2022-2023学年人教版七年级数学上册第4章 几何图形初步 整理与复习 课件(共68张PPT)

(共68张PPT)
整理与复习
第四章 几何图形初步
1. 了解常见的平面图形与立体图形.
2. 理解“直线、射线、线段”等相关概念.
3. 理解并掌握角的大小的比较方法，互为余角、互为补角的概念及其性质.
一、几何图形
二、直线、射线、线段
三、角
知识点梳理
一、几何图形
1. 立体图形与平面图形
(1) 立体图形的各部分不都在同一平面内，如：
(2) 平面图形的各部分都在同一平面内，如：
2. 从不同方向看立体图形
3. 立体图形的展开图
正方体
圆柱
三棱柱
圆锥
知识点梳理
4. 点、线、面、体之间的联系
(1) 体是由面围成，面与面相交成线，线与线相交成点；
(2) 点动成线、线动成面、面动成体.
知识点梳理
例1： （2022 北京）下面几何体中，是圆锥的为（ ）
【解答】解：A是圆柱；
B是圆锥；
C是三棱锥，也叫四面体；
D是球体，简称球；
故选：B．
考点一：从不同方向看立体图形
考点分析
例2： （4分）（2020 重庆B卷2/26）围成下列立体图形的各个面中，每个面都是平的是（ ）
A． 长方体 B． 圆柱体
C． 球体 D． 圆锥体
【解答】解：A、六个面都是平面，故本选项正确；
B、侧面不是平面，故本选项错误；
C、球面不是平面，故本选项错误；
D、侧面不是平面，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查的是立体图形的认识，掌握平面与曲面的概念是解题的关键．
考点分析
例3： （2022 河北）①～④是由相同的小正方体粘在一起的几何体，若组合其中的两个，恰是由6个小正方体构成的长方体，则应选择（ ）
A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
【解答】解：由题意知，组合后的几何体是长方体且由6个小正方体构成，
所以①④符合要求，
故选：D．
考点分析
例4： （2022 自贡）如图，将矩形纸片ABCD绕边CD所在直线旋转一周，得到的立体图形是（ ）
【解答】解：根据“点动成线，线动成面，面动成体”，
将矩形纸片ABCD绕边CD所在直线旋转一周，所得到的立体图形是圆柱．
故选：A．
A． B． C． D．
考点分析
例5：如右图是由几个小立方体搭成的几何体的从上面看到的平面图，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，画出从正面和左面方向看到的平面图形.
1
1
2
2
考点分析
1
1
2
2
从正面看
从左面看
解：
解析：根据图中的数字，可知从前面看有3列，从左到右的个数分别是1，2，1；从左面看有2列，个数都是2 .
考点分析
如图，从正面看A，B，C，D四个立体图形，分别得到 a，b，c，d 四个平面图形，把上下两行相对应立体图形与平面图形用线连接起来．
A B C D
a b c d
针对训练
例6： （2022 柳州）如图，将矩形绕着它的一边所在的直线l旋转一周，可以得到的立体图形是（ ）
【解答】解：将矩形绕着它的一边所在的直线l旋转一周，可以得到圆柱体，
故选：B．
考点二：立体图形的展开图
考点分析
例7：根据下列多面体的平面展开图，填写多面体的名称
(1)_______，(2)_______，(3)________.
长方体
三棱柱
三棱锥
(1) (2) (3)
考点分析
1. 在下列图形中 (每个小四边形皆为相同的正方形)，可以是一个正方体展开图的是 ( )
A　　 B C D
C
2. 把长、宽分别为4cm、9cm的长方形纸片围成一个圆柱，则圆柱的底面半径为 .
13 cm
针对训练
二、直线、射线、线段
1. 有关直线的基本事实
经过两点有一条直线，并且只有一条直线.
2. 直线、射线、线段的区别
类型
线段
射线
直线
端点个数
2个
不能延伸
延伸性
能否度量
可度量
1个
向一个方向
无限延伸
不可度量
无端点
向两个方向
无限延伸
不可度量
知识点梳理
3. 基本作图
(1) 作一线段等于已知线段；
(2) 利用尺规作图作一条线段等于两条线段的和、差.
5. 有关线段的基本事实：
两点之间，线段最短.
