苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册1.5 平面上的距离【同步精讲教案】（解析版）
文档属性
| 名称 | 苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册1.5 平面上的距离【同步精讲教案】（解析版） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-28 09:26:16 | ||
图片预览
文档简介
第1章 直线与方程
第05讲 平面上的距离
课程标准 重难点
1.探索并掌握两点间的距离公式2.探索并掌握点到直线的距离公式.3.会求两条平行直线间的距离. 1.点到点的距离计算2.点到直线距离计算3.直线与直线间的距离
知识点一 两点间的距离
1.两点间的距离公式公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝.
2.两点间的距离公式文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．
3.【概念解读】两点间距离公式的理解
(1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P1P2|＝.
(2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|.
当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|.
当点P1、P2中有一个是原点时，|P1P2|＝.
知识点二 点到直线的距离
1.点到直线的距离定义：点到直线的垂线段的长度
2.点到直线的距离公式：点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝
3．点到直线的距离公式需注意的问题
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如，求P0(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离，应先把直线方程化为kx－y＋b＝0，得d＝.
4．点到几种特殊直线的距离
(1)点P0(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|；
(2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|；
(3)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝|y0－b|；
(4)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|.
知识点三 两平行线的距离
1.两平行线间的距离定义：夹在两条平行直线间公垂线段的长度
2.两平行线间的距离公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离
d＝
2.对平行线间的距离公式的理解
(1)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等．
(2)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决
①两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；
②两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.
考法01 两点间的距离
已知点A(1,1)，B(5,3)，C(0,3)，求证：△ABC为直角三角形．
【跟踪训练】
1.已知点A(－1,2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．
【方法总结】
1．计算两点间距离的方法
(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝.
(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．
2．解答本题还要注意构成三角形的条件．
考法02 点到直线的距离
求点P(3，－2)到下列直线的距离：
(1)y＝x＋；(2)y＝6；(3)x＝4.
【跟踪训练】
1．已知点A(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝( )
A. B．2－ C.－1 D.＋1
【方法总结】
应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．
(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．
(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
考法03 两平行线的距离
求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．
【跟踪训练】
(2021·岳阳高一检测)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．
【方法总结】
求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．
题组A 基础过关练
1．直线：与：及：所得两交点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线，，若，且这两条直线间的距离为，则点到坐标原点的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．点到直线距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
4．已知直线，，则与间的距离为（ ）
A．1 B． C． D．
5．两平行直线分别过，两点，设两直线间的距离为d，则d最大值是（ ）
A．25 B．15 C．10 D．5
6．已知直线:与:互相平行，则它们之间的距离为_______．
7．点到直线的距离为______.
8．已知直线与直线，，且与间的距离为，则直线的方程为__________．
题组B 能力提升练
1．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．或
2．已知直线l1：2x－y＋3＝0，直线l2：4x－2y－1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，若点M同时满足下列条件：（1）点M是第一象限的点；（2）点M到l1的距离是到l2的距离的；（3）点M到l1的距离与到l3的距离之比是，则点M的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知直线与直线和的距离相等，则的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．直线，分别过点，，它们分别绕点和旋转，但必须保持平行，那么它们之间的距离的最大值是（ ）
A．5 B．4 C． D．3
5．在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当，变化时，的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知定点A到动直线l：（）的距离为一常数，则定点A的坐标为________．
7．在平面直角坐标系中，动点P到两条直线与的距离之和等于2，则点P到坐标原点的距离的最小值为_________.
8．在中，，，，若的中点到的距离大于到的
距离，则实数的取值范围_______________．
题组C 培优拔尖练
1．在平面直角坐标系中，已知点满足，记为点到直线的距离.当变化时，的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知，则的最小值为（ ）
A． B．3
C． D．6
3．已知点为直线上的动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上运动，点M是直线上的动点，则的最小值为___________.
