苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册2.1 圆的方程【同步教案】(解析版)
文档属性
| 名称 | 苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册2.1 圆的方程【同步教案】(解析版) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-28 09:49:29 | ||
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文档简介
第2章 圆与方程
第01讲 圆的方程
课程标准 重难点
1.掌握圆的定义及标准方程； 2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程． 3.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小； 4.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程． 1.圆的标准方程与一般方程的转化 2.圆成立的条件
知识点一 圆的标准方程
1.圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
2.圆的要素：确定圆的要素是圆心和半径，如图所示．
3.圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．
【疑难解读】
（1）由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性，为其优点．
（2）几种特殊位置的圆的标准方程：
条件 圆的标准方程
过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2＞0)
圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2(r≠0)
圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)
圆心在x轴上且过原点 (x－a)2＋y2＝a2(a≠0)
圆心在y轴上且过原点 x2＋(y－b)2＝b2(b≠0)
与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0)
与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0)
知识点二 点与圆的位置关系
1.圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则
位置关系 判断方法
几何法 代数法
点在圆上 │MA│＝r 点M在圆A上 点M(x0，y0)在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点在圆内 │MA│点在圆外 │MA│>r 点M在圆A外 点M(x0，y0)在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2
2.【概念解读】（1）点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外．
（2）判断点与圆的位置关系常用几何法和代数法．
知识点三 圆的一般方程
1.圆的一般方程的概念：
当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
2.圆的一般方程对应的圆心和半径：
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为(－，－)，半径长为 .
【概念解读】
（1）圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点：
①x2、y2的系数相等且不为0；②没有xy项．
（2）对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明：
方程 条件 图形
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0 表示一个点(－，－)
D2＋E2－4F>0 表示以(－，－)为圆心，以为半径的圆
考法01 求圆的标准方程
求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程．
【跟踪训练】
1.以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( )
A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝10 B．(x－1)2＋(y－2)2＝100 C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25 D．(x－1)2＋(y－2)2＝25
2.与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________．
3.过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程是________________．
【方法总结】
确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，如法一，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．
考法02 点与圆的位置关系
如图，已知两点P1(4,9)和P2(6,3)．
(1)求以P1P2为直径的圆的方程；
(2)试判断点M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3)是在圆上，在圆内，还是在圆外．
【跟踪训练】
2．点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是( )
A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1 C．a＞1或a＞－1 D．a＝±1
【方法总结】
1．判断点与圆的位置关系的方法
(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；
(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断．
2．灵活运用
若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．
考法03 圆的一般方程
若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：
(1)实数m的取值范围；
(2)圆心坐标和半径．
【跟踪训练】
1.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
2.已知曲线C：x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0.
求证：当m≠2时，曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上．
【方法总结】
判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数．
题组A 基础过关练
1．若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．圆的圆心关于原点的对称点为（ ）
A． B． C． D．
3．已知圆，则其圆心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，圆心在原点半径为3的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．（多选）点在圆的内部，则的取值不可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．圆的圆心坐标为______.
7．圆的圆心到原点的距离为__________.
8．已知，方程表示圆，则圆心坐标是__________.
题组B 能力提升练
1．以直线经过的定点为圆心，2为半径的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，四点坐标分别为，若它们都在同一个圆周上，则a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
4．若直线始终平分圆，则（ ）
A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6
5．已知直线，，，则经过这三条直线交点的圆的方程为__________.
6．已知点在圆外，则实数的取值范围为______．
7．已知圆C过点，圆心在直线上.
（1）求圆C的方程.
（2）判断点P(2，4)与圆C的关系
8．直线过点且与直线垂直.
（1）求直线的方程；
（2）求圆心在直线上且过点、的圆的方程.
题组C 培优拔尖练
1．已知点集，当取遍任何实数时，所扫过的平面区域面积是（ ）
A． B． C． D．
2．已知点，Q为圆上一点，点S在x轴上，则的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．如果复数z满足，那么的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知直线与圆交于点A，B，则_________．
5．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262—190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有，，，则当的面积最大时，的长为______.
