2022-2023学年安徽省合肥市庐阳区部分学校九年级（上）调研数学试卷（三）（含解析）

2022-2023学年安徽省合肥市庐阳区部分学校九年级（上）调研数学试卷（三）
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
若为锐角，且，则等于( )
A. B. C. D.
对于二次函数的图象，下列说法正确的是( )
A. 开口向下 B. 顶点坐标是
C. 对称轴是直线 D. 与轴有两个交点
在中，，，，下列四个选项，正确的是( )
A. B. C. D.
如图，一块等腰直角三角板，它的斜边，内部的各边与的各边分别平行，且它的斜边，则的面积与阴影部分的面积比为( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
如图，，且：：，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为( )
A. B. C. D. 或
已知，则锐角的取值范围是( )
A. B. C. D.
如图，等腰三角形的顶点在原点固定，且始终有，当顶点在函数的图象上从上到下运动时，顶点在轴的正半轴上移动，则的面积大小变化情况是( )
A. 先减小后增大 B. 先增大后减小 C. 一直不变 D. 先增大后不变
将进货单价为元的某种商品按零售价元件卖出时，每天能卖出件．若这种商品的零售价在一定范围内每降价元，其日销售量就增加件，为了获得最大的利润，则应降价( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
如图，在中，，，点是上一点，连结若，，则的长为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
若，则的值为______．
若三角形三个内角的比为：：，则它的最长边与最短边的比为______．
如图，的顶点都在正方形网格纸的格点上，则______．
我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作周髀算经作注解时，用个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形的面积是，小正方形的面积是则：
______；
______．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
计算：．
本小题分
如图，是中边上的高，且，，求的长．
本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
画出关于轴对称的，点的坐标为______；
以原点为位似中心，在轴上方画出放大倍后的，点的坐标为______．
本小题分
如图，上午时，一条船从处出发，以每小时海里的速度向正东方向航行，时分到达处，从，两处分别测得小岛在北偏东和北偏东．
求的度数；
求处船与小岛的距离．结果保留根号
本小题分
如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，，抛物线过点求抛物线的解析式．
本小题分
如图，已知和射线上一点点与点不重合，且点到、的距离为、．
若，，，试比较、的大小；
若，，，都是锐角，且试判断、的大小，并给出证明．
本小题分
在年北京冬奥会上，为了得出一名滑雪运动员从山坡滑下时滑行距离单位：与滑行时间单位：之间的函数关系式，测得一组相关数据如表．
滑行时间
滑行距离
以为横坐标，为纵坐标建立平面直角坐标系如图所示请描出表中数据对应的个点，并用平滑的曲线连接它们；
观察图象，请你选用恰当的函数模型近似地表示与之间的函数关系，并求出这个函数关系式；
如果该滑雪运动员滑行了，请你用中的函数模型推算他滑行的时间．参考数据：
本小题分
如图，在平面直角坐标系中，次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴相交于点，连接，且的面积为．
求反比例函数的表达式；
将直线向下平移，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，试说明直线向下平移了几个单位长度？
本小题分
在四边形中，，为对角线，．
如图，求证：平分；
如图，求，，求的长；
如图，若，为的中点，连接、，与交于点，，，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：为锐角，且，
，
，
故选：．
根据，得出，即可得出的值．
本题主要考查三角函数的知识，熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：二次函数，
该函数图象开口向上，故选项A不符合题意；
顶点的坐标为，故选项B正确，符合题意；
对称轴是直线，故选项C错误，不符合题意；
，
该函数与轴无交点，故选项D错误，不符合题意；
故选：．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的条件是否成立，从而可以解答本题．
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
3.【答案】
【解析】解：如图，，，，
，
，所以选项不符合题意；
，所以选项不符合题意；
，所以选项符合题意；
，所以选项不符合题意．
故选：．
先利用勾股定理计算出，然后根据三角函数的定义对各选项进行判断．
本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
4.【答案】
【解析】解：把向两边延长，交于点，交于点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
即的面积与阴影部分的面积比为：：，
故选：．
本题考查了等腰直角三角形，平行线的性质，根据题目已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
根据已知把向两边延长，交于点，交于点，先证明，然后求出它们的面积比即可解答．
5.【答案】
【解析】解：，
，
即，
解得：，
故选：．
由平行线分线段成比例定理得，即可得出结论．
本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：不等式的解集为图象上二次函数在一次函数上面的部分，
对应的的取值范围为，
故选：．
根据二次函数与一次函数的图象即可得出答案．
本题主要考查二次函数与不等式之间的关系，关键是要能把不等式和图象之间的关系联系起来．
7.【答案】
【解析】解：，，
，
．
故选：．
首先把所有的三角函数都化成余弦函数，然后利用余弦函数的增减性即可求解．
本题主要考查了余弦函数的增减性及互余三角函数之间的关系，尤其余弦函数的增减性容易出错．
8.【答案】
【解析】解：等腰三角形的顶点在原点，顶点在轴的正半轴上，顶点在函数的图象上运动，且，设点的坐标为，
，
即的面积不变．
故选：．
根据三角形的面积是点的横坐标与纵坐标的乘积除以，和点在函数的图象上，可以解答本题．
