圆锥曲线 [上下学期通用]
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文档简介
课件47张PPT。圆锥曲线董世奎 圆锥曲线中的椭圆、双曲线、抛物线是平面解析几何的重点内容，本讲主要围绕下面三个问题加以讲解：
（1）理解并掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及性质；
（2）掌握确定曲线方程的基本方法；
（3）初步了解曲线方程的应用． 例1 双曲线4x2-9y2-32x-36y+64=0的标准方程是___________，中心坐标O′( _______ )，实轴长___________，虚轴长_________，焦距_______，顶点坐标________，焦点坐标______，准线方程_____________，渐近线方程______，准线间距离_________，焦准距____________． 评析与引申
（1）求有心二次曲线与坐标系有关的性质的方法是：一求中心，二求出基
本量a，b，c， ，再以中心为准左右或上下移动即可求出，对于抛物线则以
顶点为准；
（2）求双曲线的渐近线方程，只需将方程中的常数项改为零分解因式即可． 例2 已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点M（m, －2）到焦点的距离为4，则m等于 （ ）
（A）4 （B）－2
（C）4或－4 （D）2或－2 分析 由已知可知抛物线如图所示，设所求抛物线方程为 x2 =－2py (p>0) ．由已知和抛物线定义可得 ．所求抛物线方程为：x2=－8y，将(m, －2) 代入上式m2=16?m=±4，应选(C)． 例3 在直线L：x＋y－8＝0上任
取一点M，以双曲线 的焦点为焦点，过M作椭圆，问当M点在何处时所作椭圆的长轴最短，此时椭
圆方程是什么？
分析 由已知得F1(－4, 0), F2(4, 0) . 由图，原命题?在L上求一点M，使|F1M|＋|F2M| 最小． 例4 求中心在原点，对称轴在坐标轴上，且过 的椭圆方程．
解：因为很难判断焦点在哪个坐标轴上，所以用一般式较好．可设所求椭圆方程为：
Ax2＋Cy2=F(A，C，F同号) 例5 设双曲线
（0 < a < b）的半焦距为c，直线L过点（a，0）和（0，b），已知原点到直线 L 的距离为 ，则双曲线的离心率为 （ ）
（A）2 （B）
（C） （D） 解： 如图，在Rt△AOB中，|OA|=a，|OB|=b， |AB| =c，由面积公式得： 例6 已知两点 给出下列曲线方程．
①4x＋2y－1= 0；②x2＋y2=3；
③ ；④ ．在
曲线上存在点P，满足|MP|=|NP| 的所
有曲线方程是 （ ）
（A）①③ （B）②④
（C）①②③ （D）②③④ 解：首先求出MN的垂直平分线方程是：2x＋y＋3＝0，显然与①平行，从而排除了选项(A)和(C)，由余下的(B)，(D)可知只需判断2x＋y＋3＝0与③的关系，前者代入后者得：∴△x=(24)2－4×9×16＝0
∴2x＋y＋3＝0与③有公共点，所以应选D． 评析与引申
本题既考查了直线与直线、直线与曲线的位置关系，更重要是考查了考生的分析问题的能力．当排除(A)、(C)后，根据(B)(D)的特点，找到问题的切入点是判断2x＋y＋3＝0与③的位置关系． 例7 过抛物线 y＝ax2 的焦点F 作直线 L 与抛物线交于A、B 两点，
记 | AF | =m，| BF |= n，则 等于 （ ）
（A）4a （B）－4a
（C） （D） 分析 在题设中只给出了AB过焦点
，并没有限定倾角?，这就间
接告诉我们 与AB的倾角? 无关，
这就是变量数学中的不变性．可设?＝0，
由抛物线的定义 ．
∴ ，应选（A）． 评析与引申
（1）注意到 ，其中m+n=|AB|表示弦AB的长，m·n=|AF|·|BF| 表示线段积，显然用极
坐标 和直线AB 的参数方程 ，也可以求出
．特别是用极坐标更简
捷，但这里更重要是考查学生的直觉
思维能力． （2）本题解法的逻辑依据是：
一般成立，特殊一定成立? 特殊不成立，一般一定不成立． 例8 如图，直线l1⊥l2于M点，点N?l1，以A、B为端点的曲线C上任意一点到l2的距离与到点N的距离
相等．若△AMN 为锐角三角形，
，且| BN |= 6，建立适当的坐标系，求曲线C 的方程． 分析 由已知，根据抛物线的定义，可知曲线C是以N为焦点，直线l2为准线的抛物线的一段，于是有
解: 以MN的中点O为原点，l1为x轴如图建立直角坐标系xoy．
由已知可设曲线C的方程为：
y2＝2px (p＞0，xA≤x≤xB，y＞0)又∵解得： 或 ①②
∴ 因为△AMN为锐角三角形，所以
，故p＝4，xA＝1．
由B点在曲线C上，
．
综上：曲线C的方程为
y2＝8x（1≤x≤4，y＞0）． 评析与引申
确定曲线方程基本方法之一就是布列关于未知量的方程（组），解之即可． 例9 正方形ABCD在直角坐标平面内，已知其中一条边AB在直线y＝x＋4上，C、D两点在抛物线x＝y2上，求正方形面积． 分析 由图，不难发现，求ABCD的面积?求弦CD的长．若设CD方程为y＝x＋b，则|CD|＝f(b)．又AB与CD距离为g(b)．由f(b)＝g(b)可求出b，即可求出|CD|＝f(b)． 解：设CD方程为y＝x＋b，代入y2＝x
x2＋(2b－1)x＋b2＝0
∴ .
