数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.1等比数列的概念 课件（共26张ppt）

(共26张PPT)
第四章 数列
4.3.1等比数列的概念
第一课时
一
二
三
学习目标
理解等比数列的概念
会应用定义及通项公式解决一些实际问题
学习目标
掌握等比数列的通项公式
特殊数列
等差数列
等比数列
概念
通项公式
前n项和公式
应用
数列
概念
表示
表格、图像、通项公式、递推公式
特殊化
类比
单元结构
1、等差数列:
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）.
数学表达式:
2、等差中项：
如果三个数 a，A，b 成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.
3、等差数列的通项公式:
( n ≥ 2，n ∈N *)
（2A= a+b ）
复习回顾
新课导入
我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数” 。
类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？
先从哪些方面研究呢？
新知探究一：等比数列的相关概念
实例1两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列:
①
②
③
新知探究一：等比数列的相关概念
实例2 《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是：
细菌个数
第一次
第二次
第三次
2
4
第 n 次
……
分裂次数
8
2n
实例3 在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是：
新知探究一：等比数列的相关概念
新知探究一：等比数列的相关概念
实例4 某人存入银行 ɑ元钱，存期为5年，年利率是r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是
复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.
. ⑥
问题1 请同学们仔细观察以下六个数列，类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以下数列的取值规律？你发现了什么规律？
①
②
③
④
⑤
⑥
取值规律 从第 2 项起，
每一项与它的前一项的比都等于 9．
如果用 表示数列①，那么有
新知探究一：等比数列的相关概念
共同特点: 从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数.
如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的___都等于___一个常数，那么这个数列就叫做___________常数叫做等 数列的_____
公比通常用字母 q 表示
二
比
同
等比数列.
公比
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.常数叫做等差数列的公差.
公差通常用字母d表示
比
an-an-1=d(n≥2,n∈N*)
an+1-an=d(n∈N*)
(,n≥2,n∈N*)
(,n∈N*)
等差数列的概念
等比数列的概念
问题2 类比等差数列的概念，你能抽象出等比数列的概念吗？
概念生成
符号
(1)
(3) 5，5，5，5，5，5，…
(6)
(2)
思考：观察并判断下列数列是否是等比数列，是的话，指出公比，不是的话请说明理由:
(4) 0，1，2，4，8，…
(5) 2，0，2，0，2，…
是,公比是 2
是,公比是 -2
是,公比是 1
不一定,分类讨论
不是,分母不能为 0
不是,公比不能是 0
概念辨析
1. 判断下列数列是否是等差数列. 如果是，写出它的公差.
课本P31
追问1：等差数列的项、公差均可以是0吗？等比数列呢？
追问2：常数列是等差数列吗？是等比数列吗？
追问3：是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？
常数列一定是等差数列，公差为0；
非零常数列是等比数列，公比为1.
非零常数列既是等差数列又是等比数列，公差为0，公比为1.
等差数列的项、公差均可以是0，但等比数列的项和公比均不可以是0
概念辨析
等差中项
等比中项
如果三个数a，A，b组成等差数列，那么A叫做a和b的等差中项.
如果三个数a，G，b组成等比数列，那么G叫做a和b的等比中项
定义
a，A，b成等差数列
a，G，b成等比数列
关系
追问：任意两个实数a，b都有等比中项吗？
若a，b同号则有两个等比中项；若a，b异号则无等比中项.
新知探究二：等比中项
问题3 类比等差中项的概念，你能抽象出等比中项的概念吗？
∴a, G, b成等比数列

(ab>0)
新知探究三：等比数列的通项公式
问题4 你能类比等差数列的通项公式推导，根据等比数列的定义及递推公式推导它的通项公式吗？怎么推？
等差数列
类比
法一：不完全归纳法
……
由此归纳等比数列的通项公式可得：
等比数列
新知探究三：等比数列的通项公式
问题4 你能类比等差数列的通项公式推导，根据等比数列的定义及递推公式推导它的通项公式吗？怎么推？
法二：累加法
……
+）
等差数列
类比
……
由等比数列的定义得
n-1个
又a1=a1q0=a1q1-1，即当n=1时上式也成立.
an=a1qn-1 (n∈)
累乘法
等比数列的通项公式：
问题5 已知等比数列的第m项am,公比为q,求通项公式an.
等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示.
两式相除得
因此
新知探究三：等比数列的通项公式
新知探究四：等比数列与函数的关系
问题6 在等差数列中，公差d ≠ 0的等差数列可以与相应的一次函数建立联系，那么对于等比数列，公比q满足什么条件的数列可以与相应的函数建立类似的联系
指数型函数
●
●
●
●
●
例1 若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项.
典例分析
①
②
②的两边分别除以①的两边，得
解得
两个，需对其分类讨论
把代入①，得
此时==384=24
把代入②，得
此时==-384=-24
因此，的第5项是24或-24
例1 若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项.
典例分析
解法2：
因为是和的等比中项，所以
因此，的第5项是24或-24
==
所以
例2 已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an.
等比数列{an}的通项公式：
等差数列{an}的通项公式：
典例分析
例3 数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80, 第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132. 求这个数列.
典例分析
注意设法
(1)如果是三个数成等比数列，可设为 ，a，aq
【归纳总结】
对称设元法
(2)如果是四个数成等比数列，可设为 ， ，aq，aq3
1.与等差数列有关的数的设元技巧：
2.与等比数列有关的数的设元技巧：
(1)如果是三个数成等差数列，可设为a - d，a， a+d
(2)如果是四个数成等差数列，可设为a+2d ， a - d ， a+d ， a+2d
例题小结
a1 a3 a5 a7 q
2 8
2 0.2
2. 已知{an}是一个公比为q等比数列，请在下表中的空格处填入适当的数.
3. 在等比数列{an}中，a1a3＝36，a2+a4＝ 60. 求a1和公比q.
4
16
50
0.08
0.0032
课本P31
课堂小结
等比数列 名称 等差数列
概念
常数
通项 公式1
通项 公式2
中项
从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数
公差(d )
d 可正、可负、可零
从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数
公比(q )
q可正、可负、不可零