5．过点作直线l：的垂线，垂足为点Q，则点Q到直线的距离的最小值为______．
6．在平面直角坐标系中，已知直线：与曲线从左至右依次交于、、三点，若直线：上存在满足，则实数的取值范围是_______．
第1章 直线与方程
第05讲 平面上的距离答案
课程标准 重难点
1.探索并掌握两点间的距离公式2.探索并掌握点到直线的距离公式.3.会求两条平行直线间的距离. 1.点到点的距离计算2.点到直线距离计算3.直线与直线间的距离
知识点一 两点间的距离
1.两点间的距离公式公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝.
2.两点间的距离公式文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．
3.【概念解读】两点间距离公式的理解
(1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P1P2|＝.
(2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|.
当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|.
当点P1、P2中有一个是原点时，|P1P2|＝.
知识点二 点到直线的距离
1.点到直线的距离定义：点到直线的垂线段的长度
2.点到直线的距离公式：点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝
3．点到直线的距离公式需注意的问题
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如，求P0(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离，应先把直线方程化为kx－y＋b＝0，得d＝.
4．点到几种特殊直线的距离
(1)点P0(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|；
(2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|；
(3)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝|y0－b|；
(4)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|.
知识点三 两平行线的距离
1.两平行线间的距离定义：夹在两条平行直线间公垂线段的长度
2.两平行线间的距离公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离
d＝
2.对平行线间的距离公式的理解
(1)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等．
(2)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决
①两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；
②两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.
考法01 两点间的距离
已知点A(1,1)，B(5,3)，C(0,3)，求证：△ABC为直角三角形．
【证明】法一：∵|AB|＝＝2，
|AC|＝＝，
又|BC|＝＝5，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，
∴△ABC为直角三角形．
法二：∵kAB＝＝，kAC＝＝－2，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．
【跟踪训练】
1.已知点A(－1,2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．
【解析】设所求点P(x,0)，于是由|PA|＝|PB|得
＝，
即x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1.
所以，所求P点坐标为(1,0)，|PA|＝＝2.
【方法总结】
1．计算两点间距离的方法
(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝.
(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．
2．解答本题还要注意构成三角形的条件．
考法02 点到直线的距离
求点P(3，－2)到下列直线的距离：
(1)y＝x＋；(2)y＝6；(3)x＝4.
【解析】(1)直线y＝x＋化为一般式为3x－4y＋1＝0，
由点到直线的距离公式可得d＝＝.
(2)因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8.
(3)因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1.
【跟踪训练】
1．已知点A(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝( )
A. B．2－ C.－1 D.＋1
【答案】C
【解析】由点到直线的距离公式知d＝＝＝1，
得a＝－1±.又∵a＞0，∴a＝－1.
【方法总结】
应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．
(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．
(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
考法03 两平行线的距离
求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．
【解析】法一：设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0.
在直线5x－12y＋6＝0上取一点P0(0，)，
则点P0到直线5x－12y＋C＝0的距离为＝，
由题意，得＝2，所以C＝32，或C＝－20.
故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0，或5x－12y－20＝0.
法二：设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，
由两平行直线间的距离公式得2＝，
解得C＝32，或C＝－20.
故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0，或5x－12y－20＝0.
【跟踪训练】
(2021·岳阳高一检测)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．
【答案】
【解析】因为两直线平行，所以m＝2.
法一：在直线3x＋y－3＝0上取点(0,3)，代入点到直线的距离公式，得d＝＝.
法二：将6x＋2y－1＝0化为3x＋y－＝0，由两条平行线间的距离公式得d＝＝.
【方法总结】
求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．
题组A 基础过关练
1．直线：与：及：所得两交点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，得，即直线与的交点坐标，
由，得，即直线与的交点坐标，
所以.故选：C
2．已知直线，，若，且这两条直线间的距离为，则点到坐标原点的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，
若，则，不合题意，；
方程可化为，
间距离，解得：，
到坐标原点的距离为.故选：A.
3．点到直线距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】直线恒过点，,
点到直线距离，
即点到直线距离的最大值为.
故选：B
4．已知直线，，则与间的距离为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】由可得直线斜率为，
斜率为，
所以与平行，
所以与间的距离，
故选：B.
