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5.5.2 第1课时 简单的三角恒等变换(一)
学习目标 把握航向 目的明确
1.通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式.
2.了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题.
3.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 半角公式
(1)sin ＝±
(2)cos ＝±
(3)tan＝±(无理形式)＝＝(有理形式)．
注意点：
半角公式中的±号不能去掉，若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留±两个符号；若给出α的具体范围时，则先求的所在范围，然后根据所在的范围选用符号．
知识点二 积化和差、和差化积公式
(1)积化和差
sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]；
cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]．
(2)和差化积
sin θ＋sin φ＝2sin cos ；sin θ－sin φ＝2cos sin ；
cos θ＋cos φ＝2cos cos ；cos θ－cos φ＝－2sin sin .
典例讲解 题型探究 重点突破
题型一 半角公式的应用
例1 已知cos α＝，α为第四象限角，求sin 、cos 、tan .
解：sin ＝± ＝± ＝±，
cos ＝± ＝± ＝±，
tan ＝± ＝±＝±.
∵α为第四象限角，∴为第二、四象限角．
当为第二象限角时，sin＝，cos＝－，tan＝－；
当为第四象限角时，sin＝－，cos＝，tan＝－.
反思总结 利用半角公式求值的思路：(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解；(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围；(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算．
跟踪训练1 已知sin θ＝，且<θ<3π，求cos 和tan .
解：∵sin θ＝，<θ<3π，∴cos θ＝－＝－.
由cos θ＝2cos2－1得cos2＝＝.
∵<<π.∴cos ＝－ ＝－.tan ＝＝＝＝2.
题型二 和差化积、积化和差公式的应用
例2 求sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°的值．
解法一 sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°
＝(1－cos 40°)＋(1＋cos 100°)＋[sin 70°＋sin(－30°)]＝＋(cos 100°－cos 40°＋sin 70°)
＝＋(－2sin 70°sin 30°＋sin 70°)＝＋(－sin 70°＋sin 70°)＝.
解法二 sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°
＝(1－cos 40°)＋cos 50°(cos 50°＋sin 20°)＝(1－cos 40°)＋cos 50°(sin 40°＋sin 20°)
＝(1－cos 40°)＋cos 50°·2sin 30°cos 10°＝(1－cos 40°)＋cos 50°cos 10°
＝(1－cos 40°)＋(cos 60°＋cos 40°)＝.
解法三 令A＝sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°，B＝cos220°＋sin250°＋cos 20°sin 50°.
则A＋B＝2＋sin 70°，
A－B＝－cos 40°＋cos 100°＋sin(－30°)＝－sin 70°－，
两式相加得2A＝，即A＝，
故sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°＝.
反思总结 积化和差、和差化积的转换用到了换元的方法，如把α＋β看作θ，α－β看作φ，从而把包含α，β的三角函数式转化为θ，φ的三角函数式．或者把sin αcos β看作x，cos αsin β看作y，把等式看作x，y的方程，则原问题转化为解方程(组)求x，它们都体现了化归思想．
跟踪训练2 求下列各式的值：(1)cos 29°cos 31°－cos 2°；(2)cos ＋cos －2sin cos .
解：(1)原式＝[cos(29°＋31°)＋cos(29°－31°)]－cos 2°
＝cos 60°＋cos(－2°)－cos 2°＝.
(2)原式＝2cos ·cos －cos ＝2cos cos －cos ＝cos －cos ＝0.
题型三 三角函数式的化简与证明
例3 (1)求证：1＋2cos2θ－cos 2θ＝2.
(2)求证：＝.
证明: (1)左边＝1＋2cos2θ－cos 2θ＝1＋2×－cos 2θ＝2＝右边．
所以原等式成立．
证明: (2)原式＝＝
＝＝＝＝＝右边．
所以原等式成立．
反思总结 三角恒等式证明的五种常用方法：(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简；(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．
跟踪训练3 (1)证明：··＝tan .
(2)化简：2＋.
证明: (1)左边＝··＝·＝·
＝＝＝tan ＝右边．所以原等式成立．
解: (2)原式＝2＋
＝2＋＝2|sin 4＋cos 4|＋2|cos 4|.
由于π<4<，
∴sin 4<0，cos 4<0，sin 4＋cos 4<0，
∴原式＝－2(sin 4＋cos 4)－2cos 4＝－2sin 4－4cos 4.
习题精练 基础巩固 强化落实
选择题
1.若cos α＝，α∈(0，π)，则cos 的值为( )
A. B.－ C.± D.±
答案：A
解析：由题意知∈(0，)，∴cos >0，cos ＝＝.