6．已知的三个顶点，，.
（1）求外接圆的方程；
（2）求内切圆的方程.
1.圆
圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，定点是圆心，定长是半径
2.圆的标准方程
方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.（r>0）叫作以点（a,b）,r为半径的圆的标准方程。
圆心下原点，半径为r的圆的方程是x2+y2=r2
3.点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点M在圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点M在圆外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点M在圆内 |CM|方法求圆的方程
(1)已知圆心坐标和半径大小可直接代人求得圆的标准性方程求圆的一般方程，只需用待定系数法求出D,E,F三个系数即可.由此可知，确定一个圆的方程需要三个独立的条件.
(2 )用待定系数法求圆的方程的大致步骤:
①根据题意，选择标准方程或一般方程.
②根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组、
③解出a,b,r或D,E,F,代人标准方程或一-般方程
例题1
过直线上的点作圆的两条切线，，若直线，关于直线对称，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由两条切线关于对称可确定与垂直，可知所求即为圆心到直线的距离，利用点到直线距离公式可求得结果.
【详解】
若直线关于直线对称，则两直线与直线的夹角相等，
则与垂直，等于圆心到直线的距离，
即．
故选：B.
【点睛】本题解题关键是能够根据两条切线关于对称确定与对称轴垂直，由此将所求距离转化为圆心到直线的距离.
例题2
点为圆上任意一点，直线过定点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由直线方程可构造方程组求得定点，由圆的方程确定圆心坐标和半径，则.
【详解】
整理直线方程得：，
由得：，，
由圆的方程知圆心，半径，
.
故选：D.
【点睛】结论点睛：若圆心与圆外一点间距离为，圆的半径为，则圆外一点到圆上的点的距离最大值为，最小值为.
训练1
在平面直角坐标系中，已知圆：，若直线：上有且只有一个点满足：过点作圆C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，且使得四边形PMCN为正方形，则正实数m的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．7
【答案】C
【分析】
根据四边形PMCN为正方形可得，转化为圆心到直线的距离为可求得结果.
【详解】
由可知圆心，半径为，
因为四边形PMCN为正方形，且边长为圆的半径，所以，
所以直线：上有且只有一个点，使得，即，
所以圆心到直线的距离为，
所以，解得或（舍）.
故选：C
【点睛】关键点点睛：将题意转化为圆心到直线的距离为是解题关键.
训练2
圆的圆心到直线的距离是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】求得圆心，利用点到直线距离公式计算出正确选项.
【详解】
圆心坐标为，直线方程为，
圆心到直线的距离为.
故选：B
圆的一般方程与标准方程之间的互化
例题1
若方程所表示的圆取得最大面积，则直线的倾斜角等于（ ）
A．135° B．45° C．60° D．120°
【答案】A
【分析】将圆的方程转化为标准方程得到半径，再根据圆取得最大面积时求得k即可.
【详解】
方程的标准方程为： ，
则，
当所表示的圆取得最大面积时，，此时，
则直线为，
所以，
因为，
所以
故选：A
【点睛】考查圆的一般方程与标准方程的转化以及圆的最大面积问题
例题2
已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
先求出线段的垂直平分线，利用弦的垂直平分线的交点是圆心即可得到圆心坐标，再算出圆心与A点的距离即半径，即可得到圆的标准方程，从而得到一般方程.
【详解】
因为线段的中点坐标为，直线的斜率为，所以线段的垂直平
分线方程为，即与直线方程联立，得圆心坐标为.又圆
的半径，所以，圆的方程为，
即.
故选：C.
【点睛】考查圆的方程以及直线与圆的位置关系.
