2013年微山一中必修5解三角形单元测试题

2013年微山一中必修5解三角形单元测试题
命题人：郑老师
选择题（共12题，共60分）
1.在△ABC中, 已知b=40, c=20, C=60°, 则此三角形的解为 (　C　 )
A. 有一解　　 B. 有两解　 　C. 无解　　 D. 有解但解的个数不确定
2.在△ABC中, 若A=, sin B=cos C, 则△ABC为 (　D 　)
A. 直角三角形　　B. 等腰三角形　　C. 等腰或直角三角形　　D. 等腰直角三角形
3.若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13, 则△ABC (　C　)
A. 一定是锐角三角形
B. 一定是直角三角形
C. 一定是钝角三角形
D. 可能是锐角三角形, 也可能是钝角三角形
4.在不等边三角形ABC中, 角A、B、C所对的边分别为a、b、c, 其中a为最大边, 如果sin2(B+C) < sin2B+sin2C, 则角A的取值范围为 (　　D )
A. B. C. D.
5.在△ABC中, 若sin2A+sin2B< sin2C, 则△ABC的形状是 (　 C　 )
A. 钝角三角形　　B. 直角三角形　　C. 锐角三角形　　D. 不能确定
6.在△ABC中, A=60°, 且最大边长和最小边长是方程x2-7x+11=0的两个根, 则第三边的长为 (　 C 　)
A. 2　　 B. 3　　 C. 4　　 D. 5
7.在△ABC中, 若lg sin A-lg cos B-lg sin C=lg 2, 则△ABC的形状是(　 D 　)
A. 直角三角形
B. 等腰直角三角形
C. 等边三角形
D. 等腰三角形
8.一船向正北方向航行, 看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上, 继续航行半小时后, 看见一灯塔在船的南偏西60°方向, 另一灯塔在船的南偏西75°方向, 则这只船的速度是 ( C 　　)
A. 15 海里/时　　 B. 5 海里/时　 　C. 10 海里/时　　 D. 20 海里/时
9.据新华社报道, 强台风“珍珠” 在广东饶平登陆. 台风中心最大风力达到12级以上, 大风、阵雨给灾区带来严重的灾害, 不少大树被大风折断. 某路边一树干被台风吹断后, 折成与地面成45°的角, 树干也倾斜为与地面成75°的角, 树干底部与树尖着地处相距20米, 则折断点与树干底部的距离是 (　A 　)
A. 米　　 B. 20米　 　C. 米　 　D. 10米
10.在Rt△ABC中, ∠C=90°, 且∠A、∠B、∠C所对的边a、b、c满足a+b=cx, 则实数x的取值范围是（ D ）
A. B. C.(1,2) D.(1, ]
11.在△ABC中, a, b, c分别是角A, B, C所对的边. 若A=, b=1, △ABC的面积为, 则a的值为 ( D 　)
A. 1　　 B. 2　　 C. 　　 D.
12. 如下图所示, 在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°, 向山顶前进100米到达B处, 又测得C对于山坡的斜度为45°, 若CD=50米, 山坡对于地平面的坡角为θ, 则cos θ= (　 　)
A. 　　 B. 2-　　 C. -1　　 D.
二、填空题（共4小题，共16分）
13.在△ABC中, AB=3, BC=, AC=4, 则A=　 60°　　. ?
14.在△ABC中, A=30°, BC=2, D是AB边上的一点, CD=2, △BCD的面积为4, 则AC的长为 　 4或2　　. ?
15.在△ABC中, B=60°, AC=, 则△ABC的周长的最大值为3.
16.在△ABC中, 已知(b+c) ∶(c+a) ∶(a+b) =4∶5∶6, 给出下列结论:
①由已知条件, 这个三角形被唯一确定;
②△ABC一定是钝角三角形;
③sin A∶sin B∶sin C=7∶5∶3;
④若b+c=8, 则△ABC的面积是.
其中正确结论的序号是　　②③　　. ?
