不等式证明三（分析法）[上学期]

第八教时
教材：不等式证明三（分析法）
目的：要求学生学会用分析法证明不等式。
过程：
1、 介绍“分析法”：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。
2、 例一、求证：
证： ∵ 综合法：
只需证明： ∵21 < 25
展开得： ∴
即： ∴
∴ ∴
即： 21 < 25（显然成立） ∴
∴ ∴
例二、设x > 0，y > 0，证明不等式：
证一：（分析法）所证不等式即：
即：
即：
只需证：
∵成立
∴
证二：（综合法）∵
∵x > 0，y > 0， ∴
例三、已知：a + b + c = 0，求证：ab + bc + ca ≤ 0
证一：（综合法）∵a + b + c = 0 ∴(a + b + c)2 = 0
展开得：
∴ab + bc + ca ≤ 0
证二：（分析法）要证ab + bc + ca ≤ 0 ∵a + b + c = 0
故只需证 ab + bc + ca ≤ (a + b + c)2
即证：
即： （显然）
∴原式成立
证三：∵a + b + c = 0 ∴ c = a + b
∴ab + bc + ca = ab + (a + b)c = ab (a + b)2 = a2 b2 ab
=
例四、（课本例）证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大。
证：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为，截面积为，
周长为l的正方形边长为，截面积为
问题只需证：>
即证：>
两边同乘，得：
因此只需证：4 > （显然成立）
∴ > 也可用比较法（取商）证，也不困难。
3、 作业： P18 练习 1—3 及 习题6.3 余下部分
补充作业：
1． 已知0 < < ，证明：
略证：只需证： ∵0 < < ∴sin > 0
故只需证：
即证： ∵1 + cos > 0
只需证：
即只需证：
即： （成立）
2． 已知a > b > 0，为锐角，求证：
略证：只需证：
即：（成立）
3． 设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：
略证：正弦、余弦定理代入得：
即证：
即：
即证：（成立）