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天津市河北区2022-2023学年高三上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·河北期中）设全集，集合，，则集合（）
A． B． C． D．
2．（2022高三上·河北期中）设，则“”是“”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2022高三上·河北期中）已知圆柱和圆锥的底面重合，且母线长相等，设圆柱、圆锥的表面积分别为S1，S2，则的值为（）
A． B．1 C．2 D．3
4．（2022高三上·河北期中）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组得到如下频率分布直方图，则直方图中x的值为（）
A．0.007 B．0.0075 C．0.008 D．0.0085
5．（2021高三上·辽宁月考）函数 的部分图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022高三上·河北期中）若，，，则a，b，c的大小关系为（）
A． B． C． D．
7．（2022高三上·西城期末）若双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
8．（2022高三上·河北期中）若实数a，b满足，则ab的最小值为（）
A．8 B．6 C．4 D．2
9．（2022高三上·河北期中）已知函数，给出下面四个结论：
①的定义域是；
②是偶函数；
③在区间上单调递增；
④的图像与的图像有4个不同的交点.
其中正确的结论是（）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④
二、填空题
10．（2022高三上·河北期中）i是虚数单位，则复数 .
11．（2022高三上·河北期中） 的展开式中含x项的系数为 .
12．（2021高二上·天津月考）求经过点M(2， )且与圆x2＋y2=4相切的直线的方程为 ．
13．（2022高三上·河北期中）一盒子装有4件产品，其中有3件一等品，1件二等品.从中不放回地抽取两次，每次任取一件，设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，则条件概率的值为 .
14．（2022高三上·河北期中）已知函数满足，则的值为 .
15．（2022高三上·河北期中）如图，在四边形ABCD中，，，若是等边三角形，且，E是CD的中点，则的值为 .
三、解答题
16．（2022高三上·河北期中）已知函数，.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调递减区间.
17．（2022高三上·河北期中）已知分别是的内角的对边，且．
（1）求．
（2）若，，求的面积．
（3）在（2）的条件下，求的值．
18．（2022高三上·河北期中）如图，直三棱柱的底面为直角三角形，，E，F分别为AB，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线BF与平面所成角的正弦值；
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
19．（2022高三上·河北期中）已知数列为等差数列，且，
（1）求数列的通项，及前项和
（2）请你在数列的前4项中选出三项，组成公比的绝对值小于1的等比数列的前3项，并记数列的前n项和为．若对任意正整数，不等式恒成立，试求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】 ，则 .
故答案为：C.
【分析】根据集合的交集、补集运算，求解即可.
2．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解 得， ，小于 表示的范围.
所以，“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】解 得， ，小于 表示的范围.，即可得解.
3．【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）
【解析】【解答】由已知可设，圆柱和圆锥的底面半径为 ，母线为 ，则
，
所以， .
故答案为：C.
【分析】设出底面半径和母线，代入公式，求出表面积即可.
4．【答案】B
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】在频率分布直方图中，各小矩形面积和为1，
即 ，
解得， .
故答案为：B.
【分析】根据小矩形面积和为1，即可求出.
5．【答案】D
【知识点】函数奇偶性的判断；指数函数综合题；对数函数图象与性质的综合应用
【解析】【解答】因 且 ，则 ，于是得函数 定义域为 ，
又 ，即 为奇函数﹐C不正确；
而 ，B不正确；
因 时， ， ，则 ，A不正确，D符合.
故答案为：D
【分析】先观察各选项图像，通过确定函数的奇偶性排除选项C，再通过特值法可排除选项A，B。
6．【答案】C
【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为 ， ， ，
所以 ，
故答案为：C .
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分别与1和0比较即可判断出结论.
7．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为双曲线的一条渐近线方程为，
所以，
所以双曲线C的离心率为，
故答案为：C
【分析】由双曲线的简单性质，计算出渐近线的方程，由此得出，然后由双曲线里a、b、c的关系以及离心率公式，计算出结果即可。
8．【答案】A
【知识点】对数的运算性质；基本不等式
【解析】【解答】由 ，得 ， 即 ，由基本不等式得， ，当且仅当 ，即 时，等号成立，解得 ，所以 的最小值为8.
故答案为：A
【分析】由已知条件结合对数的运算性质及基本不等式可求得.
