高中数学必修四第三章：三角恒等变换精美导学案（共计19页）

第三章 三角恒等变换
3.1.1 两角和与差的余弦公式
【学习目标】
1、理解向量法推导两角和与差的余弦公式,并能初步运用解决具体问题；
2、应用公C式，求三角函数值.
3、培养探索和创新的能力和意见.
【学习重点难点】
向量法推导两角和与差的余弦公式
【学习过程】
（一）预习指导
探究cos(α+β)≠cosα+cosβ
反例：
cos =cos( + )≠cos + cos
问题：cos(α+β),cosα,cosβ的关系
（二）基本概念
1.解决思路：探讨三角函数问题的最基本的工具是直角坐标系中的单位圆及单位圆中的三角函数线
2.探究：在坐标系中α、β角构造α+β角
3.探究：作单位圆，构造全等三角形
探究：写出4个点的坐标
P1(1,0),P(cosα,sinα)
P3(cos(α+β),sin(α+β)),
P4(cos(-β),sin(-β)),
5.计算，
=
=
6.探究：由=导出公式
[cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=[cos(-β)-cosα]2+[sin(-β)-sinα]2展开并整理
得
所以
可记为C
7.探究：特征
①熟悉公式的结构和特点；
②此公式对任意α、β都适用
③公式记号C
8.探究：cos(α+β)的公式
以-β代β得：
公式记号C
（三）典型例题选讲：
例1不查表，求下列各式的值.
(1)cos105° （2）cos15°
(3)cos (4)cos80°cos20°+sin80°sin20°
(5)cos215°-sin215° (6)cos80°cos35°+cos10°cos55°
例2已知sinα= ，α ，cosβ= - ,β是第三象限角，求cos（α-β）的值.
例3：已知cos(2α-β)=- ,sin(α-2β)= ,且 ，
求cos(α+β)的值.
例4：cos(α- )=- ,sin( -β)= ,且 ＜α＜π，0＜β＜ ，
求cos 的值.
【课堂练习】
1.求cos75°的值
2.计算：cos65°cos115°-cos25°sin115°
3.计算：-cos70°cos20°+sin110°sin20°
4.sinα-sinβ=- ,cosα-cosβ= , α(0, ), β(0, ),求cos(α-β)的值.
5.已知锐角α，β满足cosα= ,cos(α-β)=- ,求cosβ.
6.已知cos(α-β)= ,求(sinα+sinβ)2+(cosα+cosβ)2的值.
【课堂小结】
（编者：汤一贤）
3.1.2 两角和与差的正弦公式
【学习目标】
　　1、掌握两角和与差的正弦公式及其推导方法。
　　2、通过公式的推导，了解它们的内在联系，培养逻辑推理能力。
并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。
　　3、掌握诱导公式
　　sin =cosα， sin = cosα,
　　sin =- cosα, sin =- cosα,
【学习重点难点】
（一）预习指导：
两角和与差的余弦公式：
（二）基本概念：
基本概念：
1.两角和的正弦公式的推导
sin(α+β)=
sin(α-β)=sinαcosβ-sinαcosβ
（二）、典型例题选讲：
例１求值sin(+60°)+2sin(-60°)-cos(120°-)
例２：已知sin(2α+β)=3sinβ,tanα=1,求tan(α-β)的值.
例３：已知sin(α+β)= ,sin(α-β)= 求 的值.
例４：（１）已知sin(α-β)= ,sin(α+β)= ,求tanα:tanβ)的值.
【课堂练习】
１.在△ABC中，已知cosA = ,cosB= ,则cosC的值为
2.已知 ＜α＜ ，0＜β＜α，cos( +α)=- ,sin( +β)= ,求sin(α+β)的值.
3.已知sinα+sinβ= ,求cosα+cosβ的范围.
4.已知sin(α+β)= ,sin(α-β)= ,求 的值.
5.已知sinα+sinβ= cosα+cosβ= 求cos(α-β)
6.化简cos-sin
解：
我们得到一组有用的公式：
（1）sinα±sinα=sin =cos .
（3）sinαcosα=2sin =2cos
（4）αsinα+bcosα=sin（α+）=cos(α-)
7.化解cos
8.求证：cos+sin=cos（ - ）
9.求证：cosα+sinα=2sin（ ）.
10.已知 ，求函数у=cos（ ）-cos 的值域.
11.求 的值.
