苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册 1.4 两条直线的交点、平面上的距离 【同步教案】(解析版)

1.两条直线的交点
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个
直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行
2.点到直线的距离
定义 点到直线的垂线段的长度
图示
公式 l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝
3.两条平面直线间的距离
两条平行直线间的距离
夹在两条平行直线间公垂线段的长
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝
4.点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．
(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.
(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．
例题1
直线：(是不等于的整数)与直线的交点恰好是整点(横坐标和纵坐标都是整数)，那么满足条件的直线有（ ）
A．条 B．条 C．条 D．条
例题2
过两直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是(　　)
A．x－3y＋7＝0 B．x－3y＋13＝0
C．x－3y＋6＝0 D．x－3y＋5＝0
训练1
已知直线kx﹣y+2k+1＝0与直线2x+y﹣2＝0的交点在第一象限，则实数k的取值范围（　　）
A． B．或k＞﹣1
C．或k D．
训练2
过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是
A． B．
C． D．
求点到直线的距离
例题1
已知点，直线，则点A到直线l的距离为（ ）
A．1 B．2 C． D．
例题2
点在直线上，为原点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
训练1
若直线和轴，轴分别交于点，以线段为边在第一象限内做等边，如果在第一象限内有一点使得和的面积相等，则的值为
A． B． C． D．
训练2
已知M(3，2)，N(－1，2)，F(1，0)，则点M到直线NF的距离为（ ）
A． B．2 C．2 D．3
直线关于直线对称问题
例题1
已知直线：与直线关于直线：对称，直线与直线：垂直，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
例题2
已知直线，直线，则关于对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
训练1
直线关于直线对称的直线方程是
A． B．
C． D．
训练2
设入射线光线沿直线射向直线，则被反射后，反射光线所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
一、单选题
1．若与的图形有两个交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
2．设，若直线与线段相交，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
3．点(2，1)到直线l：x－2y＋2＝0的距离为（ ）
A． B．
C． D．0
4．已知直线l：，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l的倾斜角是
B．若直线m：，则
C．点到直线l的距离是1
D．过与直线l平行的直线方程是
5．两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距离为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
6．两条平行线与之间的距离为（ ）
A． B．1 C．2 D．
7．在直角坐标平面内，与点距离为2，且与点距离为3的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
二、多选题
8．已知平面上一点，若直线上存在点，使，则称该直线为“点相关直线”，下列直线中是“点相关直线”的是（ ）
A． B． C． D．
9．当0＜k＜时，直线l1：kx－y－k＋1＝0与直线l2：ky－x－2k＝0的交点可能是（ ）
A．(2，3) B．(1，2)
C． D．
10．若点A(a，1)到直线3x－4y＝1的距离为1，则a的值为（ ）
A．0 B．
C．5 D．－
三、填空题
11．已知满足，求的最小值__________________.
12．两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为___________.
四、解答题
13．已知两直线：和：.
（1）若与交于点，求，的值；
（2）若，试确定，需要满足的条件；
、
（3）若，试确定，需要满足的条件.
14．在中，已知，，.
（1）求边所在的直线方程；
（2）求的面积.
15．已知三条直线：，直线：和：，且与之间的距离是．
（1）求的值；
（2）求经过直线与的交点，且与点的距离为3的直线的方程．
1.两条直线的交点
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个
直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行
2.点到直线的距离
定义 点到直线的垂线段的长度
图示
公式 l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝
3.两条平面直线间的距离
两条平行直线间的距离
夹在两条平行直线间公垂线段的长
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝
4.点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．
(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.
(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．
例题1
直线：(是不等于的整数)与直线的交点恰好是整点(横坐标和纵坐标都是整数)，那么满足条件的直线有（ ）
A．条 B．条 C．条 D．条
【答案】C
【分析】联立两条直线方程，求出交点坐标，列举出值，可得满足条件的直线的条数．
【详解】
联立，∴，即，，
∴或或或，∵，∴值有个，直线有七条，
故选：C.
