2021-2022学年山东省青岛市城阳区九年级（上）期末数学试卷 含解析

2021-2022学年山东省青岛市城阳区九年级（上）期末数学试卷
一、单选题（本题满分24分，共8道小题，每小题3分）
1．（3分）方程x2＝5x的解是（　　）
A．x＝5 B．x＝0 C．x1＝﹣5；x2＝0 D．x1＝5；x2＝0
2．（3分）将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，晚上小丽在路灯下散步，在小丽由A处走到B处的过程中，她在地上的影子（　　）
A．逐渐变长 B．逐渐变短
C．先变短后变长 D．先变长后变短
4．（3分）若点A（x1，﹣4），B（x2，2），C（x3，4）都在反比例函数y＝的图象上，则x1、x2、x3的大小关系式（　　）
A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x3＜x1 C．x3＜x1＜x2 D．x1＜x3＜x2
5．（3分）随着新冠疫苗的全民接种，疫苗需求仍存在较大缺口，某制药公司引进一条新冠疫苗生产线，开工第一天生产疫苗8000盒，第三天生产疫苗9680盒，若每天的增长率相同，求每天的增长率是多少？设每天的增长率是x，则可列方程为（　　）
A．8000x＝9680
B．8000（1+x）＝9680
C．8000（1+x）2＝9680
D．8000+8000（1+x）+8000（1+x）2＝9680
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝，则tanB＝（　　）
A． B． C． D．无法确定
7．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝9，点E、F分别在边AB、CD上，∠FEB＝120°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点C恰好落在AD边C'上，则C'D的长度为（　　）
A．3 B．3 C．3 D．
8．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx的大致图象，则一次函数y＝（a+b）x﹣b的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题满分24分，共8道小题，每小题3分）
9．（3分）计算：sin30°+tan30°＝　 　．
10．（3分）在一个不透明的口袋中装有6个黄球和n个白球，它们除颜色外完全相同，若从中随机摸出一球，摸到黄球的概率为，则n的值是 　 　．
11．（3分）如图，在一块长32m、宽24米的矩形荒地上，要建造一个矩形花园，图中阴影部分是花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，花园外部四周修建宽度相同的小路，求图中的小路的宽是多少米？设小路的宽度为xm，所列方程式是 　 　．
12．（3分）若二次函数y＝﹣x2+4x﹣2m的图象与x轴没有交点，则m的取值范围是 　 　．
13．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝12，∠BCD＝60°，E是AD中点，BE交AC于点F，连接DF，则DF的长为 　 　．
14．（3分）如图，平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为（﹣2，4），将△AOB绕点A顺时针旋转90°得到△ADC，点B的对应点C恰好落在反比例函数y＝上，则k的值为 　 　．
15．（3分）如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段AD的延长线上，连接BE交CD于点F，∠BEC＝2∠AEB，点G是BF的中点，若DE＝1，BF＝10，则AB的长为 　 　．
16．（3分）如图1，是一座抛物线型拱桥侧面示意图，水面宽AB与桥长CD均为12m，在距离D点3m的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．如图2，桥面上方有3根高度均为5m的支柱CG、OH、DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为2m，下面结论正确的是 　 　（填写正确结论序号）．
①图1抛物线型拱桥的函数表达式y＝﹣x2．
②图2右边钢缆抛物线的函数表达式y＝2+2．
③图2左边钢缆抛物线的函数表达式y＝2+2．
④图2在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，彩带长度的最小值是3m．
