第3章 函数的概念与性质 单元综合检测（重点）
一、单选题
1．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】使解析式有意义，解不等式组即可.
【解析】依题意且，
所以函数的定义域是．
故选 ：B．
2．已知函数，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用配凑法（换元法）计算可得.
【解析】解：方法一（配凑法）∵，
∴.
方法二（换元法）令，则，∴，
∴.
故选：A
3．当时，幂函数为减函数，则实数m的值为（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】A
【分析】根据幂函数的定义和单调性可得答案.
【解析】因为函数既是幂函数又是的减函数，
所以解得：.
故选：A.
4．设函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的图象和性质即可求解.
【解析】函数的对称轴为，
又函数在上为减函数，
，即．
故选：B.
【点睛】本题考查由函数的单调区间求参数的取值范围，涉及二次函数的性质，属基础题.
5．已知是定义在，上的偶函数，且在，上为增函数，则的解集为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由偶函数定义域的对称性可求，从而可得在，上为增函数，在，上为减函数，距离对称轴越远，函数值越小，可求．
【解析】解：是定义在，上的偶函数，
，
，
在，上为增函数，
在，上为减函数，距离对称轴越远，函数值越小，
由可得，且，且，
解得，
故不等式的解集为．
故选：．
【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．
6．设函数，则的值为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为时，
所以；
又时，，
所以故选A.
本题考查分段函数的意义,函数值的运算.
7．二次函数在区间上为偶函数，又，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先根据偶函数的性质，定义域关于原点对称，求出，再得到二次函数，再根据其对称性，单调性得到答案.
【解析】由题意得解得．，．
函数的图象关于直线对称，．
又函数在区间上单调递增，
，．
故选：A.
【点睛】本题考查了对偶函数的理解，二次函数的对称性、单调性，属于基础题.
8．已知函数在定义域上的值不全为零，若函数的图象关于对称，函数的图象关于直线对称，则下列式子中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题设条件可得函数的图象关于对称，且关于直线对称，从而得到为偶函数且为周期函数，从而可判断各项的正误.
【解析】∵函数的图象关于对称，
∴函数的图象关于对称，令，
∴，即，∴ …⑴
令，∵其图象关于直线对称，∴，
即，∴ …⑵
由⑴⑵得，，∴ …⑶
∴，
由⑵得,∴；∴A对；
由⑶，得，即，∴B对；
由⑴得，，又，
∴，∴C对；
若，则，∴，
由⑶得，又，∴，即，与题意矛盾，∴D错.
故选：D.
【点睛】本题考查函数图象的对称性、奇偶性、周期性，注意图象的对称性与函数解析式满足的等式关系之间的对应性，本题属于中档题.
二、多选题
9．（多选）下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】AD
【分析】通过判断函数的定义域、对应关系是否相同来判断是否是同一个函数.
【解析】对于选项A，，两个函数的定义域均为，且，所以对应关系也相同，所以是同一个函数，故A正确；
对于选项B，，两个函数的对应关系不相同，所以不是同一个函数，故B错误；
对于选项C，的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故C错误；
对于选项D，，两个函数的定义域均为R，对应关系也相同，是同一个函数，故D正确．
故选：AD.
10．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比，若在距离车站10km处建仓库，则为1万元，为4万元，下列结论正确的是（ ）
A． B． C．有最小值4 D．无最小值
【答案】BCD
【分析】对A，B，根据题意设，利用待定系数法分别求出关于的解析式，即可判断，对C，利用基本不等式即可判断；对D，根据在上的单调性即可判断.
【解析】解：对A，设，
由题意知：函数过点，
即，
，故A错误；
对B，，
由题意得：函数过点，
即，
解得：，
，故B正确；
对C，，
当且仅当，即时等号成立，故C正确；
对D，在上单调递减，
故无最小值，故D正确.
故选：BCD.
11．下列说法不正确的是（ ）
A．函数在定义域内是减函数
B．若是奇函数，则一定有
C．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是
D．若的定义域为，则的定义域为
【答案】ABC
【分析】A选项，单调区间不能用号连接，即在定义域不是单调递减函数，A错误；
B选项，可举出反例；
C选项，分段函数单调递增，则在每段上函数均单调递增，且在端点处，左边函数值小于等于右边函数的值；
D选项，利用抽象函数求定义域的方法进行求解.
【解析】函数在和上都是减函数，但在定义域上不是减函数，故A不正确；
当是奇函数时，可能无意义，比如，故B不正确；
因为是增函数，所以，解得，故C不正确；
因为的定义域为，所以，
解得，即的定义域为，故D正确.
故选：ABC.
12．函数s=f（t）的图像如图所示（图像与t正半轴无限接近，但永远不相交），则下列说法正确的是（ ）
A．函数s=f（t）的定义城为[-3，+∞）
B．函数s=f（t）的值域为（0，5]
C．当s∈[1，2]时，有两个不同的t值与之对应
D．当时，
【答案】BD
【分析】由函数的定义域值域与单调性结合图象逐一判断即可求解
【解析】对于A：由图象可知：函数s=f（t）在没有图象，故定义城不是[-3，+∞），故A错误；
对于B：由图象可知函数s=f（t）的值域为（0，5]，故B正确；
对于C：由图象可知，当时，有3个不同的t值与之对应，故C错误；
对于D：由图象可知函数s=f（t）在上单调递增，
又当时，，则在上单调递增，故D正确；
故选：BD
三、填空题
13．已知定义在上的函数满足：是奇函数，是偶函数，则等于__________.
