第5章 三角函数 单元综合检测（重点）
一、单选题
1．sin 600°＋tan 240°的值等于（ ）
A．－ B．
C．－＋ D．＋
【答案】B
【分析】分别利用诱导公式求得sin 600°和tan 240°的值，从而求得结果.
【解析】sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－，
tan 240°＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝，
则 sin 600°＋tan 240°＝.
故选：B.
【点睛】本题主要考查诱导公式，意在考查学生的数学运算的学科素养，属基础题.
2．若tan=3，则的值等于
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【解析】试题分析：原式=
考点：三角函数的化简
名师点睛：对于这类分式形式，上下是关于正弦和余弦的齐次形式，考虑上下同时除以，转化为的形式求值．
3．下列函数中是奇函数的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用函数奇偶性的定义，以及三角函数的性质，逐项判定，即可求解，得到答案.
【解析】对选项A，因为，所以函数为奇函数；
对选项B，因为，所以函数为偶函数；
对选项C，因为，所以函数为偶函数；
对选项D，因为，所以函数为偶函数.
故选A.
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的判定方法和三角函数的奇偶性，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
4．y＝sin(2x-)－sin2x的一个单调递增区间是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，由，得，，时，为，故选B．
5．函数的图象可由函数的图象
A．先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向左平移个单位
B．先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位
C．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位
D．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位
【答案】B
【解析】分析：由函数，再由伸缩平移变换可得解.
详解：由函数.
只需将函数的图象各点的横坐标缩短到原来的倍，得到；
再向右平移个单位得到：.
故选B.
点睛：1．利用变换作图法作y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，若“先伸缩，再平移”，容易误认为平移单位仍是|φ|，就会得到错误答案．这是因为两种变换次序不同，相位变换是有区别的．例如，不少同学认为函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位得到的是y＝sin的图象，这是初学者容易犯的错误．事实上，将y＝sin 2x的图象向左平移个单位应得到y＝sin 2(x＋)，即y＝sin(2x＋)的图象．
2．平移变换和周期变换都只对自变量“x”发生变化，而不是对“角”，即平移多少是指自变量“x”的变化，x系数为1，而不是对“ωx＋φ”而言；周期变换也是只涉及自变量x的系数改变，而不涉及φ.要通过错例辨析，杜绝错误发生．
6．若函数局部图象如图所示，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由的部分图象可求得A，T，从而可得，再由，结合的范围可求得，从而可得答案.
【解析】由图可知，，，，
；
，
，，
∴当时，可得：，此时，可得：.
故选：D.
【点睛】本题考查由三角函数的部分图象求函数解析式，属于基础题.
7．某市某房地产介绍所对本市一楼盘的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价（单位：元/平方米）与第季度之间近似满足关系式：.已知第一、二季度的平均单价如下表所示：
一 二
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把和分别代入解析式，求得，进而得到的表达式，结合三角函数的性质，得到，即可得到答案.
【解析】由题意，把和分别代入，
得.
因为，设，
或.
则或，，
所以或，
因为，所以，所以，
故此楼盘在第三季度的平均单价大约是元/平方米.
故选C.
【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，合理利用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
8．已知是上的奇函数，若的图象关于直线对称，且在区间内是单调函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性结合的取值范围可得出的值，利用函数的对称轴可得出的表达式，结合函数的单调性可求得的取值范围，可得出的值，进而可确定的解析式，代值计算可得结果.
【解析】因为是上的奇函数，则，
所以，，
因为的图象关于直线对称，则，可得，
当时，，
因为函数在区间内是单调函数，则，解得，
所以，，，故，因此，.
故选：A.
二、多选题
9．与角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D． E．
【答案】CE
【解析】首先确定与相同的角为，通过的不同取值依次判断各选项即可.
【解析】与角终边相同的角为：，
令，可得与角终边相同的角是；
令，可得与角终边相同的角是
故选：
【点睛】本题考查终边相同的角的求解问题，属于基础题.
10．已知a是实数，则函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】根据的取值分类讨论，估计函数的周期，确定正确选项．
【解析】时，，图象为，
若，则，此时．
因此不妨设，，则，，图象可能为D，
若，则，，图象可能为A．
故选：ABD．
【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的图象与性质，解题时可通过确定函数的周期，最值，对称性，单调性确定图象的可能性．如果是单选题，则利用排除法得出结论．
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期是 B．是偶函数 C．在上递增
D．是图象的一条对称轴 E．的值域是
【答案】ABCE
【解析】利用同角三角函数、二倍角公式可化简函数为；根据余弦型函数最小正周期、奇偶性、单调性、对称轴和值域的求解方法依次判断各个选项即可.