三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写做法，但要保留作图痕迹
17．（4分）已知：△ABC中，E是AB上一点，求作：矩形EFGH，使FG在BC边上，H在AC边上．
四、解答题（本题共有8道小题，满分68分）
18．（10分）计算：
（1）2x2﹣4x+＝0（配方法）；
（2）3（x﹣2）2＝x2﹣4（用适当方法）．
19．（6分）如图是海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图坐标系．其中BC段可看成是反比例函数图象的一段，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，梯子高6米，宽1米，出口C点到BE的距离CF为11米，求：
（1）BC段所在的反比例函数关系式是什么？
（2）C点到x轴的距离CD长是多少？
（3）若滑梯BC上有一个小球Q，Q的高度不高于3米，则Q到BE的距离至少多少米？
20．（6分）小明和小红想去观看冬奥会开幕式，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：连续转动两个转盘，每个转盘被分成了面积相等的三个扇形，两人同时转动转盘，若其中一个转盘转出蓝色，另一个转盘转出红色，则可配成紫色．如果两次转盘转出的颜色相同或配成紫色，则小明去观看，否则小红去观看，你认为这个游戏对双方公平吗？
21．（8分）已知：如图， ABCD中，F是AB中点，连接DF，DF延长线交CB的延长线于点E，连接AE．
求证：（1）△AFD≌△BFE；
（2）若BF＝BC，∠EDC＝60°，判断四边形AEBD的形状，并证明你的结论．
22．（8分）如图1“海洋之星”摩天轮，是青岛最高的摩天轮．如图2，小刚从摩天轮最低处B出发沿水平方向向右行走15米到达C，再经过一段坡度为i＝3：4，坡长为5米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走一段时间后到达点E．在E处有一垂直地面的平台EF，测得EF＝12米，在点F处，测得点D的俯角为52°，摩天轮最高处A的仰角为21°．AB所在的直线垂直于地面，垂足为O，点A、B、C、D、E、F、O在同一平面内，求AO的长度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.3，sin21°≈0.36，cos21°≈0.93，tan21°≈0.4）
23．（10分）某公司销售一种商品，成本为4元/件，公司规定售价不能低于6元/件，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的几组对应数值如表：
销售单价x（元） 8 9 10 11 12
日销售量y（件） 80 75 70 65 60
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）该商品的销售单价定为多少元，公司日销售此商品获得的利润最大？最大利润是多少元？
（3）若该商品的日销售量不少于70件，公司日销售此商品获得的最大利润是多少元？
24．（10分）探究一：在平面直角坐标系中探究的几何意义
例如：已知A（1，4），B（﹣4，﹣2），如果要求A、B两点之间的距离，可以构造如图1所示的直角三角形，则A、B之间的距离为 　 　．
结论：在平面直角坐标系中，已知平面内A（x1，y1）、B（x2，y2）两点坐标，则A、B两点之间的距离等于因此，的几何意义可以理解为点A（x，y）与点B（a，b）之间的距离AB．
应用一：+的几何意义可以理解为点A（x，y）与点E（ 　 　，　 　）的距离和点A（x，y）与点F（ 　 　，　 　）的距离之和．
探究二：求代数式+的最小值．
解：+＝+
如图2，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则可以看成P（x，0）与点A（ 　 　，　 　）的距离．可以看成点P（x，0）与点B（ 　 　，　 　）的距离．
所以原代数式的值可以看成线段PA与PB的长度之和，PA+PB的最小值就是原代数式的最小值，设点A关于x轴的对称点为A'，则PA＝PA'，因此求PA+PB的最小值，只需求PA'+PB的最小值．而点A'、B之间的所有连线中线段最短，所以PA'+PB的最小值为线段A'B的长度．为此，构造直角三角形A'CB，所以A'B＝　 　．
即+的最小值为 　 　．
拓展：代数式+的最小值为 　 　．