【答案】
【解析】根据已知条件可得出关于和的方程组，即可解得的值.
【解析】根据题意，是奇函数，则，
由于是偶函数，则，
所以，解得.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数的奇偶性求函数值，解题的关键就是利用两个函数奇偶性列举出关于和的方程组求解，容易出错的地方在于错误地理解为由为奇函数得出为奇函数，由为偶函数得出函数为偶函数，导致错解.
14．已知，，则的解析式为________．
【答案】
【分析】将代入条件中，得到，根据两式消元，求得函数的解析式.
【解析】由题知，，①；又，②；
由①②得，，
则，
故答案为：
15．函数的图象是两条线段（如图），它的定义域为，则不等式的解集为________．
【答案】
【分析】首先求得函数的解析式，然后利用函数的解析式分类讨论即可求得最终结果．
【解析】解：
当x∈时，设线段所在直线的方程为，线段过点（﹣1，0），（0，1），
根据一次函数解析式的特点，可得出方程组 ，
解得 ．故当x∈[﹣1，0）时，f（x）＝x+1；
同理当x∈（0，1]时，f（x）＝x1；
当x∈[﹣1，0）时，不等式f（x）﹣f（﹣x）1可化为：
x+1﹣（x1）1，解得：x，∴﹣1≤x＜0．
当x∈（0，1]时，不等式f（x）﹣f（﹣x）﹣1可化为：
x1﹣（x+1）1，解得：，∴x≤1，
综上所述，不等式f（x）﹣f（﹣x）﹣1的解集为 ．
故答案为：
16．已知函数是定义在上的奇函数，当时，对任意的，恒有，则实数的最大值为_____．
【答案】
【分析】写出函数的解析式，判断出函数在上单调递减，由，结合，可得出在区间上恒成立，于是得出，从而解出实数的取值范围，得出的最大值.
【解析】由于函数是定义在上的奇函数，当时，，
，易知函数在上单调递减，
又，由，得，
即在上恒成立，则，
化简得，解得，因此，实数的最大值为，
故答案为.
【点睛】本题考查函数不等式恒成立问题，解题时要充分分析函数单调性与奇偶性，并将不等式转化为，利用函数的单调性求解，考查化归与转化思想的应用，属于难题.
四、解答题
17．已知函数的定义域为，求函数的定义域．
【答案】
【分析】由可求得，再求解不等式可求得函数的定义域.
【解析】对于函数，，则．所以，函数的定义域为．
对于函数，由，得.
因此，函数的定义域是．
故答案为：．
【点睛】本题考查抽象函数的定义域，考查计算能力，属于基础题.
18．如图，定义在上的函数的图象由一条线段及抛物线的一部分组成．
(1)求的解析式；
(2)写出的值域．
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）由图像可知，函数为分段函数，当时，设解析式为，代入(-1,0),(0,1)可求出此段函数表达式，当时，函数图像的对称轴为x=2,过（4,0），（0,0）点，所以设解析式为，可求，最后要写成分段函数形式．
试题解析：（1）当时，设解析式为，
由图象有，解得，∴，当时，
设解析式为，
∵图象过点，∴，解得，
∴，
综上，函数在上的解析式为
（2）由图可知，其值域为.
19．设，已知函数过点，且函数的对称轴为.
(1)求函数的表达式；
(2)若，函数的最大值为，最小值为，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】根据函数过点及二次函数的对称轴，得到方程组，解得、即可求出函数解析式；
（2）将函数配成顶点式，即可得到函数的单调性，从而求出函数的最值.
（1）
解：依题意，解得，所以；
（2）
解：由（1）可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以，，
即、，所以.
20．某商场以每件42元的价格购进一种服装，根据试营销量得知，这种服装每天的销售量（件）与每件的销售价（元）之间可看成一次函数关系：．
（1）写出商场每天卖这种服装的销售利润y（元）与每件的销售价x（元）之间的函数关系式（每天的销售利润是指所卖出服装的总销售额与购进这些服装所花费金额的差）．
（2）商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适？最大销售利润为多少？
【答案】（1）；（2）每件的销售价定为55元时，最大销售利润为507元
【分析】（1）销售量乘以每件利润可得总利润；
（2）（1）中函数配方后可得最大值及相应的值．
【解析】（1）由题意得，每天的销售利润y（元）与每件的销售价x（元）之间的函数关系式为．
（2）由（1）得，则当时，．
即当每件的销售价定为55元时，每天可获得最大的销售利润，最大销售利润为507元．
【点睛】本题考查函数模型的应用，已知函数模型情况下直接由函数模型列出函数式是最基本的方法，本题属于基础题．
21．已知是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求时，函数的解析式；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）设，计算，再根据奇函数的性质，得，即可得解；
（2）作函数的图像，若在区间上单调递增，结合函数图像，列出关于的不等式组求解.
