2022-2023学年人教版七年级数学下册 第五章 相交线与平行线 章节复习(共48张PPT)

(共48张PPT)
相交线与平行线 章节复习
1.进一步熟悉相交线所成的角及其基本结论;
2.进一步理解垂线、垂线段的概念及性质，点到直线的距离;
3.熟练掌握三线八角(同位角、内错角、同旁内角)，两直线平行的判定及其应用;
4.熟练掌握平行线的性质及一些结论，并会应用;
5.平移的特征并会应用其解决问题.
1.邻补角：形如∠1与∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线(∠1和∠2互补)，具有这种关系的两个角，互为邻补角.
2.对顶角：形如∠1与∠3有一个公共顶点O，并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.
性质：对顶角相等.
一、相交线
性质：邻补角互补.
3.垂直：当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角，我们就说这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线；互相垂直的两条直线的交点叫做垂足.
如右图，直线AB与直线CD垂直，
记作：AB⊥CD，垂足是O；
直线m与直线n垂直，
记作：m⊥n；
m
n
“⊥”是“垂直”的记号，读作“垂直于”；
而“┐”是图形中“垂直”(直角)的标记.
一、相交线
垂线的性质1：经过一点(已知直线上或直线外)，能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线.
即在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
垂线的性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
简单说成：垂线段最短.
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线
段的长度，叫做点到直线的距离.
一、相交线
一、相交线
两角的位置分别在直线AB，CD的同一方(上方)，并且都在直线EF的同侧(右侧)，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.
4.三线八角：
两角的位置都在直线AB，CD之间，并且分别在直线EF两侧(∠3在直线EF左侧，∠5在直线EF右侧)，具有这种位置关系的一对角叫做内错角.
两角的位置都在直线AB，CD之间，并且都在直线EF的同一旁(左侧)，具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角.
同位角、内错角、同旁内角的结构特征：
一、相交线
1.平行线定义：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．
(在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行.)
2.表示法：通常用“∥”表示平行，读作“平行于”.
如下图中直线AB与直线CD平行，记作AB∥CD.
如果用l，m表示这两条直线，那么直线l与直线 m平行记作l∥m.
二、平行线
3.可以发现一个基本事实(平行公理)：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
(平行公理的推论)：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
也就是说：如果b∥a，c∥a，那么b∥c.
几何语言：∵ b∥a，c∥a，
∴ b∥c.
二、平行线
判定方法1：同位角相等，两直线平行.
判定方法2：内错角相等，两直线平行.
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.
4.判定两条直线平行的方法：
二、平行线
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等.
性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简单说成：两直线平行，内错角相等.
性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简单说成：两直线平行，同旁内角互补.
★命题的定义：判定一件事情的语句，叫做命题。
★命题的构成：命题由题设和结论组成。题设是已知项，结论是由已知项推出的事项.
★命题的书写形式
数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.
三、命题、定理、证明
★命题的分类
真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题.
假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.
★定理的概念：一些命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.
★证明的概念：一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.
三、命题、定理、证明
四、平移
1. 平移的定义：“三要素”
一个图形、一个方向、一个距离.
2. 平移的性质：“四特征”
图形的形状和大小不改变；
对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；
对应线段平行（或在一条直线上）且相等；
对应角相等.
四、平移
3.平移作图的一般步骤：
平移作图是平移性质的应用，利用平移可以得到许多美丽的图案，在具体作
图时，应分四步——定、找、移、连.
(1)定：确定平移的方向和距离；
(2)找：找出表示图形的关键点(图形的顶点、拐点、连接点)；
(3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；
(4)连：按原图顺次连接对应点.
01
相交线的有关概念和性质
例1.如图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，则下列结论中，正确的个数为（　 ）
①AB⊥AC；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥线段AB是点B到AC的距离．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
B
例2.(1)若ED，BF被AB所截，则∠1与____是同位角；(2)若ED, BC被AF所截，则∠2与______是内错角；(3)∠1与∠2是AB和AF被______所截构成的______角；(4)∠B与∠4是_____和_____被BC所截构成的_______角.
∠B
∠3
DE
内错
同旁内
AB
AF
解：∵∠BOE＝∠NOE，
∴∠BON＝2∠EON＝40°，
∴∠NOC＝180°－∠BON
＝180°－40°＝140°，
∠MOC＝∠BON＝40°.
∵AO⊥BC，
∴∠AOC＝90°，
∴∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°，
∴∠NOC＝140°，∠AOM＝50°.
例3.如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度数．
【1-1】下列各图中的∠1与∠2，__________是同位角.
(1)(2)(3)
【1-2】已知点P为直线m外一点，点A，B，C为直线m上三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，则点P到直线m的距离为( )
A．4cm B．5cm C．小于2cm D．不大于2cm
D
【1-3】如图，按各组角的位置，判断错误的是( )
A.∠1与∠A是同旁内角 B.∠3与∠4是内错角
C.∠5与∠6是同旁内角 D.∠2与∠5是同位角
C
【1-4】如图，直线AB, CD相交于点O,若∠EOD=40°，
∠BOC=130°，那么射线OE与直线AB的位置关系
是____________.