5．两平行直线分别过，两点，设两直线间的距离为d，则d最大值是（ ）
A．25 B．15 C．10 D．5
【答案】D
【解析】设两点分别为，则，当分别过的两平行线与垂直时，两平行线间距离最大为5，显然这两条平行线可以无限接近，∴．故选D．
6．已知直线:与:互相平行，则它们之间的距离为_______．
【答案】
【解析】因为，
所以
解得，
所以：，：之间的距离．
故答案为：
7．点到直线的距离为______.
【答案】2
【解析】由点到直线的距离公式，可得，
即点到直线的距离为.
故答案为：.
8．已知直线与直线，，且与间的距离为，则直线的方程为__________．
【答案】或
【解析】，可设直线方程为，
又与间的距离为，，即，解得或.
直线的方程为或.
故答案为：或.
题组B 能力提升练
1．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【解析】设.由重心坐标公式得的重心为，
代入欧拉线方程得，整理得①，
边的中点坐标为，，
边的垂直平分线的方程为，即.
由，得
∴的外心坐标为，则，
整理得②，联立①②，解得或.
当时，点B，C重合，舍去.
∴顶点C的坐标是.故选：A.
2．已知直线l1：2x－y＋3＝0，直线l2：4x－2y－1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，若点M同时满足下列条件：（1）点M是第一象限的点；（2）点M到l1的距离是到l2的距离的；（3）点M到l1的距离与到l3的距离之比是，则点M的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设点M(x0，y0)，若点M满足(2)，则，
故2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0，若点M(x0，y0)满足(3)，由点到直线的距离公式，得，即，故x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0，由于点M(x0，y0)在第一象限，故3x0＋2＝0不符合题意，联立方程，解得，不符合题意；
联立方程，解得，即点M的坐标为.
故选：D
3．已知直线与直线和的距离相等，则的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设所求直线l方程为：，
因为直线l与；距离相等，所以，解得，
所以所求直线方程为：，
故选：D.
4．直线，分别过点，，它们分别绕点和旋转，但必须保持平行，那么它们之间的距离的最大值是（ ）
A．5 B．4 C． D．3
【答案】A
【解析】根据题意画出图像，如图所示：
根据图像可得：当，且，时，与之间的距离为；
当，但是与不垂直，与不垂直时，过点向引垂线，垂足为，则与之间的距离为；
因为，所以.故选：A .
5．在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当，变化时，的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由题意，点到直线的距离为，
则，
其中，，
所以当且仅当，时，取得最大值，
即，故选：C
6．已知定点A到动直线l：（）的距离为一常数，则定点A的坐标为________．
【答案】
【解析】
设定点A为 ，所以点到直线l的距离
无论，为定值，所以令 可得，，令 可得，，
令可得， ，由 可得，，即有或 ．
当定点A为 时， ，符合题意；
当定点A为 时， ，显然的值随的变化而变化，不符题意，舍去．
综上可知，动直线l是以 为圆心,半径为的圆的切线系，故答案为：．
7．在平面直角坐标系中，动点P到两条直线与的距离之和等于2，则点P到坐标原点的距离的最小值为_________.
【答案】
【解析】∵3x﹣y=0与x+3y=0的互相垂直，且交点为原点，
∴设点P到两条直线的距离分别为a，b，则a≥0，b≥0，
则a+b=2，即b=2﹣a≥0，
得0≤a≤2，
由勾股定理可知===，
∵0≤a≤2，
∴当a=1时，的距离，
故答案为．
8．在中，，，，若的中点到的距离大于到的
距离，则实数的取值范围_______________．
【答案】
【解析】因为，可得，中点，由，，可得，所以直线，即直线的方程为，又由，，可得，所以直线，即直线的方程为，又到的距离大于到的距离，得，解得．
题组C 培优拔尖练
1．在平面直角坐标系中，已知点满足，记为点到直线的距离.当变化时，的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】直线过定点，
对于任意确定的点，
当时，此时，
当不垂直时，过点作，此时，如图所示：
因为，所以，所以，
由上可知：当确定时，即为，且此时；
又因为在如图所示的正方形上运动，所以，
当取最大值时，点与重合，此时，
所以，
故选：C.