例题2
过两直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是(　　)
A．x－3y＋7＝0 B．x－3y＋13＝0
C．x－3y＋6＝0 D．x－3y＋5＝0
【答案】B
【分析】联立已知两条直线求出交点坐标，然后求出第一条直线的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为求出所求直线的斜率，再由点斜式可得直线的方程，化为一般式即可.
【详解】
由可得直线与的交点为，
与直线垂直的直线斜率为，
由点斜式，得直线方程为，
即，故选B.
【点睛】
在斜率存在的前提下，（1） ；（2），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.
训练1
已知直线kx﹣y+2k+1＝0与直线2x+y﹣2＝0的交点在第一象限，则实数k的取值范围（　　）
A． B．或k＞﹣1
C．或k D．
【答案】D
【分析】
联立，解得：x，y（k≠﹣2）．根据直线kx﹣y+2k+1＝0与直线2x+y﹣2＝0的交点在第一象限，即可得出0，0．解出即可得出．
【详解】
联立，解得：x，y（k≠﹣2）．
∵直线kx﹣y+2k+1＝0与直线2x+y﹣2＝0的交点在第一象限，
∴0，0．
解得：．
则实数k的取值范围是．
故选D．
【点睛】考查了直线的交点、方程与不等式的解法．
训练2
过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
两直线方程联立求得交点坐标；根据垂直关系求得斜率，可写出直线点斜式方程，整理可得结果.
【详解】
由得两条直线交点坐标为：
又所求直线与垂直 直线斜率为：
所求直线为：，即：
本题正确选项：
【点睛】考查直线方程的求解问题.
求点到直线的距离
例题1
已知点，直线，则点A到直线l的距离为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】利用点到直线的距离公式计算即可.
【详解】
解：点，直线，则点A到直线l的距离,
故选：C.
【点睛】点到直线的距离.
例题2
点在直线上，为原点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求的最小值转化为原点到直线的距离即可．
【详解】
的最小值为原点到直线的距离．
则的最小值为
故选：．
【点睛】考查了点到直线的距离公式，属于基础题．
训练1
若直线和轴，轴分别交于点，以线段为边在第一象限内做等边，如果在第一象限内有一点使得和的面积相等，则的值为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等边三角形的边长，求得C到AB的距离；因为两个三角形面积相等，根据等积法可知P到AB的距离等于C到AB的距离，进而可求出m的值．
【详解】
过C作直线，使 ，则点P在直线上
AB=2，所以点C到AB的距离为
AB直线方程可化为
由等积法可知P到AB的距离等于C到AB的距离，即
解得 或，因为P在第一象限，所以
所以选C
【点睛】考查了三角形等面积法的应用，点到直线距离公式的用法．
训练2
已知M(3，2)，N(－1，2)，F(1，0)，则点M到直线NF的距离为（ ）
A． B．2 C．2 D．3
【答案】B
【分析】首先利用题中所给的点N(－1，2)，F(1，0)，求出直线NF的方程，之后利用点到直线的距离公式求得结果.
【详解】
易知NF的斜率k＝－，故NF的方程为y＝－ (x－1)，
即x＋y－＝0.
所以M到NF的距离为＝2.
故选：B.
【点睛】思路点睛：该题考查的是有关点到直线的距离的问题，解题思路如下：
（1）根据题意首先求出直线的方程，可以先求斜率，利用点斜式求，也可以直接利用两点式求；
（2）之后利用点到直线的距离公式直接求结果.
直线关于直线对称问题
例题1
已知直线：与直线关于直线：对称，直线与直线：垂直，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】利用直线与直线：垂直，求得的斜率，然后求得与的交点坐标，在直线上取点，求出该点关于的对称点，利用斜率公式求得的值.
