苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册 2.1 圆的方程【同步精讲教案】(解析版)
文档属性
| 名称 | 苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册 2.1 圆的方程【同步精讲教案】(解析版) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 4.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-28 09:34:41 | ||
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文档简介
1.圆
圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，定点是圆心，定长是半径
2.圆的标准方程
方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.（r>0）叫作以点（a,b）,r为半径的圆的标准方程。
圆心下原点，半径为r的圆的方程是x2+y2=r2
3.点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点M在圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点M在圆外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点M在圆内 |CM|方法求圆的方程
(1)已知圆心坐标和半径大小可直接代人求得圆的标准性方程求圆的一般方程，只需用待定系数法求出D,E,F三个系数即可.由此可知，确定一个圆的方程需要三个独立的条件.
(2 )用待定系数法求圆的方程的大致步骤:
①根据题意，选择标准方程或一般方程.
②根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组、
③解出a,b,r或D,E,F,代人标准方程或一-般方程
例题1
过直线上的点作圆的两条切线，，若直线，关于直线对称，则（ ）．
A． B． C． D．
例题2
点为圆上任意一点，直线过定点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
训练1
在平面直角坐标系中，已知圆：，若直线：上有且只有一个点满足：过点作圆C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，且使得四边形PMCN为正方形，则正实数m的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．7
训练2
圆的圆心到直线的距离是（ ）
A． B． C．1 D．
圆的一般方程与标准方程之间的互化
例题1
若方程所表示的圆取得最大面积，则直线的倾斜角等于（ ）
A．135° B．45° C．60° D．120°
例题2
已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
训练1
圆心为且过原点的圆的一般方程是
A． B．
C． D．
训练2
圆的圆心和半径分别为
A．圆心，半径为2 B．圆心，半径为2
C．圆心，半径为4 D．圆心，半径为4
一、单选题
1．两个点、与圆的位置关系是（ ）
A．点在圆外，点在圆外
B．点在圆内，点在圆内
C．点在圆外，点在圆内
D．点在圆内，点在圆外
2．若圆的圆心坐标为，且圆经过点，则圆的半径为（ ）．
A．5 B．6 C．7 D．8
3．若直线平分圆的周长，则
A．9 B．-9 C．1 D．-1
4．经过点和，且圆心在x轴上的圆的一般方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．以，为直径的圆的方程是
A． B．
C． D．
6．圆的圆心和半径分别是（ ）
A． B． C． D．
7．点与圆的位置关系是（ ）．
A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．不能确定
8．圆的一般方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．圆心在上，且与轴交于点和的圆的方程为__.
10．已知圆Ω过点A（5，1），B（5，3），C（﹣1，1），则圆Ω的圆心到直线l：x﹣2y+1＝0的距离为_____．
11．在平面直角坐标系中，圆的方程为，该圆的周长为__________.
三、解答题
12．如图，已知的边所在直线的方程为，满足，点在边所在直线上且满足.
（1）求边所在直线的方程；
（2）求外接圆的方程；
13．已知，，.
（1）求点到直线的距离；
（2）求的外接圆的方程.
14．已知△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别是D(5，3)，E(4，2)，F(1，1).
（1）求△ABC的边AB所在直线的方程及点A的坐标；
（2）求△ABC的外接圆的方程.
15．平面直角坐标系中，已知，，在中，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在的直线斜率为．
（1）求直线的方程；
（2）求以为直径的圆的标准方程．
16．已知圆过两点、，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）判断点与圆的关系.
第2章 圆与方程
第01讲 圆的方程答案
课程标准 重难点
1.掌握圆的定义及标准方程；2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程．3.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小；4.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程． 1.圆的标准方程与一般方程的转化2.圆成立的条件
知识点一 圆的标准方程
1.圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
2.圆的要素：确定圆的要素是圆心和半径，如图所示．
3.圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．
【疑难解读】
（1）由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性，为其优点．
（2）几种特殊位置的圆的标准方程：
条件 圆的标准方程
过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2＞0)
圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2(r≠0)
圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)
圆心在x轴上且过原点 (x－a)2＋y2＝a2(a≠0)
圆心在y轴上且过原点 x2＋(y－b)2＝b2(b≠0)
与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0)
与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0)
知识点二 点与圆的位置关系
1.圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则
位置关系 判断方法
几何法 代数法
点在圆上 │MA│＝r 点M在圆A上 点M(x0，y0)在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点在圆内 │MA│点在圆外 │MA│>r 点M在圆A外 点M(x0，y0)在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2
2.【概念解读】（1）点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外．
（2）判断点与圆的位置关系常用几何法和代数法．
知识点三 圆的一般方程
1.圆的一般方程的概念：
当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
2.圆的一般方程对应的圆心和半径：
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为(－，－)，半径长为 .