2．已知，则的最小值为（ ）
A． B．3
C． D．6
【答案】C
【解析】因为表示点到点的距离，表示点到点的距离，
表示点到点的距离，设，
则表示的长度和，
显然当点与点在轴的非负半轴上，对应原式的结果更小，
当均不在坐标原点，如下图所示：
考虑到求解最小值，所以，设关于原点的对称点为，
所以；
当其中一个在坐标原点，如下图所示：
此时分别有，，
所以；
当都在坐标原点时，，
综上可知：的最小值为，故选：C.
3．已知点为直线上的动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设,
过点引圆的两条切线，切点分别为，.
则，两点在以为直径的圆:上.
又，在圆上，
所以为两圆的公共弦，将两圆方程联立相减得：
，即直线的方程
又点在直线上，则，代入直线的方程.
,得直线过定点，
所以点到直线的距离：.
故选：D.
4．在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上运动，点M是直线上的动点，则的最小值为___________.
【答案】4
【解析】设点，则，点B关于直线的对称点为，
则，解得，
所以要使最短，则需最短，
而，
又，设，所以，所以，
所以当时（满足），取得最小值，最小值为，
所以的最小值为4，
故答案为：4.
5．过点作直线l：的垂线，垂足为点Q，则点Q到直线的距离的最小值为______．
【答案】
【解析】直线l：，化为，
联立，解得，．
直线l经过定点．
线段PM的中点．
．
点Q在以点G为圆心，以为半径点圆上．
其圆的标准方程为：．
圆心G到直线点距离．
点Q到直线的距离的最小值为．
故答案为．
6．在平面直角坐标系中，已知直线：与曲线从左至右依次交于、、三点，若直线：上存在满足，则实数的取值范围是_______．
【答案】或
【解析】因为曲线及直线：的图象都关于原点对称，所以B为原点，且B为AC中点，所以 ，因为直线：上存在满足，即，所以直线上存在点到原点的距离为，得，解得或
目标导航
知识精讲
能力拓展
例 1
例 2
例 3
分层提分
目标导航
知识精讲
能力拓展
例 1
例 2
例 3
分层提分
5 / 20
第05讲 平面上的距离
课程标准 重难点
1.探索并掌握两点间的距离公式2.探索并掌握点到直线的距离公式.3.会求两条平行直线间的距离. 1.点到点的距离计算2.点到直线距离计算3.直线与直线间的距离
知识点一 两点间的距离
1.两点间的距离公式公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝.
2.两点间的距离公式文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．
3.【概念解读】两点间距离公式的理解
(1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P1P2|＝.
(2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|.
当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|.
当点P1、P2中有一个是原点时，|P1P2|＝.
知识点二 点到直线的距离
1.点到直线的距离定义：点到直线的垂线段的长度
2.点到直线的距离公式：点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝
3．点到直线的距离公式需注意的问题
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如，求P0(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离，应先把直线方程化为kx－y＋b＝0，得d＝.
4．点到几种特殊直线的距离
(1)点P0(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|；
(2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|；
(3)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝|y0－b|；
(4)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|.
知识点三 两平行线的距离
1.两平行线间的距离定义：夹在两条平行直线间公垂线段的长度
2.两平行线间的距离公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离
d＝
2.对平行线间的距离公式的理解
(1)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等．
(2)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决
①两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；
②两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.
考法01 两点间的距离
已知点A(1,1)，B(5,3)，C(0,3)，求证：△ABC为直角三角形．
【跟踪训练】
1.已知点A(－1,2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．
【方法总结】
1．计算两点间距离的方法
(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝.
(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．
2．解答本题还要注意构成三角形的条件．
考法02 点到直线的距离
求点P(3，－2)到下列直线的距离：
(1)y＝x＋；(2)y＝6；(3)x＝4.
