外角平分线:的交点到三条直线的距离相等,联立两直线的方程解方程组得交点为;
的外角平分线:和的外角平分线:的交点到三条直线的距离相等,联立两直线的方程解方程组得交点为.
故答案为:、、、
.
6.设为不同的两点,直线,以下命题中正确的序号为_________.
(1)不论为何值,点都不在直线上
(2)若,则过、的直线与直线平行;
(3)若,则直线经过的中点
(4)若,则点、在直线的同侧且直线与线段的延长线相交;
【答案】(1)(2)(3)(4)
【解析】(1)知:,故点都不在直线上;
(2)知:,即与直线l的斜率相等,由(1)结论可知过、的直线与直线平行;若时,即与直线都平行于y轴,故平行;
(3)知:,令中点为,故有,则直线经过的中点;
(4)知:即的符号相同,即、在直线的同侧,而,即、与直线的距离不同,故直线与线段的延长线相交;
故答案为:(1)(2)(3)(4)
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