【解析】
最小正周期，正确；
为偶函数，正确；
当时，，此时单调递增 单调递增，正确；
当时，，不是的对称轴，错误；
，即值域为，正确.
故选：
【点睛】本题考查余弦型函数的性质，包括周期性、奇偶性、单调性和对称性的考查；关键是能够利用三角恒等变换的知识将函数化为余弦型函数的形式，进而利用整体对应的方法来进行求解.
12．已知函数，下列命题正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．在区间上为增函数
C．直线是函数图象的一条对称轴
D．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到
E．对任意，恒有
【答案】BCE
【解析】利用二倍角和辅助角公式将函数化为；根据正弦型函数的最小正周期、单调性和对称轴的判断方法可依次判断选项；根据三角函数平移原则可判断选项；验算化简函数值可判断选项.
【解析】
最小正周期，错误；
当时，，此时单调递增
在上单调递增，正确；
当时，，是的对称轴
是的一条对称轴，正确；
将向右平移个单位得到的图象，错误；
，正确.
故选：
【点睛】本题考查正弦型函数性质的综合应用，涉及到周期性、对称性、单调性、图象平移变换和函数值的相关求解问题；关键是能够利用三角恒等变换中的二倍角和辅助角公式将函数化简为正弦型函数的形式.
三、填空题
13．当时，若，则的值为______．
【答案】
【分析】计算出的取值范围，利用同角三角函数的基本关系可求出的值，再利用商数关系计算出的值，最后利用诱导公式得出的值.
【解析】，，
又，，
，
，
因此，．
故答案为.
【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系以及诱导公式求值，解题时要考查角的取值范围，确定所求三角函数值的符号，在利用诱导公式求值时，要注意角与角之间的关系，考查计算能力，属于中等题.
14．若函数的最小正周期为，则的值为______．
【答案】
【分析】根据正弦函数周期公式求解即可.
【解析】由题意可得，解得，
故答案为：.
15．已知函数在上单调递增，则的取值范围为_________．
【答案】
【分析】由含绝对值正弦函数的区间单调性，结合正弦型函数的性质求的范围.
【解析】当时，．
因为，所以，．
因为函数在上单调递增，
所以，解得．
故答案为：
16．已知函数，若且在区间上有最小值无最大值，则_______．
【答案】4或10##10或4
【分析】根据可求出f(x)的一条对称轴，根据该对称轴可求出ω的表达式和可能取值，结合y＝sinx的图像，根据在区间上有最小值无最大值判断ω的取值范围，从而判断ω的取值.
【解析】∵f(x)满足，∴是f(x)的一条对称轴，
∴，∴，k∈Z，
∵ω＞0，∴.
当时，，
y＝sinx图像如图：
要使在区间上有最小值无最大值，则：
或，
此时ω＝4或10满足条件；
区间的长度为：，
当时，f(x)最小正周期，则f(x)在既有最大值也有最小值，故不满足条件.
综上，ω＝4或10.
故答案为：4或10.
四、解答题
17．集合，，，，分别求，，．
【答案】；；.
【分析】根据任意角的弧度表示及交集的概念即可计算.
【解析】；
；
分别令k＝－1，0，1，即可得：
.
18．（1）知，计算；
（2）已知都是锐角，，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）对原式弦化切后求值即可；
（2）由已知及同角三角函数平方和是1求出，对变形成，再利用两角差的余弦公式计算.
【解析】解：（1），
；
（2）且是锐角，，
且，，
.
19．已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）.
【分析】（I）将化简整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（II）根据，可求的范围，结合函数图象的性质，可得参数的取值范围.
【解析】（Ⅰ），
所以的最小正周期为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.
因为，所以.
要使得在上的最大值为，
即在上的最大值为1.
所以，即.
所以的最小值为.
点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.
20．设函数.
（1）已知函数是偶函数，求的值；
（2）求函数 的值域.
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1)由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定的值；
(2)首先整理函数的解析式为的形式，然后确定其值域即可.
【解析】(1)由题意结合函数的解析式可得：，
函数为偶函数，则当时，，即，结合可取，相应的值为.
(2)由函数的解析式可得：
.
据此可得函数的值域为：.
【点睛】本题主要考查由三角函数的奇偶性确定参数值，三角函数值域的求解，三角函数式的整理变形等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
21．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启所著《农政全书》中描绘了筒车的工作原理，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用.如图，筒车的半径为，轴心距离水面，筒车上均匀分布了12个盛水筒.已知该筒车按逆时针匀速旋转，2分钟转动一圈，且当筒车上的某个盛水筒从水中浮现时（图中点）开始计算时间.