【详解】
解：直线与直线：垂直，则，即，
∵直线：与直线关于直线：对称，
∵由得得交点坐标，
在直线上取点，设该点关于对称的点为，则，得，故，解得，
故选：B.
例题2
已知直线，直线，则关于对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求两直线交点，再在上找一点（不同于交点）做关于的对称点，然后利用对称点与交点求出直线方程即为答案.
【详解】
由题知直线与直线交于点，且点在上，
设点关于对称的点的坐标为，则解得
则直线的方程为，即关于对称的直线方程为．
故选：
【点睛】考查对称知识，求直线关于直线对称.
训练1
直线关于直线对称的直线方程是
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用当对称轴斜率为时,由对称轴方程分别解出x,y,代入已知直线的方程,即得此直线关于对称轴对称的直线方程
【详解】
因为直线的斜率为1,
故有,将其代入直线,
即得：,
整理即得,
故选：A
【点睛】考查直线关于直线的对称直线的方程的求法,当对称轴斜率为时,由对称轴方程分别解出x,y,代入已知直线的方程,即得此直线关于对称轴对称的直线方程
训练2
设入射线光线沿直线射向直线，则被反射后，反射光线所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据入射关线和反射光线所在直线关于直线对称，可以在入射光线上任找两个点，求两点关于直线的对称点，根据两点求直线方程.
【详解】
入射光线关于的对称点都在反射光线上，
所以在入射光线上任取点，，这两个点关于直线的对称点是，，则都在反射光线上，,
直线方程是 ，
整理为.
故选A
【点睛】考查根据入射光线求反射光线，意在考查点关于直线的对称点的求法.
一、单选题
1．若与的图形有两个交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】根据题意，可知表示关于轴对称的两条射线，表示斜率为1，在轴上的截距为的直线，画出图形，分析判断即可求出的取值范围.
【详解】
解：表示关于轴对称的两条射线，
表示斜率为1，在轴上的截距为的直线，
根据题意，画出大致图形，如下图，
若与的图形有两个交点，且，则根据图形可知．
故选：A．
【点睛】考查由两直线的交点个数从而求参数范围，考查直线的斜率和截距，以及直线的方程和图象.
2．设，若直线与线段相交，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据直线经过定点，又由直线与线段相交，可得或，即可求解．
【详解】
由题意，直线，即，所以直线经过定点，
又由斜率公式，可得，．
∵直线与线段相交，
∴或，则的取值范围是．
故选．
【点睛】考查了斜率计算公式及其应用．
3．点(2，1)到直线l：x－2y＋2＝0的距离为（ ）
A． B．
C． D．0
【答案】B
【分析】直接运用点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】
点(2，1)到直线l：x－2y＋2＝0的距离为，
故选：B
4．已知直线l：，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l的倾斜角是
B．若直线m：，则
C．点到直线l的距离是1
D．过与直线l平行的直线方程是
【答案】D
【分析】根据直线的倾斜角、斜率、点到直线的距离公式、两直线平行的条件逐一判断各个选项即可．
【详解】
∵：，即，
∴直线的斜率，
∴，则A错；
又，则B错；
点到直线的距离是，则C错；
过与直线平行的直线方程是，即，则D对；
故选：D．
【点睛】考查直线的方程．
5．两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距离为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】C
【分析】直接利用平行线间的距离公式求解即可.
【详解】
两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距离为：
，
故选：C.
6．两条平行线与之间的距离为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【分析】根据两平行线间的距离公式，即可求解.
【详解】
由题意，两条平行线：与：
根据两平行线间的距离公式，可得.
故选：A.
7．在直角坐标平面内，与点距离为2，且与点距离为3的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【分析】根据直线是否存在斜率，分类讨论，利用点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】
当直线不存在斜率时，设为，由题意可知：且，
没有实数使得两个式子同时成立；
当直线存在斜率时，设直线方程为：，
点到该直线的距离为2，所以有，
点到该直线的距离为3，所以有，
由得：或，
当时，代入中，得，
该方程的判别式，该方程有两个不相等的实数根，
当时，代入中，得，
该方程的判别式，该方程有两个相等的实数根，
所以这样的直线共有三条，
故选：C.
