苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册2.1.2 圆的一般方程 学案 (含答案)
文档属性
| 名称 | 苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册2.1.2 圆的一般方程 学案 (含答案) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 165.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-28 09:36:53 | ||
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文档简介
§2.1.2 圆的一般方程
目标要求
1、理解并探求圆的一般方程．
2、理解并掌握二元二次方程与圆的关系．
3、理解并掌握圆的一般方程的求法．
4、理解并掌握动点的轨迹方程.
学科素养目标
本章以“圆”为载体，再次实践和感悟运用解析几何思想研究问题的一般思路．通过本章的学习，学生将在类比直线的研究方法的基础上，进一步体会和掌握在平面直角坐标系中建立圆的方程，进而运用方程研究圆的几何性质及直线和圆、圆和圆的相互位置关系，体会数形结合的思想，逐步形成用代数方法解决几何问题的能力．
重点难点
重点：圆的一般方程的求法；
难点：二元二次方程与圆的关系．
教学过程
基础知识点
1. 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
将方程左边配方，并将常数项移到右边得＋＝ ______ .
(1)当D2＋E2－4F>0时，表示圆心为 _________ ，半径为 ________ 的圆；
(2)当D2＋E2－4F＝0时，表示点 ___________ ；
(3)当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形．
【思考】
根据一般方程怎么求圆心和半径？
2．圆的一般方程
(1)一般方程：当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的 _____ 方程．
(2)本质：圆的方程的另一种表示形式，更具有方程特征．
【思考】
(1)圆的一般方程特点．
(2)点P(x0，y0)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的位置关系怎么判断？
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A.圆的标准方程与一般方程可以互化．
B.方程2x2＋2y2－3x＝0不是圆的一般方程．
C.方程x2＋y2－x＋y＋1＝0表示圆．
D.圆x2＋y2－2＝0的半径为.
题2. 方程x2＋y2－4x＋4y＋10－k＝0表示圆，则k的取值范围是( )
A．k<2 B．k>2 C．k≥2 D．k≤2
题3. 已知圆的方程x2＋y2＋2ax＋9＝0圆心坐标为，则它的半径为( )
A．3 B． C．5 D．4
类型一 二元二次方程与圆的关系(数学运算，数学抽象)
【题组训练】
题4. 方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是( )
A．一个点 B．一个圆 C．一条直线 D．不存在
题5. 方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的范围是( )
A．a<－2或a> B．－题6. 若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆，则a的值为( )
A．1或－2 B．2或－1 C．－1 D．2
【解题策略】
二元二次方程表示圆的条件：x2，y2的系数为1，没有xy项，且D2＋E2－4F>0.可以通过配方把圆的一般方程化成标准方程．
【补偿训练】题7. 圆2x2＋2y2－4ax＋12ay＋16a2＝0的周长等于( )
A．2πa B．－2πa C．2πa2 D．－πa
类型二 求圆的一般方程(数学运算，直观想象)
【典例】题8.已知△ABC顶点的坐标为A，B，C，求其外接圆的一般方程．
【解题策略】
求圆的方程的两种方法
(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法：①根据题意，选择标准方程或一般方程；②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程．
【课堂跟踪训练】
题9. 求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程．
【拓展延伸】确定圆心位置的方法
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．
(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．
【拓展训练】
题10.已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C，D，且|CD|＝4.
(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．
类型三 求动点的轨迹方程(数学运算、逻辑推理)
角度1 直接法
【典例】题11.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知直角坐标系中A，B，则满足PA＝2PB的点P的轨迹的圆心为________，面积为________．
【变式问题探究】题12.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知直角坐标系中A，B，求满足条件PA＝2PB的△ABP面积的最大值．
角度2 定义法及代入法
【典例】题13.设定点M，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
【解题策略】
求解与圆有关的轨迹问题方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．
(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
【当堂巩固训练】
题14．在△ABC中，若点B，C的坐标分别是和，中线AD的长是3，则点A的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝3 B．x2＋y2＝4 C．x2＋y2＝9 D．x2＋y2＝9
题15．已知圆O：x2＋y2＝4及一点P(－1，0)，Q在圆O上运动一周，PQ的中点M形成轨迹C，则轨迹C的方程为____________．
题16．已知坐标平面上动点M与两个定点P，Q，且MP＝5MQ.求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．
【课堂检测达标】
题17. 由方程x2＋y2＋x＋y＋m2＝0所确定的圆的最大面积是( )
A．π B．π C．3π D．不存在
题18. 圆心在y轴上，且过点的圆与x轴相切，则该圆的方程是( )
A．x2＋y2＋y＝0 B．x2＋y2－10y＝0 C．x2＋y2＋x＝0 D．x2＋y2－10x＝0
题19. 原点O与圆：x2＋y2－2ax－2y＋2＝0的位置关系是________．
题20. 已知△ABC的三个顶点分别为A，B，C，则其外接圆的方程为________．
§2.1.2 圆的一般方程答案
目标要求
1、理解并探求圆的一般方程．
2、理解并掌握二元二次方程与圆的关系．
3、理解并掌握圆的一般方程的求法．
4、理解并掌握动点的轨迹方程.