25．（10分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝9cm，BC＝25cm，CD＝12cm，连接AC，点E从点B出发沿BC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时，点F从点C出发沿CA方向匀速运动，速度为3cm/s．过点E作EG⊥AB交AB于点G，连接EF，当一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．
（1）当点F在线段EC的垂直平分线上时，求t的值；
（2）当四边形AGEF是矩形时，求t的值；
（3）设四边形AGEF的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（4）取CD的中点Q，是否存在某一时刻t，使得点E、F、Q在同一条直线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
2021-2022学年山东省青岛市城阳区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本题满分24分，共8道小题，每小题3分）
1．（3分）方程x2＝5x的解是（　　）
A．x＝5 B．x＝0 C．x1＝﹣5；x2＝0 D．x1＝5；x2＝0
【分析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：x2﹣5x＝0，
x（x﹣5）＝0，
x＝0或x﹣5＝0，
所以x1＝0，x2＝5，
故选：D．
2．（3分）将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据俯视图的画法画出它的俯视图即可．
【解答】解：这个几何体的俯视图为：
故选：C．
3．（3分）如图，晚上小丽在路灯下散步，在小丽由A处走到B处的过程中，她在地上的影子（　　）
A．逐渐变长 B．逐渐变短
C．先变短后变长 D．先变长后变短
【分析】小亮由A处径直路灯下，他得影子由长变短，再从路灯下到B处，他的影子则由短变长．
【解答】解：在小亮从A点走向B点的过程中，他在地上的影子先变短后变长．
故选：C．
4．（3分）若点A（x1，﹣4），B（x2，2），C（x3，4）都在反比例函数y＝的图象上，则x1、x2、x3的大小关系式（　　）
A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x3＜x1 C．x3＜x1＜x2 D．x1＜x3＜x2
【分析】解法一：直接将点A、B、C的坐标代入反比例函数y＝中，求出x1、x2、x3，再比较大小即可．
解法二：根据反比例函数的图象和性质，结合点A、B、C纵坐标的数值，即可解答．
【解答】解法一：解：在反比例函数y＝中，
当y＝﹣4时，x1＝﹣2，
当y＝2时，x2＝4，
当y＝4时，x3＝2，
∴x1＜x3＜x2．
故选：D．
解法二：解：在反比例函数y＝中，k＝8＞0，
∴函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点B、C在第一象限，且2＜4，
∴x2＞x3＞0，
∵点A在第三象限，
∴x1＜0，
∴x1＜x3＜x2，
故选：D．
5．（3分）随着新冠疫苗的全民接种，疫苗需求仍存在较大缺口，某制药公司引进一条新冠疫苗生产线，开工第一天生产疫苗8000盒，第三天生产疫苗9680盒，若每天的增长率相同，求每天的增长率是多少？设每天的增长率是x，则可列方程为（　　）
A．8000x＝9680
B．8000（1+x）＝9680
C．8000（1+x）2＝9680
D．8000+8000（1+x）+8000（1+x）2＝9680
【分析】利用第三天生产疫苗的数量＝第一天生产疫苗的数量×（1+每天的增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得8000（1+x）2＝9680，
故选：C．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝，则tanB＝（　　）
A． B． C． D．无法确定
【分析】根据锐角三角函数的定义求出AC，再根据勾股定理求出BC，由锐角三角函数的定义可得答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∵AB＝5，cosA＝＝，
∴AC＝4，
∴BC＝＝3，
∴tanB＝＝，
故选：A．
7．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝9，点E、F分别在边AB、CD上，∠FEB＝120°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点C恰好落在AD边C'上，则C'D的长度为（　　）