【跟踪训练】
1．已知点A(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝( )
A. B．2－ C.－1 D.＋1
【方法总结】
应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．
(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．
(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
考法03 两平行线的距离
求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．
【跟踪训练】
(2021·岳阳高一检测)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．
【方法总结】
求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．
题组A 基础过关练
1．直线：与：及：所得两交点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线，，若，且这两条直线间的距离为，则点到坐标原点的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．点到直线距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
4．已知直线，，则与间的距离为（ ）
A．1 B． C． D．
5．两平行直线分别过，两点，设两直线间的距离为d，则d最大值是（ ）
A．25 B．15 C．10 D．5
6．已知直线:与:互相平行，则它们之间的距离为_______．
7．点到直线的距离为______.
8．已知直线与直线，，且与间的距离为，则直线的方程为__________．
题组B 能力提升练
1．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．或
2．已知直线l1：2x－y＋3＝0，直线l2：4x－2y－1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，若点M同时满足下列条件：（1）点M是第一象限的点；（2）点M到l1的距离是到l2的距离的；（3）点M到l1的距离与到l3的距离之比是，则点M的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知直线与直线和的距离相等，则的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．直线，分别过点，，它们分别绕点和旋转，但必须保持平行，那么它们之间的距离的最大值是（ ）
A．5 B．4 C． D．3
5．在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当，变化时，的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知定点A到动直线l：（）的距离为一常数，则定点A的坐标为________．
7．在平面直角坐标系中，动点P到两条直线与的距离之和等于2，则点P到坐标原点的距离的最小值为_________.
8．在中，，，，若的中点到的距离大于到的
距离，则实数的取值范围_______________．
题组C 培优拔尖练
1．在平面直角坐标系中，已知点满足，记为点到直线的距离.当变化时，的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知，则的最小值为（ ）
A． B．3
C． D．6
3．已知点为直线上的动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上运动，点M是直线上的动点，则的最小值为___________.
5．过点作直线l：的垂线，垂足为点Q，则点Q到直线的距离的最小值为______．
6．在平面直角坐标系中，已知直线：与曲线从左至右依次交于、、三点，若直线：上存在满足，则实数的取值范围是_______．
第1章 直线与方程
第05讲 平面上的距离答案
课程标准 重难点
1.探索并掌握两点间的距离公式2.探索并掌握点到直线的距离公式.3.会求两条平行直线间的距离. 1.点到点的距离计算2.点到直线距离计算3.直线与直线间的距离
知识点一 两点间的距离
1.两点间的距离公式公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝.
2.两点间的距离公式文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．
3.【概念解读】两点间距离公式的理解
(1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P1P2|＝.
(2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|.
当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|.
当点P1、P2中有一个是原点时，|P1P2|＝.
知识点二 点到直线的距离
1.点到直线的距离定义：点到直线的垂线段的长度
2.点到直线的距离公式：点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝
3．点到直线的距离公式需注意的问题
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如，求P0(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离，应先把直线方程化为kx－y＋b＝0，得d＝.
4．点到几种特殊直线的距离
(1)点P0(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|；
(2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|；
(3)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝|y0－b|；
(4)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|.
知识点三 两平行线的距离
1.两平行线间的距离定义：夹在两条平行直线间公垂线段的长度
2.两平行线间的距离公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离
d＝
2.对平行线间的距离公式的理解
(1)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等．
(2)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决
①两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；
②两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.
考法01 两点间的距离
已知点A(1,1)，B(5,3)，C(0,3)，求证：△ABC为直角三角形．
【证明】法一：∵|AB|＝＝2，
|AC|＝＝，
又|BC|＝＝5，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，
∴△ABC为直角三角形．
法二：∵kAB＝＝，kAC＝＝－2，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．
【跟踪训练】
1.已知点A(－1,2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．
【解析】设所求点P(x,0)，于是由|PA|＝|PB|得
＝，
即x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1.
所以，所求P点坐标为(1,0)，|PA|＝＝2.
【方法总结】
1．计算两点间距离的方法
(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝.
(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．
2．解答本题还要注意构成三角形的条件．
考法02 点到直线的距离
求点P(3，－2)到下列直线的距离：
(1)y＝x＋；(2)y＝6；(3)x＝4.
【解析】(1)直线y＝x＋化为一般式为3x－4y＋1＝0，
由点到直线的距离公式可得d＝＝.