4. 线段的中点
应用格式：
C是线段AB的中点，
AC ＝BC ＝ AB，
AB ＝2AC ＝2BC.
A
C
B
6. 连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离.
知识点梳理
例8： （2022 桂林）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2 cm，则AB＝ cm．
【解答】解：根据中点的定义可得：AB＝2AC＝2×2＝4 cm，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查中点的定义，熟知中点的定义是解题关键．
考点三：线段长度的计算
考点分析
例9： （3分）（2021 包头3/26）已知线段AB=4，在直线AB上作线段BC，使得BC=2，若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．2或3
【分析】根据题意可分为两种情况，①点C在线段AB上，可计算出AC的长，再由D是线段AC的中点，即可得出答案；②BC在线段AB的延长线上，可计算出AC的长，再由D是线段AC的中点，即可得出答案．
考点分析
【解答】解：根据题意分两种情况，
①如图1：
∵AB=4，BC=2，
∴AC=AB-BC=2，
∵D是线段AC的中点，
∴ ；
考点分析
②如图2：
∵AB=4，BC=2，
∴AC=AB+BC=6，
∵D是线段AC的中点，
∴ ．
∴线段AD的长为1或3．
故选：C．
考点分析
例10：如图，已知点 C 为 AB 上一点，AC =15 cm，
CB= AC，D，E 分别为 AC，AB 的中点，求DE 的长．
E
C
A
D
B
解：∵AC =15cm，CB = AC，
∴CB = ×15=9 cm，∴AB =15+9= 24 cm．
∵D，E 分别为 AC，AB 的中点，
∴AE = AB =12 cm，DC = AC = 7.5 cm，
∴DE = AE－AD =12－7.5 = 4.5 (cm)．
考点分析
例11：如图，B，C 两点把线段 AD 分成 2:5:3 三部分，M 为 AD 的中点，MC = 6 cm，求线段 BM 和 AD 的长．
D
A
B
C
M
提示：题目中线段间有明显的倍分关系，且和差关系较为复杂，可以尝试列方程解答.
考点分析
由 MC + CD= MD得，3x + 6 = 5x. 解得 x = 3.
故 BM = AM－ AB =5x－2x = 3x = 3×3 = 9 (cm)，
AD =10x =10×3 = 30 (cm)．
D
A
B
C
M
解：设 AB = 2x cm，
BC = 5x cm，CD = 3x cm，
则 AD = AB+BC+CD =10x cm.
∵M 是 AD 的中点，
∴AM = MD = AD = 5x cm.
考点分析
例12：点 C 在线段 AB所在的直线上，点M，N分别是 AC，BC的中点.
(1) 如图，AC = 8 cm，CB = 6 cm，求线段MN的长；
A M C N B
∴CM＝ AC＝4 (cm)，CN＝ BC＝3 (cm)，
解：∵点M，N分别是AC，BC的中点，
∴MN＝CM＋CN＝4＋3＝7 (cm).
考点分析
(2) 若 C 为线段 AB 上任一点，满足 AC + CB = a cm，其它条件不变，你能猜想 MN 的长度吗？并说明理由；
A M C N B
证明：同(1)可得
CM ＝ AC ，CN ＝ BC，
∴ MN ＝ CM＋CN ＝ AC＋ BC
＝ (AC＋BC) ＝ a (cm).
猜想：MN = a cm.
考点分析
(3) 若C 在线段 AB的延长线上，且满足 AC－BC = b cm，M，N分别为AC，BC的中点，你能猜想 MN 的长度吗？请画出图形，并说明理由.
A M B N C
MN = MC－NC
= AC－ BC
= (AC－BC) = b (cm)．
猜想：MN= b cm.
证明：根据题意画出图形，由图可得
考点分析
1. 如图：线段 AB = 100 cm，点 C，D 在线段 AB 上. 点 M 是线段 AD 的中点，MD = 21 cm，BC = 34 cm . 则线段 MC 的长度为__________.
B
A
M
C
D
2. 如图：AB =120 cm，点C，D在线段AB上，BD = 3BC，点 D 是线段 AC 的中点. 则线段 BD 的长度为______.