A．3 B．3 C．3 D．
【分析】根据翻折的性质和正方形及勾股定理的有关性质求解．
【解答】解：在正方形ABCD中，CD＝AB＝9，CD∥AB，∠D＝90°，
∴∠FEB+∠EFC＝180°，
∴∠EFC＝∠C′FE＝60°，
∴∠C′FD＝180°﹣∠EFC﹣∠C′FE＝60°，
∴∠DC′F＝30°，
∴C′F＝2DF，
又∵C′F＝CF，CF+DF＝9，
∴DF＝3，C′F＝6，
∴C′D＝＝3，
故选：B．
8．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx的大致图象，则一次函数y＝（a+b）x﹣b的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、﹣b、a+b的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，本题得以解决．
【解答】解：由二次函数的图象可知，
a＜0，b＜0，
∴a+b＜0，﹣b＞0，
∴一次函数y＝（a+b）x﹣b的图象在第一、二、四象限，
故选：B．
二、填空题（本题满分24分，共8道小题，每小题3分）
9．（3分）计算：sin30°+tan30°＝　1　．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案．
【解答】解：原式＝+×
＝+
＝1．
故答案为：1．
10．（3分）在一个不透明的口袋中装有6个黄球和n个白球，它们除颜色外完全相同，若从中随机摸出一球，摸到黄球的概率为，则n的值是 　18　．
【分析】根据口袋中装有6个黄球和n个白球，故球的总个数为（6+n），再根据黄球的概率公式列式解答即可．
【解答】解：根据题意得：＝，
解得n＝18．
经检验，n＝18是原分式方程的解．
故答案为：18．
11．（3分）如图，在一块长32m、宽24米的矩形荒地上，要建造一个矩形花园，图中阴影部分是花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，花园外部四周修建宽度相同的小路，求图中的小路的宽是多少米？设小路的宽度为xm，所列方程式是 　（32﹣2x）（24﹣2x）＝×32×24　．
【分析】根据小路的宽度，可得出矩形花园的长为（32﹣2x）m，宽为（24﹣2x）m，结合矩形花园所占面积为荒地面积的一半，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵小路的宽度为xm，
∴矩形花园的长为（32﹣2x）m，宽为（24﹣2x）m．
根据题意得：（32﹣2x）（24﹣2x）＝×32×24，
故答案为：（32﹣2x）（24﹣2x）＝×32×24．
12．（3分）若二次函数y＝﹣x2+4x﹣2m的图象与x轴没有交点，则m的取值范围是 　m＞2　．
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝42﹣4×（﹣1）×（﹣2m）＜0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+4x﹣2m的图象与x轴没有交点，
∴Δ＝42﹣4×（﹣1）×（﹣2m）＜0，
解得m＞2．
故答案为：m＞2．
13．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝12，∠BCD＝60°，E是AD中点，BE交AC于点F，连接DF，则DF的长为 　4　．
【分析】连接BD，则△ABD为等边三角形，点F为△ABD的外心，利用等边三角形的性质，可得出BE的长，由∠EDF＝30°，可得出DF＝2EF，进而可求出DF的长．
【解答】解：连接BD，则△ABD为等边三角形，点F为△ABD的外心，如图所示．
∵E是AD中点，AB＝12，
∴BE⊥AD，AE＝AB＝×12＝6，
∴BE＝＝＝6．
又∵∠EDF＝×60°＝30°，
∴DF＝2EF，
∴DF＝BF＝BE＝×6＝4．
故答案为：4．
14．（3分）如图，平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为（﹣2，4），将△AOB绕点A顺时针旋转90°得到△ADC，点B的对应点C恰好落在反比例函数y＝上，则k的值为 　﹣24　．
【分析】根据题意和旋转的性质，可以得到点C的坐标，由点C恰好落在反比例函数y＝上，从而可以得到k的值，本题得以解决．
【解答】解：∵OB在x轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为（﹣2，4），将△AOB绕点A顺时针旋转90°得到△ADC，∴点C的坐标为（﹣6，4），
