4.3.3 余角和补角 课件(共35张PPT)

(共35张PPT)
人教版七上第四章几何图形初步
4.3.3余角和补角
人教版七年级上册
教学目标
1.一个角的余角与补角，掌握余角和补角的性质．
2.进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力.
教学重点：
认识角的互余、互补关系及其性质，确定方位角.
教学难点：
利用余角、补角的概念及性质解决相关问题.
3. 在解决实际问题中，学会用数学的眼光观察现实问题，用数学的思维思考现实问题，用数学语言表达现实问题.
新知导入
观察图中比萨斜塔∠1和∠2有什么数量关系？
2
1
新知讲解
请同学们拿出三角板，让我们一起来认识三角板各个角的度数.
45°
∟
∟
90°
90°
45°
30°
60°
三角板中两个锐角有什么数量关系呢
45°+45°=90°
30°+60°=90°
两个锐角都等于90°(直角).
新知讲解
2
1
如图，如果两个角的和等于90°( 直角 )，就说这两个角互为余角 ( 简称为两个角互余 ).即其中每一个角是另一个角的余角．
∟
思考：怎样理解“互为余角 ” ？
互为余角是指有 个角相加且它们的和等于 度；∠1是 的余角，同时∠2是 的余角.与它们的位置 .
2
∠1
∠2
90
无关
新知讲解
2
1
如图，如果两个角的和等于90°( 直角 )，就说这两个角互为余角 ( 简称为两个角互余 ).即其中每一个角是另一个角的余角．
∟
几何语言表示为：
∵∠1＋∠2＝90°
∴∠1和∠2互为余角
反之 ∵∠1与∠2互为余角
∴∠1+∠2=90°
或 ∴∠1= 90°- ∠2 ， ∠2= 90°- ∠1
练一练
1.图中给出的各角，哪些互为余角？
30o
70o
20o
60o
57o
33o
练一练
2.如图∠1=40°，求：①∠1的余角是多少度；
②在∠1上画出它的余角.
1
解：①∠1的余角是：90°-∠1=50°
∟
2
②∠1的余角如图所示：
3
∟
猜想：∠2和∠3有什么数量关系？
新知导入
观察图中比萨斜塔∠1和∠2有什么数量关系？
2
1
∠1+∠2=90°
∠1与∠2互为余角
新知讲解
已知∠1与∠2互为余角， ∠1与∠3互为余角，那么∠2和∠3的有什么数量关系？
解： ∵ ∠1与∠2互余
余角的性质：同角的余角相等.
∴ ∠1+ ∠2 = 90°
∴ ∠2 = 90° -∠1
∵ ∠1与∠3互余
∴ ∠1+ ∠3 = 90°
∴ ∠3 = 90° -∠1
∴ ∠2= ∠3
练一练
∠1与∠2互余,∠3与∠4互余,如果∠1=∠3,求证：∠2=∠4.
解： ∵ ∠1与∠2互余
∴ ∠1+ ∠2 = 90°
∴ ∠2 = 90° -∠1
∵ ∠3与∠4互余
∴ ∠3+ ∠4 = 90°
∴ ∠4 = 90° -∠3
∵ ∠1= ∠3
余角的性质：等角的余角相等.
∴ ∠2= ∠4
归纳
余角的性质：
同(等)角的余角相等.
同角的余角相等
几何语言：
∵ ∠1+ ∠2 = 90°, ∠1+ ∠3 = 90°
∴ ∠2= ∠3
等角的余角相等
几何语言：
∵ ∠1+ ∠2 = 90°, ∠3+ ∠4 = 90°,且∠1= ∠3
∴ ∠2= ∠4
新知讲解
例3 如图，点A，O， B在同一条直线 上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC， 图中哪些角互为余角？
O
A
B
C
D
E
同理，∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角.
所以，∠COD和∠COE互为余角
= (∠AOC+∠BOC)= 90°.
所以∠COD+∠COE= ∠AOC+ ∠BOC
又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，
所以 ∠AOC和∠BOC互为补角.
解：因为点A，O， B在同一条直线上，
新知讲解
2
1
如图，如果两个角的和等于180°( 平角 )，就说这两个角互为补角 ( 简称为两个角互补).即其中每一个角是另一个角的补角．
思考：怎样理解“互为补角 ” ？
互为补角是指有 个角相加且它们的和等于 度；∠1是 的补角，同时∠2是 的补角.与它们的位置 .
2
∠1
∠2
180
无关
新知讲解
2
1
如图，如果两个角的和等于180°( 平角 )，就说这两个角互为补角 ( 简称为两个角互补 ).即其中每一个角是另一个角的补角．
几何语言表示为：
∵∠1＋∠2＝180°
∴∠1和∠2互为补角
反之 ∵∠1与∠2互为补角
∴∠1+∠2=180°
或 ∴∠1= 180°- ∠2 ， ∠2= 180°- ∠1
练一练
如图∠1=40°，求：①∠1的补角是多少度；
②在∠1上画出它的补角.
1
解：①∠1的补角是：180°-∠1=140°
2
②∠1的补角如图所示：
3
猜想：∠2和∠3有什么数量关系？
新知讲解
已知∠1与∠2互为补角， ∠1与∠3互为补角，那么∠2和∠3的有什么数量关系？
解： ∵ ∠1与∠2互补
补角的性质：同角的补角相等.