训练1
圆心为且过原点的圆的一般方程是
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，求出圆的半径，即可得圆的标准方程，变形可得其一般方程．
【详解】
根据题意，要求圆的圆心为，且过原点，
且其半径，
则其标准方程为，变形可得其一般方程是，
故选．
【点睛】考查圆的方程求法，以及标准方程化成一般方程．
训练2
圆的圆心和半径分别为
A．圆心，半径为2 B．圆心，半径为2
C．圆心，半径为4 D．圆心，半径为4
【答案】B
【分析】
将圆的一般式化成标准方程，即可得到圆心和半径．
【详解】
将配方得
所以圆心为，半径为2
所以选B
【点睛】考查了圆的一般方程与标准方程的转化．
一、单选题
1．两个点、与圆的位置关系是（ ）
A．点在圆外，点在圆外
B．点在圆内，点在圆内
C．点在圆外，点在圆内
D．点在圆内，点在圆外
【答案】D
【分析】本题可将点、代入方程左边，通过得出的值与的大小关系即可判断出结果.
【详解】
将代入方程左边得，
则点在圆内，
将代入方程左边得，
则点在圆外，
故选：D.
2．若圆的圆心坐标为，且圆经过点，则圆的半径为（ ）．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】根据根据圆心到圆上点距离求半径.
【详解】
圆的半径为．
故选：A
【点睛】考查圆半径
3．若直线平分圆的周长，则
A．9 B．-9 C．1 D．-1
【答案】B
【分析】直线平分圆周长，说明直线过圆心，把圆心坐标代入直线方程可得.
【详解】
因为直线平分圆的周长，所以直线经过该圆的圆心，则，即.选B.
【点睛】考查圆的一般方程.
4．经过点和，且圆心在x轴上的圆的一般方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设圆的一般式方程，由圆心在x轴上，可得圆心纵坐标为，再将两点坐标代入方程，即可得圆的标准方程.
【详解】
设圆的方程为，
因为圆心在x轴上，所以，即．
又圆经过点和，
所以即解得
故所求圆的一般方程为．
故选：D
【点睛】考查了待定系数法求圆标准方程.
5．以，为直径的圆的方程是
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设圆的标准方程，利用待定系数法一一求出，从而求出圆的方程.
【详解】
设圆的标准方程为，
由题意得圆心为，的中点，
根据中点坐标公式可得，，
又，所以圆的标准方程为：
，化简整理得，
所以本题答案为A.
【点睛】考查待定系数法求圆的方程.
6．圆的圆心和半径分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接根据圆标准方程的几何性质求解即可.
【详解】
圆的标准方程为，
圆的圆心坐标和半径长分别是，故选D.
【点睛】考查圆的标准方程应用.
7．点与圆的位置关系是（ ）．
A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．不能确定
【答案】A
【详解】
将点代入圆方程，得．故点在圆外，
选．
8．圆的一般方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
将圆的标准方程展开可得圆的一般方程.
【详解】
将圆展开整理可得圆的一般方程是．
故选：D.
【点睛】考查将圆的标准方程化为一般方程，属于基础题.
二、填空题
9．圆心在上，且与轴交于点和的圆的方程为__.
【答案】
【分析】根据题意，由圆与轴的交点可得圆心在直线上，由此求出圆心坐标，由两点间距离公式求出半径，分析可得答案.
【详解】
解：根据题意，要求圆与轴交于点和，
则其圆心在直线上，
又由要求圆的圆心在上，则圆的圆心为，
半径为，则，
故要求圆的方程为.
故答案为：.
【点睛】考查圆的标准方程，注意分析圆的圆心与半径，属于基础题.
10．已知圆Ω过点A（5，1），B（5，3），C（﹣1，1），则圆Ω的圆心到直线l：x﹣2y+1＝0的距离为_____．
【答案】
【分析】
求得线段和线段的垂直平分线，求这两条垂直平分线的交点即求得圆的圆心，在求的圆心到直线的距离.