∵点B的对应点C恰好落在反比例函数y＝上，
∴4＝，
解得，k＝﹣24，
故答案为：﹣24．
15．（3分）如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段AD的延长线上，连接BE交CD于点F，∠BEC＝2∠AEB，点G是BF的中点，若DE＝1，BF＝10，则AB的长为 　2　．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BG＝FG＝GC＝BF＝5，然后根据等边对等角的性质可得∠GBC＝∠GCB，再结合两直线平行，内错角相等可得∠GBC＝∠AEB，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠CGE＝2∠AEB，从而得到∠BEC＝∠CGE，再利用等角对等边的性质得到CE＝CG，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCF＝90°，
∵点G是BF的中点，
∴BG＝FG＝GC＝BF＝5，
∴∠GBC＝∠GCB，
∵AD∥BC，
∴∠GBC＝∠AEB，
∴∠CGE＝∠GBC+∠GCB＝2∠GBC＝2∠AEB，
∵∠BEC＝2∠AEB，
∴∠BEC＝∠CGE，
∴CE＝CG＝5，
在Rt△CDE中，DE＝1，
∴CD＝＝＝2．
∴AB＝CD＝2．
故答案为：2．
16．（3分）如图1，是一座抛物线型拱桥侧面示意图，水面宽AB与桥长CD均为12m，在距离D点3m的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．如图2，桥面上方有3根高度均为5m的支柱CG、OH、DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为2m，下面结论正确的是 　①②③④　（填写正确结论序号）．
①图1抛物线型拱桥的函数表达式y＝﹣x2．
②图2右边钢缆抛物线的函数表达式y＝2+2．
③图2左边钢缆抛物线的函数表达式y＝2+2．
④图2在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，彩带长度的最小值是3m．
【分析】①利用待定系数法求函数解析式，然后结合二次函数图象上点的坐标特征计算求解；
②由图象分析右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（3，2），然后利用待定系数法求函数解析式；
③用与②相同的方法即可求出函数解析式；
④彩带的长度为Lm，利用L（x﹣3）2+2﹣（﹣x2）＝（x﹣2）2+3，由函数的性质即可得出结论．
【解答】解：根据题意可知点F的坐标为（3，﹣1.5），
可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：y1＝a1x2，
将F（3，﹣1.5）代入y1＝a1x2有：﹣1.5＝9a1，
解得a1＝﹣，
∴y1＝﹣x2，
故①正确；
由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（3，2），可设其表达式为y＝a2（x﹣3）2+2，
将H（0，5）代入其表达式有：5＝a2（0﹣3）2+2，
解得a2＝，
∴右边钢缆所在抛物线表达式为：y＝（x﹣3）2+2，
故②正确；
同理可知，③正确；
设彩带的长度为Lm，
则L＝（x﹣3）2+2﹣（﹣x2）＝x2﹣2x+5+x2＝x2﹣2x+5＝（x﹣2）2+3．
∵＞0，
∴当x＝2时，L最小，最小值为3．
故④正确．
故答案为：①②③④．
三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写做法，但要保留作图痕迹
17．（4分）已知：△ABC中，E是AB上一点，求作：矩形EFGH，使FG在BC边上，H在AC边上．
【分析】根据要求作出图形即可．
【解答】解：如图，矩形EFGH即为所求．
四、解答题（本题共有8道小题，满分68分）
18．（10分）计算：
（1）2x2﹣4x+＝0（配方法）；
（2）3（x﹣2）2＝x2﹣4（用适当方法）．
【分析】（1）利用配方法得到（x﹣1）2＝，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先把方程化为3（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝0，再利用因式分解法把方程转化为x﹣2＝0或3x﹣6﹣x﹣2＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（1）2x2﹣4x+＝0，
2x2﹣4x＝﹣，
x2﹣2x＝﹣，