2.下列各式与tan α相等的是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：＝＝＝tan α.
3.已知cos θ＝－，－180°<θ<－90°，则cos 等于( )
A.－ B. C.－ D.
答案：B
解析：由－180°<θ<－90°可知－90°<<－45°，故cos ＝＝.
4.化简的结果是( )
A.－cos 1 B.cos 1 C.cos 1 D.－cos 1
答案：C
解析：原式＝＝，因为0<1<，故原式＝cos 1.
5.已知sin α＝，cos α＝，则tan 等于( )
A.2－ B.2＋ C.－2 D.±(－2)
答案：C
解析：方法一 因为sin α＝，cos α＝，所以tan ＝＝－2.
方法二 因为sin α＝>0，cos α＝>0，所以α的终边落在第一象限，的终边落在第一或第三象限，所以tan >0，故tan ＝＝＝－2.
6.设a＝cos 6°－sin 6°，b＝2sin 13°cos 13°，c＝，则有( )
A.c
答案：C
解析：a＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°，b＝2sin 13°·cos 13°＝sin 26°，c＝sin 25°，∵y＝sin x在0°≤x≤90°时上单调递增，∴a7.设－3π<α<－，化简的结果是( )
A.sin ＋cos B.－cos －sin C.cos －sin D.sin －cos
答案：D
解析：∵－3π<α<－，∴－<<－.∴sin >0，cos <0，＝＝＝＝sin －cos .
8.设直角三角形中两锐角为A和B，则cos Acos B的取值范围是( )
A. B. (0,1) C. D.
答案：A
解析：直角三角形中两锐角为A和B，则A＋B＝C＝，则cos Acos B＝[cos(A－B)＋cos(A＋B)]＝cos(A－B)，再结合A－B∈，可得cos(A－B)∈(0,1]，∴cos(A－B)∈.
9. (多选)已知2sin α＝1＋cos α，则tan 的可能取值为( )
A. B.1 C.2 D.不存在
答案：AD
解析：由题意知4sin cos ＝1＋2cos2－1，故有2sin cos －cos2＝0，若2sin －cos ＝0，则tan ＝；若cos ＝0，则tan 不存在．
10.＋32cos212°的值为( )
A.4 B.8 C.16 D.32
答案：C
解析：原式＝＋16·(2cos212°－1)＋16＝＋16cos 24°＋16＝＋16cos 24°＋16＝＋16cos 24°＋16＝＋16cos 24°＋16＝16.
二、填空题
11.tan 20°＋4sin 20°＝________.
答案：
解析：原式＝＋4sin 20°＝＝＝＝＝.
12.sincos化为和差的结果是______．
答案：[cos(A＋B)＋sin(A－B)]
解析：sincos＝＝[cos(A＋B)＋sin(A－B)]．
13.化简：··＝____________.
答案：tan
解析：原式＝··＝·＝·＝＝tan .
14.已知α－β＝，且cos α＋cos β＝，则cos(α＋β)＝____________.
答案：－
解析：∵cos α＋cos β＝，∴2cos cos ＝.∵α－β＝，∴＝，∴cos ＝.∴cos ＝，∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝－.
15.若sin α＋sin β＝(cos β－cos α)，且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β＝____________.
答案：
解析：因为sin α＋sin β＝(cos β－cos α)，所以2sin ·cos ＝×(－2)sin sin ，所以tan ＝.又α∈(0，π)，β∈(0，π)，所以0<<，所以＝，即α－β＝.
三、解答题
16. (1)已知<α<3π，试化简：＋cos .
解：因为<α<3π，所以<<，
所以cos α<0，sin <0.
故原式＝＋cos ＝＋cos＝＋cos
＝－sin ＋cos .
(2)已知π<α<，化简＋.
解：原式＝＋，
∵π<α<，∴<<，∴cos <0，sin >0.
∴原式＝＋＝－＋＝－cos .
17.求证：＝.
证明：左边＝＝
＝＝＝右边，
所以原等式成立．
18.已知sin＋sin α＝－，－<α<0，求cos α的值．
解：∵sin＋sin α＝sin αcos ＋cos αsin ＋sin α＝sin α＋cos α＝－.
∴sin α＋cos α＝－，
∴sin＝－.
∵－<α<0，∴－<α＋<，
∴cos＝.
∴cos α＝cos＝coscos ＋sinsin ＝×＋×＝.
