2021-2022学年上海市普陀区七校联考八年级（上）期末数学试卷 (含解析)

2021-2022学年上海市普陀区七校联考八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．（3分）下列各式中与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列各式中，是的有理化因式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）如果关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣1＝0的常数项为0，那么m的值等于（　　）
A．1 或﹣1 B．1 C．﹣1 D．0
4．（3分）下列函数中，y的值随着x的值增大而减小的是（　　）
A．y＝ B．y＝﹣2x C．y＝﹣ D．y＝2x
5．（3分）用下列几组边长构成的三角形中哪一组不是直角三角形（　　）
A．8，15，17 B．，， C．，2， D．1，2，
6．（3分）下列命题的逆命题错误的是（　　）
A．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等
B．全等三角形的三条边对应相等
C．如果两个角都是直角，那么这两个角相等
D．等边三角形每个内角都等于60°
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．（2分）化简：（x＞0）＝　 　．
8．（2分）函数的定义域是　 　．
9．（2分）方程：x（x﹣1）＝2x的根是　 　．
10．（2分）不解方程，判别方程3x2+4x＝﹣2的根的情况：　 　．
11．（2分）在实数范围内分解因式：2x2﹣4x﹣2＝　 　．
12．（2分）已知：f（x）＝，那么f（0）＝　 　．
13．（2分）某商店八月份的营业额是100万元，预计十月份的营业额可达到144万元，如果九、十月份营业额的月增长率相同，那么这个商店营业额的月增长率为　 　．
14．（2分）已知点A（x1，y1）和点B（x2，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，且x1＜0＜x2，判断y1、y2的大小关系：y1　 　y2．（填“＞”、“＝”、“＜”）
15．（2分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB边的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，则∠DBC＝　 　．
16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CH⊥AB于H，如果CH＝AC，那么∠B＝　 　度．
17．（2分）若直角三角形中有两边长分别为6和8，那么第三边长应该为　 　．
18．（2分）如图，△ABC中，∠C＝50°，将△ABC绕着点A顺时针旋转到△ADE的位置，此时，点E正好落在边BC上，那么∠BED＝　 　度．
三、解答题（本大题共4题，满分24分）
19．（6分）计算：﹣+6．
20．（6分）解方程：x（x﹣）＝3x﹣4．
21．（6分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m＝1（m为常数）．如果方程根的判别式为1，求m的值及该方程的根．
22．（6分）已知，如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BD＝CD．求证：AB＝AC．
四、解答题（本大题共4题，第23-25题每题8分，第26题10分，满分34分）
23．（8分）甲、乙两车分别从A地将一批物资运往B地，两车离A地的距离s（千米）与其相关的时间t（小时）变化的图象如图所示．读图后填空：
（1）A地与B地之间的距离是　 　千米；
（2）甲车由A地前往B地时所对应的s与t的函数解析式是　 　；
（3）甲车出发　 　小时后被乙车追上；
（4）甲车由A地前往B地比乙车由A地前往B地多用了　 　小时．
24．（8分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AD平分∠BAC，MN是AD的垂直平分线，交AD于点M，交AB于点N，已知DC＝2，求AN的长．
25．（8分）已知直线y＝kx（k≠0）与双曲线y＝在第一象限交于A点，且点A的横坐标为4，点B在双曲线上．
（1）求直线的函数解析式；
（2）若点B的纵坐标为8，求△OAB的面积．
26．（10分）已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点M是边AC上一动点（与点A、C不重合），点N在边CB的延长线上，且AM＝BN，连接MN交边AB于点P．
（1）求证：MP＝NP；
（2）若设AM＝x，BP＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当△BPN是等腰三角形时，求AM的长．
2021-2022学年上海市普陀区七校联考八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．（3分）下列各式中与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】化简二次根式，即可判定．
【解答】解：A、与不是同类二次根式；