x2﹣2x+1＝﹣+1，
（x﹣1）2＝，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）3（x﹣2）2＝x2﹣4，
3（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（3x﹣6﹣x﹣2）＝0，
x﹣2＝0或3x﹣6﹣x﹣2＝0，
所以x1＝2，x2＝4．
19．（6分）如图是海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图坐标系．其中BC段可看成是反比例函数图象的一段，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，梯子高6米，宽1米，出口C点到BE的距离CF为11米，求：
（1）BC段所在的反比例函数关系式是什么？
（2）C点到x轴的距离CD长是多少？
（3）若滑梯BC上有一个小球Q，Q的高度不高于3米，则Q到BE的距离至少多少米？
【分析】（1）根据矩形的性质得到BE＝OA＝6，AB＝1，求得B（1，6），设双曲线BC的解析式为y＝，得到k＝6，于是得到结论；
（2）根据题意写出点C的横坐标，然后代入（1）中解析式求出y即可；
（3）令y≤3，解出x的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵四边形AOEB是矩形，
∴BE＝OA＝6，AB＝1，
∴B（1，6），
设双曲线BC的解析式为y＝，
∴k＝6，
∴BC段所在的反比例函数关系式是y＝；
（2）∵CF＝11，
∴点C的横坐标为12，
∴当x＝12时，y＝＝，
∴CD长为米；
（3）∵Q的高度不高于3米，即y≤3，
∴≤3，
解得x≥2，
∴x﹣1≥1，
∴Q到BE的距离至少1米，
20．（6分）小明和小红想去观看冬奥会开幕式，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：连续转动两个转盘，每个转盘被分成了面积相等的三个扇形，两人同时转动转盘，若其中一个转盘转出蓝色，另一个转盘转出红色，则可配成紫色．如果两次转盘转出的颜色相同或配成紫色，则小明去观看，否则小红去观看，你认为这个游戏对双方公平吗？
【分析】分别计算出小明观看和小红观看的概率，比较大小即可得出结论．
【解答】解：这个游戏对双方不公平，理由如下：
列表如下：
红 白 蓝
红 （红，红） （白，红） （蓝，红）
黄 （红，黄） （白，黄） （蓝，黄）
蓝 （红，蓝） （白，蓝） （蓝，蓝）
由表知，共有9种等可能结果，其中两次转盘转出的颜色相同或配成紫色的有4种结果，
∴小明去观看的概率为，
则小红去看的概率为1﹣＝，
∵≠，
∴这个游戏对双方不公平．
21．（8分）已知：如图， ABCD中，F是AB中点，连接DF，DF延长线交CB的延长线于点E，连接AE．
求证：（1）△AFD≌△BFE；
（2）若BF＝BC，∠EDC＝60°，判断四边形AEBD的形状，并证明你的结论．
【分析】（1）根据ASA即可证明△AFD≌△BFE；
（2）结合（1）得出AD＝EB，又AD∥EB，则四边形AEBD是平行四边形，根据BF＝BC，∠EDC＝60°，得△BFE是等边三角形，所以BF＝EF＝AF＝DF，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠DAF＝∠EBF，
∵点F是AB的中点，
∴AF＝BF，
在△AFD和△BFE中，
，
∴△AFD≌△BFE（ASA）；
（2）解：四边形AEBD是矩形，
证明：∵△AFD≌△BFE，
∴AD＝EB，
∵AD∥EB，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∴BE＝DA＝BC，
∵BF＝BC，
∴BF＝BE，
∵AB∥CD，
∴∠BFE＝∠EDC＝60°，
∴△BFE是等边三角形，
∴BF＝EF＝AF＝DF，
∴AB＝DE，
∴平行四边形AEBD是矩形．
22．（8分）如图1“海洋之星”摩天轮，是青岛最高的摩天轮．如图2，小刚从摩天轮最低处B出发沿水平方向向右行走15米到达C，再经过一段坡度为i＝3：4，坡长为5米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走一段时间后到达点E．在E处有一垂直地面的平台EF，测得EF＝12米，在点F处，测得点D的俯角为52°，摩天轮最高处A的仰角为21°．AB所在的直线垂直于地面，垂足为O，点A、B、C、D、E、F、O在同一平面内，求AO的长度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.3，sin21°≈0.36，cos21°≈0.93，tan21°≈0.4）