B
A
C
D
45cm
72cm
针对训练
3. 已知：点 A，B，C 在一直线上，AB =12 cm，BC = 4 cm. 点 M，N 分别是线段 AB，BC 的中点. 求线段 MN 的长度.
A M C N B
图①
∴ BM = AB = ×12 = 6 (cm)，
BN = BC = ×4 = 2 (cm)，
解：如图①，当 C 在 AB 间时，
∵ M，N 分别是 AB，BC 的中点，
∴ MN = BM－BN = 6－2 = 4 (cm).
针对训练
方法总结：无图条件下，注意多解情况要分类讨论，培养分类意识.
C
A
M
N
B
图②
∴ BM = AB = ×12 = 6 (cm)，
BN = BC = ×4 = 2 (cm)
如图②，当C在线段AB外时，
∵ M，N 分别是 AB，BC 的中点，
∴ MN = BM + BN = 6 + 2 = 8 (cm).
针对训练
例13： （2022 柳州）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【解答】解：根据题意可得，
从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是②．
故选：B．
考点四：关于线段的基本事实
考点分析
例14：如图，是一个三级台阶，A 和 B是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物. 若这只蚂蚁从 A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，你能画出蚂蚁爬行的最短路线吗？
A
B
考点分析
解：如图，将台阶面展开成平面图形. 连接 AB 两点，因为两点之间线段最短，所以线段AB 为蚂蚁爬行的最短路线.
A
B
考点分析
B
B
如图，在A点有一只壁虎，要沿着圆柱体的表面爬到B点去吃蚊子. 请画出壁虎在圆柱体表面爬行的最短路线.
A
针对训练
三、角
1. 角的定义
(1) 有公共端点的两条射线组成的图形，叫做角；
(2) 角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
2. 角的度量
度、分、秒的互化：
1°＝60′，1′＝60″
知识点梳理
3. 角的平分线
O
B
A
C
应用格式：
OC 是 ∠AOB 的角平分线，
∠AOC ＝∠BOC ＝ ∠AOB
∠AOB ＝ 2∠BOC ＝ 2∠AOC
知识点梳理
4. 余角和补角
(1) 定义：① 如果两个角的和等于90°( 直角 )，就说这两个角互为余角 ( 简称为两个角互余 ).
② 如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角 ( 简称为两个角互补 ).
(2) 性质：① 同角 (等角) 的补角相等.
② 同角 (等角) 的余角相等.
知识点梳理
(3) 方位角
① 定义：物体运动的方向与正北、正南方向之间的夹角称为方位角，一般以正北、正南为基准，用向东或向西旋转的角度表示方向.
② 书写：通常要先写北或南，再写偏东或偏西
知识点梳理
例15： （3分）（2021 呼伦贝尔 兴安盟14/26） °.
【解答】解： ，
，
，
，
故答案为：74.325．
【点评】本题考查度、分、秒的换算，掌握度、分、秒的换算进率和换算方法是得出正确答案的前提．
考点五：角的度量及角度的计算
考点分析
例16： 如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为（ ）.
A． 45° B． 55° C． 125° D． 135°
B
考点分析
例17： （2022 百色）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么∠BAC的大小为 °．
【解答】解：根据题意可得，
∠BAC＝90°+45°＝135°．
故答案为：135．
考点分析
例18： （2022 湘潭）如图，一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB＝120°，∠CDB＝20°，则∠AEF＝ ．
考点分析
【解答】解：因为一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方向射出，
所以∠EDO＝∠CDB＝20°，∠AEF＝∠OED，
在△ODE中，∠OED＝180°－∠AOB－∠EDO＝180°－120°－20°＝40°，
所以∠AEF＝∠OED＝40°．
故答案为：40°．
考点分析
例19：如图，BD平分∠ABC，BE 把∠ABC 分成 2︰5 两部分，∠DBE=21°，求∠ABC的度数.
E
B
A
C
D
∴ ∠ABD= ∠ABC =3.5x°.
解：设∠ABE = 2x°，则∠CBE = 5x°,
∠ABC =∠ABE+∠CBE= 7x°.
∵ BD 平分∠ABC，
∵∠ABE+∠DBE =∠ABD ，即2x + 21= 3.5x.
解得 x = 14.
∴ ∠ABC = 7x°= 7×14°= 98 °.