（1）
设，则，所以
又为奇函数，所以，
所以当时，.
（2）
作函数的图像如图所示，
要使在上单调递增，结合的图象知，所以，
所以的取值范围是.
22．已知函数f(x)对 x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＞0，且f(1)＝－2.
(1)证明函数f(x)在R上的奇偶性；
(2)证明函数f(x)在R上的单调性；
(3)当x∈[1，2]时，不等式f(x2－mx)＋f(x)＜4恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)函数为奇函数，证明见解析；
(2)函数为R上的减函数，证明见解析；
(3)．
【分析】（1）根据题意赋值以及奇函数、偶函数的定义即可证出；
（2）根据单调性的定义即可判断并证明；
（3）先利用赋值法可求出，从而原不等式可化为，再根据函数的单调性可得，然后通过分离参数求最值即可解出．
（1）
因为函数的定义域为R，
令，所以，即，
令，所以，即，
所以函数为奇函数．
（2）
不妨设，所以，而，所以，，即，故函数为R上的减函数．
（3）
由（1）可知，函数为奇函数，而，所以，故原不等式可等价于，而函数为R上的减函数，所以，又，所以，而，当且仅当时取等号，所以，即实数m的取值范围为．
23．已知函数．
（1）若函数的最大值为0，求实数m的值．
（2）若函数在上单调递减，求实数m的取值范围．
（3）是否存在实数m，使得在上的值域恰好是？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）或；（2）；（3）存在，
【分析】（1）配方后得最大值，由最大值为0可解得的值；
（2）由对称轴在区间的左侧可得；
（3）分类讨论求函数在上的最大值和最小值，由最大值为3最小值为2求解的值．
【解析】（1），则最大值，即，解得或．
（2）函数图象的对称轴是，要使在上单调递减，应满足，解得．
（3）①当，即时，在上递减，
若存在实数m，使在上的值域是，则
即，此时m无解．
②当，即时，在上递增，则即解得．
③当，即时，在上先递增，再递减，所以在处取得最大值，则，解得或6，舍去．
综上可得，存在实数，使得在上的值域恰好是．
【点睛】本题考查二次函数的性质，考查二次函数的最值，对称轴，单调性等性质，掌握二次函数的图象与性质是解题关键．第3章 函数的概念与性质 单元综合检测（重点）
一、单选题
1．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
3．当时，幂函数为减函数，则实数m的值为（ ）
A． B．
C．或 D．
4．设函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知是定义在，上的偶函数，且在，上为增函数，则的解集为
A． B． C． D．
6．设函数，则的值为
A． B． C． D．
7．二次函数在区间上为偶函数，又，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数在定义域上的值不全为零，若函数的图象关于对称，函数的图象关于直线对称，则下列式子中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（多选）下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
10．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比，若在距离车站10km处建仓库，则为1万元，为4万元，下列结论正确的是（ ）
A． B． C．有最小值4 D．无最小值
11．下列说法不正确的是（ ）
A．函数在定义域内是减函数
B．若是奇函数，则一定有
C．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是
D．若的定义域为，则的定义域为
12．函数s=f（t）的图像如图所示（图像与t正半轴无限接近，但永远不相交），则下列说法正确的是（ ）
A．函数s=f（t）的定义城为[-3，+∞）
B．函数s=f（t）的值域为（0，5]
C．当s∈[1，2]时，有两个不同的t值与之对应
D．当时，
三、填空题
13．已知定义在上的函数满足：是奇函数，是偶函数，则等于__________.
14．已知，，则的解析式为________．
15．函数的图象是两条线段（如图），它的定义域为，则不等式的解集为________．
16．已知函数是定义在上的奇函数，当时，对任意的，恒有，则实数的最大值为_____．
四、解答题
17．已知函数的定义域为，求函数的定义域．
18．如图，定义在上的函数的图象由一条线段及抛物线的一部分组成．
(1)求的解析式；
(2)写出的值域．
19．设，已知函数过点，且函数的对称轴为.
(1)求函数的表达式；
(2)若，函数的最大值为，最小值为，求的值.
20．某商场以每件42元的价格购进一种服装，根据试营销量得知，这种服装每天的销售量（件）与每件的销售价（元）之间可看成一次函数关系：．
（1）写出商场每天卖这种服装的销售利润y（元）与每件的销售价x（元）之间的函数关系式（每天的销售利润是指所卖出服装的总销售额与购进这些服装所花费金额的差）．
（2）商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适？最大销售利润为多少？
21．已知是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求时，函数的解析式；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
22．已知函数f(x)对 x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＞0，且f(1)＝－2.
(1)证明函数f(x)在R上的奇偶性；
(2)证明函数f(x)在R上的单调性；
(3)当x∈[1，2]时，不等式f(x2－mx)＋f(x)＜4恒成立，求实数m的取值范围.
23．已知函数．
（1）若函数的最大值为0，求实数m的值．
（2）若函数在上单调递减，求实数m的取值范围．
（3）是否存在实数m，使得在上的值域恰好是？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．