学科素养目标
本章以“圆”为载体，再次实践和感悟运用解析几何思想研究问题的一般思路．通过本章的学习，学生将在类比直线的研究方法的基础上，进一步体会和掌握在平面直角坐标系中建立圆的方程，进而运用方程研究圆的几何性质及直线和圆、圆和圆的相互位置关系，体会数形结合的思想，逐步形成用代数方法解决几何问题的能力．
重点难点
重点：圆的一般方程的求法；
难点：二元二次方程与圆的关系．
教学过程
基础知识点
1. 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
将方程左边配方，并将常数项移到右边得＋＝ .
(1)当D2＋E2－4F>0时，表示圆心为 ，半径为 的圆；
(2)当D2＋E2－4F＝0时，表示点 ；
(3)当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形．
【思考】
根据一般方程怎么求圆心和半径？
提示：配方法．
＋＝，所以圆心为，半径为.
2．圆的一般方程
(1)一般方程：当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的 一般 方程．
(2)本质：圆的方程的另一种表示形式，更具有方程特征．
【思考】
(1)圆的一般方程特点．
提示：①x2和y2系数相等，都为1；
②没有xy项．
(2)点P(x0，y0)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的位置关系怎么判断？
提示：①圆内：x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0；
②圆上：x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0；
③圆外：x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A.圆的标准方程与一般方程可以互化．
B.方程2x2＋2y2－3x＝0不是圆的一般方程．
C.方程x2＋y2－x＋y＋1＝0表示圆．
D.圆x2＋y2－2＝0的半径为.
提示：A√.圆的标准方程与一般方程可以互化．
B×.方程2x2＋2y2－3x＝0即x2＋y2－x＝0，是圆的一般方程．
C×.因为(－1)2＋12－4×1＝－2＜0，所以方程不表示任何图形．
D√. 圆x2＋y2－2＝0的方程可化为，所以半径为
故选AD.
题2. 方程x2＋y2－4x＋4y＋10－k＝0表示圆，则k的取值范围是( )
A．k<2 B．k>2 C．k≥2 D．k≤2
【解析】选B.若方程表示圆，则2＋42－4>0，解得k>2.
题3. 已知圆的方程x2＋y2＋2ax＋9＝0圆心坐标为，则它的半径为( )
A．3 B． C．5 D．4
【解析】选D.由题得－＝5，
所以a＝－5，所以圆的半径为＝＝4.
类型一 二元二次方程与圆的关系(数学运算，数学抽象)
【题组训练】
题4. 方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是( )
A．一个点 B．一个圆 C．一条直线 D．不存在
【解析】选A.方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，
即2＋2＝0，所以方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点.
题5. 方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的范围是( )
A．a<－2或a> B．－【解析】选D.方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，
所以a2＋4a2－4(2a2＋a－1)>0，所以3a2＋4a－4<0，
所以(a＋2)(3a－2)<0，所以－2题6. 若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆，则a的值为( )
A．1或－2 B．2或－1 C．－1 D．2
【解析】选C.若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆，
则有a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.
