一元二次不等式的解法[上学期]

课件12张PPT。一元二次不等式的解法
（复习课）
主讲：天柱二中 杨思钦复习：
　二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是一个有机的整体。
通过函数把方程与不等式联系起来，我们可以通过对方程的研究利用函数来解一元二次不等式。 如：
⑴ ax2+bx+c=0 (a>0)有两个不等实根x1>x2
则 ax2+bx+c>0的解为x> x1或x< x2
ax2+bx+c <0的解为x2⑵ ax2+bx+c=0(a>0)若无实根即△<0
则 ax2+bx+c>0的解为R
ax2+bx+c<0的解为φ
⑶ ax2+bx+c=0(a＞0) 若有两相等实根x1 = x2
则 ax2+bx+c>0的且解为x≠x1且X∈R
ax2+bx+c<0的解为φ
a<0 同理可得以上规律
注:解一元二次不等式实质上是通过解一元二次方程来确定解,
通过式子＞(≥)0还是＜(≤)0来确定解的范围 !
x1
x1
x2000xxyxyy解：∵ 方程x2－2x－15＝0的两根为x＝－3，x＝5
∴ 不等式的解集为{x│x≥5或x ≤－3 }。
例1.求不等式x2－2x－15≥0(x∈R)的解集。
例1（变）求不等式x2－2│x│－15≥0(x∈R)的解集。
解法1：（对x讨论）
当x＞0时，原不等式可化为x2 －2x－15≥0
由例1 可知解为x≥5或 x≤－3
∵x＞0 ∴ 不等式的解集为{x│x≥5 }
当x ≤0时，原不等式可化为x2 ＋2x－15≥0
则不等式的解为x≥3或x ≤－5
∵x≤0 ∴ 不等式的解集为{x│x≤－5 }
由以上可知原不等式的解为{x│x≥5或x≤－5 }。
解法2：（利用函数奇偶性）
当x＞0时，原不等式可化为x2 －2x－15≥0
又 x2 －2x－15≥0的解为x≥5或x ≤－3∵x＞0
∴ 不等式的解集为{x│x≥5 }
∵函数f(x)= x2 －2│x│－15为偶函数∴原不等式的解为{x│x≥5或x≤－5 }。0Xy二.应用
1集合问题
例2（1）已知一元二次不等式a x2 ＋bx+6>0 的解集
为{x │－ 2 ＜x＜3},求a－b的值
解：一元二次不等式是通过一次方程的根来确定
则可以理解为方程a x2 ＋bx+6＝0的根－2，3
又∵解在两根之间 ∴a＜0
解法3：(换元法）设│x│ =t,则t ≥ 0原不等式可化为t2 －2t－15≥0
由例1 可知解为t≥5或t≤－3
∵t ≥ 0 ∴ 不等式的解集为{t│t≥5 }
∴ │x│≥5 ∴原不等式的解为{x│x≥5或x≤－5 }。＝－2＋3＝1∴b＝1
则a－b＝－2＝－6∴a＝－1 ∴（2）已知集合A={x│ x2 －ax ≤x－a} B={x│1≤x≤3}， 若A∩B=A求实数a取值范围
解：A∩B=A，则A
而A :若a≥1 则1≤x≤a 1≤a≤3
若a＜1 则 a≤x≤1　 那么A
∴a取值范围是1≤a≤3
∩∩BB13aa2.定义域问题
例3求函数f(x)= x2－6x＋8 的定义域。
解： ∴ x2－6x＋8≥0的解为x≥4或x≤2
∴原不等式的解集为{x│x≥4或x≤2 }
例3（变）函数f(x)= kx2 －6kx+（k+8）的定义域为R
（K＞0） 求K的取值范围　　　　　　　　　　　　　　　　
解：∵函数f(x)= kx2 －6kx+（k+8）的定义域为R且K＞0
　　∴只要△≤0 即(6k)2－4k(k+8)=32k2－32Ｋ≤0
∴ 0≤k≤1 又K＞0 ∴ 0Xy0 3最值问题
例4 求函数y= x2－2x＋1的最小值
解：∵y＝ ＝0 ∴ymin ＝0
例4（1变）求函数y= x2－2x＋1 x∈［ － 1，1］
上的最值
解:∵函数y=x 2－2x＋1的对称轴为x＝1 又x∈［ － 1，1］
∴ ymax ＝f(－1)=1+2+1=4 ∴ ymin=f(1)=0
例4（2变）求函数y=ax 2 －2x＋1（a＞0） x∈［ － 1，1］的最值
解:∵a＞0 ∴函数y=ax 2 －2x＋1的对称轴为x＝－
＝ 且 ＞0
∴ ≥1时即0≤a≤1 ymin =f(1)=a－1 ymax＝f(－1)
=a+3
∴ ＜1时 即a＞1 ymax =f(－1)=a+3 ymin＝f( )=
=
思考：求函数y=a x 2 －2x＋1 x∈［ － 1，1］的最值
14 － 442a－211aaaaa1114a－44aa－1a111aa0xxyy
0-11-1二小结：⒈函数与方程贯串始终
⒉ 熟练解一元二次不等式
⒊ 一元二次不等式解决集合、定义域、函数的最值等问题。

三作业：
1若A=｛x│－1≤x≤1｝ B=｛x│x2+(a+1)x+a≤0｝
若A∩B=B求a的取值范围
2函数的f(x)= x2+2ax+3定义域为R求a的取什范围
3求函数y=x2+ax－3 ， x∈［0,2］的最值
谢 谢 配 合