【概念解读】
（1）圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点：
①x2、y2的系数相等且不为0；②没有xy项．
（2）对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明：
方程 条件 图形
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0 表示一个点(－，－)
D2＋E2－4F>0 表示以(－，－)为圆心，以为半径的圆
考法01 求圆的标准方程
求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程．
【解析】(法一：待定系数法)
设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则有解得
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
(法二：几何法)
由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.
∵弦的垂直平分线过圆心，
∴由得
即圆心坐标为(4，－3)，半径r＝＝5.
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
【跟踪训练】
1.以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( )
A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝10 B．(x－1)2＋(y－2)2＝100 C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25 D．(x－1)2＋(y－2)2＝25
2.与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________．
3.过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程是________________．
【答案】(1)D；(2)(x＋5)2＋(y＋3)2＝25；(3)(x－1)2＋(y－1)2＝4
【解析】(1)∵AB为直径，∴AB的中点(1,2)为圆心，
半径为|AB|＝＝5，
∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.
(2)∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，∴该圆的半径为5，
∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.
(3)方法一 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
由题意知解得
∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
方法二 由几何关系知，圆心在AB的垂直平分线上，
∵AB的中点为(0,0)，AB的斜率k＝－1，
则AB的垂直平分线为y－0＝x－0.
解方程组得
∴圆心坐标为(1,1)，半径r＝＝2.
则所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
【方法总结】
确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，如法一，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．
考法02 点与圆的位置关系
如图，已知两点P1(4,9)和P2(6,3)．
(1)求以P1P2为直径的圆的方程；
(2)试判断点M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3)是在圆上，在圆内，还是在圆外．
【解析】(1)设圆心C(a，b)，半径长为r，则由C为P1P2的中点，得a＝＝5，b＝＝6.
又由两点间的距离公式得
r＝|CP1|＝ ＝，
故所求圆的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10.
(2)由(1)知，圆心C(5,6)，则分别计算点到圆心的距离：
|CM|＝ ＝；
|CN|＝ ＝＞；
|CQ|＝ ＝3＜.
因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内．
【跟踪训练】
2．点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是( )
A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1 C．a＞1或a＞－1 D．a＝±1
【答案】A
【解析】由于点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4，a2＜1，所以－1＜a＜1.
【方法总结】
1．判断点与圆的位置关系的方法
(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；
(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断．
2．灵活运用
若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．
考法03 圆的一般方程
若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：
(1)实数m的取值范围；
(2)圆心坐标和半径．
【解析】 (1)据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，
即4m2＋4－4m2－20m＞0，解得m＜，
故m的取值范围为.
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝.
【跟踪训练】
1.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
【解析】由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，解得a＝2或－1.
当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，
配方得＋(y＋1)2＝－＜0，不表示圆；
当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.
2.已知曲线C：x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0.
求证：当m≠2时，曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上．
【证明】∵D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，
∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2.
又m≠2，∴(m－2)2＞0，∴D2＋E2－4F＞0，
即曲线C是一个圆．
设圆心坐标为(x，y)，则由消去m，得x＋2y＝0，即圆心在直线x＋2y＝0上.
【方法总结】
判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数．
题组A 基础过关练
1．若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由圆的一般式方程可得，即，求得，故选：A
2．圆的圆心关于原点的对称点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】圆的圆心为，关于原点对称的点为，
故选：C.
3．已知圆，则其圆心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】圆，则其圆心的坐标为.故选：C
4．在平面直角坐标系中，圆心在原点半径为3的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为圆的圆心在原点半径为3，
所以圆的方程是.故选：C.
5．（多选）点在圆的内部，则的取值不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】由已知条件可得，即，解得.
故选：AD.
6．圆的圆心坐标为______.
【答案】
【解析】，
所以圆心为.故答案为：
7．圆的圆心到原点的距离为__________.
【答案】
【解析】根据题意，圆的圆心为，
则其圆心到原点为距离；故答案为：.
8．已知，方程表示圆，则圆心坐标是__．
【答案】
【解析】若方程表示圆，则有，
即，解可得：或，
当时，方程为，变形可得，表示圆心为，半径为5的圆，
当时，方程为，即，变形可得，不能表示圆，
故圆心的坐标为；
故答案为：．
题组B 能力提升练
1．以直线经过的定点为圆心，2为半径的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为直线方程为，即，所以直线过定点，所以圆方程为，即，
故选：A.