当a＝2时，原方程可变为2x2＋2y2＋2x＋1＝0，配方，得22＋2y2＝－，不表示圆；
当a＝－1时，原方程可变为x2＋y2－2x－1＝0，配方，得(x－1)2＋y2＝2，它表示以(1，0)为圆心，为半径的圆．
【解题策略】
二元二次方程表示圆的条件：x2，y2的系数为1，没有xy项，且D2＋E2－4F>0.可以通过配方把圆的一般方程化成标准方程．
【补偿训练】题7. 圆2x2＋2y2－4ax＋12ay＋16a2＝0的周长等于( )
A．2πa B．－2πa C．2πa2 D．－πa
【解析】选B.原方程配方得2＋2＝2a2.
因为a<0，所以半径r＝－a.所以圆的周长为2π×＝－2πa.
类型二 求圆的一般方程(数学运算，直观想象)
【典例】题8.已知△ABC顶点的坐标为A，B，C，求其外接圆的一般方程．
【思路导引】方法一：把三个点的坐标代入圆的一般方程，解方程组；
方法二：AB，AC的垂直平分线过圆心，圆心到点A的距离为半径，从而求出圆的方程；
方法三：可以判断出这是一个直角三角形，因此斜边为直径．
【解析】方法一：(待定系数法)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F>0)，则
解得
因此其外接圆的一般方程为x2＋y2－6x－2y＋5＝0.
方法二：(几何法)
AB的垂直平分线方程y－＝x－，
即y＝x－2；AC的垂直平分线方程y－＝－，即y＝－x＋4.
由得圆心(3，1)，半径＝.
所以圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2－6x－2y＋5＝0.
方法三：(几何法)
因为AB，AC的斜率，满足kAB·kAC＝×＝－1，所以AB⊥AC，△ABC为直角三角形．
所以BC为外接圆的直径．外接圆圆心(3，1)，半径为BC＝＝，所以圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2－6x－2y＋5＝0.
【解题策略】
求圆的方程的两种方法
(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法：①根据题意，选择标准方程或一般方程；②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程．
【课堂跟踪训练】
题9. 求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程．
【解析】方法一：(几何法)设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，
所以可设点C的坐标为(2a＋3，a).又该圆经过A，B两点，
所以|CA|＝|CB|，
即＝，
解得a＝－2，所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
方法二：(待定系数法)设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得
解得a＝－1，b＝－2，r2＝10，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
【拓展延伸】确定圆心位置的方法
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．
(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．
【拓展训练】
题10.已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C，D，且|CD|＝4.
(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．
【证明】(1)由题意知直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1，2).
则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
(2)设圆心P(a，b)，由点P在CD上得a＋b－3＝0.①.
又因为直径|CD|＝4，所以|PA|＝2，所以(a＋1)2＋b2＝40.②
由①②解得或所以圆心P(－3，6)或P(5，－2).
所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
类型三 求动点的轨迹方程(数学运算、逻辑推理)
角度1 直接法
【典例】题11.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知直角坐标系中A，B，则满足PA＝2PB的点P的轨迹的圆心为________，面积为________．
【思路导引】设点P(x，y)，然后代入PA＝2PB，化简即可求出圆的方程．
【解析】设点P(x，y)，代入PA＝2PB得＝2，
整理得3x2＋3y2－20x＋12＝0.配方得2＋y2＝.
所以点P的轨迹的圆心为，半径为.圆的面积为π.
答案： π
【变式问题探究】题12.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知直角坐标系中A，B，求满足条件PA＝2PB的△ABP面积的最大值．
【解析】当PC垂直x轴时，面积最大为×4×＝.
角度2 定义法及代入法
【典例】题13.设定点M，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
【思路导引】方法一：由平行四边形性质可知MP＝ON＝2，满足圆的定义，注意去掉不满足条件的点；
方法二：根据对角线互相平分，利用代入法可求出轨迹方程．
【解析】方法一：(定义法)MP＝ON＝2，所以动点P在以M为圆心，半径为2的圆上．
又因为四边形MONP为平行四边形，
所以O，M，P不共线．当点P在直线OM上时有x＝－，y＝或x＝－，y＝.
因此所求轨迹为圆2＋2＝4，除去点和点.
方法二：(代入法)如图所示，设P，N，
则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.
由于平行四边形的对角线互相平分，故＝，
＝，从而又点N在圆上，故2＋2＝4.
当点P在直线OM上时，有x＝－，y＝或x＝－，y＝.
因此所求轨迹为圆2＋2＝4，除去点和点.