(1)将点距离水面的距离（单位：.在水面下，为负数）表示为时间（单位：分钟）的函数；
(2)已知盛水筒与盛水筒相邻，位于的逆时针方向一侧.若盛水筒和在水面上方，且距离水面的高度相等，求时间.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以为原点，平行于水面向右作为轴正方向建立平面直角坐标系，设，为为始边，为终边的角，由该筒车按逆时针匀速旋转，2分针转动一圈，得，由此求得答案；
（2）设，则，由已知得或，求解即可.
(1)
解：以为原点，平行于水面向右作为轴正方向建立平面直角坐标系，
设，则距离水面的距离为为始边，为终边的角，
由到水面距离为2，半径，知，
由该筒车按逆时针匀速旋转，2分针转动一圈，得，
则，则，则；
(2)
解：由筒车上均匀分布了12个盛水筒，所以，设，则，
则，由点纵坐标和在水面上方，且距离水面的高度相等可得，
则或，解得，
由盛水筒和在水面上方，得，即，
则，
则，由得.
22．设函数，其中.已知.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.
【答案】(Ⅰ) .
(Ⅱ) .
【解析】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到
由题设知及可得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
从而.
根据得到，进一步求最小值.
试题解析：（Ⅰ）因为，
所以
由题设知，
所以，.
故，，又，
所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
所以.
因为，
所以，
当，
即时，取得最小值.
【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.
23．已知函数（其中，，）的图象与x轴的交于A，B两点，A，B两点的最小距离为，且该函数的图象上的一个最高点的坐标为.
（1）求函数的解析式；
（2）求证：存在大于的正实数，使得不等式在区间有解.（其中e为自然对数的底数）
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）由题可得，周期为，则可求出，由可解得；
（2）问题可化为在区间有解，再求解不等式即可.
【解析】解：（1）由题意可知，，，故函数的周期为，故，
故，
，
则，即，
，，
；
（2）证明：因为，故当时，，
原不等式可化为，
又因为，则，
要使得在有解，只需在区间有解，
代入得：，
当解得，即，时，
此时与区间与区间的交集为空集，
当，即，时，
令得时，满足，
又因为，故只需，原不等式在区间有解.
【点睛】关键点睛：本题考查三角函数不等式有解问题，解题的关键是将问题转化为在区间有解，从而求解.第5章 三角函数 单元综合检测（重点）
一、单选题
1．sin 600°＋tan 240°的值等于（ ）
A．－ B．
C．－＋ D．＋
2．若tan=3，则的值等于
A．2 B．3 C．4 D．6
3．下列函数中是奇函数的是
A． B．
C． D．
4．y＝sin(2x-)－sin2x的一个单调递增区间是
A． B．
C． D．
5．函数的图象可由函数的图象
A．先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向左平移个单位
B．先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位
C．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位
D．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位
6．若函数局部图象如图所示，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
7．某市某房地产介绍所对本市一楼盘的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价（单位：元/平方米）与第季度之间近似满足关系式：.已知第一、二季度的平均单价如下表所示：
一 二
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是A． B． C． D．
8．已知是上的奇函数，若的图象关于直线对称，且在区间内是单调函数，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．与角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D． E．
10．已知a是实数，则函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期是 B．是偶函数 C．在上递增
D．是图象的一条对称轴 E．的值域是
12．已知函数，下列命题正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．在区间上为增函数
C．直线是函数图象的一条对称轴
D．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到
E．对任意，恒有
三、填空题
13．当时，若，则的值为______．
14．若函数的最小正周期为，则的值为______．
15．已知函数在上单调递增，则的取值范围为_________．
16．已知函数，若且在区间上有最小值无最大值，则_______．
四、解答题
17．集合，，，，分别求，，．
18．（1）知，计算；
（2）已知都是锐角，，求的值.
19．已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.
20．设函数.
（1）已知函数是偶函数，求的值；
（2）求函数 的值域.
21．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启所著《农政全书》中描绘了筒车的工作原理，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用.如图，筒车的半径为，轴心距离水面，筒车上均匀分布了12个盛水筒.已知该筒车按逆时针匀速旋转，2分钟转动一圈，且当筒车上的某个盛水筒从水中浮现时（图中点）开始计算时间.
(1)将点距离水面的距离（单位：.在水面下，为负数）表示为时间（单位：分钟）的函数；
(2)已知盛水筒与盛水筒相邻，位于的逆时针方向一侧.若盛水筒和在水面上方，且距离水面的高度相等，求时间.
22．设函数，其中.已知.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.
23．已知函数（其中，，）的图象与x轴的交于A，B两点，A，B两点的最小距离为，且该函数的图象上的一个最高点的坐标为.
（1）求函数的解析式；
（2）求证：存在大于的正实数，使得不等式在区间有解.（其中e为自然对数的底数）