19.已知sin A＋sin B＋sin C＝0，cos A＋cos B＋cos C＝0，求证：cos2A＋cos2B＋cos2C＝.
证明：由已知，得sin A＋sin B＝－sin C，①
cos A＋cos B＝－cos C．②
所以2sin cos ＝－sin C，③
2cos cos ＝－cos C．④
因为当cos ＝0时，sin C＝cos C＝0不成立，所以cos ≠0.
③÷④，得tan ＝tan C.
所以cos(A＋B)＝＝＝cos 2C.
①2＋②2，得2＋2cos(A－B)＝1，即cos(A－B)＝－，
所以cos2A＋cos2B＋cos2C＝(1＋cos 2A＋1＋cos 2B＋1＋cos 2C)
＝＋[2cos(A＋B)cos(A－B)＋cos 2C]
＝＋＝.
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5.5.2 第1课时 简单的三角恒等变换(一)
学习目标 把握航向 目的明确
1.通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式.
2.了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题.
3.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 半角公式
(1)sin ＝±
(2)cos ＝±
(3)tan＝±(无理形式)＝＝(有理形式)．
注意点：
半角公式中的±号不能去掉，若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留±两个符号；若给出α的具体范围时，则先求的所在范围，然后根据所在的范围选用符号．
知识点二 积化和差、和差化积公式
(1)积化和差
sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]；
cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]．
(2)和差化积
sin θ＋sin φ＝2sin cos ；sin θ－sin φ＝2cos sin ；
cos θ＋cos φ＝2cos cos ；cos θ－cos φ＝－2sin sin .
典例讲解 题型探究 重点突破
题型一 半角公式的应用
例1 已知cos α＝，α为第四象限角，求sin 、cos 、tan .
反思总结 利用半角公式求值的思路：(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解；(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围；(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算．
跟踪训练1 已知sin θ＝，且<θ<3π，求cos 和tan .
题型二 和差化积、积化和差公式的应用
例2 求sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°的值．
反思总结 积化和差、和差化积的转换用到了换元的方法，如把α＋β看作θ，α－β看作φ，从而把包含α，β的三角函数式转化为θ，φ的三角函数式．或者把sin αcos β看作x，cos αsin β看作y，把等式看作x，y的方程，则原问题转化为解方程(组)求x，它们都体现了化归思想．
跟踪训练2 求下列各式的值：(1)cos 29°cos 31°－cos 2°；(2)cos ＋cos －2sin cos .
题型三 三角函数式的化简与证明
例3 (1)求证：1＋2cos2θ－cos 2θ＝2.
(2)求证：＝.
反思总结 三角恒等式证明的五种常用方法：(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简；(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．
跟踪训练3 (1)证明：··＝tan .
(2)化简：2＋.
习题精练 基础巩固 强化落实
选择题
1.若cos α＝，α∈(0，π)，则cos 的值为( )
A. B.－ C.± D.±
2.下列各式与tan α相等的是( )
A. B. C. D.
3.已知cos θ＝－，－180°<θ<－90°，则cos 等于( )
A.－ B. C.－ D.
4.化简的结果是( )
A.－cos 1 B.cos 1 C.cos 1 D.－cos 1
5.已知sin α＝，cos α＝，则tan 等于( )
A.2－ B.2＋ C.－2 D.±(－2)
6.设a＝cos 6°－sin 6°，b＝2sin 13°cos 13°，c＝，则有( )
A.c7.设－3π<α<－，化简的结果是( )
A.sin ＋cos B.－cos －sin C.cos －sin D.sin －cos
8.设直角三角形中两锐角为A和B，则cos Acos B的取值范围是( )
A. B. (0,1) C. D.
9. (多选)已知2sin α＝1＋cos α，则tan 的可能取值为( )
A. B.1 C.2 D.不存在
10.＋32cos212°的值为( )
A.4 B.8 C.16 D.32
二、填空题
11.tan 20°＋4sin 20°＝________.
12.sincos化为和差的结果是______．
13.化简：··＝____________.
14.已知α－β＝，且cos α＋cos β＝，则cos(α＋β)＝____________.
15.若sin α＋sin β＝(cos β－cos α)，且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β＝____________.
三、解答题
16. (1)已知<α<3π，试化简：＋cos .
(2)已知π<α<，化简＋.
17.求证：＝.
18.已知sin＋sin α＝－，－<α<0，求cos α的值．
19.已知sin A＋sin B＋sin C＝0，cos A＋cos B＋cos C＝0，求证：cos2A＋cos2B＋cos2C＝.
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