9．【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数单调性的性质；函数奇偶性的判断
【解析】【解答】函数 ，不难判断函数的定义域为R，故①选项是正确的；
②选项，因为 ，所以 ，故②选项也是正确的；
选项③，在区间 时， ，而函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，此时函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，不正确，排除选项；
选项④，可通过画出 的图像与 的图像，通过观察不难得到，两个函数图象有4个交点，因此，选项④正确.
故答案为：D.
【分析】可根据已知的函数解析式，通过求解函数的定义域、奇偶性、单调性和与的图像的交点个数即可判断.
10．【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 .
故答案为： .
【分析】根据复数的除法运算求解即可.
11．【答案】28
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】设展开式中第 项含x项，
则 ，
令 ，解得 ，
代入得，
故答案为：28.
【分析】化简二项式定理展开式通项，求出k值，代入即可.
12．【答案】 或x=2
【知识点】圆的切线方程
【解析】【解答】由已知可知直线x=2是圆的切线，当斜率存在时，设切线方程为 ，即 ，
，解得 ，
切线方程为 ，即 。
故答案为： 或x=2。
【分析】由已知可知直线x=2是圆的切线，当斜率存在时，设切线方程为 ，再转化为直线的一般式方程，即 ，再利用点到直线的距离公式结合已知条件得出直线的斜率，进而求出过点M(2， )且与圆x2＋y2=4相切的直线的方程。
13．【答案】
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】由已知可得， ， ，
.
故答案为： .
【分析】根据条件概率的公式解题.
14．【答案】
【知识点】函数的值；分段函数的应用
【解析】【解答】当 时， ，解得 ，舍去；
当 时， ，解得 ，满足.
所以， .
则 .
故答案为： .
【分析】分论讨论求出a的值，代入即可.
15．【答案】11
【知识点】向量的线性运算性质及几何意义；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】由题意可得， ， ，则
， ，
则
故答案为：11.
【分析】由题意得 ， ，根据向量数量积的运算律求解即可.
16．【答案】（1）解：
所以， 的最小正周期 .
（2）解：函数 的单调递减区间为
由 ，得 ，
函数 的单调递减区间为 .
【知识点】正弦函数的单调性；正弦函数的周期性
【解析】【分析】（1）化简函数，利用周期公式求解；
（2）根据正弦函数的单调减区间公式，令，，即可求解.
17．【答案】（1）解：因为 ，
所以 ，
所以 ，
由正弦定理可得， ；
（2）解：由余弦定理可得， ，
整理可得， ，
解可得， ，
因为 ，
所以 ；
（3）解：由于 ， ．
所以 ．
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由已知结合正弦定理先进行代换，然后结合和差角公式及正弦定理可求；
（2）由余弦定理可求，然后结合三角形的面积公式可求；
（3）结合二倍角公式及和角余弦公式即可求解．
18．【答案】（1）证明：因为，直三棱柱 的底面为直角三角形， ，
所以， 平面 ， .
所以， ， ， 两两垂直.
以B点为原点，分别以 ， ， 所在的方向为x，y，z轴的正方向，如图1建立空间直角坐标系 .
则由已知得， ， .
则， ， ， ， ， ， .
因为E，F分别为AB， 的中点，则 ， .
所以， ， ， ，
设 是平面 的一个法向量，则 ， ，
即 ，令 ，则 .
，则
又 平面 ，所以， 平面 .
（2）解：设直线BF与平面 所成角为 .
由（1）知，平面 的一个法向量为 ， .
则，
则直线BF与平面 所成角的正弦值
（3）解：由（1）知， ， ， 两两垂直.
则， 平面 ， 即为平面 的一个法向量.
，
所以，平面 与平面 夹角的余弦值为 .
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）根据已知条件，可推得 ， ， 两两垂直， 以B点为原点，分别以 ， ， 所在的方向为x，y，z轴的正方向，，求出平面 的一个法向量，根据数量积的运算可得， 即可证明平面；
（2）设直线BF与平面所成角为，由（1）得，平面 的一个法向量，根据即可求解；
（3）由题意可得，即为平面的一个法向量，根据向量数量积的运算可求出，即可求解.
19．【答案】（1）解：设数列 的公差为
由 ，得 ，即
解得： ，
数列 的通项
前 项和
（2）解：由 得： ， ， ，
由题意知应取： ， ，
所以数列 的公比 ，
∵ ，∴
又由（Ⅰ）知 ，由此知，
当 时， 取得最大值10，
要使 恒成立，只须使 即可，所以有 ，
由 是正整数知， 的最小值为7．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合等差数列的基本量，即可求得首项和公差，再利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可求得；
（2）根据题意，求得数列的通项公式，求得，， 当 时， 取得最大值10，要使 恒成立，只须使 即可，所以有 ， 即求得结果.