【分析】过点C作CG⊥EO，垂足为G，过点F作FH⊥AO，垂足为H，根据题意可得：BC＝GO＝15米，FH＝EO，EF＝HO＝12米，∠AFH＝21°，∠HFD＝52°，FH∥EO，从而利用平行线的性质可得∠FDE＝52°，再根据已知可设CG＝3k米，则DG＝4k米，从而利用勾股定理进行计算求出DG＝4米，然后在Rt△EFD中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，从而求出EO的长，最后在Rt△AFH中，利用锐角三角函数的定义求出AH的长，进行计算即可解答．
【解答】解：过点C作CG⊥EO，垂足为G，过点F作FH⊥AO，垂足为H，
由题意得：
BC＝GO＝15米，FH＝EO，EF＝HO＝12米，∠AFH＝21°，∠HFD＝52°，FH∥EO，
∴∠HFD＝∠FDE＝52°，
∵斜坡CD的坡度为i＝3：4，
∴＝，
∴设CG＝3k米，则DG＝4k米，
∴CD＝＝＝5k（米），
∵CD＝5米，
∴5k＝5，
∴k＝1，
∴DG＝4米，
在Rt△EFD中，EF＝12米，
∴DE＝≈≈9.2（米），
∴FH＝EO＝ED+DG+GO＝9.2+4+15＝28.2（米），
在Rt△AFH中，AH＝FH tan21°≈28.2×0.4＝11.28（米），
∴AO＝AH+EF＝11.28+12≈23（米），
∴AO的长度约为23米．
23．（10分）某公司销售一种商品，成本为4元/件，公司规定售价不能低于6元/件，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的几组对应数值如表：
销售单价x（元） 8 9 10 11 12
日销售量y（件） 80 75 70 65 60
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）该商品的销售单价定为多少元，公司日销售此商品获得的利润最大？最大利润是多少元？
（3）若该商品的日销售量不少于70件，公司日销售此商品获得的最大利润是多少元？
【分析】（1）根据题中所给的表格中的数据，利用待定系数法可得其关系式；
（2）根据利润等于每件的利润乘以销售量列出函数解析式，根据函数的性质和自变量x的取值范围求函数最值；
（3）根据售价不能低于6元/件和该商品的日销售量不少于70件求出x的取值范围，再根据（2）中函数解析式，由函数的性质最值．
【解答】解：（1）设y与x的解析式为y＝kx+b，
将（8，80）和（10，70）代入，
可得，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣5x+120；
（2）设公司销售该商品获得的日利润为w元，
w＝（x﹣4）y＝（x﹣4）（﹣5x+120）＝﹣5x2+140x﹣480＝﹣5（x﹣14）2+500，
∵x≥6，且﹣5x+120≥0，
∴6≤x≤24，
∵﹣5＜0，
∴当x＝14时，w有最大值，最大值为500，
答：该商品的销售单价定为14元，公司日销售此商品获得的利润最大，最大利润是500元；
（3）当﹣5x+120≥70时，
解得x≤10，
∴6≤x≤10，
由（2）知，w＝﹣5（x﹣14）2+500，
∵﹣5＜0，
∴当x＜14时，w随x的增大而增大，
∴当x＝10时，w最大，最大值为420，
答：该商品的日销售量不少于70件，公司日销售此商品获得的最大利润是420元．
24．（10分）探究一：在平面直角坐标系中探究的几何意义
例如：已知A（1，4），B（﹣4，﹣2），如果要求A、B两点之间的距离，可以构造如图1所示的直角三角形，则A、B之间的距离为 　　．
结论：在平面直角坐标系中，已知平面内A（x1，y1）、B（x2，y2）两点坐标，则A、B两点之间的距离等于因此，的几何意义可以理解为点A（x，y）与点B（a，b）之间的距离AB．
应用一：+的几何意义可以理解为点A（x，y）与点E（ 　﹣1　，　﹣2　）的距离和点A（x，y）与点F（ 　﹣3　，　﹣5　）的距离之和．
探究二：求代数式+的最小值．
解：+＝+
如图2，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则可以看成P（x，0）与点A（ 　0　，　2　）的距离．可以看成点P（x，0）与点B（ 　3　，　3　）的距离．
所以原代数式的值可以看成线段PA与PB的长度之和，PA+PB的最小值就是原代数式的最小值，设点A关于x轴的对称点为A'，则PA＝PA'，因此求PA+PB的最小值，只需求PA'+PB的最小值．而点A'、B之间的所有连线中线段最短，所以PA'+PB的最小值为线段A'B的长度．为此，构造直角三角形A'CB，所以A'B＝　　．
即+的最小值为 　　．