【解题策略】
求解与圆有关的轨迹问题方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．
(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
【当堂巩固训练】
题14．在△ABC中，若点B，C的坐标分别是和，中线AD的长是3，则点A的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝3 B．x2＋y2＝4 C．x2＋y2＝9 D．x2＋y2＝9
【解析】选C.由AD＝3知点A在以D为圆心，半径为3的圆上，不包括圆与x轴的交点．
所以轨迹方程为x2＋y2＝9(y≠0).
题15．已知圆O：x2＋y2＝4及一点P(－1，0)，Q在圆O上运动一周，PQ的中点M形成轨迹C，则轨迹C的方程为____________．
【解析】设M(x，y)，则Q(2x＋1，2y)，因为Q在圆x2＋y2＝4上，所以(2x＋1)2＋4y2＝4，即＋y2＝1.所以轨迹C的方程是＋y2＝1.
答案：＋y2＝1
题16．已知坐标平面上动点M与两个定点P，Q，且MP＝5MQ.求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．
【解析】由题意得＝5
整理得x2＋y2－2x－2y－23＝0，所以点M的轨迹方程是2＋2＝25.
轨迹是以为圆心，5为半径的圆．
【课堂检测达标】
题17. 由方程x2＋y2＋x＋y＋m2＝0所确定的圆的最大面积是( )
A．π B．π C．3π D．不存在
【解析】选B.由已知得r＝＝.
所以当m＝－1时，半径r取得最大值，此时最大面积是π.
题18. 圆心在y轴上，且过点的圆与x轴相切，则该圆的方程是( )
A．x2＋y2＋y＝0 B．x2＋y2－10y＝0 C．x2＋y2＋x＝0 D．x2＋y2－10x＝0
【解析】选B.设圆心坐标为(0，r)，半径为r，则＝r，解得r＝5.
所求圆的方程为x2＋(y－5)2＝25，即x2＋y2－10y＝0.
题19. 原点O与圆：x2＋y2－2ax－2y＋2＝0的位置关系是________．
【解析】把代入圆的方程左边，得2.
因为a∈(0，1)，所以2>0，故原点O在圆外．
答案：原点O在圆外
题20. 已知△ABC的三个顶点分别为A，B，C，则其外接圆的方程为________．
【解析】设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F>0)，
由题意可得解得
故圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.
答案：x2＋y2－4x－2y－20＝0.
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目标要求
1、理解并探求圆的一般方程．
2、理解并掌握二元二次方程与圆的关系．
3、理解并掌握圆的一般方程的求法．
4、理解并掌握动点的轨迹方程.
学科素养目标
本章以“圆”为载体，再次实践和感悟运用解析几何思想研究问题的一般思路．通过本章的学习，学生将在类比直线的研究方法的基础上，进一步体会和掌握在平面直角坐标系中建立圆的方程，进而运用方程研究圆的几何性质及直线和圆、圆和圆的相互位置关系，体会数形结合的思想，逐步形成用代数方法解决几何问题的能力．
重点难点
重点：圆的一般方程的求法；
难点：二元二次方程与圆的关系．
教学过程
基础知识点
1. 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
将方程左边配方，并将常数项移到右边得＋＝ ______ .
(1)当D2＋E2－4F>0时，表示圆心为 _________ ，半径为 ________ 的圆；
(2)当D2＋E2－4F＝0时，表示点 ___________ ；
(3)当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形．
【思考】
根据一般方程怎么求圆心和半径？
2．圆的一般方程
(1)一般方程：当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的 _____ 方程．
(2)本质：圆的方程的另一种表示形式，更具有方程特征．
【思考】
(1)圆的一般方程特点．
(2)点P(x0，y0)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的位置关系怎么判断？
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A.圆的标准方程与一般方程可以互化．
B.方程2x2＋2y2－3x＝0不是圆的一般方程．
C.方程x2＋y2－x＋y＋1＝0表示圆．
D.圆x2＋y2－2＝0的半径为.