考点分析
例20：如图，∠AOB是直角， ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线.
(1) 当∠AOC=50°时，求∠MON的大小；
O
B
M
A
N
C
提示：先求出∠BOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠COM，∠CON，然后根据∠MON=∠COM－∠CON代入数据进行计算即可得解.
考点分析
∴∠MON=∠COM－∠CON=70°－25°=45°.
O
B
M
A
N
C
解：∵∠AOB是直角，∠AOC=50°，
∴∠BOC =∠AOB+∠AOC
= 90°+50°=140°，
∵ON是∠AOC的平分线，
OM是∠BOC的平分线，
∴∠COM = ∠BOC = ×140°=70°，
∠CON= ∠AOC = ×50°= 25°，
考点分析
(2) 当∠AOC＝α 时， ∠MON等于多少度？
O
B
M
A
N
C
∴∠MON=∠COM－∠CON= (90°+α)－α=45°.
解：∠BOC=∠AOB+∠AOC
=90°+α，
∵ON是∠AOC的平分线，
OM是∠BOC的平分线，
∠CON= ∠AOC = α，
∴∠COM= ∠BOC = (90°+α)，
考点分析
(3) 当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小也会发生改变吗？为什么？
解：不会发生变化.
由(2)可知∠MON的大小与∠AOC无关，总是等于∠AOB的一半.
O
B
M
A
N
C
考点分析
2. 若∠A = 20°18′，∠B = 20°15′30″，∠C = 20.25°， 则 ( )
A. ∠A＞∠B＞∠C B. ∠B＞∠A＞∠C
C. ∠A＞∠C＞∠B D. ∠C＞∠A＞∠B
A
3. 19点整时，时钟上时针与分针之间的夹角是 ( )
A. 210° B. 30° C. 150° D. 60°
C
1. 以∠AOB的顶点O为射线端点，在∠AOB的内部画出3条射线，在所成的图形中角的总个数是（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
D
针对训练
5. 已知AC是∠AOB的平分线，∠AOB＝68°，则∠AOC= .
34°
4. 三叶吊扇绕轴至少旋转 度，才能与起始位置重合.
6. 把一个直角纸片的直角对折后再对折，每次对折时使角的两边重合，那么所形成的角的度数是 .
22 .5°
120
针对训练
7. 已知一条射线 OA，若从点 O 再引两条射线 OB 和OC，使∠AOB=50°，∠BOC=10°，求∠AOC的度数．
解：有两种情况：
（1）如图①所示：
∠AOC =∠AOB+∠BOC
=50°+10°=60°；
O
A
C
B
图①
针对训练
（2）如图②所示：
∠AOC =∠AOB－∠BOC
=50°－10°=40°.
综上所述，∠AOC的度数为60°或40°．
O
A
C
B
图②
针对训练
例21： （2022 甘肃）若∠A=40°，则∠A的余角的大小是（ ）
A．50° B．60° C．140° D．160°
【解答】解：因为∠A=40°，
所以∠A的余角为：90°－40°=50°，
故选：A．
【点评】本题考查的是余角的定义，如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角．
考点六：余角和补角
考点分析
例22： （2022 连云港）已知∠A的补角为60°，则∠A = °．
【解答】解：因为∠A的补角为60°，
所以∠A =180°－60°=120°，
故答案为：120．
【点评】本题考查了余角和补角，掌握如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角是解题的关键．
考点分析
例23： （3分）（2020 通辽4/26）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使∠α和∠β互余的摆放方式是（ ）
A． B．
C． D．
考点分析
【分析】根据余角和补角的概念、结合图形进行判断即可．
【解答】解：A．∠α与∠β互余，故本选项正确；
B．∠α =∠β，故本选项错误；
C．∠α =∠β，故本选项错误；
D．∠α与∠β互补，故本选项错误，
故选：A．
【点评】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．
考点分析
例24：已知∠α和∠β互为补角，并且∠β的一半比∠α小30 ，求∠α，∠β．
解：设∠α＝x ，则∠β＝180 －x ．
根据题意 ∠β＝2(∠α－30 )，
得 180－ x＝2(x －30)，
解得 x＝80．
所以 ，∠α＝80 ，∠β＝100 ．
提示：此题和差倍分关系较复杂，可列方程解答.