2．若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得．故选：A．
3．在平面直角坐标系中，四点坐标分别为，若它们都在同一个圆周上，则a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】C
【解析】设圆的方程为，
由题意得，解得，
所以，
又因为点在圆上，所以，即.故选：C.
4．若直线始终平分圆，则（ ）
A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6
【答案】A
【解析】由得圆心，因为直线平分圆，所以直线必过圆心，则，则．
故选：A.
5．已知直线，，，则经过这三条直线交点的圆的方程为__________.
【答案】
【解析】已知直线，，，
解方程组，求得和的交点为；
解方程组，求得和的交点为；
解方程组，求得和的交点为，
设经过这三条直线交点的圆的方程为，
则有，求得，故要求的圆的方程为，
故答案为：.
6．已知点在圆外，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】因为在圆外，
所以且，得，
解得或，
所以实数的取值范围为，
故答案为：
7．已知圆C过点，圆心在直线上.
（1）求圆C的方程.
（2）判断点P(2，4)与圆C的关系
【解析】（1）由题意设圆心为，半径为，则圆的标准方程为，
由题意得，解得，
所以圆的标准方程为；
（2）由(1)知
P(2，4)在圆C内.
8．直线过点且与直线垂直.
（1）求直线的方程；
（2）求圆心在直线上且过点、的圆的方程.
【解析】（1）因为直线与直线垂直，则直线的方程可设为，
又因为直线过点，所以，即，
所以直线的方程为；
（2）因为圆心在直线上，所以圆心坐标可设为，
又因为该圆过点、，
所以有，解得，
所以圆心坐标为，半径，
故圆的方程为.
题组C 培优拔尖练
1．已知点集，当取遍任何实数时，所扫过的平面区域面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，点集，
S中的元素组成以为圆心的圆心，半径为1的圆及其内部，
设M又由，
则圆心M在线段上，
则点集S对应的图形如图，为矩形ABCD与两个半圆的组合图形，
其中AB＝2，BC＝，
则当取遍任何实数时，S所扫过的平面区域面积S＝；
故选：A．
2．已知点，Q为圆上一点，点S在x轴上，则的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】将圆方程化为标准方程为：，如下图所示：
作点关于x轴的对称点，连接与圆相交于点，与x轴相交于点，此时，的值最小，且，由圆的标准方程得：点坐标为，半径，所以，，所以最小值为9
故选：C
3．如果复数z满足，那么的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】复数满足，表示以为圆心，2为半径的圆．
表示圆上的点与点的距离．
．
的最大值是．故选：A．
4．已知直线与圆交于点A，B，则_________．
【答案】
【解析】设点D为圆中弦的中点，令，
依题意可知，，
，由于为锐角，所以.
故答案为：
5．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262—190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有，，，则当的面积最大时，的长为______.
【答案】
【解析】
如上图所示，以的中点为原点，边所在直线为轴建立直角坐标系，
因为，所以，，
设点，因为，由正弦定理可得：，即，
所以：，化简得：，且，，
圆的位置如上图所示，圆心为，半径，
观察可得，三角形底边长不变的情况下，当点位于圆心的正上方时，高最大，
此时的面积最大，点坐标为，所以
故答案为：
6．已知的三个顶点，，.
（1）求外接圆的方程；
（2）求内切圆的方程.
【解析】（1）设△ABC外接圆的方程：x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
∵A（﹣3,0），B（3,﹣2），C（0,1）在圆上，
∴，解得，
∴△ABC外接圆的方程为x2+y2+x+5y﹣6＝0，
（2）设△ABC内切圆圆心为P，半径为r，
则CP，AP分别为∠ACB，∠CAB的角平分线，
由A（﹣3,0），B（3,﹣2），C（0,1），
得直线BC：y＝﹣x+1，直线AC：，直线AB：，
∵kAC＝﹣kAB，∴直线AP在x轴上，∴AP方程为：y＝0，
设P（t，0），∵直线BC方程为y＝﹣x+1，∴BC与x轴的交点为（1，0），∴﹣3＜t＜1，∵P到直线CA，CB距离相等，∴，∴，
解得，，
∴内切圆方程为．
2.1圆的方程
讲
教材知识梳理
判断点与圆位置关系的两种方法
(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小．
(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断．
方法突破
例
例题研究
求标准方程确定圆心和半径
题型探究
跟踪训练
题型探究
跟踪训练
测
综合式测试
目标导航
知识精讲
能力拓展
例 1
例 2
例 3
分层提分
6 / 19
圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，定点是圆心，定长是半径
2.圆的标准方程
方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.（r>0）叫作以点（a,b）,r为半径的圆的标准方程。
圆心下原点，半径为r的圆的方程是x2+y2=r2
3.点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点M在圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点M在圆外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点M在圆内 |CM|
(1)已知圆心坐标和半径大小可直接代人求得圆的标准性方程求圆的一般方程，只需用待定系数法求出D,E,F三个系数即可.由此可知，确定一个圆的方程需要三个独立的条件.
