【精品解析】三湖北省部分省级示范高中2022-2023学年高三上学期数学期中联考试卷

三湖北省部分省级示范高中2022-2023学年高三上学期数学期中联考试卷
一、单选题
1．（2022高三上·湖北期中）已知集合，集合，则下列关系式准确的是（）
A． B．
C． D．或
【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】 ， ，
，A不符合题意；
，B符合题意；
或 ，
或 或 ，D不符合题意；
或 ，C不符合题意．
故答案为：B．
【分析】由绝对值的几何意义化简集合，再利用交、并、补集的运算性质逐一分析四个选项得答案．
2．（2017高二下·长春期末）函数 的定义域是 （　　）
A．[0， ) B．[0， ] C．[1， ) D．[1， ]
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】要使函数有意义，需满足 ，解得 ，则函数的定义域为 ，
故答案为：C.
【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．求解函数定义域的常规方法：
①分母不等于零；
②根式（开偶次方）被开方式≥0；
③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；
④指数为零时，底数不为零．
⑤实际问题中函数的定义域.
3．（2022高三上·福州期末）已知函数为偶函数，则（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】由已知得，当时，则，即，，
∵为偶函数，∴，即，
∴，，∴，
故答案为：B.
【分析】利用偶函数的性质直接求解即可.
4．（2022高三上·湖北期中）已知正方形的对角线，点在边上，则的最大值为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为正方形的对角线为 ，故正方形的边长为 ，
点 在边 上，则 ，其中 ，
则 ，
当 点与 点重合时，等号成立，故 的最大值为2．
故答案为：C
【分析】设 ，其中 ，则，求解即可.
5．（2022高三上·湖北期中）若数列{Fn}满足F1=1，F2=1，Fn=Fn-1+Fn-2(n≥3)，则{Fn}称为斐波那契数列，它是由中世纪意大利数学家斐波那契最先发现．它有很多美妙的特征，如当n≥2时，前n项之和等于第n+2项减去第2项；随着n的增大，相邻两项之比越来越接近等等．若第30项是832040，请估计这个数列的前30项之和最接近（）
（备注：，）
A．31万 B．51万 C．217万 D．317万
【答案】C
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的求和
【解析】【解答】由题意得： ，
假设 的前 项和为 ，则 ，
又因为随着n的增大，相邻两项之比越来越接近
所以
故 ，
故答案为：C.
【分析】首先求，再求出，最后求出即可.
6．（2022高三上·湖北期中）已知，，，则，，的大小关系为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正弦函数的性质；余弦函数的性质
【解析】【解答】由于 ，由三角函数的性质可知， ，
则 ，
由 ，则 ，
故 ．
故答案为：D.
【分析】结合已知条件，利用中间值法即可比较大小.
7．（2022高三上·湖北期中）在中，内角所对的边分别为，且，下列结论正确的是（）
A．
B．当，时，的面积为
C．若是的角平分线，且，则
D．当时，为直角三角形
【答案】D
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】A：因为 ，
由正弦定理可得 ，
又因为 ，
所以 ，
化简可得 ，因为 ，所以
可得 ， ，故 ，A不符合题意；
B：当 ， 时，由A，得 ，因为 ，
可得 ，无解，故此时三角形不存在，B不符合题意；
C：因为若 是 的角平分线，且 ，由A，得
故 ，而
得 ，
得 ，所以 ，C不符合题意；
D：因为 ，由正弦定理可得 ，
又 ， ，得 ，
所以 ，化简可得 ，因为 ，
解得 或 ，由条件可知 ，故 舍去，
故 ，所以 ，所以 为直角三角形，D符合题意．
故答案为：D
【分析】选项A：先用正弦定理得，再利用三角恒等变换，求出，即可；选项B：直接解三角，发现无解即可；选项C：利用等面积法得到；选项D：利用正弦定理得，然后利用三角形角的关系，计算出各个角的大小即可.