题2. 方程x2＋y2－4x＋4y＋10－k＝0表示圆，则k的取值范围是( )
A．k<2 B．k>2 C．k≥2 D．k≤2
题3. 已知圆的方程x2＋y2＋2ax＋9＝0圆心坐标为，则它的半径为( )
A．3 B． C．5 D．4
类型一 二元二次方程与圆的关系(数学运算，数学抽象)
【题组训练】
题4. 方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是( )
A．一个点 B．一个圆 C．一条直线 D．不存在
题5. 方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的范围是( )
A．a<－2或a> B．－
A．1或－2 B．2或－1 C．－1 D．2
【解题策略】
二元二次方程表示圆的条件：x2，y2的系数为1，没有xy项，且D2＋E2－4F>0.可以通过配方把圆的一般方程化成标准方程．
【补偿训练】题7. 圆2x2＋2y2－4ax＋12ay＋16a2＝0的周长等于( )
A．2πa B．－2πa C．2πa2 D．－πa
类型二 求圆的一般方程(数学运算，直观想象)
【典例】题8.已知△ABC顶点的坐标为A，B，C，求其外接圆的一般方程．
【解题策略】
求圆的方程的两种方法
(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法：①根据题意，选择标准方程或一般方程；②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程．
【课堂跟踪训练】
题9. 求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程．
【拓展延伸】确定圆心位置的方法
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．
(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．
【拓展训练】
题10.已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C，D，且|CD|＝4.
(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．
类型三 求动点的轨迹方程(数学运算、逻辑推理)
角度1 直接法
【典例】题11.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知直角坐标系中A，B，则满足PA＝2PB的点P的轨迹的圆心为________，面积为________．
【变式问题探究】题12.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知直角坐标系中A，B，求满足条件PA＝2PB的△ABP面积的最大值．
角度2 定义法及代入法
【典例】题13.设定点M，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
【解题策略】
求解与圆有关的轨迹问题方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．
(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
【当堂巩固训练】
题14．在△ABC中，若点B，C的坐标分别是和，中线AD的长是3，则点A的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝3 B．x2＋y2＝4 C．x2＋y2＝9 D．x2＋y2＝9
题15．已知圆O：x2＋y2＝4及一点P(－1，0)，Q在圆O上运动一周，PQ的中点M形成轨迹C，则轨迹C的方程为____________．
题16．已知坐标平面上动点M与两个定点P，Q，且MP＝5MQ.求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．
【课堂检测达标】
题17. 由方程x2＋y2＋x＋y＋m2＝0所确定的圆的最大面积是( )
A．π B．π C．3π D．不存在
题18. 圆心在y轴上，且过点的圆与x轴相切，则该圆的方程是( )
A．x2＋y2＋y＝0 B．x2＋y2－10y＝0 C．x2＋y2＋x＝0 D．x2＋y2－10x＝0
题19. 原点O与圆：x2＋y2－2ax－2y＋2＝0的位置关系是________．
题20. 已知△ABC的三个顶点分别为A，B，C，则其外接圆的方程为________．
§2.1.2 圆的一般方程答案
目标要求
1、理解并探求圆的一般方程．
2、理解并掌握二元二次方程与圆的关系．
3、理解并掌握圆的一般方程的求法．
4、理解并掌握动点的轨迹方程.
学科素养目标
本章以“圆”为载体，再次实践和感悟运用解析几何思想研究问题的一般思路．通过本章的学习，学生将在类比直线的研究方法的基础上，进一步体会和掌握在平面直角坐标系中建立圆的方程，进而运用方程研究圆的几何性质及直线和圆、圆和圆的相互位置关系，体会数形结合的思想，逐步形成用代数方法解决几何问题的能力．
重点难点
重点：圆的一般方程的求法；
难点：二元二次方程与圆的关系．
教学过程
基础知识点
1. 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
将方程左边配方，并将常数项移到右边得＋＝ .
(1)当D2＋E2－4F>0时，表示圆心为 ，半径为 的圆；
(2)当D2＋E2－4F＝0时，表示点 ；
(3)当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形．
【思考】
根据一般方程怎么求圆心和半径？
提示：配方法．
＋＝，所以圆心为，半径为.
2．圆的一般方程
(1)一般方程：当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的 一般 方程．
(2)本质：圆的方程的另一种表示形式，更具有方程特征．
【思考】
(1)圆的一般方程特点．
提示：①x2和y2系数相等，都为1；
②没有xy项．
(2)点P(x0，y0)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的位置关系怎么判断？
提示：①圆内：x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0；
②圆上：x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0；
③圆外：x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A.圆的标准方程与一般方程可以互化．
B.方程2x2＋2y2－3x＝0不是圆的一般方程．
C.方程x2＋y2－x＋y＋1＝0表示圆．
D.圆x2＋y2－2＝0的半径为.