(2)因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8.
(3)因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1.
【跟踪训练】
1．已知点A(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝( )
A. B．2－ C.－1 D.＋1
【答案】C
【解析】由点到直线的距离公式知d＝＝＝1，
得a＝－1±.又∵a＞0，∴a＝－1.
【方法总结】
应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．
(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．
(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
考法03 两平行线的距离
求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．
【解析】法一：设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0.
在直线5x－12y＋6＝0上取一点P0(0，)，
则点P0到直线5x－12y＋C＝0的距离为＝，
由题意，得＝2，所以C＝32，或C＝－20.
故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0，或5x－12y－20＝0.
法二：设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，
由两平行直线间的距离公式得2＝，
解得C＝32，或C＝－20.
故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0，或5x－12y－20＝0.
【跟踪训练】
(2021·岳阳高一检测)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．
【答案】
【解析】因为两直线平行，所以m＝2.
法一：在直线3x＋y－3＝0上取点(0,3)，代入点到直线的距离公式，得d＝＝.
法二：将6x＋2y－1＝0化为3x＋y－＝0，由两条平行线间的距离公式得d＝＝.
【方法总结】
求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．
题组A 基础过关练
1．直线：与：及：所得两交点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，得，即直线与的交点坐标，
由，得，即直线与的交点坐标，
所以.故选：C
2．已知直线，，若，且这两条直线间的距离为，则点到坐标原点的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，
若，则，不合题意，；
方程可化为，
间距离，解得：，
到坐标原点的距离为.故选：A.
3．点到直线距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】直线恒过点，,
点到直线距离，
即点到直线距离的最大值为.
故选：B
4．已知直线，，则与间的距离为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】由可得直线斜率为，
斜率为，
所以与平行，
所以与间的距离，
故选：B.
5．两平行直线分别过，两点，设两直线间的距离为d，则d最大值是（ ）
A．25 B．15 C．10 D．5
【答案】D
【解析】设两点分别为，则，当分别过的两平行线与垂直时，两平行线间距离最大为5，显然这两条平行线可以无限接近，∴．故选D．
6．已知直线:与:互相平行，则它们之间的距离为_______．
【答案】
【解析】因为，
所以
解得，
所以：，：之间的距离．
故答案为：
7．点到直线的距离为______.
【答案】2
【解析】由点到直线的距离公式，可得，
即点到直线的距离为.
故答案为：.
8．已知直线与直线，，且与间的距离为，则直线的方程为__________．
【答案】或
【解析】，可设直线方程为，
又与间的距离为，，即，解得或.
直线的方程为或.
故答案为：或.
题组B 能力提升练
1．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【解析】设.由重心坐标公式得的重心为，
代入欧拉线方程得，整理得①，
边的中点坐标为，，
边的垂直平分线的方程为，即.
由，得
∴的外心坐标为，则，
整理得②，联立①②，解得或.
当时，点B，C重合，舍去.
∴顶点C的坐标是.故选：A.
2．已知直线l1：2x－y＋3＝0，直线l2：4x－2y－1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，若点M同时满足下列条件：（1）点M是第一象限的点；（2）点M到l1的距离是到l2的距离的；（3）点M到l1的距离与到l3的距离之比是，则点M的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设点M(x0，y0)，若点M满足(2)，则，
故2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0，若点M(x0，y0)满足(3)，由点到直线的距离公式，得，即，故x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0，由于点M(x0，y0)在第一象限，故3x0＋2＝0不符合题意，联立方程，解得，不符合题意；
联立方程，解得，即点M的坐标为.
故选：D
3．已知直线与直线和的距离相等，则的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设所求直线l方程为：，
因为直线l与；距离相等，所以，解得，
所以所求直线方程为：，
故选：D.
4．直线，分别过点，，它们分别绕点和旋转，但必须保持平行，那么它们之间的距离的最大值是（ ）
A．5 B．4 C． D．3
【答案】A
【解析】根据题意画出图像，如图所示：
根据图像可得：当，且，时，与之间的距离为；
当，但是与不垂直，与不垂直时，过点向引垂线，垂足为，则与之间的距离为；
因为，所以.故选：A .