二、多选题
8．已知平面上一点，若直线上存在点，使，则称该直线为“点相关直线”，下列直线中是“点相关直线”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据题意，点到直线的距离不大于，计算出点到各选项中直线的距离，由此可得出合适的选项.
【详解】
根据题中定义，若直线为“点相关直线”，则点到该直线的距离不大于.
对于A选项，点到直线的距离为，A选项不满足条件；
对于B选项，点到直线的距离为，B选项满足条件；
对于C选项，点到直线的距离为，C选项满足条件；
对于D选项，点到直线的距离为，D选项不满足条件.
故选：BC.
9．当0＜k＜时，直线l1：kx－y－k＋1＝0与直线l2：ky－x－2k＝0的交点可能是（ ）
A．(2，3) B．(1，2)
C． D．
【答案】CD
【分析】首先求交点坐标，根据选项，代入验证.
【详解】
联立，得，
，，，即交点在第二象限，
验证C选项，，得，成立，
验证D选项，，得，成立，
故选：CD
10．若点A(a，1)到直线3x－4y＝1的距离为1，则a的值为（ ）
A．0 B．
C．5 D．－
【答案】AB
【分析】利用点到直线距离公式求解即可.
【详解】
点A(a，1)到直线3x－4y＝1的距离为
故，解得或
故选：AB
三、填空题
11．已知满足，求的最小值__.
【答案】.
【分析】
把的最小值转化为点到直线距离的平方，结合点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】
由于表示点与直线上的点的距离的平方，
转化的最小值为点到直线距离的平方，
由点到直线的距离公式，可得，
所以的最小值为.
故答案为：.
12．两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________.
【答案】
【分析】通过直线平行求出，然后利用平行线之间的距离求出结果即可．
【详解】
直线与直线平行，
所以，
直线与直线的距离为
．
故答案为：．
四、解答题
13．已知两直线：和：.
（1）若与交于点，求，的值；
（2）若，试确定，需要满足的条件；
（3）若，试确定，需要满足的条件.
【答案】（1），；（2），或，；（3），.
【分析】
（1）将点代入两直线方程，列方程组求,的值；
（2）由得，即得,需要满足的条件；
（3）讨论和两种情况，即得,需要满足的条件.
【详解】
（1）将点代入两直线方程得：和，
解得，.
（2）由得：，∴或，
所以当，或，时，.
（3）当时，直线：和：，此时，
当时此时两直线的斜率之积等于，显然与不垂直，
所以当，时，直线与垂直.
【点睛】考查两条直线的位置关系.
14．在中，已知，，.
（1）求边所在的直线方程；
（2）求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由直线方程的两点式可得；
（2）先求直线方程，再求到的距离，最后用面积公式计算即可.
【详解】
（1），，
边所在的直线方程为，即；
（2）设到的距离为，
则，
，
方程为：即：
.
.
15．已知三条直线：，直线：和：，且与之间的距离是．
（1）求的值；
（2）求经过直线与的交点，且与点的距离为3的直线的方程．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】
（1）由与的距离是，代入两条平行直线间的距离公式，可得一个关于的方程，解方程即可求的值；
（2）求出交点坐标，设出直线方程，利用点到直线的距离公式求解即可．
【详解】
解：（1）即，
与的距离．
．
，．
（2）直线与的交点，由：，解得所以交点坐标．
当直线的斜率存在时，设所求的直线方程为：，即：．
点到直线的距离为3，
可得：，
解得，
所求直线方程．
当直线的斜率不存在时，，满足题意．
所求直线方程为：或．
【点睛】考查直线方程的求法，直线的交点坐标，平行线之间的距离的求法．
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