OE⊥AB
【1-5】如图，直线AB、CD被EF所截，如果内错角∠1和∠2相等，那么同位角∠1和∠4相等吗 同旁内角∠1和∠3互补吗 请说明理由.
解:∠1=∠4，∠1和∠3互补.理由如下:
∵∠1=∠2，且∠2=∠4 (对顶角相等)
∴∠1=∠4
∵∠2+∠3=180°(邻补角定义)
∴∠1+∠3=180°
即∠1和∠3互补.
【1-6】如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分，，且．求和的度数．
解：∵OE平分，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
例4.如图，已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠A,试说明:BE//CF.完善下面的解答过程，并填写理由或数学式:
解:∵∠3=∠4(已知),
∴AE //_____(________________________).
∴∠EDC=∠5(________________________).
∴∠5=∠A(已知)，
∴∠EDC=______(__________).
∴DC//AB(_______________________).
∴∠5+∠ABC=180°(________________________)，即∠5+∠2+∠3=180°
BC
内错角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
∠A
等量代换
同位角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
02
平行线的性质和判定
例4.如图，已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠A,试说明:BE//CF.完善下面的解答过程，并填写理由或数学式:
∵∠1=∠2(已知)，
∴∠5+∠1+∠3=180°(_________)，
即∠BCF+∠3=180°.
∴BE//CF(_________________________).
等量代换
同旁内角互补，两直线平行
例5.如图，E在直线DF上，B在直线AC上，若∠AGB=∠EHF,∠C=∠D,则∠A=∠F，为什么
解:∠AGB=∠DGF (对顶角相等)
∠AGB=∠EHF (已知)
∴∠DGF=∠EHF (等量代换)
∵BD//CE (同位角相等，两直线平行)
∴∠C=∠ABD (两直线平行，同位角相等)
∵∠C=∠D (已知)
∴∠D=∠ABD (等量代换)
∴AC//DF (内错角相等，两直线平行)
∴∠A=∠F (两直线平行，内错角相等)
例6.已知直线AB//CD,点M,N分别在直线AB,CD上,点P是平面内一个动点,且满足∠MPN=90°,过点N作射线NQ，使得∠PNQ=∠PNC.
(1)如图①,当射线NQ与NM重合,∠QND=50°时，则∠AMP=______;
25°
F
(2)如图②,当射线NQ与NM不重合，∠QND=α时,求∠AMP的度数(用含α的式子表示);
解:如图②,过P作PF//AB
∵AB//CD
∴AB//PF//CD
∴∠AMP=∠MPF , ∠CNP=∠FPN
∴∠MPN=∠AMP+∠PNC
∵∠MPN=90°
∴∠AMP+∠PNC=90°
∵∠PNQ=∠PNC,∠QND=α
∴∠PNC==90°-α.
∴∠AMP=90°-90°+α=α
(3)请直接写出在点P运动的过程中，∠QND与∠AMP之间的数量关系
____________________.
∠AMP=∠QND
【2-1】如图,AB//EF ,CD⊥EF,∠BAC=50°,则
∠ACD=( )
A.120° B.130° C.140° D.150°
【2-2】如图,将含有30°角的三角板的直角顶点放在
相互平行的两条直线其中一条上.若∠1=35°,则∠2的度数为( )
A.10° B.25° C.30° D.35°
C
D
【2-3】如图，AB//CD，则α, β, γ之间的等量关系为( )
A. α +β+ γ =360° B. α -β+ γ =180°
C. α +β- γ =180° D. α +β+ γ =180°
C
【2-4】如图,AB//CD，AE交CD于点F，点G在AB上，GH⊥BF，垂足为H,∠1=∠2，试说明AE⊥BF.请将下面的解答过程补充完整(填数字式子或理由).
解:∵AB//CD(已知)，
∴∠1=______(________________________).
∵∠1=∠2(已知)，
∴_____=______(_________).
∴______//_____(_______________________).
又∵GH⊥BF，即∠GHB=90°，
∴∠AFB=∠GHB=90°(______________________).
∴_____ ⊥ _____.
两直线平行，内错角相等
∠A
∠2 ∠A
等量代换
GH AE
同位角相等，两直线平行
两直线平行，同位角相等
AE BF
【2-5】如图，在三角形ABC中，CD是高，点E, F，G分别在BC，AB，AC上，且EF⊥AB，∠1=∠2，试判断DG与BC的位置关系，并说明理由.
解:DG//BC.理由如下:
∵CD是三角形ABC的高，且EF⊥AB (已知)
∴∠BFE=∠BDC=90° (垂直定义)
∴EF//CD (同位角相等，两直线平行)
∴∠1=∠BCD (两直线平行，同位角相等)
∵∠1=∠2 (已知)
∴∠BCD=∠2 (等量代换)
∴DG//BC (内错角相等，两直线平行)
例7.指出下列命题的题设和结论，并把(3)写成“如果……，那么……”的形式.