5．在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当，变化时，的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由题意，点到直线的距离为，
则，
其中，，
所以当且仅当，时，取得最大值，
即，故选：C
6．已知定点A到动直线l：（）的距离为一常数，则定点A的坐标为________．
【答案】
【解析】
设定点A为 ，所以点到直线l的距离
无论，为定值，所以令 可得，，令 可得，，
令可得， ，由 可得，，即有或 ．
当定点A为 时， ，符合题意；
当定点A为 时， ，显然的值随的变化而变化，不符题意，舍去．
综上可知，动直线l是以 为圆心,半径为的圆的切线系，故答案为：．
7．在平面直角坐标系中，动点P到两条直线与的距离之和等于2，则点P到坐标原点的距离的最小值为_________.
【答案】
【解析】∵3x﹣y=0与x+3y=0的互相垂直，且交点为原点，
∴设点P到两条直线的距离分别为a，b，则a≥0，b≥0，
则a+b=2，即b=2﹣a≥0，
得0≤a≤2，
由勾股定理可知===，
∵0≤a≤2，
∴当a=1时，的距离，
故答案为．
8．在中，，，，若的中点到的距离大于到的
距离，则实数的取值范围_______________．
【答案】
【解析】因为，可得，中点，由，，可得，所以直线，即直线的方程为，又由，，可得，所以直线，即直线的方程为，又到的距离大于到的距离，得，解得．
题组C 培优拔尖练
1．在平面直角坐标系中，已知点满足，记为点到直线的距离.当变化时，的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】直线过定点，
对于任意确定的点，
当时，此时，
当不垂直时，过点作，此时，如图所示：
因为，所以，所以，
由上可知：当确定时，即为，且此时；
又因为在如图所示的正方形上运动，所以，
当取最大值时，点与重合，此时，
所以，
故选：C.
2．已知，则的最小值为（ ）
A． B．3
C． D．6
【答案】C
【解析】因为表示点到点的距离，表示点到点的距离，
表示点到点的距离，设，
则表示的长度和，
显然当点与点在轴的非负半轴上，对应原式的结果更小，
当均不在坐标原点，如下图所示：
考虑到求解最小值，所以，设关于原点的对称点为，
所以；
当其中一个在坐标原点，如下图所示：
此时分别有，，
所以；
当都在坐标原点时，，
综上可知：的最小值为，故选：C.
3．已知点为直线上的动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设,
过点引圆的两条切线，切点分别为，.
则，两点在以为直径的圆:上.
又，在圆上，
所以为两圆的公共弦，将两圆方程联立相减得：
，即直线的方程
又点在直线上，则，代入直线的方程.
,得直线过定点，
所以点到直线的距离：.
故选：D.
4．在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上运动，点M是直线上的动点，则的最小值为___________.
【答案】4
【解析】设点，则，点B关于直线的对称点为，
则，解得，
所以要使最短，则需最短，
而，
又，设，所以，所以，
所以当时（满足），取得最小值，最小值为，
所以的最小值为4，
故答案为：4.
5．过点作直线l：的垂线，垂足为点Q，则点Q到直线的距离的最小值为______．
【答案】
【解析】直线l：，化为，
联立，解得，．
直线l经过定点．
线段PM的中点．
．
点Q在以点G为圆心，以为半径点圆上．
其圆的标准方程为：．
圆心G到直线点距离．
点Q到直线的距离的最小值为．
故答案为．
6．在平面直角坐标系中，已知直线：与曲线从左至右依次交于、、三点，若直线：上存在满足，则实数的取值范围是_______．
【答案】或
【解析】因为曲线及直线：的图象都关于原点对称，所以B为原点，且B为AC中点，所以 ，因为直线：上存在满足，即，所以直线上存在点到原点的距离为，得，解得或
目标导航
知识精讲
能力拓展
例 1
例 2
例 3
分层提分
目标导航
知识精讲
能力拓展
例 1
例 2
例 3
分层提分
5 / 20