8．（2022高三上·湖北期中）已知函数，若函数的单调递减区间（理解为闭区间）中包含且仅包含两个正整数，则实数的取值范围为（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为 的单调递减区间（理解为闭区间）中包含且仅包含两个正整数，
所以 的解集中恰有两个正整数，
由 可得， ，
令 ，则 ， ， 单调递增，
， 单调递减，
作出函数 与 的图象如图，
当 恰有两个正整数解时，即为1和2，
所以 ，
故答案为： C
【分析】函数的单调递减区间（理解为闭区间）中包含且仅包含两个正整数，转化为解集中恰有两个正整数，利用数形结合建立不等式求解即可.
二、多选题
9．（2022高三上·湖北期中）已知复数：满足，则（）
A． B．z的虚部为
C．z的共轭复数为 D．z是方程的一个根
【答案】A,D
【知识点】复数的基本概念；复数的模
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，
对A： ，A符合题意；
对B：z的虚部为 ，B不符合题意；
对C：z的共轭复数为 ，C不符合题意；
对D：因为方程 的根为 ，
所以z是方程 的一个根，D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】由复数除法的运算法则求出，然后根据复数的相关概念，以及复数的模长公式和复数范围内方程根的求法即可得答案.
10．（2022高三上·湖北期中）下列选项中，正确的有（）
A．设，都是非零向量，则“”是“”成立的充分不必要条件
B．若角的终边过点且，则
C．在中，
D．若，则
【答案】A,C
【知识点】平面向量的数量积运算；诱导公式；正弦定理
【解析】【解答】A，由 ，可知 ，所以 ，故充分性成立；
若 ，则 ，因为 为大于 的实数，不一定为 ，所以必要性不成立，
故“ ”是“ ”成立的充分不必要条件， 选项正确；
B，若角 的终边过点 且 ，则 ，解得 ，
B选项错误；
C，因为在 中， ，由正弦定理可知 ，所以 ，
因为 在 上单调递减，而A，B为 的内角， ，
故 ；
故可得 ，C符合题意；
D，若 ，则 ，
D不符合题意．
故答案为：AC.
【分析】根据平面向量的数乘运算、三角函数的定义、诱导公式、正弦定理以及三角函数性质的应用，判断每个选项的正误．
11．（2022高三上·漳州月考）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足，，则（　　）
A．
B．
C．
D．数列的前项和为
【答案】B,C,D
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】对于A，，A不符合题意；
对于B，当为奇数时，为偶数，则，，可得；
当为偶数时，为奇数，则，，可得，B符合题意；
对于C，当为奇数且时，
累加可得
，时也符合；
当为偶数且时，
累加可得
；则，C符合题意；
对于D，设数列的前项和为，则，
又，，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】 根据题意，归纳数列的规律，由此逐项进行分析判断，即可得答案.
12．（2022高三上·湖北期中）若，，且，则（）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C,D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】 ， ， ， ，且 .
则 ，且 .
对A： ，当 时等号成立，A符合题意；
对B： ，解得 ，B符合题意；
对C： ，则 ，当 时等号成立，C符合题意；
对D： ，当 时等号成立，D符合题意.
故答案为：ABCD.
【分析】将变形为和，借助基本不等式与1的代换可解.
三、填空题
13．（2022高三上·湖北期中）已知是等差数列，是等比数列，是数列的前n项和，，，则=　 　．
【答案】 1
【知识点】对数的性质与运算法则；等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【解答】因为 是等差数列，且 是数列 的前n项和，所以 ，解得 ，
因为 是等比数列，所以 ，
则 .
故答案为： -1 .
【分析】根据等差数列的求和公式以及等差中项，求第六项，再根据等比数列的等比中项，解得第六项的平方，结合对数运算可得答案.
