不等式证明五（放缩法、反证法）[上学期]

第十教时
教材：不等式证明五（放缩法、反证法）
目的：要求学生掌握放缩法和反证法证明不等式。
过程：
1、 简要回顾已经学习过的几种不等式证明的方法
提出课题：放缩法与反证法
2、 放缩法：
例一、若a, b, c, dR+，求证：
证：记m =
∵a, b, c, dR+
∴
∴1 < m < 2 即原式成立
例二、当 n > 2 时，求证：
证：∵n > 2 ∴
∴
∴n > 2时,
例三、求证：
证：
∴
3、 反证法：
例四、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,不可能同时大于
证：设(1 a)b >, (1 b)c >, (1 c)a >,
则三式相乘：ab < (1 a)b (1 b)c (1 c)a < ①
又∵0 < a, b, c < 1 ∴
同理：,
以上三式相乘： (1 a)a (1 b)b (1 c)c≤ 与①矛盾
∴原式成立
例五、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0
证：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0
又由a + b + c > 0, 则b + c = a > 0
∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾
又：若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0
同理可证：b > 0, c > 0
4、 作业：证明下列不等式：
1． 设x > 0, y > 0,, ，求证：a < b
放缩法：
2． lg9 lg11 < 1
3．
4． 若a > b > c, 则
5．
左边
6．
7．已知a, b, c > 0, 且a2 + b2 = c2，求证：an + bn < cn (n≥3, nR*)
∵，又a, b, c > 0, ∴
∴
8．设0 < a, b, c < 2，求证：(2 a)c, (2 b)a, (2 c)b,不可能同时大于1
仿例四
9．若x, y > 0，且x + y >2，则和中至少有一个小于2
反设≥2，≥2 ∵x, y > 0，可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