【详解】
∵A（5，1），B（5，3），C（﹣1，1），
∴AB的中点坐标为（5，2），则AB的垂直平分线方程为y＝2；
BC的中点坐标为（2，2），，
则BC的垂直平分线方程为y﹣2＝﹣3（x﹣2），即3x+y﹣8＝0．
联立，得．
∴圆Ω的圆心为Ω（2，2），
则圆Ω的圆心到直线l：x﹣2y+1＝0的距离为d．
故答案为：
【点睛】考查根据圆上点的坐标求圆心坐标，考查点到直线的距离公式.
11．在平面直角坐标系中，圆的方程为，该圆的周长为__________.
【答案】
【分析】把一般方程改写成标准方程后可求其半径，从而可求周长．
【详解】
由题设可得圆的标准方程为：，
所以圆的半径为，故周长为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查圆的一般方程与标准方程的互化，注意圆的一般方程 中，，本题属于基础题．
三、解答题
12．如图，已知的边所在直线的方程为，满足，点在边所在直线上且满足.
（1）求边所在直线的方程；
（2）求外接圆的方程；
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由，得到为，结合直线的方程，求得直线的斜率，进而求得边所在直线的方程；
（2）由（1）边所在直线的方程为，联立方程组求得，根据，得到为外接圆的圆心，进而求得圆的标准方程.
【详解】
（1）由，可得，
又由在上，所以，所以为，
因为边所在直线的方程为，斜率为,
所以直线的斜率为，
又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为，
即.
（2）由（1）边所在直线的方程为，
联立方程组，可得，
因为，所以为斜边上的中点，即为外接圆的圆心，
又由，
所以外接圆的方程为.
13．已知，，.
（1）求点到直线的距离；
（2）求的外接圆的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由，可求出直线方程，利用点到直线的距离求解；
（2）设外接圆的方程为，利用三点坐标求解.
【详解】
（1），
由得直线的方程为.
所以点到直线的距离
（2）设外接圆的方程为，
由题意，得
解得
即的外接圆的方程为.
14．已知△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别是D(5，3)，E(4，2)，F(1，1).
（1）求△ABC的边AB所在直线的方程及点A的坐标；
（2）求△ABC的外接圆的方程.
【答案】（1）x﹣y=0，（2）(x﹣8)2+(y+6)2=100
【分析】
（1）设坐标，由中点坐标公式列出方程，可求出坐标，进而取出直线方程；
（2）分别求出的垂直平分线方程，联立求出交点坐标，即为外接圆圆心坐标，求出半径，可得出结论.
【详解】
（1）设A(x，y)，B(a，b)，C(m，n)，则.
解得,∴A (0，0)，B(2，2)，C(8，4).
∴边AB所在直线的方程:x﹣y=0.
（2）由（1）得的垂直平分线方程为，
的垂直平分线方程为，
联立，解得，
所以的外接圆的圆心，
半径为，
∴△ABC的外接圆方程为(x﹣8)2+(y+6)2=100.
【点睛】考查线段中点坐标的应用，考查圆的标准方程，掌握应用垂径定理确定圆心，属于基础题.
15．平面直角坐标系中，已知，，在中，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在的直线斜率为．
（1）求直线的方程；
（2）求以为直径的圆的标准方程．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据边上的高的斜率为，可得直线的斜率，再利用点斜式方程，求得直线的方程；
（2）求出点的坐标，再求的中点坐标，即为圆心坐标，再利用两点间距离公式求半径，进而得到圆的标准方程.
【详解】
（1）因为边上的高的斜率为，所以直线的斜率，
因为，所以直线的方程为，即.
（2）设，
因为边上的中线所在直线的方程为，
所以，
由（1）得直线的方程为，
所以，则，
所以圆心为的中点，即，
半径，
所以圆的方程：.
【点睛】考查直线的方程、圆的标准方程求.
16．已知圆过两点、，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）判断点与圆的关系.
【答案】（1）；（2）点P在圆外.
【分析】
（1）求出圆心和半径，即可求圆C的方程；
（2）根据点与圆C的位置关系，即可得到结论.
【详解】
（1）圆心在直线上，
设圆心坐标为，
则，
即，
即，
解得，即圆心为，
半径
则圆的标准方程为
（2）
点在圆的外面.