考点分析
例25：如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠AOE，∠FOD=90°．
(1) 写出图中所有与∠AOD互补的角；
解：∵直线AB，CD相交于点O，
∴∠AOC和∠BOD与∠AOD 互补，
∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=∠EOF，
∵∠FOD=90°，
∴∠COF=180°－∠FOD=90°.
又∵∠AOC=∠COF－∠AOF=90°－∠EOF，
∠DOE=∠FOD－∠EOF=90°－∠EOF，
∴∠AOC=∠DOE.
∴与∠AOD互补的角有∠AOC，∠BOD，∠DOE.
O
A
C
B
D
E
F
考点分析
(2) 若∠AOE=120°，求∠BOD的度数．
O
A
C
B
D
E
F
∴∠AOF = ∠AOE= ×120°=60°.
解：∵OF平分∠AOE，
由(1)知，∠COF=90°，
∴∠AOC=∠COF－∠AOF=90°－60°=30°.
由(1)知，∠AOC和∠BOD与∠AOD 互补，
∴∠BOD=∠AOC=30°(同角的补角相等).
考点分析
例26：已知∠AOB=90°，∠COD=90°，画出示意图并探究∠AOC与∠BOD的关系．
解：如图①，∵∠AOB = 90°，
∠COD = 90°，
∴∠AOC = 90°－∠BOC，
∠BOD = 90°－∠BOC，
∴∠AOC =∠BOD；
如图②，∠AOC=90°+∠BOC，
∠BOD=90°－∠BOC，
∴∠AOC+∠BOD=180°；
D
O
A
C
B
图①
D
O
A
C
B
图②
考点分析
如图③，∵∠AOB=90°，∠COD=90°，
∴∠AOC=90°+∠BOC，
∠BOD=90°+∠BOC，
∴∠AOC=∠BOD；
如图④，∠AOC+∠BOD=360°－90°×2=180°，
∴∠AOC+∠BOD=180°．
综上所述，∠AOC =∠BOD 或∠AOC+∠BOD=180°．
O
A
C
B
D
图③
O
A
C
B
D
图④
考点分析
1. 如果一个角的余角与它的补角互补，则这个角为（ ）
A. 30° B. 60° C. 45° D. 90°
2. 如果∠1与∠2互补，∠2为锐角，则下列表示∠2余角的式子是（ ）
A. 90°－∠1 B. ∠1－90°
C. ∠1+90° D. 90°－∠1
B
C
3. 一个角为35°39′，则这个角的余角为 ，补角为 .
144°21′
54°21′
针对训练
4. 如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．
(1) 若∠EOC=70°，求∠BOD的度数；
O
A
C
B
D
E
∴∠AOC = ∠EOC
= ×70°=35°.
解：∵直线AB，CD相交于点O，
∴∠AOC=∠BOD=180°－∠AOD.
∵OA平分∠EOC，
∴∠BOD =∠AOC =35°.
针对训练
(2) 若∠EOC : ∠EOD=2:3，求∠BOD的度数．
解：设∠EOC=2x°∠EOD=3x°，
由∠EOC+∠EOD=180°得
2x+3x =180°，
解得x = 36°.
∴∠EOC = 2x°=72°，
∴∠AOC= ∠EOC= ×72°=36°，
∠BOD=∠AOC=36°．
O
A
C
B
D
E
针对训练
例27：一只蚂蚁从 O 点出发，沿东北方向爬行 2.5 cm，碰到障碍物 B 后，折向北偏西60°方向爬行3 cm到 C点.
(1) 画出蚂蚁的爬行路线；
(2) 求出∠OBC的度数.
北
O
B
2.5 cm
C
3 cm
60°
45°
解：(1) 如图所示；
(2) ∠OBC =75°.
考点七：方位角
考点分析
A看B的方向为北偏西50°，那么B看A的方向是 .
南偏东50°
针对训练
课堂小结
几何图形
立体图形
平面图形
展开或从不同方向看
面动成体
平面图形
直线、射线、线段
角
表示方法
线段长短的比较与运算
两个基本事实
中点
表示方法
角的度量、比较与运算
余角和补角
角平分线
概念、性质