【课堂小结】
（编者：汤一贤）
3.1.3 两角和与差的正切公式
【学习目标】
　　1.掌握两角和与差的正切公式及其推导方法。
2.通过正式的推导，了解它们的内在联系，培养逻辑推理能力。
3.能正确运用三角公式，进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。
【学习重点难点】
　　能根据两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式
　　进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形
【学习过程】
（一）预习指导：
1.两角和与差的正、余弦公式
cos(α+β)=
cos(α-β)=
sin(α+β)=
sin(α-β)=
2.新知
tan(α+β)的公式的推导
(α+β)≠0
tan(α+β)
注意：
1°必须在定义域范围内使用上述公式tanα，tanβ,tan(α+β)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能用诱导公式。
2°注意公式的结构，尤其是符号。
（二）典型例题选讲：
例1：已知tanα= ,tanβ=-2 求tan(α+β),tan(α-β), α+β的值，其中0°＜α＜90°，90°＜β＜180°
例2：求下列各式的值：
（1）
（2）tan17°+tan28°+tan17°tan28°
（3）tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan20°
例3：已知sin(2α+β)+2sinβ=0 求证tanα=3tan(α+β)
例4：已知tan和tan( -)是方程2+p+q=0的两个根，证明：p-q+1=0.
例5：已知tanα=(1+m),tan(-β)(tanαtanβ+m),又α，β都是钝角，求α+β的值.
【课堂练习】
1.若tantan=tan+tab+1，则cos(+)的值为 .
2.在△ABC中，若0＜tanA·tabB＜1则△ABC一定是 .
3.在△ABC中，tanA+tanB+tanC=3,tan2B=tanAtanC,则∠B等于 .
4. = .
5.已知sin(α+β)= ,sin(α-β)= ,求 的值.
【课堂小结】
(编者：汤一贤)
3.2.1 二倍角的三角函数（1）
【学习目标】
　　1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；
2.能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明。
【学习重点难点】
重点：1.二倍角公式的推导；
2.二倍角公式的简单应用。
难点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数。
【学习过程】
（一）预习指导：
1.复习两角和与差的正弦、余弦、正切方式：
sin(α+β)= (S)
cos(α+β)= (C)
tan(α+β)= (T)
(α,β, α+β≠κπ+ ,)
(二)基本概念
2.二倍角公式的推导
在公式（S），（C），（T）中，当α=β时，得到相应的一组公式：
sin2α= (S)
cos2α= (C)
tan2α= (T)
注意：1°在（T）中2α≠ +,α≠ +()
2°在因为sin2α+cos2α=1，所以公式（C）可以变形为
cos2α=
或cos2α= (C′)
公式（S），（C），（C′），（T）统称为二倍角的三角函数公式，简称二倍角公式。
（二）典型例题选讲：
一、倍角公式的简单运用
例1不查表，求下列各式的值
(1)( ) (2)
(3)
(4)1+2
例2求tan=3，求sin2-cos2的值
例3已知sin (0＜＜ ),求cos2,cos( +)的值。
二、sinα,cosα,sinα±cosα,sinα·cosα之间的关系
例4已知sin+cos= , ,求cos,cos·cos,sin2,cos2,sin,
cos的值。
三、倍角公式的进一步运用
例5求证：
例6求 的值。
【课堂练习】
1.若270°＜α＜360°，则 等于
2.求值：
（1）sin22°30’cos22°30’=
（2）2 =
（3） =
（4） =
3.求值
（1）cos20°cos40°cos60°cos80°
（2）sin10°sin30°sin50°sin70°
4.已知sin , ，求sin2α,cos2α,tan2α的值。
5.已知cos ,sin ,且 ＜α＜π,0＜β＜ ，
求cos（α+β）的值。
6.已知sin2α= ＜α＜ ,求sin4α,cos4α,tan4α的值。
7.已知tan2α= ,求tanα的值。
【课堂小结】

（编者：汤一贤）
3.2.1 二倍角的三角函数（2）
【学习目标】
　　1.熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）
2.特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：
，
这两个形式今后常用
要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强灵活运用数学知识和逻辑推理能力
【学习重点难点】
重点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍欠的三角函数
难点：灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式
【学习过程】
（一）预习指导
1.有关公式：
（1） = ；
（2） = ；
（3） = ；
（二）典型例题选讲：
例1化简：
例2求证：[sin(1+sin)+cos(1+cos)]×[sin(1-sin)+cos(1-cos)]=sin2
例3求函数的值域。
例4求证： 的值是与α无关的定值。
例5化简：
例6求证：
例7利用三角公式化简：sin50°(1+)
【课堂练习】
1.若 ≤α≤ ，则等于 .
2.的值等于 .
3.sin6°cos24°sin78°cos48°的值为 .
4. 的值等于 .
5.已知 ，则 的值等于 .
6.已知 （0＜α＜ ）的值等于 .
7.求值tan70°cos10°(tan20°-1).
8.求 的值。
9.已知 ， ，求sin4α的值。
【课堂小结】
（编者：汤一贤）