苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册1.5两点间的距离【同步作业】（解析版）

1.5两点间距离
一、单选题
1．已知点，点在抛物线上，则的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
2．已知平面上两点，，，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
3．已知点，，点在轴上，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
4．点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点为(3，4)，则|AB|等于（ ）
A．10 B．5
C．8 D．6
5．已知的顶点为A（2，1），B(-2，3)，C(0，-1)，则AC边上的中线长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
6．已知三顶点为、、，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
7．已知，直线上存在唯一点，使得，则的值为（ ）
A． B．或 C．1或 D．
8．已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．等腰直角三角形的直角顶点为，若点A的坐标为，则点B的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
10．对于，下列说法正确的是（ ）
A．可看作点与点的距离
B．可看作点与点的距离
C．可看作点与点的距离
D．可看作点与点的距离
三、填空题
11．已知点A(－1，2)，B(3，4).P是x轴上一点，且|PA|＝|PB|，则△PAB的面积为________.
12．点P为x轴上的一点，A(1,1)，B(3,4)，则︱PA︱+︱PB︱的最小值是___________.
13．直线被两坐标轴截得的线段长度为1，则________.
四、解答题
14．已知直线过点，且分别与轴正半轴、轴正半轴交于点、，（为坐标原点）
（1）当的面积为时，求直线的一般式方程；
（2）当取最小时，求直线的一般式方程.
15．已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.
（1）在中，求边中线所在直线方程；
（2）求平行四边形的顶点的坐标及边的长度.
1.5两点间距离答案
一、单选题
1．已知点，点在抛物线上，则的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】
设点，利用两点间的距离公式以及二次函数配方求最值即可求解.
【详解】
设点，
则，
∴当时，.
故选：C.
2．已知平面上两点，，，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】
利用两点间距离公式，结合配方法进行求解即可.
【详解】
根据题意，平面上两点，，，
则，则有，
则的最小值为，
故选：D.
3．已知点，，点在轴上，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用对称性，结合两点间线段最短进行求解即可.
【详解】
点，，点在轴上，
点关系轴的对称点为，
.
故选：B.
4．点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点为(3，4)，则|AB|等于（ ）
A．10 B．5
C．8 D．6
【答案】A
【分析】
根据A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点为(3，4)，先得到A，B的坐标，再利用两点间距离公式求解.
【详解】
由题意得A(6，0)，B(0，8)，
所以|AB|＝.
故选：A
5．已知的顶点为A（2，1），B(-2，3)，C(0，-1)，则AC边上的中线长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】
先求出AC的中点为D,求出D的坐标，利用两点间的距离公式求出AC边上的中线长.
【详解】
设AC的中点为D，
因为A（2，1），C(0，-1)，所以,
所以AC边上的中线长.
故选：B
6．已知三顶点为、、，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【分析】
由向量的坐标表示有，，结合向量数量积的坐标运算，即可判断三角形的形状.
【详解】
由已知，，，
∴，即，
∴是直角三角形.
故选：B.
7．已知，直线上存在唯一点，使得，则的值为（ ）
A． B．或 C．1或 D．
【答案】B
【分析】
设，由得，然后根据方程只有一个解可得答案.
【详解】
设，由得，，
整理得，
因为直线上存在唯一点，所以整理后的方程只有一个解，
即，
解得或.
故选：B.
【点睛】
本题考查了两点间的距离公式，解题的关键点是利用方程只有一个解这个条件，考查了学生分析问题、解决问题的能力.
8．已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先将，转化为求得定点，然后将点到直线的距离转化为两点间的距离求解.
【详解】
，化为，
令，解得，
所以直线过定点Q，
所以点到直线的距离的最大值为，
故选：B
【点睛】
本题主要考查直线系，两点间的距离公式，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
二、多选题
9．等腰直角三角形的直角顶点为，若点A的坐标为，则点B的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】
设，根据和可求得点坐标．
【详解】
设，根据题意可得即
解得或所以或.
故选：AC．
【点睛】
本题考查两直线垂直的条件，考查两点间距离公式，属于基础题．
10．对于，下列说法正确的是（ ）
A．可看作点与点的距离
B．可看作点与点的距离
C．可看作点与点的距离
D．可看作点与点的距离
【答案】BCD
【分析】
化简，结合两点间的距离公式，即可求解.
【详解】
由题意，可得，
可看作点与点的距离，可看作点与点的距离，可看作点与点的距离，故选项A不正确，
故答案为：BCD.
【点睛】
本题主要考查平面上两点间的距离公式及其应用，其中解答中熟记平面上两点间的距离公式是解答的关键，属于基础题.
三、填空题
11．已知点A(－1，2)，B(3，4).P是x轴上一点，且|PA|＝|PB|，则△PAB的面积为________.
【答案】
【分析】
求出AB中垂线方程，即可得出点P坐标，再利用两点距离公式即可求出底和高，得出三角形面积.
【详解】
设AB的中点坐标为M(1，3)，
，
所以AB的中垂线方程为y－3＝－2(x－1)，即2x＋y－5＝0.
令y＝0，则，即P点的坐标为，
.
点P到AB的距离为.
所以.
故答案为：.
12．点P为x轴上的一点，A(1,1)，B(3,4)，则︱PA︱+︱PB︱的最小值是___________.
【答案】.
【分析】
作关于x轴的对称点为，有，根据两点距离最小，有最小值，结合两点距离坐标公式即可求最小值.
【详解】
由题意，关于x轴的对称点为，有，如下图示：
∴当且仅当为与x轴的交点时，使︱PA︱+︱PB︱的值最小，
由两点距离公式，，
故答案为：
【点睛】
本题考核查了两点距离公式，应用了轴对称、两点距离最短为线段等知识，属于简单题.
13．直线被两坐标轴截得的线段长度为1，则________.
【答案】
【分析】
首先求出与坐标轴的交点，然后再利用两点间的距离公式即可求解.
【详解】
令，得，令得，
即直线与两坐标轴交点分别为，，
∴，解得 .
故答案为：
【点睛】
本题考查了直线与坐标轴的交点、两点间的距离公式，考查了基本运算能力，是基础题.
四、解答题
14．已知直线过点，且分别与轴正半轴、轴正半轴交于点、，（为坐标原点）
（1）当的面积为时，求直线的一般式方程；
（2）当取最小时，求直线的一般式方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）设直线的截距式方程，结合三角形面积公式即可得解；
（2）设直线的方程为，表示出点、，进而可得，表示出后结合基本不等式即可得解.
【详解】
（1）由题意，设直线的方程为，
则，所以，
又直线过点，所以，所以，
所以直线的方程为即；
（2）设直线的方程为，则，，
所以，，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以当取最小时，（正值舍去），
此时直线方程为即.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是设出合理的直线方程，结合两点间距离公式及基本不等式运算即可得解.
15．已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.
（1）在中，求边中线所在直线方程；
（2）求平行四边形的顶点的坐标及边的长度.
【答案】（1）；（2），.
【分析】
（1）求出边中点坐标，即可求出中线方程；
（2）由是BD中点即可求出的坐标，由距离公式可求出的长度.
【详解】
（1）设边中点为，则点坐标为，
直线，
直线的方程为：，
即：，边中线所在直线的方程为：；
（2）设点的坐标为，由已知得为线段的中点，
有，解得，，
又，，
则.
3 / 12