∴ ∠1+ ∠2 = 180°
∴ ∠2 = 180° -∠1
∵ ∠1与∠3互补
∴ ∠1+ ∠3 = 180°
∴ ∠3 = 180° -∠1
∴ ∠2= ∠3
练一练
∠1与∠2互补,∠3与∠4互补,如果∠1=∠3,求证：∠2=∠4.
解： ∵ ∠1与∠2互补
∴ ∠1+ ∠2 = 180°
∴ ∠2 = 180° -∠1
∵ ∠3与∠4互补
∴ ∠3+ ∠4 = 180°
∴ ∠4 = 180° -∠3
∵ ∠1= ∠3
补角的性质：等角的补角相等.
∴ ∠2= ∠4
归纳
补角的性质：
同(等)角的补角相等.
同角的补角相等
几何语言：
∵ ∠1+ ∠2 = 180°, ∠1+ ∠3 = 180°
∴ ∠2= ∠3
等角的补角相等
几何语言：
∵ ∠1+ ∠2 = 180°, ∠3+ ∠4 = 180°,且∠1= ∠3
∴ ∠2= ∠4
新知讲解
∠1 ∠1的余角 ∠1的补角
15
31
40
60
75
(0 ＜ ＜90 )
观察可得结论：锐角的补角比它的余角大_____.
75°
填表：
165°
59°
149°
50°
140°
30°
150°
15°
105°
75°
165°
90°
新知讲解
例4 若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数.
解：设这个角是 度，则它的补角是（180°- ），余角是（90°- ），根据题意得：
180°- =4(90°- )
解得： =60°
这个角的度数是60°.
用代数（方程）思想解决几何问题
练一练
已知 ∠A 与∠B 互余，且 ∠A 的度数比∠B 度数的 3 倍还多30°，求∠B的度数.
解：设∠B的度数为 °，则 ∠A 的度数为(3 +30)°. 根据题意得：
故 ∠B 的度数为15°.
解得 =15.
+ ( 3 +30 ) = 90.
新知讲解
八大方位：
射线 OQ
方位角的定义：
以正北、正南的方向为基准，描述运动的方向，如图OA北偏东30°，OB为南偏东25°，这样的表示方向的角叫做方位角.
西北方向：
西南方向：
东北方向：
东南方向:
正东：
正南：
正西：
正北：
30°
25°
O
B
A
C
D
E
F
M
N
P
Q
射线 ON
射线 OP
射线 OM
射线 OE
射线 OD
射线 OC
射线 OF
新知讲解
例4 如图，货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60 的方向上.同时,在它北偏东40 、南偏西10 、西北(即北偏西45 )方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线.
新知讲解
解：射线OA的方向就是南偏东 60°，即灯塔A所在的方向.
射线 OB的方向就是北偏东40°,即客轮B所在的方向.
射线OC的方向就是南偏西10°,即货轮C所在的方向.
射线OD的方向就是北偏西45°,即海岛D所在的方向.
O
A
B
C
D
60°
40°
10°
45°
课堂练习
1. 若∠A=20° ， 则∠A的余角的补角为（ ）
A. 20° B. 70° C. 110° D. 160°
2. 如图所示，下列说法错误的是（ ）
A. 射线OA表示东北方向
B. 射线OB表示北偏西30°
C. 射线OC表示南偏西60°
D. 射线OE表示南偏东40°
D
D
课堂练习
3. 已知一个角的余角是20°，则这个角的补角是（ ）
A. 70° B. 80° C. 110° D. 120°
4. 如图，射线OA表示的方向是（ ）
东偏南55° B. 南偏东35°
C. 北偏西35° D. 南偏东55°
C
D
课堂练习
5. 如图，∠AOB=∠COD=90°，∠1=23°，求∠2的度数．
解：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠COB+∠1=∠COB+∠2=90°，
∴∠2=∠1，
∵∠1=23°，
∴∠2=23°
课堂练习
6. 一个角的余角比它的补角的 还少50°，求这个角的度数．
解：设这个角度数为 ，它的余角为 ， 补角为 ， 根据题意得：
，
解得 ，
∴这个角度数为 ．
课堂练习
7. 是∠ 的2倍， 的余角的3倍等于∠ 的补角，求 和∠ 的度数.
解：设∠β为 度，则∠α为2 度，根据题意得，
，
解得： ，
即：∠α=36°，∠β=18°．
课堂练习
8. 如图，直线EF、DG交于点O， OA⊥OB ， ∠AOE=35° ， ∠GOF=70° ，求 ∠BOD 的度数．
解：因为 OA⊥OB ， ∠AOE=35° ，
所以 ∠BOE=90°-35°=55° ，
因为 ∠DOE=∠GOF ， ∠GOF=70° ，
所以 ∠DOE=70° ，
所以 ∠BOD=∠DOE-∠BOE=70°-55°=15° ．
课堂总结
一.互余和互补的概念：
1.如果两个角的和等于90°(直角),就说这两个角互为余角,简称互余.
2.如果两个角的和等于180 °(平角),就说这两个角互为补角,简称互补.
二.余角和补角的性质：
三.方位角：
方位角是表示方向的角.以正北、正南方向为基准来描述物体所处的方向.
1.同角（或等角）的余角相等.
2.同角（或等角）的补角相等.
作业布置
习题4.3第140页
第12、13题
谢谢
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