(2 )用待定系数法求圆的方程的大致步骤:
①根据题意，选择标准方程或一般方程.
②根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组、
③解出a,b,r或D,E,F,代人标准方程或一-般方程
例题1
过直线上的点作圆的两条切线，，若直线，关于直线对称，则（ ）．
A． B． C． D．
例题2
点为圆上任意一点，直线过定点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
训练1
在平面直角坐标系中，已知圆：，若直线：上有且只有一个点满足：过点作圆C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，且使得四边形PMCN为正方形，则正实数m的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．7
训练2
圆的圆心到直线的距离是（ ）
A． B． C．1 D．
圆的一般方程与标准方程之间的互化
例题1
若方程所表示的圆取得最大面积，则直线的倾斜角等于（ ）
A．135° B．45° C．60° D．120°
例题2
已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
训练1
圆心为且过原点的圆的一般方程是
A． B．
C． D．
训练2
圆的圆心和半径分别为
A．圆心，半径为2 B．圆心，半径为2
C．圆心，半径为4 D．圆心，半径为4
一、单选题
1．两个点、与圆的位置关系是（ ）
A．点在圆外，点在圆外
B．点在圆内，点在圆内
C．点在圆外，点在圆内
D．点在圆内，点在圆外
2．若圆的圆心坐标为，且圆经过点，则圆的半径为（ ）．
A．5 B．6 C．7 D．8
3．若直线平分圆的周长，则
A．9 B．-9 C．1 D．-1
4．经过点和，且圆心在x轴上的圆的一般方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．以，为直径的圆的方程是
A． B．
C． D．
6．圆的圆心和半径分别是（ ）
A． B． C． D．
7．点与圆的位置关系是（ ）．
A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．不能确定
8．圆的一般方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．圆心在上，且与轴交于点和的圆的方程为__.
10．已知圆Ω过点A（5，1），B（5，3），C（﹣1，1），则圆Ω的圆心到直线l：x﹣2y+1＝0的距离为_____．
11．在平面直角坐标系中，圆的方程为，该圆的周长为__________.
三、解答题
12．如图，已知的边所在直线的方程为，满足，点在边所在直线上且满足.
（1）求边所在直线的方程；
（2）求外接圆的方程；
13．已知，，.
（1）求点到直线的距离；
（2）求的外接圆的方程.
14．已知△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别是D(5，3)，E(4，2)，F(1，1).
（1）求△ABC的边AB所在直线的方程及点A的坐标；
（2）求△ABC的外接圆的方程.
15．平面直角坐标系中，已知，，在中，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在的直线斜率为．
（1）求直线的方程；
（2）求以为直径的圆的标准方程．
16．已知圆过两点、，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）判断点与圆的关系.
第2章 圆与方程
第01讲 圆的方程答案
课程标准 重难点
1.掌握圆的定义及标准方程；2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程．3.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小；4.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程． 1.圆的标准方程与一般方程的转化2.圆成立的条件
知识点一 圆的标准方程
1.圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
2.圆的要素：确定圆的要素是圆心和半径，如图所示．
3.圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．
【疑难解读】
（1）由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性，为其优点．
（2）几种特殊位置的圆的标准方程：
条件 圆的标准方程
过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2＞0)
圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2(r≠0)
圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)
圆心在x轴上且过原点 (x－a)2＋y2＝a2(a≠0)
圆心在y轴上且过原点 x2＋(y－b)2＝b2(b≠0)
与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0)
与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0)
知识点二 点与圆的位置关系
1.圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则
位置关系 判断方法
几何法 代数法
点在圆上 │MA│＝r 点M在圆A上 点M(x0，y0)在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点在圆内 │MA│
2.【概念解读】（1）点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外．
（2）判断点与圆的位置关系常用几何法和代数法．
知识点三 圆的一般方程
1.圆的一般方程的概念：
当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
2.圆的一般方程对应的圆心和半径：
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为(－，－)，半径长为 .
