苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册《2.1.1圆的标准方程》学案(含答案)

§2.1.1 圆的标准方程
目标要求
1、理解并掌握确定圆的几何要素．
2、理解并探求圆的标准方程．
3、理解并掌握圆的标准方程的求法．
4、理解并掌握点与圆的位置关系.
学科素养目标
本章以“圆”为载体，再次实践和感悟运用解析几何思想研究问题的一般思路．通过本章的学习，学生将在类比直线的研究方法的基础上，进一步体会和掌握在平面直角坐标系中建立圆的方程，进而运用方程研究圆的几何性质及直线和圆、圆和圆的相互位置关系，体会数形结合的思想，逐步形成用代数方法解决几何问题的能力．
重点难点
重点：圆的标准方程的求法；
难点：点与圆的位置关系．
教学过程
基础知识点
1. 圆的标准方程
(1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫作 __ ，定点称为圆的 ___ ，定长称为圆的 _______ ．
(2)标准方程：圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标准方程为 ___________________ .
(3)确定圆的标准方程的几何要素：________________．
【思考】
　以原点为圆心，半径为r的圆的标准方程是什么？
2．点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系
(1)在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2 _ r2或d _ r；
(2)在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2 _ r2或d _ r；
(3)在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2 r2或d r.
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A..圆的标准方程由圆心、半径确定．
B.方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．
C.原点在圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2上，则x＋y＝r2.
D. 圆(x－2)2＋(y＋3)2＝3的半径是3.
题2. 圆(x－1)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是(　　)
A．(－1，3)，1 B．(1，－3)，3 C．(－1，3)， D．(1，－3)，
题3. 点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是(　　)
A．－11 D．a>1
类型一　求圆的标准方程(数学抽象、逻辑推理)
【题组训练】
题4. △ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，0)，B(3，0)，C(3，4)，求△ABC的外接圆方程．
题5. 已知某圆圆心在x轴上，半径长为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．
题6. 求以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的标准方程．
【解题策略】
　确定圆的标准方程
就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，如方法一，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如方法二，一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．
【补偿训练】题7. 圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为________．
类型二　点与圆的位置关系(数学抽象、直观想象)
题8. 已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围．
【解题策略】
判断点与圆的位置关系的方法
(1)只需计算该点与圆心的距离，与半径作比较即可；
(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断．
【课堂跟踪训练】
题9. 点P(m，3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置关系为(　　)
A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值有关
题10. 已知圆(x－2)2＋y2＝8上的点P(x，y)，则x2＋y2的最大值为________．
题11. 已知圆(x－1)2＋y2＝1上的点到直线y＝kx－2的距离的最小值为1，则实数k＝________．
题12. 已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，求的最大值．
【拓展延伸】
求圆外一点到圆的最大距离和最小距离可采用几何法，先求出该点到圆心的距离，再加上或减去圆的半径，即可求得.
【补偿训练】题13.已知两点A，B，点P是圆2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值是________．
【课后巩固习题】
题14. 设A，B，则以线段AB为直径的圆的方程是(　　)
A．(x－3)2＋y2＝2 B．(x－3)2＋y2＝8 C．(x＋3)2＋y2＝2 D．(x＋3)2＋y2＝8
题15. 过点A(1，－1)与B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程为(　　)
A．(x－3)2＋2＝4 B．(x－1)2＋(y－1)2＝4
C．2＋(y－1)2＝4 D．2＋2＝4
题16. 若点在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则a的取值范围是(　　)
A．(－1，1) B．(0，1) C． D．
题17. 若圆C的半径为1，点C与点关于点对称，则圆C的标准方程为________．
题18. 与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝6同圆心且过点P的圆的方程是________．
§2.1.1 圆的标准方程
目标要求
1、理解并掌握确定圆的几何要素．
2、理解并探求圆的标准方程．
3、理解并掌握圆的标准方程的求法．
4、理解并掌握点与圆的位置关系.
学科素养目标
本章以“圆”为载体，再次实践和感悟运用解析几何思想研究问题的一般思路．通过本章的学习，学生将在类比直线的研究方法的基础上，进一步体会和掌握在平面直角坐标系中建立圆的方程，进而运用方程研究圆的几何性质及直线和圆、圆和圆的相互位置关系，体会数形结合的思想，逐步形成用代数方法解决几何问题的能力．
重点难点
重点：圆的标准方程的求法；
难点：点与圆的位置关系．
教学过程
基础知识点
1. 圆的标准方程
(1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫作 圆 ，定点称为圆的 圆心 ，定长称为圆的 半径 ．
(2)标准方程：圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标准方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 .
(3)确定圆的标准方程的几何要素：圆心、半径．
【思考】
　以原点为圆心，半径为r的圆的标准方程是什么？
提示：x2＋y2＝r2.
2．点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系
(1)在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2 < r2或d < r；
(2)在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2 ＝ r2或d ＝ r；
(3)在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2 > r2或d > r.
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A..圆的标准方程由圆心、半径确定．
B.方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．
C.原点在圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2上，则x＋y＝r2.
D. 圆(x－2)2＋(y＋3)2＝3的半径是3.
【答案】AC
【解析】A√.如果圆的圆心位置、半径确定，圆的标准方程是确定的．
B×.当m＝0时，表示点(a，b).
C√.原点在圆上，则(0－x0)2＋(0－y0)2＝r2，即x＋y＝r2.
D×. 圆(x－2)2＋(y＋3)2＝3的半径是.
