苏教版必修4第一章 三角函数（第3课时） 江苏省西亭高级中学2005-10-26
课 题：1.1.2弧度制（一）
教学目的：
1.理解1弧度的角、弧度制的定义.?
2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算.?
3.熟记特殊角的弧度数
教学重点：使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算.
教学难点：弧度的概念及其与角度的关系.?
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
讲清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的.?通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性.通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式.?使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是互相联系的、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解.?
教学过程：
一、问题情境：
1．复习：角的概念的推广
⑴“旋转”形成角
一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．
⑵．“正角”与“负角”“0角”
我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°，
2．情境：度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。
初中几何中研究过角的度量，当时是用度做单位来度量角，1°的角是如何定义的？
规定周角的作为1°的角，我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，有了它，可以计算弧长，公式为
二、学生活动：
探究：30°、60°的圆心角，半径r为1，2，3，4，分别计算对应的弧长l，再计算弧长与半径的比。
结论：圆心角不变，则比值不变，
因此比值的大小只与角的大小有关，我们可以利用这个比值来度量角，这就是另一种度量角的制度——弧度制。
三、理论建构：
1．定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．
如下图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，αrad
探究：
⑴平角、周角的弧度数，（平角= rad、周角=2 rad）
⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0
⑶角的弧度数的绝对值 （为弧长，为半径）
⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同。
⑸用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）
用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。
2. 角度制与弧度制的换算：
∵ 360=2 rad ∴180= rad
∴
四、数学运用：
例1 把化成弧度
解：
∴
例2 把化成度
解：
注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”进行；
2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略。如：3表示3rad ， sin表示rad角的正弦；
3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π
角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
弧度 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4 11π/6 2π
4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。
任意角的集合 实数集R
例3用弧度制表示：
1 终边在轴上的角的集合
2 终边在轴上的角的集合
3 终边在坐标轴上的角的集合
解：1 终边在轴上的角的集合
2 终边在轴上的角的集合
3 终边在坐标轴上的角的集合
五、课堂练习：
1.下列各对角中终边相同的角是( )
A.（ｋ∈Ｚ） B.－和π
C.－和 D.
2.若α＝－3，则角α的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.若α是第四象限角，则π－α一定在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.(用弧度制表示)第一象限角的集合为 ，第一或第三象限角的集合为 .
5.7弧度的角在第 象限，与7弧度角终边相同的最小正角为 .
6.圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长，则其圆心角的弧度数为 .
7.求值：.
8.已知集合Ａ＝｛α｜2ｋπ≤α≤π＋2ｋπ，ｋ∈Ｚ｝，B＝｛α｜－4≤α≤4｝，求A∩B.
9.现在时针和分针都指向12点，试用弧度制表示15分钟后，时针和分针的夹角.
参考答案：
1.C 2.C 3.C
4.｛α｜2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z
｛α｜kπ＜α＜＋kπ，k∈Z｝
5.一 7－2π 6. 7.2
8.A∩B＝｛α｜－4≤α≤－π或0≤α≤π｝
9.
六、回顾小结
1．弧度制定义 2．与弧度制的互化 2.特殊角的弧度数
七、课后作业：书第10页 № 3,6,7
已知是第二象限角，试求：
(1)角所在的象限；(2)角所在的象限；(3)2角所在范围.
解：(1)∵α是第二象限角,∴+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,即+kπ<<+kπ,k∈Z.
故当k=2m(m∈Z)时，+2mπ<<+2mπ,因此，角是第一象限角；当k=2m+1(m∈Z)时，π+2mπ<<π+2mπ,因此，角是第三象限角.
综上可知，角是第一或第三象限角.
(2)同理可求得：+kπ<<+kπ,k∈Z.当k=3m(m∈Z)时，,此时，是第一象限角；
当k=3m+1(m∈Z)时，，即<π+2mπ,此时，角是第二象限角；
当k=3m+2(m∈Z)时，,此时，角是第四象限角.
综上可知，角是第一、第二或第四象限角.
(3)同理可求得2α角所在范围为：π+4kπ<2α<2π+4kπ,k∈Z.
评注：
(1)注意某一区间内的角与象限角的区别.象限角是由无数个区间角组成的，例如0°<α<90°这个区间角，只是k=0时第一象限角的一种特殊情况.
(2)要会正确运用不等式进行角的表达，同时会以k取不同值，讨论形如θ=α+kπ(k∈Z)所表示的角所在象限.
八、板书设计（略）
九、课后记：1.未要求近似计算不可用互换近似值；2. 弧长公式与扇形面积公式要注意两种单位制下各用分式的哪种开往运算.