【概念解读】
（1）圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点：
①x2、y2的系数相等且不为0；②没有xy项．
（2）对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明：
方程 条件 图形
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0 表示一个点(－，－)
D2＋E2－4F>0 表示以(－，－)为圆心，以为半径的圆
考法01 求圆的标准方程
求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程．
【解析】(法一：待定系数法)
设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则有解得
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
(法二：几何法)
由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.
∵弦的垂直平分线过圆心，
∴由得
即圆心坐标为(4，－3)，半径r＝＝5.
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
【跟踪训练】
1.以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( )
A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝10 B．(x－1)2＋(y－2)2＝100 C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25 D．(x－1)2＋(y－2)2＝25
2.与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________．
3.过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程是________________．
【答案】(1)D；(2)(x＋5)2＋(y＋3)2＝25；(3)(x－1)2＋(y－1)2＝4
【解析】(1)∵AB为直径，∴AB的中点(1,2)为圆心，
半径为|AB|＝＝5，
∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.
(2)∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，∴该圆的半径为5，
∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.
(3)方法一 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
由题意知解得
∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
方法二 由几何关系知，圆心在AB的垂直平分线上，
∵AB的中点为(0,0)，AB的斜率k＝－1，
则AB的垂直平分线为y－0＝x－0.
解方程组得
∴圆心坐标为(1,1)，半径r＝＝2.
则所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
【方法总结】
确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，如法一，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．
考法02 点与圆的位置关系
如图，已知两点P1(4,9)和P2(6,3)．
(1)求以P1P2为直径的圆的方程；
(2)试判断点M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3)是在圆上，在圆内，还是在圆外．
【解析】(1)设圆心C(a，b)，半径长为r，则由C为P1P2的中点，得a＝＝5，b＝＝6.
又由两点间的距离公式得
r＝|CP1|＝ ＝，
故所求圆的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10.
(2)由(1)知，圆心C(5,6)，则分别计算点到圆心的距离：
|CM|＝ ＝；
|CN|＝ ＝＞；
|CQ|＝ ＝3＜.
因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内．
【跟踪训练】
2．点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是( )
A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1 C．a＞1或a＞－1 D．a＝±1
【答案】A
【解析】由于点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4，a2＜1，所以－1＜a＜1.
【方法总结】
1．判断点与圆的位置关系的方法
(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；
(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断．
2．灵活运用
若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．
考法03 圆的一般方程
若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：
(1)实数m的取值范围；
(2)圆心坐标和半径．
【解析】 (1)据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，
即4m2＋4－4m2－20m＞0，解得m＜，
故m的取值范围为.
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝.
【跟踪训练】
1.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
【解析】由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，解得a＝2或－1.
当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，
配方得＋(y＋1)2＝－＜0，不表示圆；
当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.
2.已知曲线C：x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0.
求证：当m≠2时，曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上．
【证明】∵D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，
∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2.
又m≠2，∴(m－2)2＞0，∴D2＋E2－4F＞0，
即曲线C是一个圆．
设圆心坐标为(x，y)，则由消去m，得x＋2y＝0，即圆心在直线x＋2y＝0上.
【方法总结】
判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数．
题组A 基础过关练
1．若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由圆的一般式方程可得，即，求得，故选：A
2．圆的圆心关于原点的对称点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】圆的圆心为，关于原点对称的点为，
故选：C.
3．已知圆，则其圆心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】圆，则其圆心的坐标为.故选：C
4．在平面直角坐标系中，圆心在原点半径为3的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为圆的圆心在原点半径为3，
所以圆的方程是.故选：C.
5．（多选）点在圆的内部，则的取值不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】由已知条件可得，即，解得.
故选：AD.
6．圆的圆心坐标为______.
【答案】
【解析】，
所以圆心为.故答案为：
7．圆的圆心到原点的距离为__________.
【答案】
【解析】根据题意，圆的圆心为，
则其圆心到原点为距离；故答案为：.
8．已知，方程表示圆，则圆心坐标是__．
【答案】
【解析】若方程表示圆，则有，
即，解可得：或，
当时，方程为，变形可得，表示圆心为，半径为5的圆，
当时，方程为，即，变形可得，不能表示圆，
故圆心的坐标为；
故答案为：．
题组B 能力提升练
1．以直线经过的定点为圆心，2为半径的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为直线方程为，即，所以直线过定点，所以圆方程为，即，
故选：A.