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天津市河北区2022-2023学年高三上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·河北期中）设全集，集合，，则集合（）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】 ，则 .
故答案为：C.
【分析】根据集合的交集、补集运算，求解即可.
2．（2022高三上·河北期中）设，则“”是“”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解 得， ，小于 表示的范围.
所以，“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】解 得， ，小于 表示的范围.，即可得解.
3．（2022高三上·河北期中）已知圆柱和圆锥的底面重合，且母线长相等，设圆柱、圆锥的表面积分别为S1，S2，则的值为（）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）
【解析】【解答】由已知可设，圆柱和圆锥的底面半径为 ，母线为 ，则
，
所以， .
故答案为：C.
【分析】设出底面半径和母线，代入公式，求出表面积即可.
4．（2022高三上·河北期中）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组得到如下频率分布直方图，则直方图中x的值为（）
A．0.007 B．0.0075 C．0.008 D．0.0085
【答案】B
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】在频率分布直方图中，各小矩形面积和为1，
即 ，
解得， .
故答案为：B.
【分析】根据小矩形面积和为1，即可求出.
5．（2021高三上·辽宁月考）函数 的部分图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数奇偶性的判断；指数函数综合题；对数函数图象与性质的综合应用
【解析】【解答】因 且 ，则 ，于是得函数 定义域为 ，
又 ，即 为奇函数﹐C不正确；
而 ，B不正确；
因 时， ， ，则 ，A不正确，D符合.
故答案为：D
【分析】先观察各选项图像，通过确定函数的奇偶性排除选项C，再通过特值法可排除选项A，B。
6．（2022高三上·河北期中）若，，，则a，b，c的大小关系为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为 ， ， ，
所以 ，
故答案为：C .
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分别与1和0比较即可判断出结论.
7．（2022高三上·西城期末）若双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为双曲线的一条渐近线方程为，
所以，
所以双曲线C的离心率为，
故答案为：C
【分析】由双曲线的简单性质，计算出渐近线的方程，由此得出，然后由双曲线里a、b、c的关系以及离心率公式，计算出结果即可。
8．（2022高三上·河北期中）若实数a，b满足，则ab的最小值为（）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【知识点】对数的运算性质；基本不等式
【解析】【解答】由 ，得 ， 即 ，由基本不等式得， ，当且仅当 ，即 时，等号成立，解得 ，所以 的最小值为8.
故答案为：A
【分析】由已知条件结合对数的运算性质及基本不等式可求得.
9．（2022高三上·河北期中）已知函数，给出下面四个结论：
①的定义域是；
②是偶函数；
③在区间上单调递增；
④的图像与的图像有4个不同的交点.
其中正确的结论是（）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数单调性的性质；函数奇偶性的判断
【解析】【解答】函数 ，不难判断函数的定义域为R，故①选项是正确的；
②选项，因为 ，所以 ，故②选项也是正确的；
选项③，在区间 时， ，而函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，此时函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，不正确，排除选项；
选项④，可通过画出 的图像与 的图像，通过观察不难得到，两个函数图象有4个交点，因此，选项④正确.
故答案为：D.
【分析】可根据已知的函数解析式，通过求解函数的定义域、奇偶性、单调性和与的图像的交点个数即可判断.
二、填空题
10．（2022高三上·河北期中）i是虚数单位，则复数 .
【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 .
故答案为： .
【分析】根据复数的除法运算求解即可.
11．（2022高三上·河北期中） 的展开式中含x项的系数为 .
【答案】28
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】设展开式中第 项含x项，
则 ，
令 ，解得 ，
代入得，
故答案为：28.
【分析】化简二项式定理展开式通项，求出k值，代入即可.
12．（2021高二上·天津月考）求经过点M(2， )且与圆x2＋y2=4相切的直线的方程为 ．
【答案】 或x=2
【知识点】圆的切线方程
【解析】【解答】由已知可知直线x=2是圆的切线，当斜率存在时，设切线方程为 ，即 ，
，解得 ，
切线方程为 ，即 。
故答案为： 或x=2。
【分析】由已知可知直线x=2是圆的切线，当斜率存在时，设切线方程为 ，再转化为直线的一般式方程，即 ，再利用点到直线的距离公式结合已知条件得出直线的斜率，进而求出过点M(2， )且与圆x2＋y2=4相切的直线的方程。
13．（2022高三上·河北期中）一盒子装有4件产品，其中有3件一等品，1件二等品.从中不放回地抽取两次，每次任取一件，设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，则条件概率的值为 .