提示：A√.圆的标准方程与一般方程可以互化．
B×.方程2x2＋2y2－3x＝0即x2＋y2－x＝0，是圆的一般方程．
C×.因为(－1)2＋12－4×1＝－2＜0，所以方程不表示任何图形．
D√. 圆x2＋y2－2＝0的方程可化为，所以半径为
故选AD.
题2. 方程x2＋y2－4x＋4y＋10－k＝0表示圆，则k的取值范围是( )
A．k<2 B．k>2 C．k≥2 D．k≤2
【解析】选B.若方程表示圆，则2＋42－4>0，解得k>2.
题3. 已知圆的方程x2＋y2＋2ax＋9＝0圆心坐标为，则它的半径为( )
A．3 B． C．5 D．4
【解析】选D.由题得－＝5，
所以a＝－5，所以圆的半径为＝＝4.
类型一 二元二次方程与圆的关系(数学运算，数学抽象)
【题组训练】
题4. 方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是( )
A．一个点 B．一个圆 C．一条直线 D．不存在
【解析】选A.方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，
即2＋2＝0，所以方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点.
题5. 方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的范围是( )
A．a<－2或a> B．－
所以a2＋4a2－4(2a2＋a－1)>0，所以3a2＋4a－4<0，
所以(a＋2)(3a－2)<0，所以－2
A．1或－2 B．2或－1 C．－1 D．2
【解析】选C.若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆，
则有a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.
当a＝2时，原方程可变为2x2＋2y2＋2x＋1＝0，配方，得22＋2y2＝－，不表示圆；
当a＝－1时，原方程可变为x2＋y2－2x－1＝0，配方，得(x－1)2＋y2＝2，它表示以(1，0)为圆心，为半径的圆．
【解题策略】
二元二次方程表示圆的条件：x2，y2的系数为1，没有xy项，且D2＋E2－4F>0.可以通过配方把圆的一般方程化成标准方程．
【补偿训练】题7. 圆2x2＋2y2－4ax＋12ay＋16a2＝0的周长等于( )
A．2πa B．－2πa C．2πa2 D．－πa
【解析】选B.原方程配方得2＋2＝2a2.
因为a<0，所以半径r＝－a.所以圆的周长为2π×＝－2πa.
类型二 求圆的一般方程(数学运算，直观想象)
【典例】题8.已知△ABC顶点的坐标为A，B，C，求其外接圆的一般方程．
【思路导引】方法一：把三个点的坐标代入圆的一般方程，解方程组；
方法二：AB，AC的垂直平分线过圆心，圆心到点A的距离为半径，从而求出圆的方程；
方法三：可以判断出这是一个直角三角形，因此斜边为直径．
【解析】方法一：(待定系数法)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F>0)，则
解得
因此其外接圆的一般方程为x2＋y2－6x－2y＋5＝0.
方法二：(几何法)
AB的垂直平分线方程y－＝x－，
即y＝x－2；AC的垂直平分线方程y－＝－，即y＝－x＋4.
由得圆心(3，1)，半径＝.
所以圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2－6x－2y＋5＝0.
方法三：(几何法)
因为AB，AC的斜率，满足kAB·kAC＝×＝－1，所以AB⊥AC，△ABC为直角三角形．
所以BC为外接圆的直径．外接圆圆心(3，1)，半径为BC＝＝，所以圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2－6x－2y＋5＝0.
【解题策略】
求圆的方程的两种方法
(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法：①根据题意，选择标准方程或一般方程；②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程．
【课堂跟踪训练】
题9. 求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程．
【解析】方法一：(几何法)设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，
所以可设点C的坐标为(2a＋3，a).又该圆经过A，B两点，
所以|CA|＝|CB|，
即＝，
解得a＝－2，所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
方法二：(待定系数法)设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得
解得a＝－1，b＝－2，r2＝10，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
【拓展延伸】确定圆心位置的方法
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．
(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．
【拓展训练】
题10.已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C，D，且|CD|＝4.
(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．
【证明】(1)由题意知直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1，2).
