数学人教A版2019选择性必修第二册5.1.1变化率问题 课件（共24张ppt）

(共24张PPT)
第五章 一元函数的导数及其应用
5.1 导数的概念及其意义
课时1 变化率问题
学习目标
1.通过实例，领悟由平均速度到瞬时速度刻画实际的变化的过程.（数学抽象）
2.掌握瞬时速度的概念，会求解瞬时速度的相关问题.（数学抽象、数学运算）
3.通过求抛物线的切线的斜率和方程，体会极限思想的应用.（数学运算、直观想象）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
随堂检测·精评价
1.人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系.计算运动员在时间段①，②内的平均速度，并思考平均速度有什么作用？
[答案]（1）在这段时间里，；
（2）在这段时间里，.
由以上计算可知平均速度可以描述运动员在某段时间内运动的快慢.
预学忆思
自主预习·悟新知
YUCI NO.1 MIDDLE SCHOOL
2.已知抛物线上的点，点，如何求割线的斜率呢？
[答案]割线的斜率.
3.抛物线在点处的切线的斜率与割线的斜率有什么内在联系？
[答案]当横坐标间隔无限变小时，点无限趋近于点，于是割线无限趋近于点处的切线.这时，割线的斜率无限趋近于点处的切线的斜率.因此，切线的斜率.
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）函数（为常数）在区间上的平均变化率为0.()
√
（2） 瞬时变化率刻画某函数在某点处变化快慢的情况.( )
√
2.若一质点按规律运动，则它在一小段时间内的平均速度是().
A.B.C.D.
B
[解析]，故选B.
自学检测
3.抛物线在点处的切线斜率为_____.
6
[解析]，当时，，即抛物线在点处的切线斜率为6.
4.一质点运动的方程为，若该质点在时间段内相应的平均速度为，则该质点在时的瞬时速度是______.
-6
[解析]由平均速度和瞬时速度的关系可知，.
探究1 平均速度与瞬时速度
小蒙骑自行车从静止状态沿直线运动，他在第内、第内、第内、第内通过的位移分别为、、、.
问题：你能求出小蒙骑自行车在这内的平均速度吗？
[答案]小蒙骑自行车在这内的平均速度.
情境设置
合作探究·提素养
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新知生成
1.设物体运动路程与时间的关系是，在到这段时间内，物体运动的平均速度.
2.在匀速直线运动中，比值是恒定的.在非匀速直线运动中，比值不是恒定的.要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度.注意结合物理学中的.
3.瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.瞬时速度可表示为.
新知运用
例1一质点的运动方程为，其中表示位移（单位：），表示时间（单位：）.
（1）求质点在这段时间内的平均速度；
（2）求质点在时的瞬时速度.
[解析]（1）质点在这段时间内的平均速度为.
（2）由（1）知.
当趋近于0时，趋近于，
所以质点在时的瞬时速度为.
方法总结求运动物体瞬时速度的三个步骤
设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为，则求物体在时刻的瞬时速度的步骤如下：
（1）写出时间改变量，位移改变量.
（2）求平均速度：.
（3）求瞬时速度当时，（常数）.
一做直线运动的物体，其位移与时间的关系是，求此物体在时的瞬时速度.
[解析]取一时间段，
，
，
，
所以当时，物体的瞬时速度为.
巩固训练
探究2 抛物线的切线的斜率
问题1：在函数的图象中，表示什么？
[答案]表示过和两点的直线的斜率.
情境设置
问题2：当趋近于0时，直线是如何变化的？
[答案]直线无限接近函数的图象在点处的切线.
新知生成
设，是抛物线上不同两点，则割线的斜率（其中），当点无限趋近于点时，我们可以用割线的斜率近似地表示点处切线的斜率.
新知运用
例2曲线在点处的切线方程为__________.

[解析]切线的斜率.
故切线方程为，即.
方法总结求抛物线在点处的切线方程的步骤：（1）求出点的坐标；（2）求出抛物线在点处切线的斜率；（3）利用点斜式写出切线方程.
求抛物线在点处的切线方程.
[解析]，
所以切线的斜率
.
则切线方程为，即.
巩固训练
1.一物体的运动方程是，则在这段时间内的平均速度是().
A.B.C.D.
B
[解析].
随堂检测·精评价
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2.抛物线在点处的切线的斜率为().
A.B.C.D.
C
[解析],
.
3.若曲线，则它在点处的切线方程为().
A.B.C.D.
A
[解析]，，∴曲线在点处的切线方程为.
4.一物体的运动方程为，且在时的瞬时速度为1，求的值．
[解析]因为，
所以，所以．