正角
零角
负角
正实数
零
负实数
1.1.2弧度制（一）第1页（共3页）苏教版必修4第一章 三角函数（第4课时） 江苏省西亭高级中学2005-10-26
课 题：1.1.2弧度制（二）
教学目的：
1．巩固弧度制的理解，熟练掌握角度弧度的换算；掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式．
2．培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力
3．通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辩证统一的，而不是孤立、割裂的关系．
教学重点：运用弧度制解决具体的问题．
教学难点：运用弧度制解决具体的问题．
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1． 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．
如下图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，αrad
探究：
⑴平角、周角的弧度数，（平角= rad、周角=2 rad）
⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0
⑶角的弧度数的绝对值 （为弧长，为半径）
⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同。
⑸用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）
用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。
2. 角度制与弧度制的换算：
∵ 360=2 rad ∴180= rad
∴ 1=
在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略
3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π
角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
弧度 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4 11π/6 2π
4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。
任意角的集合 实数集R
5．初中学过的弧长公式、扇形面积公式：；
二、讲解新课：
1．弧长公式：
由公式： 比公式简单
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积
2．扇形面积公式 其中是扇形弧长，是圆的半径。
证：如图：圆心角为1rad的扇形面积为：
弧长为的扇形圆心角为
∴
比较这与扇形面积公式 要简单
三、讲解范例：
例1．求图中公路弯道处弧AB的长（精确到1m）图中长度单位为：m
解： ∵
∴
例2．已知扇形的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
解：设扇形的半径为r，弧长为，则有
∴ 扇形的面积
例3 计算和
解：∵ ∴
∴
例4 将下列各角化成0到的角加上的形式
⑴ ⑵
解：
例5 直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴ ⑵
解： ⑴
⑵ ∴
例6 已知扇形周长为10cm，面积为6cm2，求扇形中心角的弧度数．
解：设扇形中心角的弧度数为α(0<α<2π)，弧长为l，半径为r，
由题意：
∴ 或 ∴ =3 或
四、课堂练习：
1.圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( )
A.扇形的面积不变 B.扇形的圆心角不变
C.扇形的面积增大到原来的2倍 D.扇形的圆心角增大到原来的2倍
2.时钟经过一小时，时针转过了( )
A. rad B.－ rad C. rad D.－rad
3.一个半径为R的扇形，它的周长是4R，则这个扇形所含弓形的面积是( )
4.圆的半径变为原来的，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来
的 倍.
5.若α＝－216°，l＝7π，则ｒ＝ (其中扇形的圆心角为α，弧长为l，半径为r).
6.在半径为的圆中，圆心角为周角的的角所对圆弧的长为 .
参考答案：1.B 2.B 3.D 4.2 5. 6.40
五、回顾小结：用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式．
六、课后作业：书第10页 № 8,9
1.两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶2，则两个扇形周长的比为( )
A.1∶2 B.1∶4 C.1∶ D.1∶8
2.在半径为1的单位圆中，一条弦AB的长度为，则弦AB所对圆心角α是( )
A.α＝ B.α＜ C.α＝ D.α＝120
3.下列命题中正确的命题是( )
A.若两扇形面积的比是1∶4，则两扇形弧长的比是1∶2
B.若扇形的弧长一定，则面积存在最大值
C.若扇形的面积一定，则弧长存在最小值
D.任意角的集合可以与实数集R之间建立一种一一对应关系
4.时钟从6时50分走到10时40分，这时分针旋转了 弧度.
5.已知扇形AOB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，则弦AB的长等
于 cm.
6.已知扇形AOB的圆心角为120°，半径为6，则扇形所含弓形的面积为 .
7.2弧度的圆心角所对的弦长为2，求此圆心角所夹扇形的面积.
8.扇形的面积一定，问它的中心角α取何值时，扇形的周长L最小
9.在时钟上，自零时刻到分针与时针第一次重合，分针所转过角的弧度数是多少
参考答案：1.C 2.C 3.D 4.－ 5.2sin1
6.12π－9 7. 8.2 9.－
七、板书设计（略）
八、课后记：用下面问题作分析问题和化归思想的训练
一个扇形OAB的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，求∠AOB和弦AB的长.
分析：欲求∠AOB，需要知AB的长和半径OA的长，用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，结合已知条件，能比较容易地求得，之后在△AOB中求弦AB的长.作OM⊥AB交AB于M，则，在Rt△AMO中求AM.
答案：∠AOB＝2 rad，AB＝2sin1 cm.?
正实数
零
负实数
正角
零角
负角
o
A
B
1.1.2弧度制（二）第1页（共3页）