则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
(2)设圆心P(a，b)，由点P在CD上得a＋b－3＝0.①.
又因为直径|CD|＝4，所以|PA|＝2，所以(a＋1)2＋b2＝40.②
由①②解得或所以圆心P(－3，6)或P(5，－2).
所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
类型三 求动点的轨迹方程(数学运算、逻辑推理)
角度1 直接法
【典例】题11.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知直角坐标系中A，B，则满足PA＝2PB的点P的轨迹的圆心为________，面积为________．
【思路导引】设点P(x，y)，然后代入PA＝2PB，化简即可求出圆的方程．
【解析】设点P(x，y)，代入PA＝2PB得＝2，
整理得3x2＋3y2－20x＋12＝0.配方得2＋y2＝.
所以点P的轨迹的圆心为，半径为.圆的面积为π.
答案： π
【变式问题探究】题12.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知直角坐标系中A，B，求满足条件PA＝2PB的△ABP面积的最大值．
【解析】当PC垂直x轴时，面积最大为×4×＝.
角度2 定义法及代入法
【典例】题13.设定点M，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
【思路导引】方法一：由平行四边形性质可知MP＝ON＝2，满足圆的定义，注意去掉不满足条件的点；
方法二：根据对角线互相平分，利用代入法可求出轨迹方程．
【解析】方法一：(定义法)MP＝ON＝2，所以动点P在以M为圆心，半径为2的圆上．
又因为四边形MONP为平行四边形，
所以O，M，P不共线．当点P在直线OM上时有x＝－，y＝或x＝－，y＝.
因此所求轨迹为圆2＋2＝4，除去点和点.
方法二：(代入法)如图所示，设P，N，
则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.
由于平行四边形的对角线互相平分，故＝，
＝，从而又点N在圆上，故2＋2＝4.
当点P在直线OM上时，有x＝－，y＝或x＝－，y＝.
因此所求轨迹为圆2＋2＝4，除去点和点.
【解题策略】
求解与圆有关的轨迹问题方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．
(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
【当堂巩固训练】
题14．在△ABC中，若点B，C的坐标分别是和，中线AD的长是3，则点A的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝3 B．x2＋y2＝4 C．x2＋y2＝9 D．x2＋y2＝9
【解析】选C.由AD＝3知点A在以D为圆心，半径为3的圆上，不包括圆与x轴的交点．
所以轨迹方程为x2＋y2＝9(y≠0).
题15．已知圆O：x2＋y2＝4及一点P(－1，0)，Q在圆O上运动一周，PQ的中点M形成轨迹C，则轨迹C的方程为____________．
【解析】设M(x，y)，则Q(2x＋1，2y)，因为Q在圆x2＋y2＝4上，所以(2x＋1)2＋4y2＝4，即＋y2＝1.所以轨迹C的方程是＋y2＝1.
答案：＋y2＝1
题16．已知坐标平面上动点M与两个定点P，Q，且MP＝5MQ.求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．
【解析】由题意得＝5
整理得x2＋y2－2x－2y－23＝0，所以点M的轨迹方程是2＋2＝25.
轨迹是以为圆心，5为半径的圆．
【课堂检测达标】
题17. 由方程x2＋y2＋x＋y＋m2＝0所确定的圆的最大面积是( )
A．π B．π C．3π D．不存在
【解析】选B.由已知得r＝＝.
所以当m＝－1时，半径r取得最大值，此时最大面积是π.
题18. 圆心在y轴上，且过点的圆与x轴相切，则该圆的方程是( )
A．x2＋y2＋y＝0 B．x2＋y2－10y＝0 C．x2＋y2＋x＝0 D．x2＋y2－10x＝0
【解析】选B.设圆心坐标为(0，r)，半径为r，则＝r，解得r＝5.
所求圆的方程为x2＋(y－5)2＝25，即x2＋y2－10y＝0.
题19. 原点O与圆：x2＋y2－2ax－2y＋2＝0的位置关系是________．
【解析】把代入圆的方程左边，得2.
因为a∈(0，1)，所以2>0，故原点O在圆外．
答案：原点O在圆外
题20. 已知△ABC的三个顶点分别为A，B，C，则其外接圆的方程为________．
【解析】设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F>0)，
由题意可得解得
故圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.
答案：x2＋y2－4x－2y－20＝0.
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