∴
又 例10 已知定点A（a，0）（a＞0）
和定直线l ：x＝－1，B是直线l 上的动点，∠BOA 的平分线交AB于C 点，求C 点的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 的关系．
分析 这是两条动直线OC与AB的交点轨迹问题，其思路是引入变量，分别写出两条直线方程，消参数即可．αB解：当B点不在x轴上时，
设∠AOC＝?，则∠AOB＝2?，
则OC方程为y ＝x tan? ①
OB方程为y＝x tan2?
∴B（－1，－tan2?）
AB方程为： ② 由① x≠0 ∴ 代入②得
(a－1)x2－(a＋1)y2＋2ax＝0
(0＜x＜a) ③
当B点在x轴上时，C（0,0）显然在③上．综上C点的轨迹方程为
(a－1)x2－(a＋1)y2＋2ax＝0 (0≤x＜a)讨论：
（1）当a＝1时，轨迹方程化为
y2＝x(0≤x＜1)，此时，方程③表示抛物线弧段；
（2）当a≠1时，轨迹方程化为 所以，当0＜a＜1时，方程③表示椭圆弧段；
当a＞1时，方程③表示双曲线一支的弧段．
（1）理解并掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及性质；
（2）掌握确定曲线方程的基本方法；
（3）初步了解曲线方程的应用． 例1 双曲线4x2-9y2-32x-36y+64=0的标准方程是___________，中心坐标O′( _______ )，实轴长___________，虚轴长_________，焦距_______，顶点坐标________，焦点坐标______，准线方程_____________，渐近线方程______，准线间距离_________，焦准距____________． 评析与引申
（1）求有心二次曲线与坐标系有关的性质的方法是：一求中心，二求出基
本量a，b，c， ，再以中心为准左右或上下移动即可求出，对于抛物线则以
顶点为准；
（2）求双曲线的渐近线方程，只需将方程中的常数项改为零分解因式即可． 例2 已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点M（m, －2）到焦点的距离为4，则m等于 （ ）
（A）4 （B）－2
（C）4或－4 （D）2或－2 分析 由已知可知抛物线如图所示，设所求抛物线方程为 x2 =－2py (p>0) ．由已知和抛物线定义可得 ．所求抛物线方程为：x2=－8y，将(m, －2) 代入上式m2=16?m=±4，应选(C)． 例3 在直线L：x＋y－8＝0上任
取一点M，以双曲线 的焦点为焦点，过M作椭圆，问当M点在何处时所作椭圆的长轴最短，此时椭
圆方程是什么？
分析 由已知得F1(－4, 0), F2(4, 0) . 由图，原命题?在L上求一点M，使|F1M|＋|F2M| 最小． 例4 求中心在原点，对称轴在坐标轴上，且过 的椭圆方程．
解：因为很难判断焦点在哪个坐标轴上，所以用一般式较好．可设所求椭圆方程为：
Ax2＋Cy2=F(A，C，F同号) 例5 设双曲线
（0 < a < b）的半焦距为c，直线L过点（a，0）和（0，b），已知原点到直线 L 的距离为 ，则双曲线的离心率为 （ ）
（A）2 （B）
（C） （D） 解： 如图，在Rt△AOB中，|OA|=a，|OB|=b， |AB| =c，由面积公式得： 例6 已知两点 给出下列曲线方程．
①4x＋2y－1= 0；②x2＋y2=3；
③ ；④ ．在
曲线上存在点P，满足|MP|=|NP| 的所
有曲线方程是 （ ）
（A）①③ （B）②④