14．（2022高三上·湖北期中）已知向量，，若，则在上的投影向量为　 　．
【答案】
【知识点】空间向量的投影向量
【解析】【解答】 ， ，
，
解得 ，
，
， ，
，
在 上投影向量为：
.
故答案为： .
【分析】根据垂直关系得出，再利用向量的投影的概念即得.
15．（2022高三上·湖北期中）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作孙子算经卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何现有这样一个相关的问题：被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】基本不等式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：被 除余 且被 除余 的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为 ，公差为 的等差数列 ，则
∴
当且仅当 ，即 时，等号成立，
∴ 的最小值为 ．
故答案为： .
【分析】先由“两个等差数列的公共项构成的新的等差数列的公差为两个等差数列公差的最小公倍数”得，再应用基本不等式求得 的最小值.
16．（2022高三上·湖北期中）已知是定义在上的函数，且函数的图象关于直线对称，当时，，则　 　，曲线在处的切线方程是　 　．
【答案】0；
【知识点】奇偶函数图象的对称性；导数的几何意义
【解析】【解答】因为函数 的图象关于直线 对称，
所以 ，即 ，
用 代替 ，得到 ，故 关于 对称，
当 时， ，则 ，
所以 时， ，则 ，
故 ， ，
故曲线 在 处的切线斜率 ，切点坐标为 ，
故切线方程为 ，即 ．
故答案为： ； ．
【分析】根据题意求得的对称轴，结合已知函数解析式，以及导数的几何意义，即可求得结果.
四、解答题
17．（2022高三上·湖北期中）已知函数．
（1）若，求的单调区间
（2）若函数在处取得极值，求的最大值和最小值．
【答案】（1）解：若 ，有 ，定义域为
则 ，
得 ； 得 或
所以， 的减区间是 ，增区间是 ， ；
（2）解：∵ ，
即：
∴
∴
∴
∴当 或 时， ；当 时 ，
∴ 在 ， 上递增，在 上递减
∴ 的极大值为 ， 的极小值为 .
又∵当 时， ，当 时，
， ．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）利用导数求函数的单调区间；
（2）先由极值点处的导数为0（且在极值点左右两侧的符号相反）解得参数a的值，再利用导数求函数的最值（注意：研究函数的趋近）.
18．（2022高三上·湖北期中）已知数列的首项为，且满足，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）数列中，，对任意，，都有，求数列的前项和．
【答案】（1）解： ， ，
又 ， 且
是首项为 ，公比为 的等比数列，
（2）解： 对任意 ， 都成立， 令 得 ， ， ，
，
作差化简得
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）由得，即，由等比数列定义列通项公式即可；
（2）令即求得，利用错位相减法即可求.
19．（2022高三上·湖北期中）如图，在平面凹四边形中，，，，角满足：．
（1）求角的大小
（2）求凹四边形面积的最小值．
【答案】（1）解：因为 ，
所以 ，
即 ，
因为 ，则 ，
所以 ，即 .
（2）解：连接 ，设 ， ，
因为 ， ， ，
所以在 中，由余弦定理得 ，即 ，
在 中由余弦定理得 ，即 ，
故 ，当且仅当 时，不等式取等号，
从而 ，
故凹四边形 的面积 ，
从而四边形 面积的最小值是 .
【知识点】基本不等式；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理
【解析】【分析】(1)由二倍角的正弦及余弦公式，结合二倍角恒等变换即可求解；
(2)结合已知条件，利用余弦定理和均值不等式即可求解.
20．（2022高一下·南阳月考）已知函数，，且在上单调递增.
（1）若恒成立，求的值；
（2）在（1）的条件下，若当时，总有使得，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由题意得
解得
且在上单调递增，故，得
（2）解：由（1）得
时，，
根据对称轴讨论取值范围
①时，在时单调递增，，此时不合题意
②时，在时单调递增，在时单调递减
由题意得，解得
③时，在时单调递减，，
由题意得，解得（舍去）
综上，的取值范围为
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【分析】(1)由正弦函数的增区间可得 的范围，再由正弦函数的最小值，计算可得所求 的值；
(2)由题意结合二次函数的值域求法和正弦函数的单调性可得值域，解不等式可得所求出实数的取值范围.