本题考查反比例函数系数的几何意义，解题的关键是将反比例的系数与三角形的面积联系在一起．
9.【答案】
【解析】解：设应降价元，
则，
，
当元时，二次函数有最大值．
为了获得最大利润，则应降价元．
故选：．
设应降价元，所求利润的关系式为，根据二次函数的最值问题求得最大利润时的值即可．
此题考查二次函数在销售利润方面的应用，利润，公式：利润销售价成本价；还考查求二次函数的极值方法，求极值一般有三种方法：第一种根据图象顶点坐标直接得出；第二种是配成顶点式；第三种是利用顶点坐标公式进行计算．解题关键是熟练掌握以上方法．
10.【答案】
【解析】解：过点作于，
，，
，，
，
在中，，，
，
解得，
，
，
，
，
，
故选：．
过点作于，由锐角三角函数的定义可得，再解直角三角形可求得的长，利用勾股定理可求解的长，进而求解的长．
本题主要考查解直角三角形，勾股定理，构造适当的直角三角形是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：
．
故答案为．
；因为，直接代入计算．
解答本题不仅要会通分，还要将当做一个整体看待．
12.【答案】：
【解析】解：根据题意，设三个内角分别是，，，
则，
解得，
这个三角形的三个内角分别是，，，
它的最长边与最短边之比为：：角所对的直角边等于斜边的一半．
故答案为：：．
先根据三个内角的度数之比为：：利用设法求出三个内角的度数，是含的直角三角形性质即可解答．
本题考查了含角的直角三角形的边的关系，掌握三角形三个内角的度数是关键．
13.【答案】
【解析】解：如图：连接，
由题意得：
，
，
，
，
是直角三角形，
，
在中，，，
，
故答案为：．
连接，利用勾股定理的逆定理先证明是直角三角形，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：大正方形的面积是，
，
小正方形的面积是，
小正方形的边长为，
，
设，则，
由勾股定理得，，
解得或负值舍去，
，，
，
故答案为：；
根据两个正方形的面积可得，，设，则，由勾股定理得，，解方程可得的值，从而解决问题．
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角函数等知识，利用勾股定理列方程求出的长是解题的关键．
15.【答案】解：原式
．
【解析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而化简得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
16.【答案】解：是中边上的高，
，
．
在中，
，
．
在中，
，
．
，
即的长为．
【解析】先在中，运用正切函数的定义得出，然后在中，运用正切函数的定义得出，则根据即可求解．
本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．
17.【答案】
【解析】解：如图，，即为所求作，
由图象可得，
故答案为：；
如图，，即为所求作，
由图象可得，
故答案为：．
分别作出，，关于轴的对应点，，即可；
分别作出，，以原点为位似中心，放大倍后的对应点，，即可．
本题考查作图位似变换，轴对称变换等知识，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．
18.【答案】解：过点作与点．
由题意得，，，
；
由题意得，海里，
在中，海里，
在中，，
海里，
答：处船与小岛的距离为海里．
【解析】过点作与点，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
根据已知可求得的长，再根据三角函数即可求得的长．
本题考查解直角三角形的应用方向角问题，解题的关键是把一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
19.【答案】解：如图所示，过点作轴于点，则．
，，
，．
在与中，
，
≌．
，，
，
．
点在抛物线上，
，解得：．
抛物线的解析式为：．
【解析】首先构造全等三角形≌，求出点的坐标；然后利用点的坐标求出抛物线的解析式．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．
20.【答案】解：在中，
在中，
又
；
根据得
，
又
．
【解析】利用三角函数的定义，根据两个角的正弦的大小进行比较即可得到结果；
运用两个角的正弦函数，根据正弦值的变化规律进行比较．
此题主要考查了锐角的正弦值的变化规律：在锐角的范围内，正弦值随着角的增大而增大．
21.【答案】解：描点，连线，如图所示：
观察函数图象，与的关系可近似看成二次函数，
设关于的函数关系式为，
将，代入，
得，
解得，
近似地表示关于的函数关系式为；
把代入
得：，
解得：，舍去，
滑雪者滑行的时间是秒．
【解析】描点，连线，画出函数图象，
由图象可得出与的关系可近似看成二次函数，再根据点的坐标利用待定系数法求出二次函数关系式即可；
把代入中解析式，解方程即可得出结论．
本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，根据点的坐标利用待定系数法求出二次函数关系式是解题的关键．
22.【答案】解：一次函数中，令，解得，
，
，
作于，
的面积为，
，即，
，
点的纵坐标为，
代入中，求得，
，
反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为；
将直线向下平移个单位长度得直线解析式为，
直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象只有一个公共交点，
，
整理得，
，解得或，
即的值为或．
【解析】由一次函数解析式求得的坐标，根据三角形面积求得的纵坐标，代入一次函数解析式求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
由于将直线向下平移个单位长度得直线解析式为，则直线与反比例函数有且只有一个公共点，即方程只有一组解，再根据判别式的意义得到关于的方程，最后解方程求出的值．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了一次函数与几何变换．
23.【答案】证明：，
又，
∽，
，
平分；
解：∽，
，
，，
，解得
故答案为：；
解：，点为的中点，，
，，
，
，
∽，
，
，解得，
由知，
，
，
，
，
∽，
．
【解析】根据，，可得∽，从而证明结论；
根据∽，得，代入计算即可；
由直角三角形斜边上中线的性质得，再运用勾股定理得，由∽，求得，再证明∽，从而解决问题．
本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质等知识，运用前面探索的结论解决新问题是解题的根据．
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