2022-2023学年上海市高二（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市高二（上）期中数学试卷
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
给定一个正方体形状的土豆块，只切一刀，除了可以得到四面体、四棱柱等类型的多面体以外，还能得到的多面体的类型可以含有( )
A. 五棱柱、七面体 B. 五棱柱、六棱锥 C. 六棱锥、七面体 D. 以上答案都不正确
设是首项为正数的等比数列，公比为，则“”是“对任意的正整数，”的 ( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
已知数列满足：，，则( )
A. B. C. D. 以上均不正确
南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”如图所示的是一个层的三角跺“三角垛”最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，，设第层有个球，从上往下层球的球的总数为，则下列正确的是( )
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共12小题，共60.0分）
已知圆锥的底面半径为，母线与底面所成角为，则圆锥侧面积等于______．
已知等差数列的前项和为，若，则______．
设为等比数列的前项和，且，则等于______．
等差数列中，，则数列的公差为______．
已知为递减数列，且对于任意正整数，恒成立，恒成立，则的取值范围是______．
九章算术叙述了一个老鼠打洞的趣事：今有垣厚十尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．问：何日相逢？各穿几何？意思就是说，有一堵十尺厚的墙，两只老鼠从两边向中间打洞．大老鼠第一天打一尺，小老鼠也是一尺．大老鼠每天的打洞进度是前一天的倍，小老鼠每天的进度是前一天的一半．第天结束后，两只老鼠相距______尺．
如图为一个圆锥形的金属配件，重克，其轴截面是一个等边三角形，现将其打磨成一个体积最大的球形配件，则该球形配件的重量约为______克．
在数列中，，则______．
若数列对任意满足：，下面关于数列的命题正确命题的序号是______．
可以是等差数列
可以是等比数列
可以既是等差又是等比数列
可以既不是等差又不是等比数列
稠环芳香烃化合物中有不少是致癌物质，比如学生钟爱的快餐油炸食品中会产生苯并芘，它是由一个苯环和一个芘分子结合而成的稠环芳香烃类化合物，长期食用会致癌．下面是一组稠环芳香烃的结构简式和分子式：
名称 萘 蒽 并四苯 并苯
结构简式
分子式
由此推断并十苯的分子式为______．
若数列和满足，，，，则______．
“康托尔尘埃”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：在一个单位正方形中，首先，将正方形等分成个边长为的小正方形，保留靠角的个小正方形，记个小正方形的面积和为；然后，将剩余的个小正方形分别继续等分，分别保留靠角的个小正方形，记所得的个小正方形的面积和为；；操作过程不断地进行下去，以至无穷，保留的图形称为康托尔尘埃．若，则需要操作的次数的最小值为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．若二十四等边体的棱长．
求其体积；
若其各个顶点都在同一个球面上，求该球的表面积．
本小题分
已知数列中，，．
判断数列是否为等差数列？并求数列的通项公式；
设数列满足：，求的前项和．
本小题分
甲、乙两人同时分别入职、两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：公司第一年月基础工资数为元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加元；公司第一年月基础工资数为元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的倍．
分别求甲、乙两人工作满年的基础工资收入总量精确到元；
设甲、乙两人入职第年的月基础工资分别为、元，记，讨论数列的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由．
本小题分
数列满足：，；
求证：；
求证：对任意正数，都存在正整数使得成立；
求证：．
本小题分
九章算术商功：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云．中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得．”
如图，在鳖臑中，侧棱底面；
若，，，，求证：；
若，，，试求异面直线与所成角的余弦；
若，，点在棱上运动．试求面积的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据切的平面如图所示：
或：
故切去一个平面后得到的几何体为五棱柱和七面体；
故选：．
直接利用平面的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：平面的性质，主要考查学生的空间想象能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
利用必要、充分及充要条件的定义结合等比数列进行判断即可．
【解答】
解：是首项为正数的等比数列，公比为，
“”时，“对任意的正整数，”不一定成立，
例如：当首项为，时，各项为，，，，，
此时，；
而对任意的正整数，，
因为，所以，，
则“”是“对任意的正整数，”的必要不充分条件，
故选C．