21．（2022高三上·湖北期中）已知函数的周期为，图像的一个对称中心为，将函数图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变)，再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像．
（1）求函数与的解析式；
（2）是否存在，使得、、按照某种顺序成等差数列？若存在，请求出该数列公差绝对值的取值范围；若不存在，请说明理由．
（3）当时，判断在内的零点个数，并说明理由．
【答案】（1）解：∵ 周期 ，∴ ，
又∵ 是 的一个对称中心，∴ ， ，
解得： ， ，
∵ ，∴ ，
从而 ，
函数 图像上所有点的横坐标伸长为原来的 倍(纵坐标不变)后的解析式为： ，
从而再将所得图像向右平移 个单位长度后得到函数 .
（2）解：假设存在 ，使得 、 、 按照某种顺序成等差数列
当 时， ，则 ， ，
∵ ，∴ ，
故 ，即 ，
令 ， ，
则
故 在 上单调递增，
又∵ ， 且 在 上连续，
故存在唯一的 ，使得 ，即 成立，
即存在 ，使得 ， ， 或 ， ， 成等差数列，
∴公差的绝对值 ，
∵ ，∴ ，
即该等差数列公差的绝对值的取值范围为 .
（3）解：由题意得： ，
当 ，即 时， ，故 不是 的零点；
则 的零点个数等价于 的根的个数，
即 与 的交点个数，
∵ ，
∴ 是以 为周期的周期函数，
当 时，
，
∴当 时， ；
当 时， ，
故 在 ， 上单调递增，在 ， 上单调递减，
则 在 上的大致图像如下图所示，
由图像可知：当 时， 与 在 内无交点，在 内有两个交点；
当 时，在 内有两个交点，在 内有两个交点；
当 时， 与 在 内有且仅有一个交点，在 内有两个交点；
综上所述，在 内，
当 时， 与 有2022个交点，即 有2022个零点；
当 时， 与 有3033个交点，即 有3033个零点；
当 时， 与 有4044个交点，即 有4044个零点.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；三角函数中的恒等变换应用；函数的零点；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】(1)结合已知条件，利用周期公式求出，然后利用正弦函数的对称中心的性质求，进而得到，利用伸缩变换和平移变换得到；
(2)利用导函数和零点存在基本定理即可判定，结合正弦函数范围以及二次函数性质即可求解；
(3) 将零点问题转化为 与 的交点个数，然后利用导函数求的图像，进而即可得到答案.
22．（2022·永州三模）已知函数.
（1）求的极值；
（2）若时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：函数的定义域为，，
当时，在恒成立，在单调递减，故无极值；
当时，令，则，
时，，在单调递减；
时，，在单调递增；
故在取极小值，且，无极大值
综上，当时，无极值；
当时，在取极小值，且，无极大值.
（2）解：∵，∴，即且
∴且，即，为的两个零点
∴由（1）知，当时，在取极小值，且，故
又∵，∴，
又∵恒成立，∴对任意恒成立，
∵，∴，且
∴对任意恒成立
∴令，则，对任意恒成立，则.