【点睛】考查（1）圆的标准方程求解（2）判断一点是否在圆上.
2 / 2
第01讲 圆的方程
课程标准 重难点
1.掌握圆的定义及标准方程； 2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程． 3.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小； 4.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程． 1.圆的标准方程与一般方程的转化 2.圆成立的条件
知识点一 圆的标准方程
1.圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
2.圆的要素：确定圆的要素是圆心和半径，如图所示．
3.圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．
【疑难解读】
（1）由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性，为其优点．
（2）几种特殊位置的圆的标准方程：
条件 圆的标准方程
过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2＞0)
圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2(r≠0)
圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)
圆心在x轴上且过原点 (x－a)2＋y2＝a2(a≠0)
圆心在y轴上且过原点 x2＋(y－b)2＝b2(b≠0)
与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0)
与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0)
知识点二 点与圆的位置关系
1.圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则
位置关系 判断方法
几何法 代数法
点在圆上 │MA│＝r 点M在圆A上 点M(x0，y0)在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点在圆内 │MA│
2.【概念解读】（1）点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外．
（2）判断点与圆的位置关系常用几何法和代数法．
知识点三 圆的一般方程
1.圆的一般方程的概念：
当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
2.圆的一般方程对应的圆心和半径：
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为(－，－)，半径长为 .
【概念解读】
（1）圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点：
①x2、y2的系数相等且不为0；②没有xy项．
（2）对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明：
方程 条件 图形
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0 表示一个点(－，－)
D2＋E2－4F>0 表示以(－，－)为圆心，以为半径的圆
考法01 求圆的标准方程
求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程．
【跟踪训练】
1.以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( )
A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝10 B．(x－1)2＋(y－2)2＝100 C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25 D．(x－1)2＋(y－2)2＝25
2.与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________．
3.过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程是________________．
【方法总结】
确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，如法一，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．
考法02 点与圆的位置关系
如图，已知两点P1(4,9)和P2(6,3)．
(1)求以P1P2为直径的圆的方程；
(2)试判断点M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3)是在圆上，在圆内，还是在圆外．
【跟踪训练】
2．点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是( )
A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1 C．a＞1或a＞－1 D．a＝±1
【方法总结】
1．判断点与圆的位置关系的方法
(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；
(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断．
2．灵活运用
若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．
考法03 圆的一般方程
若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：
(1)实数m的取值范围；
(2)圆心坐标和半径．
【跟踪训练】
1.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
2.已知曲线C：x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0.
求证：当m≠2时，曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上．
【方法总结】
判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数．
题组A 基础过关练
1．若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．圆的圆心关于原点的对称点为（ ）
A． B． C． D．
3．已知圆，则其圆心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，圆心在原点半径为3的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．（多选）点在圆的内部，则的取值不可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．圆的圆心坐标为______.
7．圆的圆心到原点的距离为__________.
8．已知，方程表示圆，则圆心坐标是__________.
题组B 能力提升练
1．以直线经过的定点为圆心，2为半径的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，四点坐标分别为，若它们都在同一个圆周上，则a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
4．若直线始终平分圆，则（ ）
A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6
5．已知直线，，，则经过这三条直线交点的圆的方程为__________.
6．已知点在圆外，则实数的取值范围为______．
7．已知圆C过点，圆心在直线上.
（1）求圆C的方程.
（2）判断点P(2，4)与圆C的关系
8．直线过点且与直线垂直.
（1）求直线的方程；
（2）求圆心在直线上且过点、的圆的方程.
题组C 培优拔尖练
1．已知点集，当取遍任何实数时，所扫过的平面区域面积是（ ）
A． B． C． D．
2．已知点，Q为圆上一点，点S在x轴上，则的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．如果复数z满足，那么的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知直线与圆交于点A，B，则_________．
5．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262—190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有，，，则当的面积最大时，的长为______.
6．已知的三个顶点，，.