拓展：代数式+的最小值为 　　．
【分析】探究一：利用勾股定理求解即可；
应用一：利用勾股定理，数形结合的思想解决问题即可；
探究二：利用数形结合的思想，再根据轴对称的性质解决最短问题；
拓展：模仿例题解决问题即可．
【解答】解：探究一：AB＝＝．
故答案为：；
应用一：+的几何意义可以理解为点A（x，y）与点E（﹣1，﹣2）的距离和点A（x，y）与点F（﹣3，﹣5）的距离之和．
故答案为：﹣1，﹣3，3，﹣5；
探究二：建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则可以看成P（x，0）与点A（0，2）的距离．可以看成点P（x，0）与点B（3，3）的距离．
所以原代数式的值可以看成线段PA与PB的长度之和，PA+PB的最小值就是原代数式的最小值，设点A关于x轴的对称点为A'，则PA＝PA'，因此求PA+PB的最小值，只需求PA'+PB的最小值．而点A'、B之间的所有连线中线段最短，所以PA'+PB的最小值为线段A'B的长度．为此，构造直角三角形A'CB，所以A'B＝＝．
即+的最小值为；
故答案为：0，2，3，3，，；
拓展：+＝+，
欲求+的最小值，相当于在x轴上取一点Q（x，0），使得点Q到E（3，2），F（4，1）的距离和最小．
作点F关于x轴的对称点F′，连接EF′交x轴于点Q，连接FQ，此时QE+QF的值最小，最小值＝EF′的长＝＝．
故答案为：．
25．（10分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝9cm，BC＝25cm，CD＝12cm，连接AC，点E从点B出发沿BC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时，点F从点C出发沿CA方向匀速运动，速度为3cm/s．过点E作EG⊥AB交AB于点G，连接EF，当一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．
（1）当点F在线段EC的垂直平分线上时，求t的值；
（2）当四边形AGEF是矩形时，求t的值；
（3）设四边形AGEF的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（4）取CD的中点Q，是否存在某一时刻t，使得点E、F、Q在同一条直线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）过点F作FH⊥BC于点H，由勾股定理求得AC，再证明△ACD∽△CFH，用t表示CH，由当点F在线段EC的垂直平分线上时，得CE＝2CH，列出t的方程求得t的值便可；
（2）当四边形AGEF是矩形时，则EF∥AB，得△CEF∽△CBA，进而列出t的方程求解便可；
（3）先证明△ACD∽△CBA，得∠BAC＝90°，求得AB，再证∴△BGE∽△BAC，用t表示BG，EG，FH，根据S＝S△ABC﹣S△BEG﹣S△CEF得出结果便可；
（4）过Q点作PQ∥AD，与AC交于点P，如图，则PQ∥BC，当E、P、Q三点共线时，△PQF∽△CBF，根据相似三角形的性质列出t的方程，若方程有无解，则不存在某一时刻t，使得点E、F、Q在同一条直线上，若方程有解，则存在某一时刻t，使得点E、F、Q在同一条直线上，求得其解便可．
【解答】解：（1）过点F作FH⊥BC于点H，如图，
∵∠D＝90°，AD＝9cm，CD＝12cm，
∴AC＝15cm，
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠FCH，
∵∠D＝∠CHF＝90°，
∴△ACD∽△CFH，
∴，即，
∴CH＝，
当点F在线段EC的垂直平分线上时，则CE＝2CH，
即25﹣4t＝t，
解得t＝；
（2）当四边形AGEF是矩形时，则EF∥AB，
∴△CEF∽△CBA，
∴，即，
解得t＝；
（3）∵AD＝9cm，AC＝15cm，BC＝25cm，
∴，
∵∠CAD＝∠BCA，
∴△ACD∽△CBA，
∴∠D＝∠BAC＝90°，
∴AB＝＝20（cm），
∵EG⊥AB，
∴EG∥AC，
∴△BGE∽△BAC，
∴，即，
∴BG＝t（cm），EG＝t（cm），
∵FH＝，
∴S＝S△ABC﹣S△BEG﹣S△CEF＝＝＝﹣，
即S＝﹣（0≤t≤5）；
（4）过Q点作PQ∥AD，与AC交于点P，如图，则PQ∥BC，
∵Q是CD的中点，
∴PC＝PA＝cm，PQ＝AD＝，
∴PF＝CP﹣CF＝﹣3t，
当E、P、Q三点共线时，
∵PQ∥BC，
∴△PQF∽△CBF，
∴，即，
整理得，8t2﹣79t+125＝0，
解得t＝＞5（舍）或t＝，
故存在某一时刻t＝s时，使得点E、F、Q在同一条直线上．