∴对任意恒成立
令，则
当，即时，恒成立
故在为单调递增函数，
又∵，∴对恒成立
当，即时，为单调增函数，
又∵，，∴使，
当时，，故在单调递减
∴当时，，不合题意
综上，实数的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）对函数求导，根据导数的符号得出函数的单调性，进而求出 的极值；
（2）由已知可得 且 ， 对任意恒成立，可得，且， 令 ，求导可得 的单调性，进而求出实数的取值范围．
1 / 1三湖北省部分省级示范高中2022-2023学年高三上学期数学期中联考试卷
一、单选题
1．（2022高三上·湖北期中）已知集合，集合，则下列关系式准确的是（）
A． B．
C． D．或
2．（2017高二下·长春期末）函数 的定义域是 （　　）
A．[0， ) B．[0， ] C．[1， ) D．[1， ]
3．（2022高三上·福州期末）已知函数为偶函数，则（　　）
A．3 B． C． D．
4．（2022高三上·湖北期中）已知正方形的对角线，点在边上，则的最大值为（）
A． B． C． D．
5．（2022高三上·湖北期中）若数列{Fn}满足F1=1，F2=1，Fn=Fn-1+Fn-2(n≥3)，则{Fn}称为斐波那契数列，它是由中世纪意大利数学家斐波那契最先发现．它有很多美妙的特征，如当n≥2时，前n项之和等于第n+2项减去第2项；随着n的增大，相邻两项之比越来越接近等等．若第30项是832040，请估计这个数列的前30项之和最接近（）
（备注：，）
A．31万 B．51万 C．217万 D．317万
6．（2022高三上·湖北期中）已知，，，则，，的大小关系为（）
A． B． C． D．
7．（2022高三上·湖北期中）在中，内角所对的边分别为，且，下列结论正确的是（）
A．
B．当，时，的面积为
C．若是的角平分线，且，则
D．当时，为直角三角形
8．（2022高三上·湖北期中）已知函数，若函数的单调递减区间（理解为闭区间）中包含且仅包含两个正整数，则实数的取值范围为（）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2022高三上·湖北期中）已知复数：满足，则（）
A． B．z的虚部为
C．z的共轭复数为 D．z是方程的一个根
10．（2022高三上·湖北期中）下列选项中，正确的有（）
A．设，都是非零向量，则“”是“”成立的充分不必要条件
B．若角的终边过点且，则
C．在中，
D．若，则
11．（2022高三上·漳州月考）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足，，则（　　）
A．
B．
C．
D．数列的前项和为
12．（2022高三上·湖北期中）若，，且，则（）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．（2022高三上·湖北期中）已知是等差数列，是等比数列，是数列的前n项和，，，则=　 　．
14．（2022高三上·湖北期中）已知向量，，若，则在上的投影向量为　 　．
15．（2022高三上·湖北期中）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作孙子算经卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何现有这样一个相关的问题：被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为　 　．
16．（2022高三上·湖北期中）已知是定义在上的函数，且函数的图象关于直线对称，当时，，则　 　，曲线在处的切线方程是　 　．
四、解答题
17．（2022高三上·湖北期中）已知函数．
（1）若，求的单调区间
（2）若函数在处取得极值，求的最大值和最小值．
18．（2022高三上·湖北期中）已知数列的首项为，且满足，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）数列中，，对任意，，都有，求数列的前项和．
19．（2022高三上·湖北期中）如图，在平面凹四边形中，，，，角满足：．
（1）求角的大小
（2）求凹四边形面积的最小值．
20．（2022高一下·南阳月考）已知函数，，且在上单调递增.
（1）若恒成立，求的值；
（2）在（1）的条件下，若当时，总有使得，求实数的取值范围.
21．（2022高三上·湖北期中）已知函数的周期为，图像的一个对称中心为，将函数图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变)，再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像．
（1）求函数与的解析式；
（2）是否存在，使得、、按照某种顺序成等差数列？若存在，请求出该数列公差绝对值的取值范围；若不存在，请说明理由．
（3）当时，判断在内的零点个数，并说明理由．
22．（2022·永州三模）已知函数.
（1）求的极值；
（2）若时，恒成立，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】 ， ，
，A不符合题意；
，B符合题意；
或 ，
或 或 ，D不符合题意；
或 ，C不符合题意．
故答案为：B．
【分析】由绝对值的几何意义化简集合，再利用交、并、补集的运算性质逐一分析四个选项得答案．
2．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】要使函数有意义，需满足 ，解得 ，则函数的定义域为 ，
故答案为：C.