（1）求外接圆的方程；
（2）求内切圆的方程.
1.圆
圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，定点是圆心，定长是半径
2.圆的标准方程
方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.（r>0）叫作以点（a,b）,r为半径的圆的标准方程。
圆心下原点，半径为r的圆的方程是x2+y2=r2
3.点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点M在圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点M在圆外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点M在圆内 |CM|
(1)已知圆心坐标和半径大小可直接代人求得圆的标准性方程求圆的一般方程，只需用待定系数法求出D,E,F三个系数即可.由此可知，确定一个圆的方程需要三个独立的条件.
(2 )用待定系数法求圆的方程的大致步骤:
①根据题意，选择标准方程或一般方程.
②根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组、
③解出a,b,r或D,E,F,代人标准方程或一-般方程
例题1
过直线上的点作圆的两条切线，，若直线，关于直线对称，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由两条切线关于对称可确定与垂直，可知所求即为圆心到直线的距离，利用点到直线距离公式可求得结果.
【详解】
若直线关于直线对称，则两直线与直线的夹角相等，
则与垂直，等于圆心到直线的距离，
即．
故选：B.
【点睛】本题解题关键是能够根据两条切线关于对称确定与对称轴垂直，由此将所求距离转化为圆心到直线的距离.
例题2
点为圆上任意一点，直线过定点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由直线方程可构造方程组求得定点，由圆的方程确定圆心坐标和半径，则.
【详解】
整理直线方程得：，
由得：，，
由圆的方程知圆心，半径，
.
故选：D.
【点睛】结论点睛：若圆心与圆外一点间距离为，圆的半径为，则圆外一点到圆上的点的距离最大值为，最小值为.
训练1
在平面直角坐标系中，已知圆：，若直线：上有且只有一个点满足：过点作圆C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，且使得四边形PMCN为正方形，则正实数m的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．7
【答案】C
【分析】
根据四边形PMCN为正方形可得，转化为圆心到直线的距离为可求得结果.
【详解】
由可知圆心，半径为，
因为四边形PMCN为正方形，且边长为圆的半径，所以，
所以直线：上有且只有一个点，使得，即，
所以圆心到直线的距离为，
所以，解得或（舍）.
故选：C
【点睛】关键点点睛：将题意转化为圆心到直线的距离为是解题关键.
训练2
圆的圆心到直线的距离是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】求得圆心，利用点到直线距离公式计算出正确选项.
【详解】
圆心坐标为，直线方程为，
圆心到直线的距离为.
故选：B
圆的一般方程与标准方程之间的互化
例题1
若方程所表示的圆取得最大面积，则直线的倾斜角等于（ ）
A．135° B．45° C．60° D．120°
【答案】A
【分析】将圆的方程转化为标准方程得到半径，再根据圆取得最大面积时求得k即可.
【详解】
方程的标准方程为： ，
则，
当所表示的圆取得最大面积时，，此时，
则直线为，
所以，
因为，
所以
故选：A
【点睛】考查圆的一般方程与标准方程的转化以及圆的最大面积问题
例题2
已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
先求出线段的垂直平分线，利用弦的垂直平分线的交点是圆心即可得到圆心坐标，再算出圆心与A点的距离即半径，即可得到圆的标准方程，从而得到一般方程.
【详解】
因为线段的中点坐标为，直线的斜率为，所以线段的垂直平
分线方程为，即与直线方程联立，得圆心坐标为.又圆
的半径，所以，圆的方程为，
即.
故选：C.
【点睛】考查圆的方程以及直线与圆的位置关系.