故选AC.
题2. 圆(x－1)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是(　　)
A．(－1，3)，1 B．(1，－3)，3 C．(－1，3)， D．(1，－3)，
【解析】选D.由圆的标准方程可得圆心为(1，－3)，半径为.
题3. 点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是(　　)
A．－11 D．a>1
【解析】选A.因为点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，
所以表示点(1，1)到圆心(a，－a)的距离小于2，
<2，两边平方得(1－a)2＋(a＋1)2<4，化简得a2<1，解得－1类型一　求圆的标准方程(数学抽象、逻辑推理)
【题组训练】
题4. △ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，0)，B(3，0)，C(3，4)，求△ABC的外接圆方程．
【解析】方法一：(待定系数法)
设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则解得
所以外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.
方法二：(几何法)
易知△ABC是直角三角形，∠B＝90°，所以圆心是斜边AC的中点(2，2)，半径是斜边长的一半，即r＝，所以外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.
题5. 已知某圆圆心在x轴上，半径长为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．
【解析】方法一：(几何法)
如图所示，
由题设知AC＝r＝5，AB＝8，所以AO＝4.
在Rt△AOC中，OC＝＝＝3.
设点C坐标为(a，0)，则OC＝|a|＝3，所以a＝±3.
所以所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25.
方法二：(待定系数法)
由题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝25.
因为圆截y轴线段长为8，所以圆过点A(0，4).
代入方程得a2＋16＝25，所以a＝±3.
所以所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25.
题6. 求以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的标准方程．
【解析】圆心坐标为(1，2)，半径r＝＝5，
故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.
【解题策略】
　确定圆的标准方程
就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，如方法一，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如方法二，一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．
【补偿训练】题7. 圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为________．
【解析】AB的垂直平分线方程为y＝－3.
由解得圆心C(2，－3).
半径r＝AC＝＝.
所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝5
类型二　点与圆的位置关系(数学抽象、直观想象)
题8. 已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围．
【思路导引】点A到圆心的距离 d≥r a的取值范围．
【解析】由题意，圆心C(a，－a)，半径|a|，
点A在圆C上或圆C外部，
所以≥|a|，
所以2a＋5≥0，所以a≥－.因为a≠0，
所以a的取值范围为∪(0，＋∞).
【解题策略】
判断点与圆的位置关系的方法
(1)只需计算该点与圆心的距离，与半径作比较即可；
(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断．
【课堂跟踪训练】
题9. 点P(m，3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置关系为(　　)
A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值有关
【解析】选A.因为(m－2)2＋(3－1)2>2，所以点P在圆外．
题10. 已知圆(x－2)2＋y2＝8上的点P(x，y)，则x2＋y2的最大值为________．
【解析】方法一：因为≤8，解得2－2≤x≤2＋2.圆上的点P，y2＝8－(x－2)2，
所以x2＋y2＝4x＋4≤12＋8.
方法二：x2＋y2表示圆上点P到原点距离的平方．
因为圆心到原点距离为2，
所以x2＋y2最大值为(2＋2)2＝12＋8.
答案：12＋8
题11. 已知圆(x－1)2＋y2＝1上的点到直线y＝kx－2的距离的最小值为1，则实数k＝________．
【解析】由－1＝1解得k＝－或0.
答案：－或0
题12. 已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，求的最大值．
【解析】的几何意义是圆上的点P(x，y)到点A(1，1)的距离，因此最大值为点A到圆心的距离加上半径即＋1.
【拓展延伸】
求圆外一点到圆的最大距离和最小距离可采用几何法，先求出该点到圆心的距离，再加上或减去圆的半径，即可求得.
【补偿训练】题13.已知两点A，B，点P是圆2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值是________．
【解析】AB＝.当点P到直线AB的距离最大时，△PAB的面积最大，圆的圆心到直线AB：＋＝1，即2x－y＋2＝0的距离为，则P到直线AB的距离的最大值为＋1.所以△PAB面积的最大值为××＝2＋.
答案：2＋
【课后巩固习题】
题14. 设A，B，则以线段AB为直径的圆的方程是(　　)
A．(x－3)2＋y2＝2 B．(x－3)2＋y2＝8 C．(x＋3)2＋y2＝2 D．(x＋3)2＋y2＝8
【解析】选A.弦长AB＝＝2，所以半径为，中点坐标，所以圆的方程为(x－3)2＋y2＝2.
题15. 过点A(1，－1)与B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程为(　　)
A．(x－3)2＋2＝4 B．(x－1)2＋(y－1)2＝4
C．2＋(y－1)2＝4 D．2＋2＝4
【解析】选B.线段AB的中点为(0，0)，AB的斜率为－1，
所以线段AB的垂直平分线方程为y＝x.由解得圆心(1，1).
半径为圆心到点A的距离2，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
题16. 若点在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则a的取值范围是(　　)
A．(－1，1) B．(0，1) C． D．
【解析】选A.由(2a)2＋(a＋1－1)2<5得5a2＜5，所以a2＜1，所以－1题17. 若圆C的半径为1，点C与点关于点对称，则圆C的标准方程为________．
【解析】圆心(0，0)，所以圆C的标准方程为x2＋y2＝1.
答案：x2＋y2＝1
题18. 与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝6同圆心且过点P的圆的方程是________．
【解析】由题意可设所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝r2.
由点P在圆上，得r2＝2＋2＝25，
所以所求圆的方程为2＋2＝25.
答案：＋＝25.
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