三、解答题（共6大题，共74分）
17.在△ABC中，已知，A＝45°，在BC边的长分别为20，，5的情况下，求相应角C。
解：由正弦定理得
（1）当BC＝20时，sinC＝； °
（2）当BC＝时， sinC＝；
有两解 或120°
（3）当BC＝5时，sinC＝2>1； 不存在
18. 在△ABC中，，cosC是方程的一个根，求△ABC周长的最小值。
解：
又是方程的一个根
由余弦定理可得：
则：
当时，c最小且 此时
△ABC周长的最小值为
19.在△ABC中, a, b, c分别是角A, B, C的对边, 向量m=(2cos 2A+3,2), n=(2cos A, 1), 且m∥n.
(1) 求角A的大小;
(2) 若a=, b+c=3, 求△ABC的面积.
解：(1) m∥n?(2cos 2A+3) ×1-2×2cos A=0?2cos 2A+3-4cos A=0?4cos2A-4cos A+1=0?(2cos A-1) 2=0?cos A=.
∵A为△ABC的内角, ∴A=.
(2) 由(1) 知A=且a2=b2+c2-2bc·cos A,
即() 2=b2+c2-2bc·cos,
即3=b2+c2-bc=(b+c) 2-3bc.
又∵b+c=3, ∴3=9-3bc, ∴bc=2,
∴S△ABC=bcsin A=×2×=.
20.已知△ABC的角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 且acos C+c=b.
(1) 求角A的大小;
(2) 若a=1, 求△ABC的周长l的取值范围.
解：　(1) 由acos C+c=b和正弦定理得, sin Acos C+sin C=sin B,
又sin B=sin(A+C) =sin Acos C+
cos Asin C,
∴sin C=cos Asin C,
∵sin C≠0, ∴cos A=,
∵0< A< π, ∴A=.
(2) 由正弦定理得, b=
=sin B,
c==sin C,
则l=a+b+c=1+(sin B+sin C)
=1+[sin B+sin(A+B) ]
=1+2
=1+2sin.
∵A=, ∴B∈,
∴B+∈,
∴sin∈.
∴△ABC的周长l的取值范围为(2,3].
21.?如右图, 某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A, B之间的距离, 她在西江南岸找到一点C, 从C点可以观察到点A, B; 找到一个点D, 从D点可以观察到点A, C; 找到一个点E, 从E点可以观察到点B, C; 并测量得到数据: ∠ACD=90°, ∠ADC=60°, ∠ACB=15°, ∠BCE=105°, ∠CEB=45°, DC=CE=1百米.
(1) 求△CDE的面积;
(2) 求A, B之间的距离.
?
解：(1) 在△CDE中, ∠DCE=360°-90°-15°-105°=150°,
S△CDE=DC·CE·sin 150°=×sin 30°=×=(平方百米).
(2) 连接AB, 依题意知, 在Rt△ACD中, AC=DC·tan∠ADC=1×tan 60°=.
在△BCE中, ∠CBE=180°-∠BCE-∠CEB=180°-105°-45°=30°,
由正弦定理=,
得BC=·sin∠CEB=×sin 45°=.
cos 15°=cos(60°-45°) =cos 60°·cos 45°+sin 60°sin 45°
=×+×=,
在△ABC中, 由余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB,
可得AB2=() 2+() 2-2××=2-,
∴AB=(百米).
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22.某城市有一块不规则的绿地如下图所示, 城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志, 小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD, 测得AD=BD=14, BC=10, AC=16, ∠C=∠D.
(1) 求AB的长度;
(2) 若建造环境标志的费用与用地面积成正比, 不考虑其他因素, 小李、小王谁的设计建造费用较低, 请说明理由.
解：(1) 在△ABC中, 由余弦定理,
AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos C
=162+102-2×16×10cos C, ①
在△ABD中, 由余弦定理及∠C=∠D整理得
AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos D
=142+142-2×142cos C, ②
由①②得142+142-2×142cos C=162+102-2×16×10cos C,
解得cos C=.
又∠C为三角形的内角, 即0< C< π, 所以∠C=60°,
又∠C=∠D, AD=BD, 所以△ABD是等边三角形,
故AB=14.
(2) 小李的设计建造费用较低.
理由如下:
S△ABD=AD·BDsin D,
S△ABC=AC·BCsin C,
因为AD·BD> AC·BC, ∠C=∠D,
所以S△ABD> S△ABC,
由已知建造标志费用与用地面积成正比, 故选择△ABC建造环境标志费用较低.
即小李的设计建造费用较低.
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