【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．求解函数定义域的常规方法：
①分母不等于零；
②根式（开偶次方）被开方式≥0；
③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；
④指数为零时，底数不为零．
⑤实际问题中函数的定义域.
3．【答案】B
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】由已知得，当时，则，即，，
∵为偶函数，∴，即，
∴，，∴，
故答案为：B.
【分析】利用偶函数的性质直接求解即可.
4．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为正方形的对角线为 ，故正方形的边长为 ，
点 在边 上，则 ，其中 ，
则 ，
当 点与 点重合时，等号成立，故 的最大值为2．
故答案为：C
【分析】设 ，其中 ，则，求解即可.
5．【答案】C
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的求和
【解析】【解答】由题意得： ，
假设 的前 项和为 ，则 ，
又因为随着n的增大，相邻两项之比越来越接近
所以
故 ，
故答案为：C.
【分析】首先求，再求出，最后求出即可.
6．【答案】D
【知识点】正弦函数的性质；余弦函数的性质
【解析】【解答】由于 ，由三角函数的性质可知， ，
则 ，
由 ，则 ，
故 ．
故答案为：D.
【分析】结合已知条件，利用中间值法即可比较大小.
7．【答案】D
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】A：因为 ，
由正弦定理可得 ，
又因为 ，
所以 ，
化简可得 ，因为 ，所以
可得 ， ，故 ，A不符合题意；
B：当 ， 时，由A，得 ，因为 ，
可得 ，无解，故此时三角形不存在，B不符合题意；
C：因为若 是 的角平分线，且 ，由A，得
故 ，而
得 ，
得 ，所以 ，C不符合题意；
D：因为 ，由正弦定理可得 ，
又 ， ，得 ，
所以 ，化简可得 ，因为 ，
解得 或 ，由条件可知 ，故 舍去，
故 ，所以 ，所以 为直角三角形，D符合题意．
故答案为：D
【分析】选项A：先用正弦定理得，再利用三角恒等变换，求出，即可；选项B：直接解三角，发现无解即可；选项C：利用等面积法得到；选项D：利用正弦定理得，然后利用三角形角的关系，计算出各个角的大小即可.
8．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为 的单调递减区间（理解为闭区间）中包含且仅包含两个正整数，
所以 的解集中恰有两个正整数，
由 可得， ，
令 ，则 ， ， 单调递增，
， 单调递减，
作出函数 与 的图象如图，
当 恰有两个正整数解时，即为1和2，
所以 ，
故答案为： C
【分析】函数的单调递减区间（理解为闭区间）中包含且仅包含两个正整数，转化为解集中恰有两个正整数，利用数形结合建立不等式求解即可.
9．【答案】A,D
【知识点】复数的基本概念；复数的模
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，
对A： ，A符合题意；
对B：z的虚部为 ，B不符合题意；
对C：z的共轭复数为 ，C不符合题意；
对D：因为方程 的根为 ，
所以z是方程 的一个根，D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】由复数除法的运算法则求出，然后根据复数的相关概念，以及复数的模长公式和复数范围内方程根的求法即可得答案.
10．【答案】A,C
【知识点】平面向量的数量积运算；诱导公式；正弦定理
【解析】【解答】A，由 ，可知 ，所以 ，故充分性成立；
若 ，则 ，因为 为大于 的实数，不一定为 ，所以必要性不成立，
故“ ”是“ ”成立的充分不必要条件， 选项正确；
B，若角 的终边过点 且 ，则 ，解得 ，
B选项错误；
C，因为在 中， ，由正弦定理可知 ，所以 ，
因为 在 上单调递减，而A，B为 的内角， ，
故 ；
故可得 ，C符合题意；
D，若 ，则 ，
D不符合题意．
故答案为：AC.