训练1
圆心为且过原点的圆的一般方程是
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，求出圆的半径，即可得圆的标准方程，变形可得其一般方程．
【详解】
根据题意，要求圆的圆心为，且过原点，
且其半径，
则其标准方程为，变形可得其一般方程是，
故选．
【点睛】考查圆的方程求法，以及标准方程化成一般方程．
训练2
圆的圆心和半径分别为
A．圆心，半径为2 B．圆心，半径为2
C．圆心，半径为4 D．圆心，半径为4
【答案】B
【分析】
将圆的一般式化成标准方程，即可得到圆心和半径．
【详解】
将配方得
所以圆心为，半径为2
所以选B
【点睛】考查了圆的一般方程与标准方程的转化．
一、单选题
1．两个点、与圆的位置关系是（ ）
A．点在圆外，点在圆外
B．点在圆内，点在圆内
C．点在圆外，点在圆内
D．点在圆内，点在圆外
【答案】D
【分析】本题可将点、代入方程左边，通过得出的值与的大小关系即可判断出结果.
【详解】
将代入方程左边得，
则点在圆内，
将代入方程左边得，
则点在圆外，
故选：D.
2．若圆的圆心坐标为，且圆经过点，则圆的半径为（ ）．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】根据根据圆心到圆上点距离求半径.
【详解】
圆的半径为．
故选：A
【点睛】考查圆半径
3．若直线平分圆的周长，则
A．9 B．-9 C．1 D．-1
【答案】B
【分析】直线平分圆周长，说明直线过圆心，把圆心坐标代入直线方程可得.
【详解】
因为直线平分圆的周长，所以直线经过该圆的圆心，则，即.选B.
【点睛】考查圆的一般方程.
4．经过点和，且圆心在x轴上的圆的一般方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设圆的一般式方程，由圆心在x轴上，可得圆心纵坐标为，再将两点坐标代入方程，即可得圆的标准方程.
【详解】
设圆的方程为，
因为圆心在x轴上，所以，即．
又圆经过点和，
所以即解得
故所求圆的一般方程为．
故选：D
【点睛】考查了待定系数法求圆标准方程.
5．以，为直径的圆的方程是
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设圆的标准方程，利用待定系数法一一求出，从而求出圆的方程.
【详解】
设圆的标准方程为，
由题意得圆心为，的中点，
根据中点坐标公式可得，，
又，所以圆的标准方程为：
，化简整理得，
所以本题答案为A.
【点睛】考查待定系数法求圆的方程.
6．圆的圆心和半径分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接根据圆标准方程的几何性质求解即可.
【详解】
圆的标准方程为，
圆的圆心坐标和半径长分别是，故选D.
【点睛】考查圆的标准方程应用.
7．点与圆的位置关系是（ ）．
A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．不能确定
【答案】A
【详解】
将点代入圆方程，得．故点在圆外，
选．
8．圆的一般方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
将圆的标准方程展开可得圆的一般方程.
【详解】
将圆展开整理可得圆的一般方程是．
故选：D.
【点睛】考查将圆的标准方程化为一般方程，属于基础题.
二、填空题
9．圆心在上，且与轴交于点和的圆的方程为__.
【答案】
【分析】根据题意，由圆与轴的交点可得圆心在直线上，由此求出圆心坐标，由两点间距离公式求出半径，分析可得答案.
【详解】
解：根据题意，要求圆与轴交于点和，
则其圆心在直线上，
又由要求圆的圆心在上，则圆的圆心为，
半径为，则，
故要求圆的方程为.
故答案为：.
【点睛】考查圆的标准方程，注意分析圆的圆心与半径，属于基础题.
10．已知圆Ω过点A（5，1），B（5，3），C（﹣1，1），则圆Ω的圆心到直线l：x﹣2y+1＝0的距离为_____．
【答案】
【分析】
求得线段和线段的垂直平分线，求这两条垂直平分线的交点即求得圆的圆心，在求的圆心到直线的距离.
【详解】
∵A（5，1），B（5，3），C（﹣1，1），
∴AB的中点坐标为（5，2），则AB的垂直平分线方程为y＝2；
BC的中点坐标为（2，2），，
则BC的垂直平分线方程为y﹣2＝﹣3（x﹣2），即3x+y﹣8＝0．
联立，得．
∴圆Ω的圆心为Ω（2，2），
则圆Ω的圆心到直线l：x﹣2y+1＝0的距离为d．
故答案为：
【点睛】考查根据圆上点的坐标求圆心坐标，考查点到直线的距离公式.