B、与是同类二次根式；
C、与不是同类二次根式；
D、与不是同类二次根式；
故选：B．
2．（3分）下列各式中，是的有理化因式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据有理化因式的定义逐个判断即可．
【解答】解：的有理化因式是a﹣2．
故选：D．
3．（3分）如果关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣1＝0的常数项为0，那么m的值等于（　　）
A．1 或﹣1 B．1 C．﹣1 D．0
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣1＝0的常数项为0，
∴m2﹣1＝0且m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1，
故选：C．
4．（3分）下列函数中，y的值随着x的值增大而减小的是（　　）
A．y＝ B．y＝﹣2x C．y＝﹣ D．y＝2x
【分析】根据正比例函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断．
【解答】解：A、y＝是反比例函数，∵2＞0，故在每一象限内y随x的增大而减小，不符合题意；
B、y＝﹣2x是正比例函数，k＝﹣2＜0，故y随着x增大而减小，符合题意；
C、y＝是反比例函数，∵﹣2＜0，故在第一象限内y随x的增大而减小，不符合题意；
D、y＝2x，正比例函数，k＞0，故y随着x增大而增大，不符合题意；
故选：B．
5．（3分）用下列几组边长构成的三角形中哪一组不是直角三角形（　　）
A．8，15，17 B．，， C．，2， D．1，2，
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
【解答】解：A、∵82+152＝172，∴此三角形为直角三角形，故选项错误；
B、∵（）2+（）2＝（）2，∴此三角形是直角三角形，故选项错误；
C、∵（）2+22≠（）2，∴此三角形不是直角三角形，故选项正确；
D、∵12+22＝（）2，∴此三角形为直角三角形，故选项错误．
故选：C．
6．（3分）下列命题的逆命题错误的是（　　）
A．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等
B．全等三角形的三条边对应相等
C．如果两个角都是直角，那么这两个角相等
D．等边三角形每个内角都等于60°
【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可．
【解答】解：A、逆命题为到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，不符合题意；
B、逆命题为三条边对应相等的两个三角形全等，正确，不符合题意；
C、逆命题为相等的两个角为直角，错误，符合题意；
D、逆命题为三个内角都为60°的三角形是等边三角形，正确，不符合题意．
故选：C．
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．（2分）化简：（x＞0）＝　3x　．
【分析】根据二次根式的性质化简，即可解答．
【解答】解：＝．
故答案为：3x．
8．（2分）函数的定义域是　x≥3　．
【分析】根据二次根式的性质的意义，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0，
解得：x≥3．
故答案为x≥3．
9．（2分）方程：x（x﹣1）＝2x的根是　0或3　．
【分析】先移项，然后利用提取公因式法对等式的左边进行因式分解，最后解方程即可．
【解答】解：由原方程，得
x（x﹣1﹣2）＝0，即x（x﹣3）＝0，
所以x＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝0，x2＝3，
故答案是：0或3．
10．（2分）不解方程，判别方程3x2+4x＝﹣2的根的情况：　方程没有实数根　．
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．
【解答】解：∵3x2+4x＝﹣2，
∴3x2+4x+2＝0，
∵Δ＝42﹣4×3×2＝﹣8＜0，
∴方程没有实数根．
故答案为：方程没有实数根．
11．（2分）在实数范围内分解因式：2x2﹣4x﹣2＝　2（x﹣1﹣）（x﹣1+）　．
【分析】先提公因式，再求出相应方程的根，即可进行因式分解．
【解答】解：∵2x2﹣4x﹣2＝2（x2﹣2x﹣1）．
又∵x2﹣2x﹣1＝0的根为x1＝1+，x2＝1﹣．
则2x2﹣4x﹣2＝2（x2﹣2x﹣1）＝2（x﹣1﹣）（x﹣1+）．
故答案为2（x﹣1﹣）（x﹣1+）．
12．（2分）已知：f（x）＝，那么f（0）＝　6　．
【分析】直接利用已知公式将x的值代入求出答案．
【解答】解：∵f（x）＝，
∴f（0）＝＝6．
故答案为：6．
13．（2分）某商店八月份的营业额是100万元，预计十月份的营业额可达到144万元，如果九、十月份营业额的月增长率相同，那么这个商店营业额的月增长率为　20%　．
【分析】设这个商店营业额的月增长率为x，关系式为：8月份的营业额×（1+增长率）2＝10月份的营业额，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设这个商店营业额的月增长率为x，依题意有
100×（1+x）2＝144，