3.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，
故，，
所以，故．
故选：．
结合已知条件，通过递推数列求出，然后利用对数运算分别求出和，进而求得答案．
本题考查导对数的运算，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意得，，，，，，
以上个式子累加可得，
又满足上式，所以，故A错误；
则，，，，，，
得，故B错误；
又，故C错误；
由，
得，故D正确．
故选：．
根据由累加法可得，进而结合选项可判断，根据裂项求和可判断．
本题考查数列的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：圆锥的底面半径为，母线与底面所成角为，如图，
，，
在中，，
圆锥的母线长，
圆锥侧面积．
故答案为：．
画出圆锥的直观图，结合题意，求出圆的底面半径和母线长，利用侧面积公式，能求出结果．
本题考查圆锥侧面积的求法，考查圆锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：由得：，
因为，，
，设等差数列公差为，
则，
解得：，
所以，
所以．
故答案为：．
根据等差数列的前项和公式，化简得到，再利用等差数列基本量化简求的值．
本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：设等比数列的公比为，
由，得，所以，
所以，，
则．
故答案为：．
设等比数列的公比为，根据由，得，所以，从而根据等比数列的前项和公式即可求出的值．
本题考查等比数列的前项和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：设公差为，
，
从而有，
即．
故答案为：．
根据等差数列通项公式基本量计算，题干中两式相减得到，两式相加得到．
本题主要考查了等差数列的性质及通项公式的应用，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：恒成立
又由
恒成立
即
又由
故答案为：
由已知中为递减数列，则对于任意正整数，恒成立，再由，我们可以构造出一个关于的不等式，解不等式即可得到答案．
利用二次函数单调性讨论较繁，且易错，利用恒成立较方便．但要注意的隐含条件，这也是本题的易忽略点．
10.【答案】
【解析】解：设大老鼠第天打洞的距离为，则数列是首项为，公比为的等比数列，设其前项和为，
小老鼠第天打洞的距离为，则数列是首项为，公比为的等比数列，设其前项和为，
则，
则，从而相距尺．
故答案为：．
根据等比数列的前和公式进行求解即可．
本题主考查等比数列的求和公式在实际问题中的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：设圆锥形的体积为，底面半径为，内切球的体积为，
其轴截面是一个等边三角形，
球的半径，
，，
，即，解得，
故答案为：．
根据棱锥和球的体积公式，结合体积比，求解即可得出答案．
本题考查棱锥和球的体积公式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：令函数，，
由对勾函数的性质得函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，是递减数列，当时，是递增数列，
所以，
所以，
，
，
．
故答案为：．
构造函数，，利用对勾函数的性质，去绝对值后求解．
本题主要考查了对勾函数的单调性数列求和中的应用，体现了转化思想的应用．
13.【答案】
【解析】解：因为，
所以或，
即：或，
当，时，是等差数列或是等比数列，
当或时，可以既不是等差又不是等比数列，
故答案为：．
根据将题目拆分为两部分：或，根据条件分析得出结论．
本题考查等差数列与等比数列的定义，属基础题．
14.【答案】
【解析】解：设并苯的分子式中原子的个数为，原子的个数是，由题干数据可知是公差为的等差数列，是公差为的等差数列，
因为，，
所以，
，
所以，，
所以并十苯的分子式为，
所以答案为．
本题主要考察等差数列．设并苯分子式中原子的个数为，原子的个数是，由题干数据可知是公差为的等差数列，是公差为的等差数列，进而求得时和的值，从而得到并十苯的分子式．
本题考查等差数列，要求学生能够利用已知归纳出等差数列的首项和公差，进而求解指定项．属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，
即，
又，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
又，即，
所以
所以；
故答案为：．
由题干中两式相加构造等比数列，进而求出的通项公式，代入计算即可．
本题考查等比数列的定义与通项公式的应用，属中档题．
16.【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，分析可得数列是首项为，公比为的等比数列，由此可得的值，结合的范围，计算可得答案．
本题考查数列的应用，涉及归纳推理的应用，属于中档题．
【解答】
解：根据题意，数列是首项为，公比为的等比数列，
故，
故，
若，即，
变形可得：，
又由，则有，
故答案为：

17.【答案】解：将二十四正多面体放入正方体中，如图所示，
由于二十四等边体的棱长为，则正方体的棱长为．
该二十四正四面体是由棱长为的正方体沿各棱中点截去个三棱锥所得，
所以该二十四正四面体的体积为．
由于正方体的中心到正方体各棱中点的距离都为：，
所以该二十四正四面体外接球的球心为，且半径为，其表面积为：．
【解析】说明二十四等边体的棱长为，则正方体的棱长为该二十四正四面体正方体沿各棱中点截去个三棱锥所得，然后求解体积．
求出正方体的中心到正方体各棱中点的距离，得到半径，然后求解表面积．
本题考查空间几何体的体积的求法，几何体的外接球的表面积的求法，是中档题．
18.【答案】解：，，
，
，
又，
数列是首项为，公差为的等差数列．
，
；
，
，
，
，
，
，
．
【解析】由已知可得，结合等差数列的定义即可判断；
由已知利用错位相减求和即可求解．
本题主要考查了等差数列的判断，还考查了错位相减求和，属于中档题．
19.【答案】解：甲的基础工资收入总量元，
乙的基础工资收入总量元；
，，
令，解得，
当时，单调递增；当时，单调递减，
又，，，，
从第年到第年甲的月基础工资高于乙的月基础工资．
【解析】构建等差数列求和公式，等比数列求和公式即可求解；
根据数列单调性即可求解．
本题考查等差数列求和公式，等比数列求和公式，数列单调性，属中档题．
20.【答案】证明：由已知得：，
所以，
因为，，
易知，，，，，
所以有．
由可知，所以有：，，
所以，显然对任意的正数，在在正整数，使得，
此时成立．
当时，由己知得：成立，
假设当，时，成立，
则，
又，即，
所以，
综上所述：当时，．
因为成立，若成立，则，
故成立，
得成立，
得成立．
【解析】显然，然后利用题里面给的条件证明即可；
根据题意证明，任意取一个正数，都存在，原式得证；
显然成立，只需证明前一项成立时，后一项成立即可．
本题主要考查数列递推式，数列与不等式的综合，考查逻辑推理能力，属于中档题．
21.【答案】解：证明：因为底面，平面，
所以，又，且，
所以平面，平面，
所以，
所以，，，
所以；
如图，以，为临边作平行四边形，连结，则异面直线和所成的角为或其补角，
当时，，，，并且由可知，，，，中，，所以异面直线和所成的角的余弦值为；
当时，，，，中，，所以异面直线和所成的角的余弦值为；
综上可知，异面直线和所成的角的余弦值为或；
如图，作于点，作于点，连结，中，，都垂直于，所以，
所以平面，且平面，所以，
又因为，，
所以平面，平面，所以，
设，，由，
得，，中，，得，
当且仅当时，等号成立，
所以．
所以面积的最小值是．

【解析】不同的直角三角形中，分别表示所求角的余弦值，即可证明；
首先将异面直线所成角转化为相交直线所成的角，再分和两种情况求余弦值；
首先作辅助线，构造的高，再设，利用相似关系，勾股定理表示，并表示的面积，求面积的最小值．
本题考查异面直线所成的角等相关问题，属于中档题．
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