11．在平面直角坐标系中，圆的方程为，该圆的周长为__________.
【答案】
【分析】把一般方程改写成标准方程后可求其半径，从而可求周长．
【详解】
由题设可得圆的标准方程为：，
所以圆的半径为，故周长为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查圆的一般方程与标准方程的互化，注意圆的一般方程 中，，本题属于基础题．
三、解答题
12．如图，已知的边所在直线的方程为，满足，点在边所在直线上且满足.
（1）求边所在直线的方程；
（2）求外接圆的方程；
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由，得到为，结合直线的方程，求得直线的斜率，进而求得边所在直线的方程；
（2）由（1）边所在直线的方程为，联立方程组求得，根据，得到为外接圆的圆心，进而求得圆的标准方程.
【详解】
（1）由，可得，
又由在上，所以，所以为，
因为边所在直线的方程为，斜率为,
所以直线的斜率为，
又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为，
即.
（2）由（1）边所在直线的方程为，
联立方程组，可得，
因为，所以为斜边上的中点，即为外接圆的圆心，
又由，
所以外接圆的方程为.
13．已知，，.
（1）求点到直线的距离；
（2）求的外接圆的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由，可求出直线方程，利用点到直线的距离求解；
（2）设外接圆的方程为，利用三点坐标求解.
【详解】
（1），
由得直线的方程为.
所以点到直线的距离
（2）设外接圆的方程为，
由题意，得
解得
即的外接圆的方程为.
14．已知△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别是D(5，3)，E(4，2)，F(1，1).
（1）求△ABC的边AB所在直线的方程及点A的坐标；
（2）求△ABC的外接圆的方程.
【答案】（1）x﹣y=0，（2）(x﹣8)2+(y+6)2=100
【分析】
（1）设坐标，由中点坐标公式列出方程，可求出坐标，进而取出直线方程；
（2）分别求出的垂直平分线方程，联立求出交点坐标，即为外接圆圆心坐标，求出半径，可得出结论.
【详解】
（1）设A(x，y)，B(a，b)，C(m，n)，则.
解得,∴A (0，0)，B(2，2)，C(8，4).
∴边AB所在直线的方程:x﹣y=0.
（2）由（1）得的垂直平分线方程为，
的垂直平分线方程为，
联立，解得，
所以的外接圆的圆心，
半径为，
∴△ABC的外接圆方程为(x﹣8)2+(y+6)2=100.
【点睛】考查线段中点坐标的应用，考查圆的标准方程，掌握应用垂径定理确定圆心，属于基础题.
15．平面直角坐标系中，已知，，在中，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在的直线斜率为．
（1）求直线的方程；
（2）求以为直径的圆的标准方程．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据边上的高的斜率为，可得直线的斜率，再利用点斜式方程，求得直线的方程；
（2）求出点的坐标，再求的中点坐标，即为圆心坐标，再利用两点间距离公式求半径，进而得到圆的标准方程.
【详解】
（1）因为边上的高的斜率为，所以直线的斜率，
因为，所以直线的方程为，即.
（2）设，
因为边上的中线所在直线的方程为，
所以，
由（1）得直线的方程为，
所以，则，
所以圆心为的中点，即，
半径，
所以圆的方程：.
【点睛】考查直线的方程、圆的标准方程求.
16．已知圆过两点、，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）判断点与圆的关系.
【答案】（1）；（2）点P在圆外.
【分析】
（1）求出圆心和半径，即可求圆C的方程；
（2）根据点与圆C的位置关系，即可得到结论.
【详解】
（1）圆心在直线上，
设圆心坐标为，
则，
即，
即，
解得，即圆心为，
半径
则圆的标准方程为
（2）
点在圆的外面.
【点睛】考查（1）圆的标准方程求解（2）判断一点是否在圆上.
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