（1+x）2＝1.44，
∵1+x＞0，
∴1+x＝1.2，
x＝0.2＝20%．
故答案为：20%．
14．（2分）已知点A（x1，y1）和点B（x2，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，且x1＜0＜x2，判断y1、y2的大小关系：y1　＞　y2．（填“＞”、“＝”、“＜”）
【分析】首先根据函数关系式画出草图，然后根据图象可直接得到y1、y2、y3的大小关系．
【解答】解：反比例函数y＝（k＜0）的图象上经过第二、四象限，
如图所示：∵x1＜0＜x2，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
15．（2分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB边的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，则∠DBC＝　15°　．
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ABC的度数，再由线段垂直平分线的性质得出∠A＝∠ABD，进而可得出结论．
【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝50°，AB＝AC，
∴∠ABC＝（180°﹣∠A）＝65°．
∵AB边的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝50°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝65°﹣50°＝15°．
故答案为15°．
16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CH⊥AB于H，如果CH＝AC，那么∠B＝　60　度．
【分析】根据垂直定义可得∠AHC＝90°，然后在Rt△AHC中，利用含30度角的直角三角形的性质可得∠A＝30°，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答．
【解答】解：∵CH⊥AB，
∴∠AHC＝90°，
∵CH＝AC，
∴∠A＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，
故答案为：60．
17．（2分）若直角三角形中有两边长分别为6和8，那么第三边长应该为　10或2　．
【分析】分8是直角边和8是斜边两种情况，根据勾股定理计算．
【解答】解：当8是直角边时，第三边长＝＝10，
当8是斜边时，第三边长＝＝2，
故答案为：10或2．
18．（2分）如图，△ABC中，∠C＝50°，将△ABC绕着点A顺时针旋转到△ADE的位置，此时，点E正好落在边BC上，那么∠BED＝　80　度．
【分析】先根据旋转的性质得出△ADE≌△ABC，则∠AED＝∠C，AE＝AC，再由等边对等角得出∠AEC＝∠C，然后根据平角的定义即可求得∠BED的度数．
【解答】解：∵将△ABC绕着点A顺时针旋转到△ADE的位置，
∴△ADE≌△ABC，
∴∠AED＝∠C＝50°，AE＝AC，
∴∠AEC＝∠C＝50°，
∴∠BED＝180°﹣（∠AED+∠AEC）＝180°﹣（50°+50°）＝80°．
故答案是：80．
三、解答题（本大题共4题，满分24分）
19．（6分）计算：﹣+6．
【分析】先分母有理化，然后把各二次根式化为最简二次根式后合并即可．
【解答】解：原式＝5+2++2
＝8+2．
20．（6分）解方程：x（x﹣）＝3x﹣4．
【分析】方程去括号，去分母整理后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：去括号得：x2﹣4x＝3x﹣4，
去分母得：3x2﹣8x＝6x﹣8，即3x2﹣14x+8＝0，
分解因式得：（x﹣4）（3x﹣2）＝0，
解得x1＝4，x2＝．
21．（6分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m＝1（m为常数）．如果方程根的判别式为1，求m的值及该方程的根．
【分析】由一元二次方程的Δ＝b2﹣4ac＝1，建立m的方程，求出m的解．
【解答】解：原方程化为mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1＝0，
∵关于x的一元二次方程根的判别式为1，
∴m≠0，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣1）＝1，
解得：m1＝0（不符合题意，舍去），m2＝2，
∴原方程化为：2x2﹣5x+3＝0，
∴x1＝1，x2＝．
22．（6分）已知，如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BD＝CD．求证：AB＝AC．
【分析】欲证明AB＝AC，利用全等三角形的性质证明∠B＝∠C即可；
【解答】证明：∵AD平分∠BAC（已知），
∴∠EAD＝∠FAD（角平分线的定义），
∵DE⊥AB，DF⊥AC （已知），
∴∠DEA＝∠DFA（垂直的意义），
又∵AD＝AD（公共边），
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴DE＝DF（全等三角形对应边相等），