（C）①②③ （D）②③④ 解：首先求出MN的垂直平分线方程是：2x＋y＋3＝0，显然与①平行，从而排除了选项(A)和(C)，由余下的(B)，(D)可知只需判断2x＋y＋3＝0与③的关系，前者代入后者得：∴△x=(24)2－4×9×16＝0
∴2x＋y＋3＝0与③有公共点，所以应选D． 评析与引申
本题既考查了直线与直线、直线与曲线的位置关系，更重要是考查了考生的分析问题的能力．当排除(A)、(C)后，根据(B)(D)的特点，找到问题的切入点是判断2x＋y＋3＝0与③的位置关系． 例7 过抛物线 y＝ax2 的焦点F 作直线 L 与抛物线交于A、B 两点，
记 | AF | =m，| BF |= n，则 等于 （ ）
（A）4a （B）－4a
（C） （D） 分析 在题设中只给出了AB过焦点
，并没有限定倾角?，这就间
接告诉我们 与AB的倾角? 无关，
这就是变量数学中的不变性．可设?＝0，
由抛物线的定义 ．
∴ ，应选（A）． 评析与引申
（1）注意到 ，其中m+n=|AB|表示弦AB的长，m·n=|AF|·|BF| 表示线段积，显然用极
坐标 和直线AB 的参数方程 ，也可以求出
．特别是用极坐标更简
捷，但这里更重要是考查学生的直觉
思维能力． （2）本题解法的逻辑依据是：
一般成立，特殊一定成立? 特殊不成立，一般一定不成立． 例8 如图，直线l1⊥l2于M点，点N?l1，以A、B为端点的曲线C上任意一点到l2的距离与到点N的距离
相等．若△AMN 为锐角三角形，
，且| BN |= 6，建立适当的坐标系，求曲线C 的方程． 分析 由已知，根据抛物线的定义，可知曲线C是以N为焦点，直线l2为准线的抛物线的一段，于是有
解: 以MN的中点O为原点，l1为x轴如图建立直角坐标系xoy．
由已知可设曲线C的方程为：
y2＝2px (p＞0，xA≤x≤xB，y＞0)又∵解得： 或 ①②
∴ 因为△AMN为锐角三角形，所以
，故p＝4，xA＝1．
由B点在曲线C上，
．
综上：曲线C的方程为
y2＝8x（1≤x≤4，y＞0）． 评析与引申
确定曲线方程基本方法之一就是布列关于未知量的方程（组），解之即可． 例9 正方形ABCD在直角坐标平面内，已知其中一条边AB在直线y＝x＋4上，C、D两点在抛物线x＝y2上，求正方形面积． 分析 由图，不难发现，求ABCD的面积?求弦CD的长．若设CD方程为y＝x＋b，则|CD|＝f(b)．又AB与CD距离为g(b)．由f(b)＝g(b)可求出b，即可求出|CD|＝f(b)． 解：设CD方程为y＝x＋b，代入y2＝x
x2＋(2b－1)x＋b2＝0
∴ .
∴
又 例10 已知定点A（a，0）（a＞0）
和定直线l ：x＝－1，B是直线l 上的动点，∠BOA 的平分线交AB于C 点，求C 点的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 的关系．
分析 这是两条动直线OC与AB的交点轨迹问题，其思路是引入变量，分别写出两条直线方程，消参数即可．αB解：当B点不在x轴上时，
设∠AOC＝?，则∠AOB＝2?，
则OC方程为y ＝x tan? ①
OB方程为y＝x tan2?
∴B（－1，－tan2?）
AB方程为： ② 由① x≠0 ∴ 代入②得
(a－1)x2－(a＋1)y2＋2ax＝0
(0＜x＜a) ③
当B点在x轴上时，C（0,0）显然在③上．综上C点的轨迹方程为
(a－1)x2－(a＋1)y2＋2ax＝0 (0≤x＜a)讨论：
（1）当a＝1时，轨迹方程化为
y2＝x(0≤x＜1)，此时，方程③表示抛物线弧段；
（2）当a≠1时，轨迹方程化为 所以，当0＜a＜1时，方程③表示椭圆弧段；
当a＞1时，方程③表示双曲线一支的弧段．