【分析】根据平面向量的数乘运算、三角函数的定义、诱导公式、正弦定理以及三角函数性质的应用，判断每个选项的正误．
11．【答案】B,C,D
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】对于A，，A不符合题意；
对于B，当为奇数时，为偶数，则，，可得；
当为偶数时，为奇数，则，，可得，B符合题意；
对于C，当为奇数且时，
累加可得
，时也符合；
当为偶数且时，
累加可得
；则，C符合题意；
对于D，设数列的前项和为，则，
又，，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】 根据题意，归纳数列的规律，由此逐项进行分析判断，即可得答案.
12．【答案】A,B,C,D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】 ， ， ， ，且 .
则 ，且 .
对A： ，当 时等号成立，A符合题意；
对B： ，解得 ，B符合题意；
对C： ，则 ，当 时等号成立，C符合题意；
对D： ，当 时等号成立，D符合题意.
故答案为：ABCD.
【分析】将变形为和，借助基本不等式与1的代换可解.
13．【答案】 1
【知识点】对数的性质与运算法则；等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【解答】因为 是等差数列，且 是数列 的前n项和，所以 ，解得 ，
因为 是等比数列，所以 ，
则 .
故答案为： -1 .
【分析】根据等差数列的求和公式以及等差中项，求第六项，再根据等比数列的等比中项，解得第六项的平方，结合对数运算可得答案.
14．【答案】
【知识点】空间向量的投影向量
【解析】【解答】 ， ，
，
解得 ，
，
， ，
，
在 上投影向量为：
.
故答案为： .
【分析】根据垂直关系得出，再利用向量的投影的概念即得.
15．【答案】
【知识点】基本不等式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：被 除余 且被 除余 的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为 ，公差为 的等差数列 ，则
∴
当且仅当 ，即 时，等号成立，
∴ 的最小值为 ．
故答案为： .
【分析】先由“两个等差数列的公共项构成的新的等差数列的公差为两个等差数列公差的最小公倍数”得，再应用基本不等式求得 的最小值.
16．【答案】0；
【知识点】奇偶函数图象的对称性；导数的几何意义
【解析】【解答】因为函数 的图象关于直线 对称，
所以 ，即 ，
用 代替 ，得到 ，故 关于 对称，
当 时， ，则 ，
所以 时， ，则 ，
故 ， ，
故曲线 在 处的切线斜率 ，切点坐标为 ，
故切线方程为 ，即 ．
故答案为： ； ．
【分析】根据题意求得的对称轴，结合已知函数解析式，以及导数的几何意义，即可求得结果.
17．【答案】（1）解：若 ，有 ，定义域为
则 ，
得 ； 得 或
所以， 的减区间是 ，增区间是 ， ；
（2）解：∵ ，
即：
∴
∴
∴
∴当 或 时， ；当 时 ，
∴ 在 ， 上递增，在 上递减
∴ 的极大值为 ， 的极小值为 .
又∵当 时， ，当 时，
， ．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）利用导数求函数的单调区间；
（2）先由极值点处的导数为0（且在极值点左右两侧的符号相反）解得参数a的值，再利用导数求函数的最值（注意：研究函数的趋近）.
18．【答案】（1）解： ， ，
又 ， 且
是首项为 ，公比为 的等比数列，
（2）解： 对任意 ， 都成立， 令 得 ， ， ，
，
作差化简得
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）由得，即，由等比数列定义列通项公式即可；
（2）令即求得，利用错位相减法即可求.
19．【答案】（1）解：因为 ，
所以 ，
即 ，
因为 ，则 ，
所以 ，即 .
（2）解：连接 ，设 ， ，
因为 ， ， ，
所以在 中，由余弦定理得 ，即 ，
在 中由余弦定理得 ，即 ，
故 ，当且仅当 时，不等式取等号，
从而 ，
故凹四边形 的面积 ，
从而四边形 面积的最小值是 .