【答案】
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】由已知可得， ， ，
.
故答案为： .
【分析】根据条件概率的公式解题.
14．（2022高三上·河北期中）已知函数满足，则的值为 .
【答案】
【知识点】函数的值；分段函数的应用
【解析】【解答】当 时， ，解得 ，舍去；
当 时， ，解得 ，满足.
所以， .
则 .
故答案为： .
【分析】分论讨论求出a的值，代入即可.
15．（2022高三上·河北期中）如图，在四边形ABCD中，，，若是等边三角形，且，E是CD的中点，则的值为 .
【答案】11
【知识点】向量的线性运算性质及几何意义；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】由题意可得， ， ，则
， ，
则
故答案为：11.
【分析】由题意得 ， ，根据向量数量积的运算律求解即可.
三、解答题
16．（2022高三上·河北期中）已知函数，.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调递减区间.
【答案】（1）解：
所以， 的最小正周期 .
（2）解：函数 的单调递减区间为
由 ，得 ，
函数 的单调递减区间为 .
【知识点】正弦函数的单调性；正弦函数的周期性
【解析】【分析】（1）化简函数，利用周期公式求解；
（2）根据正弦函数的单调减区间公式，令，，即可求解.
17．（2022高三上·河北期中）已知分别是的内角的对边，且．
（1）求．
（2）若，，求的面积．
（3）在（2）的条件下，求的值．
【答案】（1）解：因为 ，
所以 ，
所以 ，
由正弦定理可得， ；
（2）解：由余弦定理可得， ，
整理可得， ，
解可得， ，
因为 ，
所以 ；
（3）解：由于 ， ．
所以 ．
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由已知结合正弦定理先进行代换，然后结合和差角公式及正弦定理可求；
（2）由余弦定理可求，然后结合三角形的面积公式可求；
（3）结合二倍角公式及和角余弦公式即可求解．
18．（2022高三上·河北期中）如图，直三棱柱的底面为直角三角形，，E，F分别为AB，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线BF与平面所成角的正弦值；
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：因为，直三棱柱 的底面为直角三角形， ，
所以， 平面 ， .
所以， ， ， 两两垂直.
以B点为原点，分别以 ， ， 所在的方向为x，y，z轴的正方向，如图1建立空间直角坐标系 .
则由已知得， ， .
则， ， ， ， ， ， .
因为E，F分别为AB， 的中点，则 ， .
所以， ， ， ，
设 是平面 的一个法向量，则 ， ，
即 ，令 ，则 .
，则
又 平面 ，所以， 平面 .
（2）解：设直线BF与平面 所成角为 .
由（1）知，平面 的一个法向量为 ， .
则，
则直线BF与平面 所成角的正弦值
（3）解：由（1）知， ， ， 两两垂直.
则， 平面 ， 即为平面 的一个法向量.
，
所以，平面 与平面 夹角的余弦值为 .
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）根据已知条件，可推得 ， ， 两两垂直， 以B点为原点，分别以 ， ， 所在的方向为x，y，z轴的正方向，，求出平面 的一个法向量，根据数量积的运算可得， 即可证明平面；
（2）设直线BF与平面所成角为，由（1）得，平面 的一个法向量，根据即可求解；
（3）由题意可得，即为平面的一个法向量，根据向量数量积的运算可求出，即可求解.
19．（2022高三上·河北期中）已知数列为等差数列，且，
（1）求数列的通项，及前项和
（2）请你在数列的前4项中选出三项，组成公比的绝对值小于1的等比数列的前3项，并记数列的前n项和为．若对任意正整数，不等式恒成立，试求的最小值．
【答案】（1）解：设数列 的公差为
由 ，得 ，即
解得： ，
数列 的通项
前 项和
（2）解：由 得： ， ， ，
由题意知应取： ， ，
所以数列 的公比 ，
∵ ，∴
又由（Ⅰ）知 ，由此知，
当 时， 取得最大值10，
要使 恒成立，只须使 即可，所以有 ，
由 是正整数知， 的最小值为7．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合等差数列的基本量，即可求得首项和公差，再利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可求得；
（2）根据题意，求得数列的通项公式，求得，， 当 时， 取得最大值10，要使 恒成立，只须使 即可，所以有 ， 即求得结果.
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