2．若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得．故选：A．
3．在平面直角坐标系中，四点坐标分别为，若它们都在同一个圆周上，则a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】C
【解析】设圆的方程为，
由题意得，解得，
所以，
又因为点在圆上，所以，即.故选：C.
4．若直线始终平分圆，则（ ）
A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6
【答案】A
【解析】由得圆心，因为直线平分圆，所以直线必过圆心，则，则．
故选：A.
5．已知直线，，，则经过这三条直线交点的圆的方程为__________.
【答案】
【解析】已知直线，，，
解方程组，求得和的交点为；
解方程组，求得和的交点为；
解方程组，求得和的交点为，
设经过这三条直线交点的圆的方程为，
则有，求得，故要求的圆的方程为，
故答案为：.
6．已知点在圆外，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】因为在圆外，
所以且，得，
解得或，
所以实数的取值范围为，
故答案为：
7．已知圆C过点，圆心在直线上.
（1）求圆C的方程.
（2）判断点P(2，4)与圆C的关系
【解析】（1）由题意设圆心为，半径为，则圆的标准方程为，
由题意得，解得，
所以圆的标准方程为；
（2）由(1)知
P(2，4)在圆C内.
8．直线过点且与直线垂直.
（1）求直线的方程；
（2）求圆心在直线上且过点、的圆的方程.
【解析】（1）因为直线与直线垂直，则直线的方程可设为，
又因为直线过点，所以，即，
所以直线的方程为；
（2）因为圆心在直线上，所以圆心坐标可设为，
又因为该圆过点、，
所以有，解得，
所以圆心坐标为，半径，
故圆的方程为.
题组C 培优拔尖练
1．已知点集，当取遍任何实数时，所扫过的平面区域面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，点集，
S中的元素组成以为圆心的圆心，半径为1的圆及其内部，
设M又由，
则圆心M在线段上，
则点集S对应的图形如图，为矩形ABCD与两个半圆的组合图形，
其中AB＝2，BC＝，
则当取遍任何实数时，S所扫过的平面区域面积S＝；
故选：A．
2．已知点，Q为圆上一点，点S在x轴上，则的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】将圆方程化为标准方程为：，如下图所示：
作点关于x轴的对称点，连接与圆相交于点，与x轴相交于点，此时，的值最小，且，由圆的标准方程得：点坐标为，半径，所以，，所以最小值为9
故选：C
3．如果复数z满足，那么的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】复数满足，表示以为圆心，2为半径的圆．
表示圆上的点与点的距离．
．
的最大值是．故选：A．
4．已知直线与圆交于点A，B，则_________．
【答案】
【解析】设点D为圆中弦的中点，令，
依题意可知，，
，由于为锐角，所以.
故答案为：
5．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262—190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有，，，则当的面积最大时，的长为______.
【答案】
【解析】
如上图所示，以的中点为原点，边所在直线为轴建立直角坐标系，
因为，所以，，
设点，因为，由正弦定理可得：，即，
所以：，化简得：，且，，
圆的位置如上图所示，圆心为，半径，
观察可得，三角形底边长不变的情况下，当点位于圆心的正上方时，高最大，
此时的面积最大，点坐标为，所以
故答案为：
6．已知的三个顶点，，.
（1）求外接圆的方程；
（2）求内切圆的方程.
【解析】（1）设△ABC外接圆的方程：x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
∵A（﹣3,0），B（3,﹣2），C（0,1）在圆上，
∴，解得，
∴△ABC外接圆的方程为x2+y2+x+5y﹣6＝0，
（2）设△ABC内切圆圆心为P，半径为r，
则CP，AP分别为∠ACB，∠CAB的角平分线，
由A（﹣3,0），B（3,﹣2），C（0,1），
得直线BC：y＝﹣x+1，直线AC：，直线AB：，
∵kAC＝﹣kAB，∴直线AP在x轴上，∴AP方程为：y＝0，
设P（t，0），∵直线BC方程为y＝﹣x+1，∴BC与x轴的交点为（1，0），∴﹣3＜t＜1，∵P到直线CA，CB距离相等，∴，∴，
解得，，
∴内切圆方程为．
2.1圆的方程
讲
教材知识梳理
判断点与圆位置关系的两种方法
(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小．
(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断．
方法突破
例
例题研究
求标准方程确定圆心和半径
题型探究
跟踪训练
题型探究
跟踪训练
测
综合式测试
目标导航
知识精讲
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