(1)如果AB⊥CD，垂足为O，那么∠AOC=90°；
(2)如果∠1=∠2，2=∠3，那么∠1=∠3；
(3)两直线平行，同位角相等.
解：(1)题设：AB⊥CD，垂足为O，结论：∠AOC=90°；
(2)题设：∠1=∠2，2=∠3，结论：∠1=∠3；
(3)题设：两条平行线被第三条直线所截，结论：同位角相等.
如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等.
03
命题、定理、证明
例8.判断下列命题是真命题还是假命题.
(1)如果两个角互补，那么它们是邻补角；
(2)如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除；
(3)相等的角是对顶角.
解：(1)假命题，反例：如图∠1=60°，∠2=120°，∠1与∠2互补，但它们不是邻补角.
例8.判断下列命题是真命题还是假命题.
(1)如果两个角互补，那么它们是邻补角；
(2)如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除；
(3)相等的角是对顶角.
解：(2)假命题，反例：6能被2整除，但它不能被4整除.
(3)假命题，反例：如图，OC是∠AOB的平分线，
∠1=∠2，但它们不是对顶角.
【3-1】有下列语句:①画∠AOB的平分线;②直角都相等;③同旁内角互补吗 ④两点确定一条直线.其中命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
B
【3-2】对于同一平面内的三条直线a, b, c,给出下列5个论断:①a//b; ②b//c; ③a⊥b; ④a//c; ⑤a⊥c.以其中两个论断作为题设，一个论断作为结论，组成一个你认为不正确的命题是( )
A.已知①②,则④ B.已知③⑤,则②
C.已知②④,则① D.已知①②，则⑤
D
【3-3】将下列命题写成“如果……，那么……”的形式.
(1)同旁内角互补,两直线平行;
(2)同角的补角相等;
(3)在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行.
解: (1)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补,那么这两条直线平行;
(2)如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等;
(3)在同一平面内,如果两条直线垂直于同一条直线,那么这两条直线互相平行.
例9.如图，平移三角形ABC，使点A移动到点A′，画出平移后的三角形A′B′C′.
分析：图形平移后的对应点有什么特征？作出点B和点C的对应点B′，C′，能确定三角形A′B′C′吗？
解：如图，连接AA′，
在l上截取BB′=AA′，则点B′就是点B的对应点.
过点B作AA′的平行线l，
进一步连接A′B′，B′C′，C′A′就得到平移后的三角形A′B′C′.
类似地，作出点C的对应点C′，
04
图形平移的性质及应用
例10.如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内△A′B′C′是将△ABC经过一次平移后得到的．根据下列条件，利用网格点和直尺画图：
（1）补全△ABC；
（2）作出中线CD；
（3）画出BC边上的高线AE；
（4）在平移过程中，线段AB扫过的
面积为　 　．
解：（1）如图所示，△ABC即为所求：
（2）如图所示，线段CD即为所求；
例10.如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内△A′B′C′是将△ABC经过一次平移后得到的．根据下列条件，利用网格点和直尺画图：
（3）画出BC边上的高线AE；
（4）在平移过程中，线段AB扫过的
面积为　 　．
解：（3）如图所示，线段AE即为所求；
（4），
∴.
即线段AB扫过的面积为16.
例11.南湖公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，下面三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米．
①如图1，阴影部分为1米宽的小路，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地，则草地的面积为 ；
②如图2，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），求草地的面积．
③如图3，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，所走的路线（图中虚线）长为 ．
解：①将小路往左平移，直到E、F与A、B重合，
则平移后的四边形是一个矩形，并且，，
则草地的面积为：（平方米）；
②将小路往AB、AD边平移，直到小路与草地的边重合，
则草地的面积为：（平方米）；
③将小路往AB、AD、DC边平移，直到小路与草地的边重合，
则所走的路线（图中虚线）长为：(米)．
【4-1】下列四幅汽车标志设计中能用平移得到的是( )
A
【4-2】在5×5方格纸中，将图1中的图形N平移后的位置如图2中所示，那么正确的平移方法是( )
A.先向下移动1格，再向左移动1格
B.先向下移动1格，再向左移动2格
C.先向下移动2格,再向左移动1格
D.先向下移动2格,再向左移动2格
C
【4-3】在如图的方格纸中，画出将图中的三角形ABC向右平移5格后的三角形A1B1C1，然后再画出将三角形A1B1C1向上平移3格后的三角形A2B2C2.三角形A2B2C2是否可以看成是三角形ABC经过一次平移而得到的呢 如果可以，那么平移的方向和距离是什么
解:如图三角形A1B1C1,三角形A2B2C2为所求的图形;三角形A2B2C2可以看成是三角形ABC经过一次平移而得到的，平移方向是A到A2的方向，平移距离是线段AA2的长度.
【4-4】某酒店在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米的售价为40元，主楼梯道宽为3米，其侧面如图所示；铺设梯子的红地毯至少需要多长？花费至少多少元？
解：地毯的长度至少为：
（米）；
（元）．
答：铺设梯子的红地毯至少需要8.4米，花费至少1008元．