【知识点】基本不等式；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理
【解析】【分析】(1)由二倍角的正弦及余弦公式，结合二倍角恒等变换即可求解；
(2)结合已知条件，利用余弦定理和均值不等式即可求解.
20．【答案】（1）解：由题意得
解得
且在上单调递增，故，得
（2）解：由（1）得
时，，
根据对称轴讨论取值范围
①时，在时单调递增，，此时不合题意
②时，在时单调递增，在时单调递减
由题意得，解得
③时，在时单调递减，，
由题意得，解得（舍去）
综上，的取值范围为
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【分析】(1)由正弦函数的增区间可得 的范围，再由正弦函数的最小值，计算可得所求 的值；
(2)由题意结合二次函数的值域求法和正弦函数的单调性可得值域，解不等式可得所求出实数的取值范围.
21．【答案】（1）解：∵ 周期 ，∴ ，
又∵ 是 的一个对称中心，∴ ， ，
解得： ， ，
∵ ，∴ ，
从而 ，
函数 图像上所有点的横坐标伸长为原来的 倍(纵坐标不变)后的解析式为： ，
从而再将所得图像向右平移 个单位长度后得到函数 .
（2）解：假设存在 ，使得 、 、 按照某种顺序成等差数列
当 时， ，则 ， ，
∵ ，∴ ，
故 ，即 ，
令 ， ，
则
故 在 上单调递增，
又∵ ， 且 在 上连续，
故存在唯一的 ，使得 ，即 成立，
即存在 ，使得 ， ， 或 ， ， 成等差数列，
∴公差的绝对值 ，
∵ ，∴ ，
即该等差数列公差的绝对值的取值范围为 .
（3）解：由题意得： ，
当 ，即 时， ，故 不是 的零点；
则 的零点个数等价于 的根的个数，
即 与 的交点个数，
∵ ，
∴ 是以 为周期的周期函数，
当 时，
，
∴当 时， ；
当 时， ，
故 在 ， 上单调递增，在 ， 上单调递减，
则 在 上的大致图像如下图所示，
由图像可知：当 时， 与 在 内无交点，在 内有两个交点；
当 时，在 内有两个交点，在 内有两个交点；
当 时， 与 在 内有且仅有一个交点，在 内有两个交点；
综上所述，在 内，
当 时， 与 有2022个交点，即 有2022个零点；
当 时， 与 有3033个交点，即 有3033个零点；
当 时， 与 有4044个交点，即 有4044个零点.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；三角函数中的恒等变换应用；函数的零点；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】(1)结合已知条件，利用周期公式求出，然后利用正弦函数的对称中心的性质求，进而得到，利用伸缩变换和平移变换得到；
(2)利用导函数和零点存在基本定理即可判定，结合正弦函数范围以及二次函数性质即可求解；
(3) 将零点问题转化为 与 的交点个数，然后利用导函数求的图像，进而即可得到答案.
22．【答案】（1）解：函数的定义域为，，
当时，在恒成立，在单调递减，故无极值；
当时，令，则，
时，，在单调递减；
时，，在单调递增；
故在取极小值，且，无极大值
综上，当时，无极值；
当时，在取极小值，且，无极大值.
（2）解：∵，∴，即且
∴且，即，为的两个零点
∴由（1）知，当时，在取极小值，且，故
又∵，∴，
又∵恒成立，∴对任意恒成立，
∵，∴，且
∴对任意恒成立
∴令，则，对任意恒成立，则.
∴对任意恒成立
令，则
当，即时，恒成立
故在为单调递增函数，
又∵，∴对恒成立
当，即时，为单调增函数，
又∵，，∴使，
当时，，故在单调递减
∴当时，，不合题意
综上，实数的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）对函数求导，根据导数的符号得出函数的单调性，进而求出 的极值；
（2）由已知可得 且 ， 对任意恒成立，可得，且， 令 ，求导可得 的单调性，进而求出实数的取值范围．
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