∵DB＝DC（已知），∠BED＝∠DFC＝90°，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴∠B＝∠C（全等三角形对应角相等），
∴AB＝AC（等角对等边）．
四、解答题（本大题共4题，第23-25题每题8分，第26题10分，满分34分）
23．（8分）甲、乙两车分别从A地将一批物资运往B地，两车离A地的距离s（千米）与其相关的时间t（小时）变化的图象如图所示．读图后填空：
（1）A地与B地之间的距离是　60　千米；
（2）甲车由A地前往B地时所对应的s与t的函数解析式是　s＝20t　；
（3）甲车出发　1.5　小时后被乙车追上；
（4）甲车由A地前往B地比乙车由A地前往B地多用了　2　小时．
【分析】（1）由图象直接得出A地与B地之间的距离是60千米；
（2）设s与t的函数解析式是s＝kt，代入（3，60），得出答案即可；
（3）甲车的函数解析式建立方程求得答案即可；
（4）由图象两车由A地前往B地所用时间，再进一步得出答案即可．
【解答】解：（1）A地与B地之间的距离是60千米；
（2）甲车由A地前往B地时所对应的s与t的函数解析式是乙车由A地前往B地时所对应的s与t的函数解析式，代入（3，60），得s＝20t；
（3）由题意可知20t＝30，
解得t＝1.5．
所以甲车出发1.5小时后被乙车追上；
（4）甲车由A地前往B地比乙车由A地前往B地多用了3﹣1＝2小时．
24．（8分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AD平分∠BAC，MN是AD的垂直平分线，交AD于点M，交AB于点N，已知DC＝2，求AN的长．
【分析】过D作DE⊥AB于点E，连接DN，依据角平分线的性质可得CD＝DE；根据线段垂直平分线的性质可得AN＝DN；再根据30°角的直角三角形的性质即可得到DN的长，进而得出结论．
【解答】解：如图所示，过D作DE⊥AB于点E，连接DN，
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝2，
∵∠BAC＝30°，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝15°，
∵MN是AD的垂直平分线，
∴NA＝ND，
∴∠ADN＝∠NAD＝15°，
∴∠DNE＝30°，
∴DN＝2DE＝4，
∴AN＝4．
25．（8分）已知直线y＝kx（k≠0）与双曲线y＝在第一象限交于A点，且点A的横坐标为4，点B在双曲线上．
（1）求直线的函数解析式；
（2）若点B的纵坐标为8，求△OAB的面积．
【分析】（1）将A点横坐标x＝4代入y＝中，得A点纵坐标y＝2，可知点A的坐标为（4，2），再将A（4，2）代入y＝kx，求k即可；
（2）点B在双曲线y＝上，将y＝8代入得x＝1，即B（1，8），已知A（4，2），O（0，0），根据两点间距离公式分别求OA，AB，OB，利用勾股定理的逆定理证明△OAB是直角三角形，然后根据△OAB的面积为＝求得即可．
【解答】解：（1）将x＝4代入y＝，得y＝2，
∴点A的坐标为（4，2），
将A（4，2）代入y＝kx（k≠0），得k＝，
∴直线的函数解析式为y＝x；
（2）△OAB是直角三角形．
理由：y＝8代入y＝中，得x＝1，
∴B点的坐标为（1，8），
又A（4，2），O（0，0），
由两点间距离公式得OA＝2，AB＝3，OB＝，
∵OA2+AB2＝20+45＝65＝OB2，
∴△OAB是直角三角形，
∴△OAB的面积为：＝×3＝15．
26．（10分）已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点M是边AC上一动点（与点A、C不重合），点N在边CB的延长线上，且AM＝BN，连接MN交边AB于点P．
（1）求证：MP＝NP；
（2）若设AM＝x，BP＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当△BPN是等腰三角形时，求AM的长．
【分析】（1）过点M作MD∥BC交AB于点D，求出DM＝BN，证△MDP≌△NBP即可；
（2）求出AB，根据△MDP≌△NBP推出DP＝BP，推出方程即可；
（3）求出BP＝BN，所得方程的解即可．
【解答】（1）证明：过点M作MD∥BC交AB于点D，
∵MD∥BC，
∴∠MDP＝∠NBP，
∵AC＝BC，∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
∵MD∥BC，
∴∠ADM＝∠ABC＝45°，
∴∠ADM＝∠A，
∴AM＝DM．
∵AM＝BN，
∴BN＝DM，
在△MDP和△NBP中
，
∴△MDP≌△NBP，
∴MP＝NP．
（2）解：在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，AC＝BC＝4，
∴．
∵MD∥BC，
∴∠AMD＝∠C＝90°．
在Rt△ADM中，AM＝DM＝x，
∴．
∵△MDP≌△NBP，
∴DP＝BP＝y，
∵AD+DP+PB＝AB，
∴，
∴所求的函数解析式为，
定义域为0＜x＜4．
答：y与x之间的函数关系式为，它的定义域是0＜x＜4．
（3）解：∵△MDP≌△NBP，
∴BN＝MD＝x．
∵∠ABC+∠PBN＝180°，∠ABC＝45°，
∴∠PBN＝135°．
∴当△BPN是等腰三角形时，只有BP＝BN，即x＝y．
∴，
解得，
∴当△BPN是等腰三角形时，AM的长为．
答：AM的长为．