不等式证明四（换元法）[上学期]

第九教时
教材：不等式证明四（换元法）
目的：增强学生“换元”思想，能较熟练地利用换元手段解决某些不等式证明问题。
过程：
1、 提出课题：（换元法）
2、 三角换元：
例一、求证：
证一：（综合法）
∵
即： ∴
证二：（换元法） ∵ ∴令 x = cos , [0, ]
则
∵ ∴
例二、已知x > 0 , y > 0，2x + y = 1，求证：
证一： 即：
证二：由x > 0 , y > 0，2x + y = 1，可设
则
例三：若，求证：
证：设，
则
例四：若x > 1，y > 1，求证：
证：设
则
例五：已知：a > 1, b > 0 , a b = 1，求证：
证：∵a > 1, b > 0 , a b = 1 ∴不妨设
则
∵, ∴0 < sin < 1 ∴
小结：若0≤x≤1，则可令x = sin ()或x = sin2 ()。
若，则可令x = cos , y = sin ()。
若，则可令x = sec, y = tan ()。
若x≥1，则可令x = sec ()。
若xR，则可令x = tan ()。
3、 代数换元：
例六：证明：若a > 0，则
证：设
则
（ 当a = 1时取“=” ）
∴
即 ∴原式成立
4、 小结：
还有诸如“均值换元”“设差换元”的方法，有兴趣的课后还可进一步学习。
5、 作业：
1． 若，求证：
2． 若|a| < 1，|b| <1，则
3． 若|x|≤1，求证：
4． 若a > 1, b > 0 , a b = 1，求证：
5． 求证：
6． 已知|a|≤1，|b|≤1，求证：